众数、中位数、平均数-高中数学知识点讲解

(完整版)(最全)高中数学概率统计知识点总结-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。

2、平均数：①、常规平均数：12nx x x x n++⋅⋅⋅+=②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。

4、方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-二、频率直方分布图下的频率1、频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数2、频率之和：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；同时 121n S S S ++⋅⋅⋅+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。

2、平均数： 112233n nx x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。

4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-四、线性回归直线方程：ˆˆˆybx a =+ 其中：1122211()()ˆ()nni i i i i i nni i i i x x y y x y nxybx x x nx ====---∑∑==--∑∑ , ˆˆay bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ；2、ˆ0:b>正相关；ˆ0:b <负相关。

3、线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆb 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。

五、回归分析1、残差：ˆˆi i i ey y =-（残差=真实值—预报值）。

概率统计知识点归纳平均数、众数和中位数平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三数”来说明．一、正确理解平均数、众数和中位数的概念平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点和要关注的问题．三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中位数可以来解决现实生活中的问题．极差、方差、标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、x3、…、xn 的平均数为x ，则该组数据方差的计算公式为：])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-=Λ.三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.即标准差=方差.四、极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.一、 随机事件的概率1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。

高中数学统计与概率知识点（文）的平均数就是中位数。

③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平 均数。

四、 中位数与众数的特点。

⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据；⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若 这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数；⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单 位相同； （6） 众数可能是一个或多个甚至没有；（7） 平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。

五、 平均数、中位数与众数的异同：⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； ⑵平均数、众数和中位数都有单位； ⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系， 所以最为重要，应用最广;⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。

六、 对于样本数据 X i , X 2,…，X n ,设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散 程度，那么这个平均距离如何计算？|X i - x| + |X 2- X| + L + |X n - x|思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差， 一般用s 表示•假设样本数据X i , X 2,…，X n 的平均数为X ，则标准差的计算公式是:(X i - X)2 + (X 2 - x)2 + L +(x n - X)2七、简单随即抽样的含义一般地，设一个总体有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本（n W N ）,如果每次 抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，则这种抽样方法叫做简单随机抽样•八、 根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？一、 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据。

高中数学统计与概率知识点高中数学统计与概率知识点第一部分：统计一、众数众数是一组数据中出现次数最多的数据。

它反映了数据的集中趋势，但当数据大小差异很大时，众数的准确值难以判断。

此外，当众数出现次数不具明显优势时，用它来反映数据的典型水平是不可靠的。

二、中位数中位数是一组数据中位于最中间的数据，当数据为偶数个时，为最中间两个数据的平均数。

求中位数时，需要先将数据排序，然后根据数据的个数来确定中位数。

三、众数、中位数及平均数的求法众数由所给数据可直接求出；求中位数时，需要先排序，然后根据数据的个数来确定中位数；求平均数时，需要将各数据的总和除以数据的个数。

四、中位数与众数的特点中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是；众数考察的是一组数据中出现的频数，它的大小只与这组数据的个别数据有关，可能是一个或多个，甚至没有。

五、平均数、中位数与众数的异同平均数、中位数和众数都是描述一组数据集中趋势的量，都有单位。

平均数反映数据的平均水平，与每个数据都有关系，应用最广；中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。

六、样本数据的分散程度对于样本数据x1，x2，…，xn，可以通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度。

平均距离的计算公式为12n。

本文介绍了统计学中常用的标准差，以及简单随机抽样的定义和特点。

其中，简单随机抽样的主要特点包括总体个体数有限、逐个抽取、不放回、公平性。

抽签法是一种简单易行的抽样方法，但在总体个数较多时可能会导致样本代表性差。

随机数表法是另一种常用的抽样方法，其步骤包括编号、选定起始位置和依次读取。

最后，对于从100个个体中抽取一个容量为10的样本，可以采用抽签法或随机数表法进行编号。

十三、系统抽样的一般步骤在使用系统抽样从总体中抽取样本时，首先需要将总体中的所有个体进行编号。

举例来说，如果要从605件产品中抽取60件进行质量检查，由于605件产品不能均衡分成60部分，因此需要先从总体中随机剔除5个个体，再均衡分成60部分。

众数、中位数、平均数
1．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即푥=1
푛(푥
1
+푥2+⋯+푥
푛
)．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
1/ 2
（2）中位数：在样本中，有 50%的个体小于或等于中位数，也有 50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
2/ 2。

个人理解，说简单点：一组数据中如果有特别大的数或特别小的数时，一般用中位数一组数据比较多（20个以上），范围比较集中，一般用众数其余情况一般还是平均数比较精确一、联系与区别：1、平均数是通过计算得到的，因此它会因每一个数据的变化而变化。

