本科高等数学10-1
1 第十章 曲线积分与曲面积分
大纲要求
1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系
2．掌握计算两类曲线积分的方法
3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数
4．了解两类曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式，斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分
5．了解散度与旋度的概念，并会计算。
第一节 对弧长的曲线积分
㈠本课的基本要求
理解第一类曲线积分的概念，了解第一类曲线积分的性质，掌握计算第一类曲线积分的方法
㈡本课的重点、难点
第一类曲线积分的概念与性质是重点、难点是其计算方法
㈢教学内容
引入：重积分是将定积分概念从积分范围为数轴上的一个区间推广到积分范围为平面或空间的一个区域，实际中还需把定积分概念推广到积分范围是一段曲线弧或一张曲面。前者称为曲线积分，后者称为曲面积分。本章将从实际中引进曲线积分和曲面积分的概念，并介绍计算方法，进而建立曲线积分与重积分、曲面积分之间的联系。
首先假定曲线是光滑的或是分段光滑的，光滑是指曲线的每一点都有切线，且切线的方向随着曲线上点的连续变动而连续变动；曲线是分段光滑的，指曲线由有限条光滑曲线弧段连接而成。
一．对弧长的曲线积分的概念与性质
1．曲线形构件的质量
在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应该根据构件各部分受力情况，把构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样。因此，可以认为这构件的线密度（单位长度的质量）是变量。假设这构件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧L上，它的端点是A、B，在L上任一点),(yx处，它的线密度为),(yx。现在要计算这构件的质量M。
分析略
niiiisM10),(lim，其中λ表示n个小弧段的最大长度。
这种和的极限在研究其他问题时也会遇到。
2．定义
设L为xoy面内的一条光滑曲线弧，函数),(yxf在L上有界。在L上任意插入一点列121,,,nMMM把L分成n个小段。设第i个小段的长度为is。又),(ii为第i个小段上任意取定的一点，作乘积),,2,1(),(nisfiii，并作和niiiisf1),(，如果当各小弧段的长度的最大值0时，这和极限总存在，则称此极限为函数),(yxf在曲线弧本科高等数学10-1
第一类曲线积分的计算
2 第一类曲线积分的计算
1、定义
定义1 ：设L为平面上可求长度的曲线段，)y,x(f为定义在L上的函数．对曲线L作分割T，它把L分成n个可求长度的小曲线段)n,,2,1i(Li，iL的弧长记为is，分割T的细度为ini1smaxT，在iL上任取一点(i,).n,,2,1i)(i若存在极限Js),(flimiin1ii0T
且J的值与分割T及点),(ii的取法无关，则称此极限为)y,x(f在L上的第一型曲线积分，记作 .ds)y,x(fL （1）
定义2： 若L为空间可求长曲线段，)y,x(f为定义在L上的函数，则可类似地定义)z,y,x(f在空间曲线L上的第一型曲线积分为Js),,(flimiiin1ii0T，(此处is为iL的弧长,ini1smaxT, J为一常数),并且记作L.ds)z,y,x(f （2）
2、物理意义
（1）设某物体的密度函数f（P）是定义在上的连续函数．当是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对作分割,把分成n个可求长度的小曲线段i（i=1，2，…，n)，并在每一个i上任取一点Pi由于f（P）为上的连续函数,故当i的弧长都很小时，每一小段i的质量可近似地等于f（Pi）i,其中i为小曲线段i的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式
3 in1ii)P(f
当对的分割越来越细密时,上述和式的极限就应是该物体的质量。
（2）空间曲线L的重心坐标为
(,,)(,,)yzLLxxyzdlMxMxyzdl, (,,)(,,)zxLLyxyzdlMyMxyzdl, (,,)(,,)xyLLzxyzdlMzMxyzdl
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分，是微积分中的一种重要概念与计算方法，它涉及曲线和向量场之间的积分。本文将介绍第一型曲线积分的定义、性质和计算方法。
一、第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分，也称为曲线的线积分，是指在曲线上某个有向长度元素$\mathrm{d}s$上的函数值与该长度元素的乘积$d\boldsymbol{s}$在整个曲线上的积分。
设$C$是曲线，其参数方程为$\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), t\in[a,b]$，则$C$的长度由公式：
$$ L(C)=\int_{C}\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}\left[\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}} \mathrm{d}t $$
计算曲线$C$上的一个标量函数$f(x,y,z)$在曲线上的第一型曲线积分，即为：
$$ \int_{C} f(x, y, z) \mathrm{d}
s=\int_{a}^{b}
f\left(\boldsymbol{r}(t)\right)\left[\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}
\mathrm{d}t $$
若积分路径可以看成向量值函数$\boldsymbol{r}(t)$的积分，第一型曲线积分就可以写作：
$$ \int_{\boldsymbol{r}}
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d}
\boldsymbol{r}=\int_{a}^{b}
1 第十一章曲线积分与曲面积分
在第十章中，我们已经把积分的积分域从数轴上的区间推广到了平面上的区域和空间中的区域.本章还将进一步把积分的积分域推广到平面和空间中的一段曲线或一片曲面的情形.相应地称为曲线积分与曲面积分，它是多元函数积分学的又一重要内容.本章将介绍曲线积分与曲面积分的概念及其计算方法.以及沟通上述几类积分内在联系的几个重要公式：格林公式、奥-高公式和斯托克斯公式.
第一节第一类曲线积分
分布图示
★引例 曲线形构件的质量
★第一类曲线积分的概念
★第一类曲线积分的性质
★第一类曲线积分的物理意义
★第一类曲线积分的计算
★例1 ★例2 ★例3
★例4 ★例5 ★例6
★内容小结 ★课堂练习
★习题11—1
★返回
内容要点
一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy面内的一段曲线L（图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(yx，试求该构件的质量.
二、第一类曲线积分的定义与性质
性质1设，为常数，则
LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf),(),()],(),([；
性质2设L由1L和2L两段光滑曲线组成(记为L21LL)，则
.),(),(),(2121LLLLdsyxfdsyxfdsyxf
注：若曲线L可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L是光滑的或分段光滑的.
性质3设在L有),(),(yxgyxf，则dsyxgdsyxfLL),(),( 2 性质4（中值定理）设函数),(yxf在光滑曲线L上连续，则在L上必存在一点),(，使
sfdsyxfL),(),(
其中s是曲线L的长度.
三、第一类曲线积分的计算：)(),(),(ttyytxx
dttytxtytxfdsyxfL)()(])(),([),(22(1.10)
