当前位置：文档之家 › 高中数学思想专题讲座-整体的思想方法

高中数学思想专题讲座-整体的思想方法

  • 格式：doc
  • 大小：281.50 KB
  • 文档页数：12

学必求其心得，业必贵于专精

高中数学思想专题讲座

—-—整体的思想方法

一、知识要点概述

解数学题时,人们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之．但思考方法并非对所有题目都适用,它常常导致某些题解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废．其实,有很多数学问题，如果我们有意识地放大考察问题的“视角”,往往能发现问题中隐含的某个“整体”,利用这个“整体"对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解．一般地,我们把这种从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想方法．

在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。它是通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法．简单地说就是从整体去观察、认识问题、从而解决问题的思想。运用整体思想，可以理清数学学习中的思维鄣碍，可以使繁难的问题得到巧妙的解决。它是数学解题中一个极其重要而有效的策略，是提高解题速度的有效途径。

高考中，整体思想方法是一个重点考查对象，在选择题、填空题、解答题中都有不同层次的渗透。

二、解题方法指导

1．运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征,不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察,从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径.

2．运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，也有逆向的；在思维形态上，既有集中的,也有发散的，既有直观的，学必求其心得，业必贵于专精

图1 A

B

C A’

B’ D’

D 也有抽象的。

3．运用整体的思想方法解题,常与换元法结合起来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性。

三、整体的思想方法主要表现形式

1、整体补形

【例1】甲烷分子（CH4）由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，其中四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心,它与每个氢原子的距离都相等．若视氢原子、碳原子为一个点，四面体的棱长为a，求碳原子到各个氢原子的距离．

思路：透过局部整体补形构建方程

解：显然，四面体的四个顶点在以中心（碳原子）为球心，中心到各顶点（氢原子）的距离为半径的球面上．如图，将此四面体ABCD补成正方体BD’，其中A'，B'，D’也在球面上．设碳原子到每个氢原子的距离为x，则2x=

BD’,BD’、AB(a）、AA’之间的关系是a=AB=2AA’，2x=BD’=3AA’，因此，2x=，23aax46．即碳原子到各个氢原子的距离为a46．

评注：这里，我们将一个正四面体补成一个正方体，则正四面体的中心与各顶点的距离与正四面体棱长通过正方体的棱长搭桥立即建立联系，局部问题便在正方体这个整体内快速获解,体现了整体补形较高的思维价值．在立几中，我们常常将四面体补成正四面体或平行六四面体、正四面体补成正方体、过同一个顶点的三条棱两两垂直的三棱锥（或四面体)补成长方体、四棱锥补成平行六面体，学必求其心得，业必贵于专精

A B C S

D 等等．近几年的高考题或高考模拟题中，经常出现这类问题，试题常常以选择题、填空题的形式出现，具有一定的创新性．复习中大家要注意总结这种问题的补形规律，力争在高考中速战速决．

【例2】、如图2,已知三棱锥子P—ABC,234,10,241PABCPBACPCAB，则三棱锥子P-ABC的体积为( ）。4080160240ABCD

分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出,自然无法求出。若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。

解析:如图3所示，把三棱锥P—ABC补成一个长方体AEBG—FPDC，易知三棱锥P—ABC的各边分别是长方体的面对角线。PE=x,EB=y,EA=z不妨令，则由已知有：2222221001366,8,10164xyxzxyzyz，从而知

416810468101606PABCAEBGFPDCPAEBCABGBPDCAFPCAEBGFPDCPAEBVVVVVVVV2、整体展开

【例3】有一个各条棱长均为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，求包装纸的最小边长．

思路：整体展开化归平几面积覆盖 学必求其心得，业必贵于专精

图5 S3

S1 S2 S4 D

A B C

图4 解：将图4中的正四棱锥整体展开，变为图5中的平面图形,问题则转化为求一个最小的正方形将图5完全覆盖．顺次连结图5中的S1，S2，S3，S4,易证S1S2S3S4，为正方形，且为将图5完全包住的最小的正方形．于是其边长为：

aaaaaa26223132150cos20222．

故包装纸的最小边长为a262．

评注:为研究立体图形的某些特性,如表面积问题、沿表面行走路径最短问题、包装问题、剪裁问题、制作 问题等等，我们常常视立体图图5形为一个整体,将其展开,变为平面图形，通过对平面图形的研究达到解决立几问题的目的．近几年的高考，加大了对这种解题思想方法的考查力度,试题常常以现实生活为背景，设计新颖，能有效考查学生的空间想象能力和综合能力．对此大家应引起重视．

3、整体补式

【例4】、求sin2200+cos2500+sin200cos500的解.