2、中位数是通过排序得到的，它不受最大、最小两个极端数值的影响．中位数在一定程度上综合了平均数和中位数的优点，具有比较好的代表性。

部分数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势。

另外，因中位数在一组数据的数值排序中处中间的位置，3、众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度．日常生活中诸如“最佳”、“最受欢迎”、“最满意”等，都与众数有关系，它反映了一种最普遍的倾向．二、平均数、中位数和众数它们都有各自的的优缺点．平均数：(1)需要全组所有数据来计算；(2)易受数据中极端数值的影响．中位数：(1)仅需把数据按顺序排列后即可确定；(2)不易受数据中极端数值的影响．众数：(1)通过计数得到；(2)不易受数据中极端数值的影响关于“中位数、众数、平均数”这三个知识点的理解，我简单谈谈自己的认识和理解。

⒈众数。

一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。

⒉众数的特点。

①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。

但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。

此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。

3.众数与平均数的区别。

众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。

4.中位数的概念。

一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

众数、中位数、平均数的特点及其应用-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在统计学和数据分析领域，众数、中位数和平均数是常用的统计指标，用于描述和分析数据集的集中趋势。

它们可以帮助我们理解数据的分布情况，并从中提取有用的信息。

本文将重点介绍众数、中位数和平均数的特点及其应用。

众数是指在一组数据中出现频率最高的数值。

它可以用来反映数据的集中程度，并且适用于各种数据类型。

众数的计算相对简单，只需要统计每个数值出现的次数，然后找出出现次数最多的数值即可。

众数在实际应用中常用于描述一组数据的典型取值，如民意调查中的最受欢迎的候选人、销售数据中最畅销的产品等。

中位数是将一组数据按照大小排序后位于中间位置的数值。

它不受极值的影响，更能反映数据的中间位置。

计算中位数的方法相对直观，只需要将数据排序，并确定中间位置的数值即可。

中位数在实际应用中常用于描述数据的中间水平，如家庭收入的中位数可以反映社会的平均收入水平，股票价格的中位数可以反映市场的平均估值水平等。

平均数是指一组数据的总和除以数据的个数，是最常用的统计指标之一。

它可以反映数据的整体水平，并且易于计算和理解。

平均数的计算非常简单，只需要将所有数值相加，然后除以数值的个数即可。

平均数在实际应用中广泛用于描述数据的均值水平，如平均工资可以反映一个地区的平均收入水平，平均成绩可以反映一个班级的整体学习水平等。

众数、中位数和平均数在统计分析中扮演着重要的角色，并且在不同领域有着广泛的应用。

它们能够提供关于数据集的集中趋势、分布形态和离散程度等信息，帮助我们理解数据背后的规律和趋势。

同时，在决策和预测中，这些统计指标也能够提供有用的参考，帮助我们做出更准确的判断和预测。

本文将详细介绍众数、中位数和平均数的特点及其应用，并探讨它们在实际生活中的意义和作用。

通过对这些统计指标的深入了解和应用，我们可以更好地应对数据分析和决策问题，并为未来的研究和实践提供更多的启示和方向。

第二十章 数据的分析专题20 平均数，中位数，众数知识要点1．加权平均数：若n 个数x 1，x 2，…，x n 的权分别是w 1，w 2，…，w n ，则112112n n nx w x w x w w w w ++++叫做这n 个数的加权平均数．2．“权”的意义：具有实际意义的，反映数据的相对“重要程度”；作为频数，起到化简运算的作用．3．中位数的求法：将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．4．众数的求法：先数出每个数据出现的频数，再找到频数最高的数据(可能不止一个)．5．平均数、中位数、众数表示数据集中趋势的优劣：平均数的计算需要利用所有的数据，在现实生活中较为常用，但也容易受到极端值的影响； 中位数是一个位置代表值，一组互不相等的数据中高于或低于它的各占一半； 众数则体现了相同数据多次出现的情况，在某些问题中比较重要．典例精斬例1 请根据图20－1信息解答问题：(1)表中空缺的数据为_____________(精确到1%)；(2)统计表中年增长率的平均数及中位数；(3)预测2017年的观影人次，并说明理由．【分析】利用增长率、平均数公式计算数据并在数据的基础上利用统计学知识分析数据【解】(1)2016年的年增长率是(13.72－12.60)÷12.60×100%≈9%，故答案为9%；(2)统计表中年增长率的平均数为(31%＋27%＋32%＋35%＋52%＋9%)÷6＝31%；它们从小到大的顺序排列为9%，27%，31%，32%，35%，52%，所以中位数是(31%＋32%)÷2＝31.5%；(3)2017年的观影人次为13.72×(1＋31%)≈17.97(亿)．由折线统计图和表格可知，最近6年的年增长率的平均数为31%，故预估2017年的年增长率为31%．【点评】从数据角度岀发，根据有效概念分析数据并对数据做出合理预测是数据分析的基本要求.拓展与变式1某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料.(1)该公司员工月收入的中位数是___________元，众数是________________元．(2)根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？请说明理由．【答案】(1)3 400 3 000(2)解:用中位数或者众数更加适合，理由：平均数受极端值45 000元的影响，只有3名员工的工资达到了6 276元，不恰当．拓展与变式2 某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下．请补充完整收集数据：从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩(百分制)如下：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：(说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70~79分为生产技能良好，60~69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格)分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：得出结论：(1)估计乙部门生产技能优秀的员工人数为____________．