北师大版高中数学必修四：第一、二章综合测试题(含答案)
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阶段性测试题三(第一、二章综合测试题)
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)
1．下列各式中，不能化简为AD→的是( )
A．(AB→＋CD→)＋BC→ B．(AD→＋MB→)＋(BC→＋CM→)
C．MB→＋AD→－BM→ D．OC→－OA→＋CD→
[答案] C
[解析] A中，(AB→＋CD→)＋BC→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→；
B中，(AD→＋MB→)＋(BC→＋CM→)＝AD→＋MB→＋BM→＝AD→.
C中，MB→＋AD→－BM→＝MB→＋AD→＋MB→＝2MB→＋AD→；
D中，OC→－OA→＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→，故选C.
2．设a、b、c是非零向量，下列命题正确的是( )
A．(a·b)·c＝a·(b·c)
B．|a－b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2
C．若|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与b的夹角为60°
D．若|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的夹角为60°
[答案] D
[解析] 对于A，数量积的运算不满足结合律，A错；对于B，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2－2|a||b|·cos＋|b|2，B错，对于C、D，由三角形法则知|a|＝|b|＝|a－b|组成的三角形为正三角形，则＝60°，∴D正确．
3．(2014·山东曲阜师范附属中学高一模块测试)已知一个扇形的半径为1，弧长为4，则该扇形的面积为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 扇形的面积S＝12lR＝12×4×1＝2.
4．(2014·湖北长阳一中高一月考)下列说法正确的是( )
A．第三象限的角比第二象限的角大 B．若sinα＝12，则α＝π6
C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关
[答案] D
[解析] －120°是第三象限角，120°是第二象限角，而－120°<120，排除A；若sinα＝12，则α＝π6＋2kπ或α＝5π6＋2kπ(k∈Z)，排除B；当三角的内角等于90°时，它既不是第一象限，也不是第二象限，排除C，故选D.
5．已知△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝2DB→，CD→＝rAB→＋sAC→，则r＋s的值是( )
A．23 B．43
C．－3 D．0
[答案] D
[解析] CD→＝AD→－AC→，DB→＝AB→－AD→，
∴CD→＝AB→－DB→－AC→＝AB→－12CD→－AC→，
∴32CD→＝AB→－AC→，
∴CD→＝23AB→－23AC→，又AC→＝rAB→＋sAC→，
∴r＝23，s＝－23，∴r＋s＝0，故选D.
6．在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则MA→＋MB→－MC→等于( )
A．0 B．4MD→
C．4MF→ D．4ME→
[答案] C
[解析] 如图，
由已知得，MA→＋MB→＝2MF→，又∵M为△ABC的重心，
∴|MC|＝2|MF|，∴－MC→＝CM→＝2MF→，
∴MA→＋MB→－MC→＝4MF→.
7．如图所示，点P在∠AOB的对角区域MON内，且满足OP→＝xOA→＋yOB→，则实数对(x，y)可以是(
)
A．(12，－13) B．(14，12)
C．(－23，－13) D．(－34，25)
[答案] C
[解析] 向量OP→用基底OA→、OB→表示具有惟一性，结合图形知x<0，y<0，故选C.
8．(2014·江西九江外国语高一月考)已知sin(α＋75°)＝12，则cos(α－15°)＝( )
A．32 B．－32
C．12 D．－12
[答案] C
[解析] ∵cos(15°－α)＝sin(α＋75°)＝12，∴cos(α－15°)＝cos(15°－α)＝12.
9．函数f(x)＝sin32x＋π4的图象相邻的两个零点之间的距离是( )
A．π3 B．2π3
C．4π3 D．2π [答案] B
[解析] 函数y＝sin32x＋π4的图象相邻的两个零
点之间的距离为半个周期，又T＝2π32＝4π3，∴T2＝2π3.
10．函数y＝cos－3x＋π3的一个对称中心为( )
A．π6，0 B．π3，0
C．5π18，0 D．π2，0
[答案] C
[解析] y＝cos－3x＋π3＝cos3x－π3，
令3x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，∴x＝kπ3＋5π18(k∈Z)．
当k＝0时，x＝5π18，故选C.