解:令A= sin2200+cos2500+sin200cos500

B= cos 2200+ sin 2500+ cos 200 sin 500

则A+B=2+sin700………①

A—B= -070sin21 ………②

①+②得A=43，故原式=43

4、整体构形 学必求其心得，业必贵于专精

【例5】、已知 x,y，z),1,0(求证：x（1—y）+y（1—z)+z(1—x)<1

分析:观察到：x+（1-x）=y+（1—y）=z+(1—z)=1及乘积式，联想到用面积公式.

证明：如图6，构造正三角形，则S△ABD+S△EFC+S△BDF= 21x(1-y）sin600+

21y（1—z）

）sin600+ 21z（1-x) ）sin600〈S△ABC=21×1×1×sin600<1,故x（1-y)+y（1—z)+z（1-x)<1。

5、整体代换

【例6】、已知22sinsinyx，求cosx+cosy的取值范围。

解：设u=cosx+cosy，将已知式与待求式两边平方得：

yyxx22sinsinsin2sin21，(1）

yyxxu222coscoscos2cos.（2）

(1）+（2）得：)cos(22212yxu，即23)cos(22uyx，因为2)cos(22yx,所以22322u，解得214214u.

所以214coscos214yx。

点评：利用整体代换构建不等式也是求解此类问题的最基本的方法。

【例7】在数列{an｝中，Sn为其前n项和，若a1=23，a2=2且Sn+1－3Sn+2Sn－1+1=0（n≥2)，

试判断｛an－1｝（n∈N＊）是不是等比数列，为什么?

思路：透过局部重新组合整体代换 学必求其心得，业必贵于专精

解:将已知等式重新组合,得(Sn+1－Sn）－2(Sn－Sn－1）+1=0

又因为an+1=Sn+1－Sn，an=Sn－Sn－1(n≥2)，

∴an+1－2an+1=0,即an+1－1=2（an－1), ∴111nnaa=2(n≥2)(*）

当n=1时,2123121112aa,因此（*）式对n∈N＊成立．

故｛an－1}（n∈N＊)是等比数列．

评注：这里，如果将Sn+1、Sn与Sn－1均用求和公式代入，将会十分繁难，而从Sn+1－3Sn+2Sn－1+1=0整体着眼，实施整体代换，解题过程十分简捷、明快．整体代换在解题中往往能起到化难为易、化繁为简的作用，高考中以简化数列、解几运算居多．

6、整体换元

【例8】、已知xyyx，yxRyx求1,,22的最大值

解析:由，yxRyx1,,22首先想到用三角换元即令)2,0(.......sincosyx，则cossincossinxyyx，直接求解较困难，于是又令21cossincossin21)]2,1((cossin22tttt，从而有

.2212221)1(21212121cossincossin222的最大值为时即易知当xyy，xyxttttttxyyx

点评：本题利用整体换元成功地实现了二元函数问题一元化转化的目的，这是求解二元函数最值问题的最常用的思想方法.

7、整体设元

【例9】、已知密码3•BCPQR=4•PQRABC其中每个字母都表示一个十进制数字,试将这个密码译成数字形式.

解析：此题有6个未知数,若依次求解，无法达到目的确良,注意学必求其心得，业必贵于专精

到ABCPQR与PQRABC之间的轮换关系,可将ABC与PQR视为两个整体，分别设ABC=x,PQR=y，则3(1000x+y)=4(1000y+x）∴428x=571y∵x，y为三位数且428与571互奇，∴x=571，y=428∴所求密码为3•571428=4•428571.

