2023年人教版九年级中考数学二次函数专题练习(含答案)

2023年中考数学二次函数专题练习（附答案）评卷人得分一、选择题

1.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的

2.已知函数y＝a（x＋2）和y＝a（x2＋1），那么它们在同一坐标系内图象的示意图是

A、 B、 C、 D、

3.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）

4.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，

0）之间，其部分图象如图，则以下结论不正确的是（ ）

A．b2-4ac＜0 B．a+b+c＜0

C．c-a=2 D．方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根

5.二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0

（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）

A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8

6.如图，P是⊙O外一动点，PA、PB、CD是⊙O的三条切线，

C

、

D

分别在

PA

、

PB

上，xy

O

Axy

O

Cxy

O

Dxy

O

B连接OC、OD．设∠P为x°，∠COD为y°，则y随x的函数关系图象为（ ）

A． B． C． D．

7.下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x，0），且1＜x1＜2，与

y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论正确的是（ ）

①4a﹣2b+c=0 ②a＜b＜0 ③2a+c＞0 ④2a﹣b+1＞0．

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④

9.若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（ ）

A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0

10.将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（ ）

A．y=2（x+1）2+2 B．y=2（x﹣1）2+2

C．y=2（x﹣1）2﹣2 D．y=2（x+1）2﹣2

11.由二次函数，可知（ ）

A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线

C．其最小值为1 D．当x<3时，y随x的增大而增大

12.抛物线y=2（x+3）2﹣5的顶点坐标是（ ）A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5）

评卷人得分二、填空题

13.已知抛物线-4x+c与x

轴只有一个交点，则

c=

．

14.

将抛物线y=-向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式

为 ．

15.抛物线的y=（x﹣3）2﹣2的最小值为 ．

16.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的坐标系，其函数关系式为y=﹣

x2，当水面离桥拱顶的高度OD是4m时，水面的宽度AB为 m．

17.将二次函数y=x2的图象向左移1个单位，再向下移2个单位后所得图象的函数表达式

为__．18.正方形的边长为，那么它的面积与之间的关系为__________.

评卷人得分三、计算题

19.如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴与D，C

两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：

（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是

否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件

的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE

以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停

止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？（直接写出答案）

20.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（4，0）、E（-2，0）两点，连结

AB，过点A作直线AK⊥AB，动点P从A点出发以每秒个单位长度的速度沿射线AK

运动，设运动时间为t秒，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP对折，使点C落

在点D处．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点D在△ABP的内部时，△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S，求S与t之间的

函数关系式，并直接写出t的取值范围；

（3）若线段

AC

的长是线段

BP长的，请直接写出此时t的值；

（4）是否存在这样的时刻，使动点D到点O的距离最小？若存在请直接写出这个最小距

离；若不存在，说明理由． 21.如图，一条抛物线经过（﹣2，5），（0，﹣3）和（1，﹣4）三点．

（1）求此抛物线的函数解析式．

（2）假如这条抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，试判断△OCB的形状．

22.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两

点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂

线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．

①设△PDE的周长为，点P的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大

值；

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位

置也随之改变．当顶点F或G恰好落在轴上时，求出对应点P的坐标．

23.如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，

与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH＋EH最小，求点H的坐

标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与

△BCE相似？若存在，求m

的值；若不存在，请说明理由．24.某工艺品厂设计了一款成本为10元/件的小工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：

销售单价x（元/

件）… 20 30 40 50 60…

每天销售量y（件）… 500 400 300 200 100…

（1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的

点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式．

（2）当销售单价为多少元时，工艺品厂试销该小工艺品每天获得的利润最大？最大利润是

多少？（利润=销售额﹣成本）

25.已知：抛物线y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而

减小．

（1）求抛物线的解析式；

（2

）结合图象写出，

0＜x＜4时，直接写出y的取值范围 ；

（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于

另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC=1时，求出矩形ABCD的周

长． 答案

1.A．2.C 3.C. 4.A． 5.C 6.B 7.D 8.D． 9.B 10.D． 11.C 12.A．

13.4．

14.y=-（x-1）2+2． 15.﹣2． 16.20． 17.y= (x+1)2﹣2 18.

19.（Ⅰ）y=x2-x+3．tan∠BAC；（Ⅱ）（1）（11，36）、（，）、（，）；（2）点E的坐标为（2，1）．

试题分析：（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析

式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得

∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的

定义就可求出tan∠BAC的值；

（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右

侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点G在点A的下方，①当∠PAQ=∠

CAB时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得

AG=3PG=3x．则有P（x，3-3x），然后把P（x，3-3x）代入抛物线的解析式，就可求出

点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G

在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为．作点D

关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可

得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线

时，DE+EN=D′E+EN最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′=OC=3，

ON=D′C=DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐

标．

试题解析：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得

，解得：．

∴抛物线的解析式为y=x2-x+3．

联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．

过点B作BH⊥x轴于H，如图1．

∵C（3，0），B（4，1），

∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，

∴BH=CH=1．

∵∠BHC=90°，

∴∠BCH=45°，BC=．

同理：∠ACO=45°，AC=3

，∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，∴tan∠BAC=；

（Ⅱ）（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．

过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．

设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．

∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，

∴∠APQ=∠ACB=90°．

若点G在点A的下方，

①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，∴．

∴AG=3PG=3x．

则P（x，3-3x）．

把P（x，3-3x）代入y=x2-x+3，得

x2-x+3=3-3x，

整理得：x2+x=0

解得：x1=0（舍去），x2=-1（舍去）．

②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG=PG=x，则P（x，3-x），

把P（x，3-x）代入y=x2-x+3，得

x2-x+3=3-x，整理得：x2-x=0解得：x1=0（舍去），x2=，

∴P（，

）；