(2)可以推断出哪个部门员工的生产技能水平较高(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)？【答案】(1)120(2)解:①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高：②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高：或:①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高：②乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．【反思】通过统计数据对结论进行有效预测、估计以及说理，是解决数据变化趋势问题的关键．例2 两组数据m ，6，n 与1，m ，2n ，7的平均数都是6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的中位数是___________．【分析】通过平均数公式可以得到一个关于m ，n 的二元一次方程组，解之即可．【解】依题意，得61812724m n m n ++=⎧⎨+++=⎩， ∴84m n =-⎧⎨=⎩， ∴重新排列顺序为1，4，6，7，8，8，8∴所求的中位数为7【点评】利用数据的相关公式列方程解相关问题也是本节课的重点．拓展与变式3 若整数a 是1，3，5，12，a 这组数据的中位数，则该组数据的平均数是_________．【答案】4.8或5或5，2 提示:a 可能等于3，4，5，∴平均数相应地也有三种答案． 拓展与变式4 七年一班四个绿化小组植数的棵数如下：10，10，x ，8．已知这组数据的众数和平均数相等，那么这组数据的中位数是________．【反思】在利用数据的公式解决相关的数据问题时，要从基本概念出发进行正确的判断分类．【答案】10 提示:由题意知x ≠8，∴众数为10.∴由平均数公式可得x ＝12，从小到大排列为8，10，10，12．专题突破1．一组数据3，4，x ，6，8的平均数是5，则这组数据的中位数是____________．【答案】42．已知数据x 1，x 2，x 3的平均数为a ，y 1，y 2，y 3的平均数为b ，则数据3x 1＋2y 1；3x 2＋2y 2；3x 3＋2y 3的平均数为____________．【答案】3a ＋2b 提示:利用平均数公式，x 1＋x 2＋x 3＝3a ，y 1＋y 2＋y 3＝3b ，∴3x 1＋2y 1＋3x 2＋2y 2＋3x 3＋2y 3＝9a ＋6b ．3．由小到大排列的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，其中每个数都小于－1，则对于样本1，－x 1，－x 2，x 3，－x 4，x 5的中位数为____________． 【答案】412x - 提示：按从小到大排列的顺序排列样本数据x 3，x 5，1，－x 2，－x 1，即可求出它的中位数．4．设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a >b >c ，则M 与P 的大小关系为____________．【答案】M >P 提示:a ＋b ＋c ＝3M ，a ＋b ＝2N ，N ＋c ＝2P ，∴12(M －P )＝a ＋b －2c>0，M >P ．5．自2016年国庆后，许多高校投放了使用手机就可随取随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A 品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取；每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元；第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：得到如下数据：(1)写出a，b的值；(2)已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元，试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？请说明理由．【答案】(1)a＝0.9＋0.3＝1.2，b＝1.2＋0.2＝1.，4：(2)抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为1100×(0×5＋0.5×15＋0.9×10＋1.2×30＋1.4×25＋1.5×15)元＝1.1元，所以估计5 000名师生一天使用共享单车的费用为5 000×1.1元＝5 500元．因为5500<5800，所以收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．。

中位数、众数、平均数的区别和用法一、相同点平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。

二、不同点它们之间的区别，主要表现在以下方面。

1、定义不同平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。

众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

2、求法不同平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。

中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。

它的求出不需或只需简单的计算。

众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。

3、个数不同在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。

在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。

4、呈现不同平均数：是一个“虚拟”的数，是通过计算得到的，它不是数据中的原始数据。

中位数：是一个不完全“虚拟”的数。

当一组数据有奇数个时，它就是该组数据排序后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等，此时的中位数就是一个虚拟的数。

众数：是一组数据中的原数据，它是真实存在的。

5、代表不同平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”。

中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。

众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。

这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。

6、特点不同平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。