中考数学专题 新概念型问题
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2013年中考数学专题:新概念型问题许町中学蠡缘一、什么是“新概念”型问题:“新概念”型问题主要指在问题中出现了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号。
要求学生读懂题意以后,结合自己已有的知识和能力进行理解,根据新概念进行运算、推理、探究、拓展的一种题型。
“新概念”型问题,近年来中考数学试卷中常常出现,所以,在复习过程中,应重视培养学生阅读理解和运用新概念解决问题的能力。
二、解题策略与方法要点。
解“新概念型问题”关键两点:1、掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法。
2、根据具体问题的情景,认真思考,联系新概念,进行方法上的迁移和拓展。
解“新概念型问题具体方法过程上分三个步骤:①阅读理解,读懂新概念。
②具例印证、强化认识、。
③联系应用,解决问题或探究拓展三、下面就毕业班综合训练册中出现的新概念型问题举例探析。
(一) 运算题型中的新概念。
【P25(第7题)】例1对于非零的两个实数a、b,规定a ⊗b=3a-b若1 ⊗(x+1)=1,则x=(A)A.1B.-1C.2D.-2解:∵ 1 (x+1)=1∴3-(x+1)=1 2-x=1 x=1 思路分析:根据题中的新概念,按a 、b 两实数间规定的运算,将待解问题化成普通方程,即可求出x 的值。
点评:此题练习实数的运算,属于新概念的题型,涉及到解一元一次方程。
正确进入新概念规定的运算程序是解题的关键。
【P36】例3我们定义| dcb a |=ad -bc.例如| 5432 |=2×5-3×4=10-12=-2若x 、y 均为整数,且满足1<|4x 1y |<3,则x+y 的值是±3思路分析:根据题中的新概念,结合具例,掌握新概念运算规定的程序,将问题迁移到不等式组问题。
解:由定义|4x 1y |=4-xy ∵x y 为整数∴1<4-xy <3 ∴xy=2那么x,y 分别为1,2或2,1,-1,-2或-2,-1 ∴1<xy <3 ∴x+y=±3点评:此题考查式运算,属新概念题型,涉及到不等式组整数解的问题。
中考新观点型题型一、选择题1.〔2021年浙江省杭州市中考数学模拟 22)〔原创〕y 1a 1x 2b 1xc 1,y 2 a2x 2b 2xc 2且知足a1b1c1k(k0,1).那么称抛a 2b 2c 2物线y 1,y 2互为“友善抛物线〞,那么以下对于“友善抛物线〞的说法不正确的选项是〔〕A 、y 1,y 2张口方向,张口大小不必定同样B 、因为y1,y2的对称轴同样C 、假如y2的最值为m ,那么y1的最值为kmD 、假如y2与x 轴的两交点间距离为 d ,那么y1与x 轴的两交点间距离为 kd 答案:D二、填空题1、〔2021年江苏盐都中考模拟〕规定一种新运算a※b=a 2-2b,如1※2=-3,那么 2※〔-2〕=.答案62、(2021浙江杭州模拟 16)刘谦的魔术表演流行全国, 小明也学起了刘谦创建了一个魔术盒, 当随意实数对 (a ,b)进入此中时,会获得一个新的实数: a 2+b -1,比如把(3,-2)放入 此中,就会获得: 32+〔-2〕-1=6.现将实数对 (-1,3)放入此中,获得实数 m ,再将实数对(m ,1)放入此中后,获得的实数是 .答案:9 三、解答题1、〔2021年北京四中中考模拟20〕如图,四边形ABCD 中,AB=AD ,CB=CD ,但AD 我们称这样的四边形为“半菱形〞。
小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半他的说法正确吗?请你判断并证明你的结论。
解:正确。
证明以下: 方法一:设 AC ,BD 交于O ,∵AB=AD ,BC=DC ,AC=AC ,∴△ABC ≌△ADE , D∴∠BAC=∠DACAB=AD ,∴AO ⊥BDO1BDAO ,S BCDAS ABD1BDCO22CD ,〞。
CBS四边形ABCD SABDSBCD112BDAOBDCO211BD(AOCO)BDAC22方法二:∵AB=AD,∴点A在线段BD的中垂线上。
又∵CB=CD,∴点C与在线段BD的中垂线上,∴AC所在的直线是线段BD的中垂线,即BD⊥AC;设AC,BD交于O,∵SS四边形ABCD SABDSABD1BDAO,S BCD1BDCO2211BCD BDAO BDCO2211BD(AOCO)BDAC222、〔2021年北京四中中考模拟18〕:△ABC中,AB=10⑴如图①,假定点D、E分别是AC、BC边的中点,求DE的长;⑵如图②,假定点A1、A2把AC边三平分,过A1、A2作AB边的平行线,分别交BC边于点B1、B2,求A1B1+A2B2的值;⑶如图③,假定点A1、A2、、A10把AC边十一平分,过各点作AB边的平行线,分别交BC边于点B1、B2、、B10。