【例10】已知tanαtanβ=3, tan2=2，求cos（α＋β)的值．

思路：转换思维整体设元构建方程

解:∵tan2=2， ∴cos（α－β）=2tan12tan122=－53．

设yxsinsin,coscos， 则cos（α－β)=53yx①

又xy=3 ②， ①、②联立解得，

于是cos(α＋β）=x－y=103．

评注：本题条件分散、联系隐蔽，企图由三角恒等变形求解难以达到目标．从待求cos(α＋β)与能求cos(α－β）中发现cosαcosβ和sinαsinβ两个整体，而这两个整体又恰好含在tanαtanβ中．因此，通过引进两个新元x， y，迅速构建出以x， y为未知数的方程组，使问题顺利获解．其中，整体换元是解题关键性的一步．整体换元是一种重要的解题方法，几乎每年的高考都要从不同的角度对其进行考查．

8、整体运算

【11】、椭圆内12322yx有一点P（1，1），一直线经过点P与椭圆交于P1，P2两点，弦P1P2被点P平分，求直线P1P2的方程。

分析：遵循常规思路,只需求出直线P1P2的斜率K，待定系数法写出直线P1P2的点斜式与椭圆方程联立消元后得一元二次方程，其x=－203,

y=－209

合集下载

如何在高中数学教学中渗透数学思想方法

如何在高中数学教学中渗透数学思想方法

如何在高中数学教学中渗透数学思想方法　

江苏省铜山县棠张中学李亚　

在新课标中已经将传统的教学方式改为“四个基本”，也就　

是基本的活动经验、基本技能、基本知识、基本的思想方法。这　已经说明思想方法在高中数学教学中的重要性已经逐步受到人　

们的重视。然而，现阶段高中数学在教学过程中还是注重学生　对知识和技能掌握的情况，忽视了思想方法的培养，这使高中数　

学的教学质量受到严重影响，从而使教学改革质量以及学生学　习效率受到影响。所以在高中数学教学中一定要注重思想方法　

的教学，这对提高课堂教学质量具有十分重要的意义。　

一、数学思想方法教学的重要意义　

数学方法主要是展现数学思想、解决数学问题的工具与手　段。高中数学中的思想方法是培养学生认识知识的基础，是将　知识转化为能力的桥梁，是数学知识的精华。新的教学大纲明　

确指出，要让学生了解社会，接触自然，使用思想方法与数学知　

识解决实际问题，从而加强学生的数学建模能力。高中数学的　知识点包括：性质、定理、公式、概念、法则等，和从内容中展现出　

来的数学思想方法。　二、数学思想方法教学的具体措施　

（一）转换观念，加强对思想方法的认识。高中数学教师应　从基本备课着手，用数学思想方法对教材进行深入研究，经过对　

定理、公式、概念的不断探讨、研究，挖掘出一些有关数学的思想　方法，将数学方法的基本教学要求和相关数学技能、知识的教学　

要求一起提出。在高中数学的课堂教学中，注重对学生思想方　法的培养。在数学每章小节中，加强对思想方法的归纳、总结。　

让学生经过思考独立地对本章知识点进行总结，以思想方法的　角度了解数学知识点的本质。总之，就是要将思想方法在数学　

教学中渗透，使其贯穿整个课堂教学中。　（二）数学思想方法教学要求层次。从“九年义务的教学大　

纲”中可以明确看出，在初中数学教学阶段，思想方法教学是由　

一定分寸的。到了高中数学教学阶段，相应提升了思想方法教　

学的要求层次，比如转化思想、函数和方程思想、数形结合思想、　分类讨论思想。对于这些思想方法教学形式，不仅仅要求能够　理解，并且要求在理解前提下灵活掌握以及运用。随意降低或　

高中数学思想方法专题

高中数学思想方法专题

高中专题复习----数学思想方法专辑

第1页共7页 高中数学思想方法

及解题策略

数学能力就是数学的思想方法。数学思想方法是策略性知识，发展学生智力最经济、有效的方法就是培养学生应用策略性知识的能力

“少考一点算，多考一点想”，实质是加重对“数学思想方法”的考查

近几年高考卷中出现的数学思想方法有：

（1）数形结合。（2）分类讨论思想。（3）方程思想。（4）函数建模思想（5）化归思想

一、函数与方程思想

1．函数是中学数学的主线。可以说无处不函数，高考函数比重每年都较大

著名数学家克莱因说过：一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情就是用变量和函数来思考。函数思想是一个重要的基本数学思想，其重要性不仅表现为五个基本初等函数的研究占据了高中数学的中心地位，而且还表现为：

