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线性代数作业(第二章)

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第二章 矩阵
一、温习巩固 1． 设112302A -⎛⎫=
⎪⎝⎭，430211B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，121051C --⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，
求（1）23A B C -+；（2）T
B C
2． 设()1,2,3A =，()2,1,2T B =，100110011C -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，
求（1）AB ；（2）BA ；（3）ACB 。

3． 已知11342124,22,y x x x y x x x =+-⎧⎨=++⎩ ，11221233134123
4,3,2,34x z z x z z z x z z x z z z ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+=-++=+=++ ，设12y y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1234x x x x x ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123z z z z ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，
求（1）用矩阵表示y 与x ，x 与z 的关系；（2）用矩阵乘法求y 与z 的关系。

4．已知103100021,021001301A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（1）计算))((B A B A -+及2
2
B A -。

（2）对于任意矩阵,A B 是否有2
2
()()A B A B A B +-=-成立，成立的条件是什么？ （3）对于任意矩阵,C D 展开3
()C D +，3()C E +。

5．求下列矩阵A的伴随矩阵A*，并计算AA*及A A*。

(1)
31
02
A
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；(2)
121
053
124
A
-
⎛⎫
⎪
=-
⎪
⎪
-⎝⎭。

6．求下列矩阵的逆矩阵：
(1)
a b
A
c d
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
(其中0
≠
-bc
ad)；(2)
121
053
124
B
-
⎛⎫
⎪
=-
⎪
⎪
-⎝⎭
7．设
11121314
3421222324
31323334
()
ij
a a a a
A a a a a a
a a a a
⨯
⎛⎫
⎪
== ⎪
⎪
⎝⎭
，由初等矩阵与初等变换的关系计算
（1）
110
010
001
A
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
；（2）
001
010
100
A
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
；（3）
0010
0100
1000
0001
A
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
；
（4）
1000
010
0010
0001
k
A
⎛⎫ ⎪
-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

8．若可逆矩阵A作如下变化，则1-A相应的有怎样的变化？
（1）A中i行与j行互换；（2）A中i行乘上非零数k；（3）i j
<时A中j行乘上数k加到第i行。

9．把下列矩阵化为简化行阶梯形及标准形。

（1）
1221
2031
3043
-
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
；（2）
11111
32113
01325
54331
⎛⎫
⎪
-
⎪
⎪
⎪
-
⎝⎭。

10．利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵。

（1）
334
234
011
-
⎛⎫
⎪
-
⎪
⎪
-
⎝⎭
；（2）
1203
1220
2231
1120
--
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
---
⎪
⎝⎭。

11．求下列矩阵的秩，并找到该矩阵一个最高阶非零子式。

（1） 139301342396-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪--⎝⎭
；（2）
1001120131041451⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。

二、练习提高
1．举反例说明下列命题是错误的：
（1）若2
0A =，则0A =；（2）若AX AY =，且0A ≠，则X Y =；
（3）若0A ≠，0B ≠，则0AB ≠；（4）若0A ≠，且AB AC =，则B C =。

2．判断以下关于逆矩阵的结论是否正确：设A 为n 阶方阵，
（1）A 可逆⇔0≠A （ ）； （2）A 可逆⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积（ ）； （3）A 可逆⇔A 只施行行变换可以化为单位矩阵（ ）； （4）A 可逆⇔A 只施行列变换可以化为单位矩阵（ ）； （5）A 可逆⇔
A 是满秩矩阵（ ）；
（6）A 可逆，且0=AB ，则0=B （ ）； （7）A 可逆，且AC AB =，则C B =（ ）。

3．已知A 为3阶方阵，且3A =，求
（1）2A -；（2）A *；（3）1A -；（4）()
1
3A -；（5）*1
143
A A --；（6）()1A -*。

三、思考与深化
1．试用克拉默法则及分块矩阵讨论：设12214242A a a -⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪⎝⎭，若存在非零矩阵3t B ⨯使得
0AB =，则a 的值为？
2．用逆矩阵求下列关于X 的矩阵方程。

设231120121A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，211030B ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，求X 使B AX =。

3．证明题
（1）若n 阶矩阵满足2
24A A E O --=，试证：E A 2-可逆，并求其逆；
（2）若矩阵A 满足A A =2
，且A E ≠，则矩阵A 必不可逆。

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《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答