专题03 函数中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解,而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
它一般分为三种类型: (1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。
这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识,以及灵活运用知识的能力,解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来,利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想:(1)转化的思想,把未知的问题转化为学过的知识解决。
(2)对全新的概念,需要灵活的迁移运用。
二、精选考题1.在平面直角坐标系中,有系列抛物线2131(44n y nx nx n n =--++为正整数).系列抛物线的顶点分别为1M ,2M ,3M ,⋯,n M . (1)下列结论正确的序号是 ①②④ . ①系列抛物线的对称轴是直线32x =-;②系列抛物线有公共交点(4,1)-和(1,1); ③系列抛物线都是由抛物线214y x =-平移所得;④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等;(2)对于任意一条与x 轴垂直的直线x a =,与系列抛物线的交点分别为1N ,2N ,3N ,⋯,n N .①当0a =时,1n n N N -= ;②试判断相邻两点之间的距离是否相等,若相等,直接写出相邻两点之间的距离1n n N N -;若不相等,说明理由;③以1n n N N -为边作正方形,若正方形的另二个点落在对称轴上,求a 的值.【解答】解:(1)系列抛物线的对称轴是直线3341222()4nb x a n -=-=-=-⨯-,故①正确; 221311(34)1444n y nx nx n n x x =--++=-+-+,令2340x x +-=.解得4x =-或1x =,∴系列抛物线有公共交点为(4,1)-,(1,1),故②正确;系列抛物线二次项的系数为14n -,与抛物线214y x =-的系数不同,∴系列抛物线不是由抛物线214y x =-平移所得,故③错误;2221319913251(3)1()1444444216n y nx nx n n x x n n x n =--++=-++-++=-+++,∴系列抛物线的顶点坐标为3(2-,251)16n +. 12516n n M M -∴=,即任意两条相邻抛物线顶点的距离都等于2516,故④正确; 综上,正确的有①②④, 故答案为:①②④;(2)当x a =时,213144n y na na n =--++,2221131133(1)(1)(1)1444444n y n a n a n na a na a n -=----+-+=-+-++,21113144n n n n N N y y a a --∴=-=+-;①当0a =时,11n n N N -=; 故答案为:1;②相邻两点之间的距离相等,距离为2113144n n N N a a -=+-;③系列抛物线的对称轴是直线32x =-;当32a <-时,由题意得:21331442a a a +-=-+;整理得2720a a ++=.解得a =a = 当32a >-时,整理得2100a a --=,解得a =a =综上,a 的值为72-或12+ 2.我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线(x n n =为常数)对称,则把该函数称之为“()X n 函数”. (1)在下列关于x 的函数中,是“()X n 函数”的是 ②③ (填序号); ①6y x=;②|4|y x =;③225y x x =--. (2)若关于x 的函数||(y x h h =-为常数)是“X (3)函数”,与||(my m x=为常数,0)m >相交于(A A x ,)A y 、(B B x ,)B y 两点,A 在B 的左边,5B A x x -=,求m 的值;(3)若关于x 的“()X n 函数” 24(y ax bx a =++,b 为常数)经过点(1,1)-,且1n =,当1t x t -时,函数的最大值为1y ,最小值为2y ,且1212y y -=,求t 的值. 【解答】解;(1)解:根据定义,函数关于直线(x n n =为常数)对称,即该函数图象是轴对称图形 ①6y x=的图象是中心对称图象,不符合题意: ②|4|y x =,③225y x x =--的图象是轴对称图形,符合题意. 