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2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试题及答案

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2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试题及答案

一、填空题（每小题8分）

1.设1sincos2xx，则33sincosxx ．

答案：11.16

解答：由1sincos2xx，可得112sincos,4xx故3sincos.8xx从而33sincosxx221311sincossinsincoscos1.2816xxxxxx

2.设i为虚数单位，化简2016201611ii ．

答案：10092.

解答：由212ii，可得2016100812.i同理，2016100812i．故

201620161009112.ii

另解：因为

22122cossin,22442233122cossin,2244iiiiii

所以，

2016201620162016100810081008100810081008100933112cossin2cossin44441008100810083188032cossin2cossin4444222.iiiiii

3.已知等差数列121000,,,aaa的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1a

．

答案：0.505.

解答：设等差数列的公差是d，则有111004950100,100949501000.adad由此得0.01d，110.4950.505.a 4.集合23|1,2,,100xxxxR共有 几个元素，其中x表示不超过x的最大整数．

答案：67.

解答：设23fxxxx，则有16.fxfx当01x时，fx的所有可能的值为0,1,2,3.因此，fx的值域6,61,62,63|SkkkkkZ，1,2,,100S共有417167个元素．

5.若关于x的方程2xxae有三个不同的实根，则实数a的取值范围是 ．

答案：20,4.e

解答：设2xfxxe，则22.xfxxxe当0x时，fx单调递减；00f；当02x时，fx单调递增；224fe；当2x时，fx单调递减；当x时，0fx．因此，fxa有三个实根当且仅当204.ae

7.已知抛物线P以椭圆E的中心为焦点，P经过E的两个焦点，并且P与E恰有三个交点，则E的离心率等于 ．

答案：2.5

解答：不妨设E的方程是22221,xyab其中0ab．由P经过E的两个焦点，可得P的方程是222,xcyc其中22cab．再由P与E恰有三个交点，得2.cb因此，E的离心率2.5ca

另解：不妨设椭圆E的方程为

222210.xyabab

由题意易得抛物线P以y轴为对称轴，顶点位于椭圆的短轴端点处 ．不妨设抛物线的开口向上，故可设抛物线的方程为2.ykxb因为抛物线经过椭圆E的焦点，故

20,kcb

其中22.cab解得2.bkc故抛物线P的方程为22byxbc．因该抛物线焦点到顶点的距离为b，故

222,c4.4cbbb

代入222bca，得22222142,,.455cccaea

8.等可能地随机产生一个正整数1,2,,2016x，则x在二进制下的各位数字之和不超过8的概率等于 ．

答案：655.672

解答：设1,2,,2016x的二进制表示是109102xxxx，即1002iiixx，其中0,1.ix特别，2016的二进制表示是211111100000．我们考察满足1008iix的x的个数，其充分必要条件是1055iipx且409.iixp如此x的个数6554565456555,951.pqpqpCCCCCCC从而二进制下各位数字之和不超过8的x的个数为2016511965．因此，所求的概率1965655.2016672

二、解答题

9.已知数列na满足2110122391,5,,2.2nnnnaaaaana用数学归纳法证明：223.nna

证明：230123,23aa，从而223nna对0,1n成立．

当2n时，假设12123,23nnnnaa，下证223.nna

由递推公式，有

211211222233239232223421529423.23nnnnnnnnnnnaaaa 因此，223nna对一切0n成立．

注：如不用数学归纳法证明且证明正确，只给一半分（11分）．

10.设△ABC的内切圆与三边相切于点,,DEF．证明：△ABC与△DEF相似当且仅当△ABC是在三角形．

证明：如图，设O是△ABC的内心，则1.22AFDEFOE

同理，,.22BCDEFEFD

不妨设ABC，则.FDEDEFEFD

从而，△ABC与△DEF相似232FDECACDEFBBEFDACA

.3ABC

11．证明：对任意实数,,abc都有2222223aabbaaccaabc，并求等号成立的充分必要条件． OFEDCBA证法一 设向量33,,,2222bcabac，则

2222aabbaacc，

2222223224423.bcabcaabcbcaabc

根据三角不等式，即得所要证的不等式．

不等式等号成立的充分必要条件是与平行且方向相同．

与平行0.22bcacababc

当0a时，不等式等号成立0bc；当bc时，不等号恒成立．

综上，不等式等号成立的充分必要条件是“0a且0bc”或.bc

证法二 2222223aabbaaccaabc（两边平分）

222222222aabcbcaabbaacc

2242aabcbc（移项、合并）

2222212aabbaaccaabcbc（两边平方）

22222212aabbaaccaabcbc（展开）

4322222aabcabbccabcbcbc 243222124aabcabcbcabcbcbc（移项、合并）

222222330.42abcabcabc

不等式等号成立的必要条件是0abc．关于充分条件的讨论同证法一．

12.求满足1nmmnmn的所有正整数对,.mn

解答：首先证明两个引理．

引理1：lnxfxx在0,e上单调递增，在,e上单调递减．

证明：21lnxfxx在0,e上大于0，在,e上小于0.