《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答


An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
线性代数练习册练习题—第2章 矩阵

线性代数练习册练习题—第2章 矩阵

第2章
一、填空题
1．
2 0
3
121
2 1
02 _________．
矩阵
2.设 A 2 3 1 2 ，则 AAT _________．
3.设
A
a c
b d
，则
A
的伴随矩阵
A*
_________．
4．设 A 为 3 阶方阵，且 A =2, 则 A =
．
5. A 为 3 阶方阵， A =2，则 A A
（ A ）若 A, B 可逆，则 A B 可逆
（ B ）若 A, B 可逆，则 AB 可逆
（ C ）若 A B 可逆，则 A B 可逆 （ D ）若 A B 可逆，则 A, B 可逆
5．A 为 n 阶可逆矩阵，下列各式中不正确的是（ ）．
（A） (2A)1 =2 A1
（B） A1 = 1 A
(B)4
( C )5 （D）40
a11 a12 a13
a21
a22
a23
9．设
A
a21
a22
a23
，
B
a11
a12
a13
a31 a32 a33
a11 a31 a12 a32 a13 a33
0 1 0
1 0 0
P1
1
0
0
，
P2
0
1
0
，则（
）成立．
0 0 1
1 0 1
（）
4. 在秩是 r 的矩阵中，所有的 r 阶子式都不等于 0.
()
5. 从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B ，则 R( A) R(B) ． （ ）
四、计算题
1.计算
1 0
线性代数习题集第二章-湖北工业大学水印

线性代数习题集第二章-湖北工业大学水印


1 2 1
1
学 1
，试求伴随矩阵
A*
的逆矩阵。
3
湖
大
业
工 四、求解下列方程组（每题 10 分，共 20 分）
北 x1 + 2x2 + 3x3 = 1
1、 2x1 + 2x2 + 5x3 = 2 3x1 + 5x2 + x3 = 3
湖
2 1 −1 1 −1 3
学 2、
X
1
1
1
=
4
3
2
3 2 1 2 −2 5
A
可逆，则下列结论中成立的是（
湖 大 （A） A1可逆
（B） A2 可逆
）
（C） A1 与 A2 的可逆性不定
业 （D） A1 与 A2 均可逆
3、设
A、B
为
n
阶方阵，则分块矩阵
C
=
A
O
北 工 （A）
A* O
O
B*
A A* （B） O
O B B*
O
B
的伴随矩阵 C*
=
（
）
湖
B A* （C） O
2
1
2
学 a11 a12 a13 x1
( ) 4、 x1
x2
x3
a12
a22
a23
x2
大 a13 a23 a33 x3
业
1 0
工
四、设
A
=
0
0
0
北 1
,
求
Ak
,
k
N
+
湖
学 大
3 1 1
工 五、已知
线性代数第二章矩阵练习题(有答案)

线性代数第二章矩阵练习题(有答案)

第二章一、选择题1、计算13230102-⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值为（C ） A.-5 B.6 C.3003⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2902-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ）A. 11AB B A --=B. 11A B BA --=C. 1111A B B A ----=D.11B A A B --=3、初等矩阵（A ）A. 都是可逆阵B.所对应的行列式值等于1C. 相乘仍是初等阵D.相加仍是初等阵4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ）A. ()2r B =B.()2r B <C. ()2r B ≤D.()1r B ≥二、判断题1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×）2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√）3、矩阵324113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵2213B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×)三、填空题1、已知[]456A =，123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求AB 得_________。

(32)2、已知12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,i a i n ≠=），则1A -=3、设A 为n 阶方阵，2A =，求T A A 的值为_________。

4、设A 为33⨯矩阵，3A =-，把A 按列分块为()123A A A A =,求出132,4,A A A 的值为__________。

四、计算题1、计算()101112300121024--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.解 原式()12092(38)4-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2、求矩阵100120135A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.解 求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311113A --==--，2100035A =-=,2210515A -==--,2310313A -==-, 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212n +3100020A ==,3210010A -=-=-,3310212A -==-- 故*11001102213110105A A A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.五、证明题设n 阶方阵A 满足3()0A I +=，求证A 可逆，且求1A -.证 由3()0A I +=得32330A A A I +++=,于是2(33)A A A I I ⎡⎤-++=⎣⎦. 令233B A A I =---,则AB =I ,故A 可逆，且1233A A A I -=---.。