故答案为:②③. (2)||y x h =-是“X (3)”函数, 3h ∴=,如图,3y x =-与x 轴交于C 点,与y 轴交于D 点,作AM x ⊥轴交于M 点,BN x ⊥轴交于N 点,(3,0)C ∴,(0,3)D -, 45BCN OCD ∴∠=∠=︒,由对称性可知,45ACM OCD ∠=∠=︒, AM CM ∴=,BN CN =, 5B A x x -=,5MN ∴=,设CN x =,则5MC x =-, (3,)B x x ∴+,(2,5)A x x --, (3)(2)(5)0x x x x ∴++--=, 1x ∴=,(4,1)B ∴, 4m ∴=;(3)由题意得4112a b b a -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得12a b =-⎧⎨=⎩,∴此“()X n 函数”为224y x x =-++,①当1t <时,x t =时,2124y t t =-++,1x t =-时,22(1)y t =--十2(1)4t -+,22121(24)[(1)2(1)4]232y y t t t t t -=-++---+-+=-+=,54t ∴=(舍); ②当11t -,即2t 时,1x t =-时,21(1)y t =--十2(1)4t -+, x t =时,2224y t t =-++,22121(1)2(1)4(24)232y y t t t t t -=--+-+--++=-=, 74t ∴=(舍); ⑧当312t <时, 1x =时,15y =,1x t =-时,22(1)y t =--十2(1)4t -+,221215[(1)2(1)4]442y y t t t t -=---+-+=-+=,2t ∴=, 又312t <,2t ∴=. ④322t <时, 1x =时,15y =,x t =时,22y t =-十24t +,221215(24)442y y t t t t -=--++=-+=,1t ∴=,又因为322t <,1t ∴=.综上所述:22t =-或12t =+. 3.我们知道,对于二次函数2()y a x m k =++的图象,可由函数2y ax =的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到,我们称函数2y ax =为“基本函数”,而称由它平移得到的二次函数2()y a x m k =++为“基本函数” 2y ax =的“朋友函数”.左右、上所学的函数:二次函数2y ax =,函数y kx =和反比例函数ky x=都可以作为“基本函数”,并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”.如一次函数25y x =-是基本函数2y x =的朋友函数,由252(1)3y x x =-=--朋友路径可以是向右平移1个单位,再向下平移3个单位,朋友距离=(1)探究一:小明同学经过思考后,为函数25y x =-又找到了一条朋友路径为由基本函数2y x =先向 左平移1个单位 ,再向下平移7个单位,相应的朋友距离为 .(2)探究二:已知函数263y x x =-+,求它的基本函数,朋友路径,和相应的朋友距离. (3)探究三:为函数341x y x +=+和它的基本函数1y x =,找到朋友路径,并求相应的朋友距离.【解答】解:(1)2(1)7y x =+-,∴向左平移1个单位;=故答案为:向左平移1个单位; (2)2263(3)6y x x x =-+=--,∴基本函数为2y x =;原抛物线的顶点坐标为(0,0),新抛物线的顶点坐标为(3,6)-,∴朋友路径为先向右平移3个单位,再向下平移6个单位;=; (3)函数341x y x +=+可化为131y x =++,∴朋友路径为先向左平移1个单位,再向上平移3个单位..4.定义:1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,3(C x ,3)y 是二次函数2()y ax bx c m x n =++图象上任意三个不重合的点,若满足1y ,2y ,3y 中任意两数之和大于第三个数,住意两数之差小于第三个数,且1y ,2y ,3y 都大于0,则称函数2y ax bx c =++是m x n 上的“仿三角形函数”.(1)①函数2(12)y x x =的最小值是m ,最大值是n ,则2m < n ;(填写“>”,“ <”或“=” )②函数2y x = 12x 上的“仿三角形函数”;(填写“是”或者“不是” )(2)若二次函数函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”,求a 的取值范围; (3)若函数22y x mx =-在312x 上是“仿三角形函数”,求m 的取值范围. 