第一节第一类曲线积分

本科高等数学10-1

1 第十章 曲线积分与曲面积分

大纲要求

1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系

2．掌握计算两类曲线积分的方法

3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数

4．了解两类曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式，斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分

5．了解散度与旋度的概念，并会计算。

第一节 对弧长的曲线积分

㈠本课的基本要求

理解第一类曲线积分的概念，了解第一类曲线积分的性质，掌握计算第一类曲线积分的方法

㈡本课的重点、难点

第一类曲线积分的概念与性质是重点、难点是其计算方法

㈢教学内容

引入：重积分是将定积分概念从积分范围为数轴上的一个区间推广到积分范围为平面或空间的一个区域，实际中还需把定积分概念推广到积分范围是一段曲线弧或一张曲面。前者称为曲线积分，后者称为曲面积分。本章将从实际中引进曲线积分和曲面积分的概念，并介绍计算方法，进而建立曲线积分与重积分、曲面积分之间的联系。

首先假定曲线是光滑的或是分段光滑的，光滑是指曲线的每一点都有切线，且切线的方向随着曲线上点的连续变动而连续变动；曲线是分段光滑的，指曲线由有限条光滑曲线弧段连接而成。

一．对弧长的曲线积分的概念与性质

1．曲线形构件的质量

在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应该根据构件各部分受力情况，把构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样。因此，可以认为这构件的线密度（单位长度的质量）是变量。假设这构件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧L上，它的端点是A、B，在L上任一点),(yx处，它的线密度为),(yx。现在要计算这构件的质量M。

分析略

niiiisM10),(lim，其中λ表示n个小弧段的最大长度。

这种和的极限在研究其他问题时也会遇到。

2．定义

设L为xoy面内的一条光滑曲线弧，函数),(yxf在L上有界。在L上任意插入一点列121,,,nMMM把L分成n个小段。设第i个小段的长度为is。又),(ii为第i个小段上任意取定的一点，作乘积),,2,1(),(nisfiii，并作和niiiisf1),(，如果当各小弧段的长度的最大值0时，这和极限总存在，则称此极限为函数),(yxf在曲线弧本科高等数学10-1

第一类曲线积分的计算

2 第一类曲线积分的计算

1、定义

定义1 ：设L为平面上可求长度的曲线段，)y,x(f为定义在L上的函数．对曲线L作分割T，它把L分成n个可求长度的小曲线段)n,,2,1i(Li，iL的弧长记为is，分割T的细度为ini1smaxT，在iL上任取一点(i,).n,,2,1i)(i若存在极限Js),(flimiin1ii0T

且J的值与分割T及点),(ii的取法无关，则称此极限为)y,x(f在L上的第一型曲线积分，记作 .ds)y,x(fL （1）

定义2： 若L为空间可求长曲线段，)y,x(f为定义在L上的函数，则可类似地定义)z,y,x(f在空间曲线L上的第一型曲线积分为Js),,(flimiiin1ii0T，(此处is为iL的弧长,ini1smaxT, J为一常数),并且记作L.ds)z,y,x(f （2）

2、物理意义

（1）设某物体的密度函数f（P）是定义在上的连续函数．当是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对作分割,把分成n个可求长度的小曲线段i（i=1，2，…，n)，并在每一个i上任取一点Pi由于f（P）为上的连续函数,故当i的弧长都很小时，每一小段i的质量可近似地等于f（Pi）i,其中i为小曲线段i的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式

3 in1ii)P(f

当对的分割越来越细密时,上述和式的极限就应是该物体的质量。

（2）空间曲线L的重心坐标为

(,,)(,,)yzLLxxyzdlMxMxyzdl, (,,)(,,)zxLLyxyzdlMyMxyzdl, (,,)(,,)xyLLzxyzdlMzMxyzdl