11．已知向量OA→＝(4,6)，OB→＝(3,5)，且OC→⊥OA→，AC→∥OB→，则向量OC→等于( )
A．(－37，27) B．(－27，421)
C．(37，－27) D．(27，－421)
[答案] D
[解析] 设OC→＝(x，y)，则AC→＝OC→－OA→＝(x－4，y－6)．∵OC→⊥OA→，AC→∥OB→，
∴ 4x＋6y＝0x－43＝y－65，解得 x＝27y＝－421.∴OC→＝(27，－421)．
12．△ABC为等边三角形，且边长为2，点M满足BM→＝2AM→，则CM→·CA→＝( )
A．6 B．3
C．15 D．12
[答案] A
[解析] 如图，
∵BM→＝2AM→，∴AB＝AM＝2，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，即∠CAM＝120°.
又AM＝AC，∴∠AMC＝∠ACM＝30°，∴∠BCM＝90°.
∴CM＝BM2－BC2＝16－4＝23.
∴CM→·CA→＝|CM→|·|CA→|cos30°＝23×2×32＝6.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知sinα、cosα是方程2x2－x－m＝0的两根，则m＝________.
[答案] 34
[解析] 由题意，得 sinα＋cosα＝12sinαcosα＝－m2，
解得m＝34，又m＝34时满足方程2x2－x－m＝0有两根．
14．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．
[答案] (1)(31010，1010) (2)－255
[解析] (1)2a＋b＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，∴与2a＋b同向的单位向量为(31010，1010)．
(2)cos〈a，b－3a〉＝a·b－3a|a|·|b－3a|＝1，0·－2，15＝－255.
15．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)的图象的一条对称轴方程为x＝π12，则a的值为________．
[答案] 33
[解析] 由题意，得f(0)＝fπ6，即asin0＋cos0＝asinπ3＋cosπ3， ∴32a＝12，∴a＝33.
16．设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.
[答案] 5
[解析] 本题考查了向量垂直，坐标运算、数量积等．由m⊥b知m·b＝0，即2x－y＝0
①，又由m为单位向量，所以|m|＝1，即x2＋y2＝1 ②，由①②联立解得 x＝55y＝255或 x＝－55y＝－255，所以|x＋2y|＝5.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2014·安徽合肥市撮镇中学高一月考)
(1)已知A(1,2)、B(3,5)、C(9,14)，求证：A、B、C三点共线；
(2)已知|a|＝2，|b|＝3，(a－2b)·(2a＋b)＝－1，求a与b的夹角．
[解析] (1)AB→＝(2,3)，AC→＝(8,12)，
∴AC→＝4AB→，
∴AC→与AB→共线．
又∵AC→与AB→有公共点A，
∴A、B、C三点共线.
(2)设a与b的夹角为θ，
则(a－2b)·(2a＋b)＝2a2－3a·b－2b2＝2×4－3×2×3×cosθ－2×9＝－10－18cosθ＝－1，
∴cosθ＝－12.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.
18．(本小题满分12分)已知两个非零向量a、b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求a与b的夹角的余弦值．
[解析] 由(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，
得 a＋b·2a－b＝0，a－2b·2a＋b＝0， 即 2a2＋a·b－b2＝0，①2a2－3a·b－2b2＝0.②
由①×3＋②得a2＝58b2，
∴|a|2＝58|b|2，即|a|＝58|b|. ③
由①得a·b＝b2－2a2＝|b|2－2×58|b|2
＝－14b2， ④
由③④可得cosθ＝a·b|a|·|b|＝－14|b|258|b|·|b|
＝－1010.∴a、b的夹角的余弦值为－1010.
19．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx－π6)＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈(0，π2)，f(α2)＝2，求α的值．
[解析] (1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2.
故函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－π6)＋1.
(2)∵f(α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，
即sin(α－π6)＝12，
∵0
∴α－π6＝π6，故α＝π3.
20．(本小题满分12分)已知a＝3i－4j，a＋b＝4i－3j，
(1)求向量a、b的夹角；
(2)对非零向量p、q，如果存在不为零的常数α、β使αp＋βq＝0，那么称向量p、q是