【解答】解:(1)①12x ,∴当1x =时,函数的最小值为1m =,当4x =时,函数的最大值为4n =, 2m n ∴<,故答案为:<;②当 1.1x =时,函数的最小值为1.21, 当2x =时,函数的最大值为4, 当1x =时,函数值为1, 1.2114+<,∴函数2y x = 不是12x 上的“仿三角形函数”;故答案为:不是;(2)当1x =时,3y a =-+,当2x =时,3y =,①当0a >时,函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”, 则302(3)3a a -+>⎧⎨-+⎩,解得:302a<; ②当0a <时,函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”, 则233a ⨯-+,30a ∴-<;综上所述,a 的取值范围为302a <或30a -<; (3)2222()y x mx x m m =-=--,∴函数最小值为2m -,当1x =时,12y m =-; 32x =时,934y m =-; ①当1m 时,1x =时120y m =-<,不满足题意; ②当1m <时,函数22y x mx =-在312x 上是“仿三角形函数”, 则12092(12)34m m m ->⎧⎪⎨--⎪⎩, 解得:14m -;综上所述:若函数22y x mx =-在312x上是“仿三角形函数”时m 的取值范围为14m -. 5.定义:当x a =时,其对应的函数值为y f =(a ),若f (a )a =成立,则称a 为函数y 的不动点.例如:函数234y x x =-+,当2x =时,y f =(2)223242=-⨯+=,因为f (2)2=成立,所以2为函数y 的不动点.对于函数2(1)(21)3y t x t x =+-+-,(1)当0t =时,分别判断1-和0是否为该函数的不动点,并说明理由; (2)若函数有且只有一个不动点,求此时t 的值;(3)将函数图象向下平移(0)m m >个单位长度,4t -时,判断平移后函数不动点的个数. 【解答】解:(1)1-是函数y 的不动点;0不是函数y 的不动点;理由如下: 当0t =时,23y x x =--, 当1x =-时,1y x =-=, 当0x =时,30y =-≠,1∴-是函数y 的不动点;0不是函数y 的不动点.(2)由不动点的定义可知,函数的不动点在y x =上, 当1t =-时,函数3y x =-,此时函数没有不动点; 当1t ≠-时,令2(1)(21)3x t x t x =+-+-,整理得,2(1)(22)30t x t x +-+-=, 函数有一个不动点,∴△2(22)12(1)0t t =+++=,整理得4(1)(4)0t t ++=,1t ∴=-(舍)或4t =-;综上可知,符合题意的t 的值为4-;(3)向下平移后的函数为:2(1)(21)3y t x t x m =+-+--, 当1t =-时,3y x m =--,函数没有不动点; 当1t ≠-时,令2(1)(21)3x t x t x m =+-+--, 整理得,2(1)(22)30t x t x m +-+--=,∴△2(22)(1)(3)0t t m =++++=,整理得△4(1)(4)t t m =+++,0m >,4t -,40t m ∴++>,当41t -<-时,△0<,平移后函数不动点的个数为0个; 当1t =-时,不是二次函数;当1t >-时,△0>,平移后函数不动点的个数为2个.综上可知,当41t --时,平移后函数不动点的个数为0个;当1t >-时,平移后函数不动点的个数为2个.6.在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点,定义1(P x ,1)y ,2(Q x ,2)y 两点之间的“直角距离”为1212(,)||||d P O x x y y =-+-,二次函数234y x x =-+的图象如图所示. (1)点A 为图象与y 轴的交点,点(1,)B b -在该二次函数的图象上,求(,)d A B 的值. (2)点C 是二次函数234(0)y x x x =-+图象上的一点,记点C 的横坐标为m . ①求(,)d O C 的最小值及对应的点C 的坐标.②当1t m t +时,(,)d O C 的最大值为p ,最小值为q ,若34p q -=,求t 的值.【解答】解:(1)把0x =代入234y x x =-+,得4y =,∴点A 坐标为(0,4),把(1,)b -代入234y x x =-+,得1348b =++=,∴点B 坐标为(1,8)-,(,)|10||84|5d A B ∴=--+-=.(2)①223734()24y x x x =-+=-+,∴抛物线开口向上,顶点坐标为3(2,7)4,74y∴, 点C 在抛物线上,2(,34)C m m m ∴-+,2(,)|0||340|d O C m m m ∴=-+-+-,0m ,27344m m -+, (d O ∴,22)24(1)3C m m m =-+=-+,∴当1m =时,(,)d O C 最小值为3,此时点C 坐标为(1,2). ②(d O ,2)(1)3C m =-+,∴当01m <时,(,)d O C 随m 增大而减小,当1m 时,(,)d O C 随m 增大而增大,把m t =代入(d O ,2)(1)3C m =-+得(d O ,2)(1)3C t =-+, 把1m t =+代入入(d O ,2)(1)3C m =-+得2(,)3d O C t =+, 当111t t +-=-时,12t =,当102t<时,(,)d O C 的最小值3q =,最大值2(1)3p t =-+, 23(1)4p q t -=-=,解得312t =+(不符合题意,舍去),312t =-, 当112t <时,(,)d O C 的最小值3q =,最大值23p t =+, 234p q t -==, 解得32t =,32t =-(不符合题意,舍去).