引理2：当0x时，ln1xx．特别，设1xn，则11.nen

证明：设ln1fxxx．当0x时，01xfxx，故fx单调递增．再由00f，得ln1.xx

回到原题．根据引理，lnln.nmmnmnmn有以下几种情形．

情形一：1,2,nm,mn均满足题设．

情形二：2m，5n．设222,5xgxxxx，则2ln2220.xgxx

由53,616gg，可得满足题设的,mn只有2,5. 情形三：3,2mn．易验证3,2满足题设．

情形四：3,1mnm．设.xmgxmxmx当1xm时，lnxgxmm1110,mmmmmxmxmxmxmgx单调递增．因此，gnhm

111111.mmmnmmmmmmmmm当3m时，5.hm

当4m时，根据引理2，10nhmmmm．无,mn满足题设．

综上，所有满足题设的正整数对为,12,2,5,3,2.mm

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2016全国高中数学联赛试题及评分标准

2016全国高中数学联赛试题及评分标准

2016全国高中数学联赛试题及评分标准

9月将至，开学的同时，每年一年一度的全国高中数学联赛也即将来了，同学们可知道高中联赛的前世今生吗？从1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。在CMO中成绩优异的60名左右的学生可以进入国家集训队。经过集训队的选拔，将有6名表现最顶尖的选手进入中国国家代表队，参加国际数学奥林匹克(IMO)。为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。☆ 试题模式自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。一试考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。 加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。 依据考试结果评选出各省级赛区级一、二、三等奖。 其中一等奖由各省负责阅卷评分，然后将一等奖的考卷寄送到主办方（当年的主办方），由主办方复评，最终由主管单位（中国科协）负责最终的评定并公布。二、三等奖由各个省自己决定。各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥林匹克（CMO）。☆ 知识范围一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。加试（二试）全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：1．平面几何西姆松定理；三角形旁心、费马点、欧拉线；几何不等式；几何极值问题；几何中的变换：对称、平移、旋转；圆的幂和根轴；面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。2．代数周期函数，带绝对值的函数；三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；第二数学归纳法；均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。3．初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。4．组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；组合计数，组合几何；抽屉原理；容斥原理；极端原理；图论问题；集合的划分；覆盖；平面凸集、凸包及应用*。（有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考）☆ 2016联赛试卷及答案【往期内容】是否存在2017个小正方形能拼成一个大正方形第十六届中国女子奥林匹克数学竞赛试题2017北大数学营（第一天&第二天）证明sin1°和√2+√3+√5+√7是无理数史上最短高考题：tan1°是有理数吗？数学竞赛学习方法漫谈如何理解记忆数学公式浙沪新高考改革试点的问题“探究式教学法”是一种垃圾教学法数学，是一场游戏2017全国各地高考分数线录取线及难度分析从七宝的题看七宝的突飞猛进2017年上海高考本科普通批次投档线……

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2009年全国高中数学联合竞赛一试

试题参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）

1． 若函数21xfxx且()nnfxffffx，则991f ．

【答案】 110

【解析】 121xfxfxx，

2212xfxffxx

……

992199xfxx．

故991110f．

2． 已知直线:90Lxy和圆22:228810Mxyxy，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在ABC中，45BAC，AB过圆心M，则点A横坐标范围为 ．

【答案】 36，

【解析】 设9Aaa，，则圆心M到直线AC的距离sin45dAM，由直线AC与圆M相交，得342d≤．

解得36a≤≤．

3． 在坐标平面上有两个区域M和N，M为02yyxyx≥≤≤，N是随t变化的区域，它由不等式1txt≤≤所确定，t的取值范围是01t≤≤，则M和N的公共面积是函数ft ．

【答案】 212tt

【解析】 由题意知

ftS阴影部分面积

AOBOCDBEFSSS

22111122tt

212tt

4． 使不等式1111200712213annn对一切正整数n都成立的最小正整数a的值FEDCBAOyx为 ．

【答案】 2009

2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案

2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案

一、填空题（每题8分，共80分）

1.32290xxx

2.13.1642（每个答案给4分，满分8分）4.3

35.1

36.5

[,7]

