结构动力学3-2

iP(t)Δpi(fs)iaΔpi ^kiki ^Δui

0.00100010875.512425.50.000805

0.110100.7045990.48287864.08233875.512425.50.005157

0.220105.2198370.680005141.9329875.512425.50.011423

0.3301015.220420.556337206.6227875.512425.50.016629

0.440-1029.779050.218373213.02770115500.018444

0.530-1029.77905-0.34081175.62110115500.015205

0.620-1029.77905-0.7983385.015720115500.007361

0.710-1029.77905-1.17266-49.116011550-0.00425

0.7

0.80029.77905-1.47893-208.86875.512425.5-0.01681

0.90015.06278-0.44555-263.938875.512425.5-0.02124

1.000-3.534270.60154-198.125875.512425.5-0.01595

1.100-17.49411.217357-59.6755875.512425.5-0.0048

1.20

iP(t)k系数aP^Ui-1uiUi+1v

00875.5-2624.500000

0.110875.5-2624.510000.0051950.025974

0.220875.5-2624.533.6337700.0051950.0174720.08736

0.330875.5-2624.567.673670.0051950.0174720.0351550.149802

0.4400-3500108.82450.0174720.0351550.0565320.195301

动力学方程的含义

现在我们来分析一下上一节最后一个方程究竟意味着什么。假定在某一给定

的时刻t物体有一定的速度和位置vx。那么，在稍晚一点的时间tε+时，速

度与位置又各是多少呢？如果我们能够回答这一点，问题就解决了，因为这样我

们就可以从给定的条件出发，计算第一个时刻它改变了多少，下一个时刻又改变

了多少，等等，并按此方式逐步推断出物体的运动。具体地说，假定在时间

时，我们有0t=

1x=和，那么究竟为什么物体会运动呢？因为除0v=0x=外，

物体处在任何位置时总有一个力作用在它上面。如果0x>，这个力就朝上。因

此，根据运动定律，速度从开始变化，一旦它获得一点点速度，物体就开始朝

上运动，等等。现在，在任何时刻t，如果0

ε十分小，作为一个很好的近似，我

们可以用在t时刻的位置和速度将tε+时刻的位置表示为

()()()xtxtvtεε+=+ (1)

ε越小，这个表达式越精确，即使ε不是小到趋于零，此式仍能达到有用的精确

度。现在，速度又如何呢？为了求出后一时刻的速度，即tε+时刻的速度，我

们需要知道速度怎样变化，即加速度。我们将怎样去求加速度呢？动力学定律就

在这种地方起作用。动力学定律告诉我们加速度有多大。它说加速度是x−

()()()vtvtatεε+=+ (2)

()()vtxtε=− (3)

(2)式只是运动学的方程，它表明速度的变化是由于存在加速度；但(3)式是动力

学的方程，因为它将加速度和力联系起来，它表明对于这个特殊问题，在这个特

定时刻，你可以用()xt−来代替加速度。因此，如果我们知道在某一给定时刻

的x与v，我们就知道加速度，而这又告诉我们新的速度，于是又可知道新的位

置——这就是动力学方程的含义所在；由于有力，速度改变了一点点，而由于有

速度，位置又改变了一点点。

现在我们来看看，单纯地从数学角度出发，为了知道以后任一时刻物体的位

第 1 页，共 2 页置和速度，我们需要知道些什么东西？为了确定质点在时刻tε+的位置和速

－192－

第九章 结构动力学

§9.1概述

一、结构动力计算的特点和内容

前面各章讨论了结构在静力荷载作用下的计算问题。它研究的是当结构处于静力平衡位置时，外荷载对结构的影响。此时，荷载的大小、方向和作用点以及结构产生的内力、位移等均看作是不随时间t变化的。本章将讨论结构在动力荷载作用下的计算问题。

所谓动力荷载，亦称为干扰力，是指大小、方向和作用位置等随时间ｔ变化，并且使结构产生不容忽视的惯性力的荷载。与静力计算所不同的是，结构在动力荷载作用下，其质量具有加速度，计算过程中必须考虑惯性力的作用。结构的内力和位移是位置和时间ｔ的函数，称为动内力和动位移，统称为结构的动力反应。

在实际工程中，绝大多数荷载都是随着时间变化的。从工程实用角度来说，为了简化计算，往往将使结构产生的振动很小以至于惯性力可以略去不计的荷载视为静力荷载。例如当人群缓慢行走在桥梁上时，桥梁不会产生明显的振动，这时人群的自重可以作为静力荷载考虑；当人群跑动通过时，桥梁将产生明显的振动，其上各质量将产生不容忽视的惯性力，因而，人群的自重必须作为动力荷载来考虑。显然，区分静力荷载和动力荷载，主要是看其对结构产生的影响。本章内容只将不仅随时间变化而且使结构产生较大动力反应的荷载作为动力荷载来考虑。

随着科学技术的迅速发展，研究动力荷载作用下结构的计算方法具有十分重要的工程意义。在结构设计中，如何减小机器振动对现代化厂房的影响，如何减小风荷载及地震作用引起的高层建筑的动力反应等，都需要对动力荷载的作用进行深入的研究。

结构的动力反应与结构本身的动力特性和动力荷载的变化规律密切相关。研究结构的自 －193－ 由振动，得到的结构自振频率、振型和阻尼参数等正是反应结构动力特性的指标。因此，研究结构的动力计算方法，需要分析结构的自由振动和动力荷载作用下的受迫振动两种情况，前者计算结构的动力特性，后者进一步计算结构的动力反应。

二、动力荷载的分类

1 结 构 动 力 学 基 础

1.1 无阻尼单自由度体系的自由振动

在研究振动问题时，为了简化计算，往往把具体的振动体系抽象为振动模型。结构发生运动时，确定其全部质量位置所需的独立几何参变量的数量，称为体系的自由度。单自由度体系的振动问题在工程上是常见的。例如，基础与地基之间的弹性支承（图1.1－1a），当只考虑铅直方向的振动时，就是单自由度体系的振动。又如，图1.1－1b所示的钢架，假定横梁为刚体，则在考虑横梁的水平振动时也属于单自由度体系的振动。这些单自由度体系，可以很方便地用图1.1－2所示的数学模型来描述，它包括下列单元：

(a) (b)

图1.1－1

(a) (b)

图1.1－2 单自由度体系数学模型的两种表示

（1） 质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性；

（2） 弹簧系数k，用来表示结构的弹性回复力和势能；

（3） 阻尼器c，用来表示结构的摩擦特性和能量损耗；

（4） 激励荷载tF，用来表示作用于结构体系上的外力，力tF通常可写成时间函

2 数的形式。

利用牛顿运动第二定律maF或者达朗贝尔原理（该原理表明，把惯性力作为附加的虚拟力，可使体系处于动力平衡状态。）得到无阻尼单自由度体系的运动微分方程：

0 y k y m （1.1-1）

令mk/2，运动微分方程式（1.1-1）成为：

0 y y2 （1.1-2）

这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为：

tctsincoscy21 （1.1-3）

上式中1c，2c为积分常数，由物体运动的初始条件0t时，0yy， 0vv 来确定：01yc， /02vc，将1c和2c带入式（1.1-3），得到：