当1t >时,(,)d O C 的最小值2(1)3q t =-+,最大值23p t =+, 223(1)4p q t t -=--=, 解得78t =(不符合题意,舍去), 综上所述,312t =-或32. 7.定义:如图,已知点M 是一次函数3y x =图象上的一个动点,M 的半径为2,线段OM 与M 交于点A .若点P 在M 上,且满足2PA =,则称点P 为M 的“等径点”. (1)若点M 的横坐标为3时,M 的“等径点”是 (1,33)或(4,23) ; (2)若M 的“等径点” P 恰好在y 轴上,求圆心M 的坐标;(3)若M 的“等径点” P 在二次函数22323y x x =++的图象上,求点P 的坐标.【解答】解:(1)点M 在一次函数3y x =图象上,∴可设点M 的坐标为(3)a a ,过点M 作MN x ⊥轴于点N , 则||ON a =,|3|MN a =, 2||OM a ∴=,30OMN ∴∠=︒,60MON ∠=︒.①点P 为M 的“等径点”,且当点P 在OM 左侧时,如下图所示,2PA PM AM ===, PAM ∴∆是等边三角形,60PMA MON ∴∠=∠=︒, //PM x ∴轴, (2,3)P a a ∴-;②点P 为M 的“等径点”,且当点P 在OM 右侧时,如下图所示,设AP '与MN 交于点Q ,此时60P AM MON ∠'=∠=︒, //P A x ∴'轴, MN AP ∴⊥',90MQP ∴∠'=︒,30QMP ∠'=︒,1QP ∴'=,MQ =(P a ∴'+.当点M 横坐标为3时,3a =,则M 的“等径点”是或(4,;故答案为:或(4,;(2)由(1)知,M 的“等径点” P 为()a -或(a +-. 当M 的“等径点” P 恰好在y 轴上,则点P 的横坐标为0, 20a ∴-=或10a +=,解得2a =或1a =-,∴点M 的坐标为(2,或(1,-;(3)由(1)知,M 的“等径点” P 为()a -或(a +-.令2x a =-,y =,则y =+;令1x a =+,y =-y =-M ∴的“等径点” P 在直线y =+上或直线y =-令2y x =+++,解得0x =或x =∴点P 的坐标为(0,或(3-+.令2y x =++-,方程无解.综上所述:点P 的坐标为(0,或(3-+.8.定义:若抛物线2111()y a x h k =++与抛物线2222()y a x h k =++.同时满足214a a =-且2114k k =-,则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”. (1)已知抛物线2114y x bx c =-++与2223y x x =--是一对共轭抛物线,求1y 的解析式;(2)如图1,将一副边长为2的形式,若以BC 中点为原点,直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系,设经过点A ,E ,D 的抛物线为1y ,经过A 、B 、C 的抛物线为2y ,请立接写出1y 、2y 的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线.【解答】解:(1)22223(1)4y x x x =--=--, 21a ∴=,1h =-,24k =-,抛物线2114y x bx c =-++与2223y x x =--是一对共轭抛物线,21144a a ∴==--,1h =-且21164k k ==-, 22111163(1)164424y x x x ∴=--+=-++.(2)由题意可得,42DF AF ==4AG GF DG GF ====, 2EG =,2HG =,4BC =,2OF =,点O 为BC 的中点, 2BO OC ∴==,(2,0)B ∴-,(2,0)C ,(4,6)A -,(4,6)D ,(0,8)E ,∴可设抛物线11(4)(4)6y a x x =+-+,与抛物线22(2)(2)y a x x =+-,11668a ∴-+=,2(42)(42)6a -+--=,解得:118a =-,212a =,∴抛物线2111(4)(4)6888y x x x =-+-+=-+,抛物线2211(2)(2)222y x x x =+-=-,118a ∴=-,0h =,18k =,212a =,0h =且22k =-, 11(2)82-⨯-=,1824-⨯=-, ∴满足214a a =-且2114k k =-,1y ∴、2y 是一对共轭抛物线.9.