2

7.󰝖󰵌󰵆󰍳󰍶󰵇󰍳t

󰍶󰝅（每个答案给4分，满分8分）

8.126

9.153

10.912

二、解答题（共五题，11-13各20分，14、15各30分，合计120分）

（解答题严格按照上述标准给分，分数整5整10，不给其他过度分数。）

11.已知数列{}

na，且121a

，

111(2,3,)

1n

nann

nan



，令1

n

nb

a，记

数列{}nb的前n项和为nS。

（1）求数列{}na的通项公式；

（2）若对任意的*nN，2(1)101

nnSn恒成立，求实数的取值范围。

解答（1）由数学归纳法证明得1nann。（5分）（2）由于1nbnn，得

11

nSn,（10分）由2(1)101nnSn得到21001

11nn

nn

，

上式对任意的正整数成立，则maxmin62100()(1)20

211nn

nn

，（15分）即620

2。（20分）

12.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为3

2，且椭圆C的任意三个顶点构成的三角形面积为1

2。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过(,0)P的直线l与椭圆交于相异两点,AB，且2APPB

，求实数的范围。

解答（1）设椭圆的长半轴长为,a短半轴长为,b则有2231,

22abab

a，解得，

11,

2ab，所以椭圆C的方程为2241xy。（5分）

（2）设直线l的方程为,xmy设两个交点坐标为11(,)Axy，22(,)Bxy。

由2APPB

，得到122yy。………………………………①（10分）

联立方程组2241xy

xmy

得到222(4)210mymy……②

2016年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案【精选】

2016年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案【精选】

声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》2010年全国高中数学联赛四川省预赛 2010年全国高中数学联赛四川赛区预赛由四川省数学会普及工作委员会及四川省数学竞赛委员会主办，由四川省数学竞赛委员会组织及负责命题，命题负责人：柳斌. 预赛命题范围以现行高中数学教学大纲为准，主要考察学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力. 试题相当于高考数学试题的中、难度水平，有利于广大学生拓宽视野，促进素质教育. 学生自愿报名参加. 全省在同一时间由各市、州统一组织竞赛(不在县级以下单位设置考场). 试卷答题时间120分钟，试题总分140分，其中包括：6道选择题（每道5分，共30分）、6道填空题（每道5分，共30分）；4道解答题（每道20分，共80分）. 命题难度大体相当于普通高考试题. 预赛时间定在5月1 6日(星期日)下午14:30~16:30. 竞赛完后先由各市、州集中评卷，然后将其中10％的优秀试卷上报四川省数学竞赛委员会(原则上每个参赛学校均应有试卷上报)，由四川省数学竞赛委员会组织专人复查. 从中评出一等奖300名、二等奖500名、三等奖700名，由四川省数学竞赛委员会颁发获奖证书. 经四川省数学竞赛委员会研究决定，为确保全国高中数学联赛的安全保密工作，自2007年起，四川省只在成都市设立一个考场，全省参赛人数控制在1000人左右，参赛学生为预赛的一、二等奖获得者及个别优秀学生(初赛人数较多的市、州可酌情增加决赛名额). 考场设在成都七中，个别边远地区的优秀考生经济确有困难者提出申请，经批准可由省数学竟赛委员会给予适当资助.

4

11 2

201628声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》试 题一、选择题（本题满分40分，每小题5分）1、已知： 和：．则是的（ ）. p342sin1q34cossinpqA、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、在5件产品中有4件正品、1件次品．从中任取2件，记其中含正品的个数个数为随机变量，则的数学期望是（ ）. EA、 B、 C、 D、 565758593、设正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则侧棱与底面所成ABCSSAABC的角的大小是（ ）. A、 B、 C、 D、 3045602arctan4、已知函数的最小值是0，则非零实数的值是（ 424)42()(24224xxxkkxxfk）. A、 B、 C、2 D、4 425、长方体的八个顶点都在球的球面上，其中，1111DCBAABCDO11AA，，则经过两点的球面距离是（ ）. 22AB33ADCB、A、 B、 C、 D、 3234246、对任意实数，过函数图象上的点的切线恒过一定m1)(2mxxxf))2(,2(f点，则点的坐标为（ ）. PPA、 B、 C、 D、 )3,0()3,0()0,23()0,23(7、设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于)0(12222babyaxA1、A2的点，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是P02PAPOe（ ）.