①方程或不等式可作为有关函数的零点、单调性、正负区间或极值来处理

②数列作为特殊的函数，一直处于高考的热点上

③作为函数概念的基础——集合与映射，已在高考中作为数学基本语言、数学基本工具而大量出现

④其他数学问题，特别是体现参数讨论或运动观点的问题，常可用函数思想来分析或用函数方法来解决

函数在高考中的重要地位：试题以函数为主线，不仅题量较多，而且高难题常与函数直接联系

函数思想在解题中的应用，主要表现在两个方面：

①借助于有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题

②在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的

2．高考中的方程问题包括方程的求解与方程观的应用

分成逐渐提高的4个层次：

第一层次：解方程

第二层次：带参变数的方程的讨论

第三层次：转化为方程的讨论

第四层次：构造方程求解问题

例1：一等差数列的前10项和为100，前100项的和为10，求该数列前110项的和.

(110)

高中数学思想方法及其教学策略

高中数学思想方法及其教学策略

高中数学思想方法及其教学策略

无锡市第六高级中学 卢笛

俗话说“授人予鱼不如授人予渔”，学习的最高境界是学会学习，应对各种新环境、新事物、新问题的唯一方法就是把握规律方法以不变应万变。这对于数学学习同样适用，学习数学最根本的就是学习数学思想方法。日本数学教育家米山国藏曾说过：“学生们在初中或高中学到的数学知识，在进入社会后几乎没什么机会应用，因而这种知识的数学，通常在出校门不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭于头脑中的数学精神和数学思想方法，去长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”

数学思想方法大致可分为三种类型：

①宏观意识型思想方法，包括抽象概括、化归思想、数学模型、归纳猜想、数形结合等，这类思想方法常常与数学知识的发生、发展过程紧密联系，具有很强的思维导向功能，是将现实世界进行数学化的重要方法；

②逻辑型思想方法，包括分类、观察、完全归纳法、反证法、演绎法、特殊化法等，这类方法都具有确定的逻辑结构；

③技巧型思想方法，包括换元、配方、待定系数等方法，这类方法常应用于具体解题，具有一定的操作步骤。

数学思想方法散见于整个高中教材之中，是贯穿各个知识点的主线，以下就对这些常用的数学思想方法作简单归类：

①换元法、配方法、待定系数法等属于技巧型的数学方法；

②分类、类比、演绎法、特殊化法、反证法等属于逻辑型的思想方法； ③抽象概括、化归思想、数形结合、数学模型、归纳猜想、函数与方程思想、美学方法等属于宏观意识型的思想方法。

数学思想方法从1900年德国著名数学家希尔伯特在巴黎数学家代表大会的演讲《数学问题》开始被国内外数学家、教育学者所重视，对数学思想方法的研究主要有两个方向：从数学思想方法本身内容与应用的角度研究和从数学教育与数学能力培养的角度研究。

本文就从“数学教育与能力培养”的角度提出一些策略以供思考：

①反复渗透原则

高中数学教学中数学思想方法教学

高中数学教学中数学思想方法教学

高中数学教学中的数学思想方法教学

如何在高中数学教学中实施素质教育，提高学生的数学素养，是摆在高三复习中数学教学面前的问题。那种只重视讲授基础知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在初级阶段；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略基础知识的教学，就会使教学流于形式，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、方法的教学应与整个基础知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。这也是数学思想方法教学的基本原则。下面对数学思想方法教学谈一些体会。

一、高三数学思想方法教学的途径

1、用数学思想指导基础复习，在基础复习中培养思想方法。 ①

基础知识的复习中要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。如讨论直线和圆锥曲线的位置关系时的两种基本方法：一是把直线方程和圆锥曲线方程联立，讨论方程组解的情况；二是从几何图形上考虑直线和圆锥曲线交点的情况，利用数形结合的思想方法，将会使问题清晰明了。 ②注重知识在教学整体结构中的内在联系，揭示思想方法在知识互相联系、互相沟通中的纽带作用。如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或小于一常数时，分别可得方程，不等式，联想函数图象可提供方程，不等式的解的几何意义。运用转化、数形结合的思想，这三块

知识可相互为用。

2、用数学思想方法指导解题练习，在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识。 ①注意分析探求解题思路时数学思想方法的运用。解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与题断间的差异的过程。也可以说是运用化归思想的过程，解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程。 ②注意数学思想方法在解决典型问题中的运用。 ③用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性，灵活性，敏捷性；对习题灵活变通，引伸推广，培养思维的深刻性，抽象性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性，批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解，及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。