ＧＡ０ＪｌＡＯＫＥＹＡＮ　＠吉林教育　第一类曲线积分的原型与计算　辽宁省大连交通大学理学院　李秀梅　摘要：本文从第一类曲线积分的物理原型和几何原型出发，思考它与定积分的联系，给出对于物理原型求曲线形物体质　量由简入难的思维过程，有助于学生理解数学思想，掌握计算方法。　关键词：定积分微元法原型　第一类曲线积分　定积分是高等数学中的重要内容，掌握好定积分是高等数　学学习的基础。微元法是积分的核心。而曲线积分是学生后续学　习的重点，也是难点。这里仅讨论第一类曲线积分。　积分学的工作由求面积开始。我们知道规则的图形，比如矩　形，三角形，梯形的面积计算方法；但不规则图形的面积如何计　算呢？早在古希腊时期，阿基米德就求过抛物线下的方形面积。　我国刘徽的割圆术，也是同一思想．。１７世纪，求面积、体积、曲线　长始于开普勒（１５７１—１６３０，Ｋｅｐｌｅｒ．Ｊ），他怀疑酒商的酒桶体积，　发表《测量酒桶体积的新科学》，认为旋转体的体积是非常薄的　圆盘体积之和（‘‘无限多个无限小元素之和”），卡瓦列里（１５９８—　１６４７，Ｃａｖａｌｉｅｒｉ．Ｂ）认为面积是无数个等距平行线段构成的。线是　由点构成的，就象链由珠子穿成一样；面是由直线构成的，就象　布由线织成一样。立体是由平面构成的，就象书由页组成一样。　费马克服了卡瓦列里的方法缺点，几乎采用了现代积分的全过　程，用小矩形面积近ｔｖ２，Ｊ，曲边形面积，最后用相当于和式极限的　方法得到正确结果，他求了一个幂函数曲线下的曲边形的面积。　在总结前人的基础上，ｌ８世纪英国伟大的物理学家、数学家牛顿　从运动学的角度出发创立了微积分学。与牛顿几乎是同时创立　微积分的德国数学家莱布尼兹是从几何学的角度来考虑问题　的。莱布尼兹是将微分看成变量相邻无限小的差，而积分则是由　变量分成无穷多微分之和。他引进了记号“ｄ）【’　“ｄｖ”表示微分，　“ｆ”表示积分，ｄ和』是互逆的运算．莱布尼兹是历史上最伟大　的符号数学家之一，他所创立的微积分符号对飞机粉的传播和发　展产生了很大的影响，并且一直沿用至今。　一、定积分的几何和物理原型　（一）几何原型。求由直线ｘ－－ａ。ｘ＝ｂ，　ｙ＝Ｏ和在区间［ａ’ｂ］连续的非负函数ｙ＝ｆ　（ｘ）所围成的曲边梯形ＡａｂＢ（图１）的面　积。　将曲边梯形分成许多小长条，每　个小长条用相应的矩形去代替，把这　在Ｑ线上的连续函数，计算该物体的质量。　１．特别，当ｎ是直线段，密度函数是常数Ｐ时，质量为Ｍ—ｐｌ（其　中为直线段的长度）。　２．当ｎ是ｘ轴上位于［ａ＇ｂ］的直线段时，Ｈｆ（ｐ）＝ｆ（ｘ），应用定积　分就能计算该物体的质量Ｍ＝』　）ｄｘ。　３．推广，ｎ是平面（或空间中）某一可求长度的直线段，当密　度函数是定义在Ｑ上的ｆ（ｘ，ｙ）（或ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ））时，Ｍ＝』Ｉ　，ｙ）ｄｌ＝ｌｉｍ　ｆ　一　１　ｌ　（　）△ｌ；或Ｍ＝』ｄｘ，ｙ，ｚ）ｄｌ：　，　。，‘ｉ）△ｌｉ　４．一般的，当ｎ是平面或空间中某一可求长度的曲线段，密　度函数为定义在ｎ上的ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）时物体的质量的计算问题。　通过“分割、近似求和、取极限”得到，则称此极限为ｆ（ｘ，ｙ）在Ｌ上的　第一型曲线积分，记作　』ｄｘ，ｙ）ｄｓ＝ｌｉ．ｎ１　二　毛，－ｑ；）△ｓ；　ｄ　１＝１　或』ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ｌｉ　聪，　，‘）△ｓｉ　（二）几何原型。若Ｌ为坐标面￣Ｏｘｙ的分段光滑曲线，ｆ（ｘ，ｙ）为　Ｌ上定义的连续非负函数，易见以Ｌ为准线，母线平行于ｚ轴的柱　面上截取Ｏ≤ｚ≤ｆ（ｘ，ｙ）的部分的面积就是』　ｘ，ｙ）ｄｓ＝ｌｉ．ｍ　Ｅｆ（￣　－ｑ）　△ｓ　三、第一类曲线积分的计算　（一）可以从物理原型的第三种情况　入手考虑，计算　。ｎ１　Ｍ＝』ｕ（ｘ，ｙ）ｄｌ＝ｌｉ　蜷，１１　）△１　假设ｎ是在ｘｏｙ面可求长度的直线段，　则　些矩形的面积加起来，就近似得到曲边梯形的面积，分的越细，　近似程度越好，取极限就是面积ｓ：』　）ｄ　：　ｆ（∈　，１１、△　ｉ．　（二）物理原型。又如作变速直线运动物体的速度为ｖ（１），（ｔ≥　０），那么该物体在时间间隔［ａ＇ｂ］内运动的路程ｓ怎么计算呢？知　道匀速直线运动求路程的方法，再采用曲边梯形求面积的思想，　就可通过分割、近似、求和、取极限表示出变速直线运动的路程　ｎ　Ｓ＝ｆ　（ｔ）ｄｔ．　二、第一类曲线积分原型　（一）物理原型。问题：设某线形物体的密度函数　ｐ）是定义　作如Ｆ假设：　１．ｆ（ｘ，ｙ）在ｎ上连续，即保证』ｄｘ，ｙ）ｄｌ的存在；　２．Ｑ是连续光滑，或至少是分段光滑的。　①设ｙ：ｙ（ｘ），ａ≤ｘ≤ｂ，Ａ１：、／（△　）　＋（△ｙ）　一、／（△ｘ）２＋　ｔ４ｘ，２：　．△ｘ　同时，密度函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ　）），　Ｍ＝『ＩＩｘ，ｙ）ｄｌ＝ｌｉ　；）△ｌｉ　＝　享ｆ（ｘｌ＇　（ｘ＿））、／

1 第十一章曲线积分与曲面积分

在第十章中，我们已经把积分的积分域从数轴上的区间推广到了平面上的区域和空间中的区域.本章还将进一步把积分的积分域推广到平面和空间中的一段曲线或一片曲面的情形.相应地称为曲线积分与曲面积分，它是多元函数积分学的又一重要内容.本章将介绍曲线积分与曲面积分的概念及其计算方法.以及沟通上述几类积分内在联系的几个重要公式：格林公式、奥-高公式和斯托克斯公式.

第一节第一类曲线积分

分布图示

★引例 曲线形构件的质量

★第一类曲线积分的概念

★第一类曲线积分的性质

★第一类曲线积分的物理意义

★第一类曲线积分的计算

★例1 ★例2 ★例3

★例4 ★例5 ★例6

★内容小结 ★课堂练习

★习题11—1

★返回

内容要点

一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy面内的一段曲线L（图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(yx，试求该构件的质量.

二、第一类曲线积分的定义与性质

性质1设，为常数，则

LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf),(),()],(),([；

性质2设L由1L和2L两段光滑曲线组成(记为L21LL)，则

.),(),(),(2121LLLLdsyxfdsyxfdsyxf

注：若曲线L可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L是光滑的或分段光滑的.

性质3设在L有),(),(yxgyxf，则dsyxgdsyxfLL),(),( 2 性质4（中值定理）设函数),(yxf在光滑曲线L上连续，则在L上必存在一点),(，使

sfdsyxfL),(),(

其中s是曲线L的长度.

三、第一类曲线积分的计算：)(),(),(ttyytxx

dttytxtytxfdsyxfL)()(])(),([),(22(1.10)