阅读理解:我们把一条直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,用小写字母k 表示.一般的,直线(0)y kx b k =+≠中的k ,叫做这条直线的斜率,则有tan k α=.探究发现:某数学兴趣小组利用以上材料,通过多次验证和查阅资料探究得出:经过两点1(P x ,1)y ,2(Q x ,212)()y x x ≠的直线y kx b =+的斜率为:2121PQ y y k x x -=-. 启发应用:(1)应用以上结论直接写出过(3,2)A ,(1,2)B -两点的直线AB 的斜率k 为 2 ; 深入探究:数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题,得到结论:任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积是定值.(2)①已知(6,1)C --,(2,9)D ,(0,2)E ,(10,6)F -,当直线CD 与直线EF 互相垂直时,请求出直线CD 与直线EF 的斜率之积;②事实上,任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时,这两条直线的斜率之积是定值,由①可知这个定值为 .③如图,M 为以点M 为圆心,MN 的长为半径的圆.已知(1,2)M ,(3,5)N ,请结合(2)中的结论,求出过点N 的M 的切线l 的解析式.【解答】解:(1)根据题目中的新概念可知:22213k --==-. 故答案为:2.(2)①(6,1)C --,(2,9)D ,(0,2)E ,(10,6)F -,∴直线CD 的斜率为:9(1)52(6)4CD k --==--,直线EF 的斜率为:6241005EF k --==--, 1CD EF k k ∴⋅=-,∴直线CD 与直线EF 的斜率之积为1-,②由①可得这个定值为:1-, 故答案为:1-.③设直线MN 的解析式为:11y k x b =+, 切线的解析式为y kx b =+, ∴1111253k b k b =+⎧⎨=+⎩,132k ∴=,112b =, ∴直线MN 的解析式为:3122y x =+, 圆的切线与过切点的半径垂直, 11k k ∴=-,132k =, 23k ∴=-,把(3,5)N 代入y kx b =+, 得:35k b +=,把23k =-代入35k b +=,得:7b =,∴切线的解析式为273y x =-+.10.在平面直角坐标系xOy 中.O 的半径为1,对于直线l 和线段AB ,给出如下定义:若将线段AB 关于直线l 对称,可以得到O 的弦(A B A ''',B '分别为A ,B 的对应点),则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”.例如:在图1中,线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”.(1)如图2,点1A ,1B ,2A ,2B ,3A ,3B 的横、纵坐标都是整数.①在线段11A B ,22A B ,33A B 中,O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是 11A B ; ②若线段11A B ,22A B ,33A B 中,存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”,则m = ;(2)已知直线3(0)3y x b b =-+>交x 轴于点C ,在ABC ∆中,3AC =,1AB =.若线段AB 是O 的关于直线3(0)3y x b b =-+>对称的“关联线段”,直接写出b 的最大值和最小值,以及相应的BC长.【解答】解:(1)①分别画出线段11A B ,22A B ,33A B 关于直线2y x =+对称线段,如图, 发现线段11A B 的对称线段是O 的弦,∴线段11A B ,22A B ,33A B 中,O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ,故答案为:11A B ;②从图象性质可知,直线y x m =-+与x 轴的夹角为45︒,∴线段11A B ⊥直线y x m =-+,∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上,显然不可能是O 的弦,线段335A B =O 的最长的弦为2,∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦,线段22A B 是O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”,而线段22//A B 直线y x m =-+,线段22A B∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ,且线段22A B ''=平移这条线段,使其在O 上,有两种可能, 第一种情况:2A '、2B '的坐标分别为(0,1)、(1,0), 此时3m =;第二种情况:2A '、2B '的坐标分别为(1,0)-、(0,1)-, 此时2m =, 故答案为:3或2;(2)直线(0)y x b b =+>交x 轴于点C ,当0y =时,0y b =+=,解得:x =,OC ∴,b 最大时就是OC 最大, b 最小时就是CO 长最小,线段AB 是O 的关于直线(0)y x b b =+>对称的“关联线段”,∴线段AB 关于直线y b =+对称线段A B ''在O 上, 3AC AC ∴''==,在△A CO '中,AC OA OC AC OA '-''+',∴当A '为(1,0)-时,如图3,OC 最小,此时C 点坐标为(2,0),将点C 代入直线y b =+中,20b +=,解得:b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D , 1A B AO B O ''='='=, 60B A D ∴∠''=︒,12A D ∴'=,32B D '=,15322CD ∴=-=,在Rt △B DC '中,2253()()722B C '=+=;∴当A '为(1,0)时,如图3,OC 最大,此时C 点坐标为(4,0),将点C 代入直线33y x b =-+中, 3403b -⨯+=,解得:433b =, 过点B '作B D AC '⊥'于点D , 1A B AO B O ''='='=, 60B A D ∴∠''=︒,12A D ∴'=,32B D '=,17322CD ∴=+=,在Rt △B DC '中,2273()()1322B C '=+=,b ∴的最大值为433,13BC =;最小值为233,7BC =.11.我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线(x n n =为常数)对称,则把该函数称之为“()X n 函数”. (1)在下列关于x 的函数中,是“()X n 函数”的,请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“()X n 函数”的打“⨯”. ①(0)my m x=≠ ⨯ ②|2|y x = ③225y x x =+-(2)若关于x 的函数||(y x h h =-为常数)是“X (2)函数”,与||(my m x=为常数,0)m >相交于(A A x ,)A y 、(B B x ,)B y 两点,A 在B 的左边,4B A x x -=,求m 的值;(3)若关于x 的“()X n 函数” 24(y ax bx a =++,b 为常数)经过点(1,1)-,且1n =,当1t x t -时,函数的最大值为1y ,最小值为2y ,且122y y -=,求t 的值.【解答】解;(1)①设(,)m a a 关于x n =对称的点为(2,)mn a a-,令2x n a =-,则2my n a=-,若2m m n a a=-,则a n =, ∴(0)m y m x =≠不是“()X n 函数”; ②设(,|2|)a a 关于x n =对称的点为(2,|2|)n a a -,令2x n a =-,则|2(2)||42|y n a n a =-=-,若|42||2|n a a -=,则a n =或0n =,|2|y x ∴=是“(0)X 函数”; ③设2(,25)a a a +-关于x n =对称的点为2(2,25)n a a a -+-,令2x n a =-,则2(2)2(2)5y n a n a =-+--,若2225(2)2(2)5a a n a n a +-=-+--,则有n a =或1n =-,225y x x ∴=+-是“(1)X -函数”;故答案为:⨯,√,√;(2)|y x =一|h 是“X (2)”函数, 2h ∴=,如图,2y x =-与x 轴交于C 点,与y 轴交于D 点,作AM x ⊥轴交于M 点,BN x ⊥轴交于N 点,(2,0)C ∴,(0,2)D -,45BCN OCD ∴∠=∠=︒,由对称性可知,45ACM OCD ∠=∠=︒,AM CM ∴=,BN CN =,4B A x x -=,4MN ∴=,设CN x =,则4MC x =-,(2B ∴十x ,)x ,(2,4)A x x --,(2)(2)(4)0x x x x ∴++--=,1x ∴=,(3,1)B ∴,3m ∴=;(3)由题意得4112a b b a-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩, ∴此“()X n 函数”为224y x x =-++,①当1t <时,x t =时,2124y t t =-++,1x t =-时,22(1)y t =--十2(1)4t -+,2212(24)[(1)2(1)4]232y y t t t t t -=-++---+-+=-+=,12t ∴=; ②当11t -,即2t 时,1x t =-时,21(1)y t =--十2(1)4t -+,x t =时,2224y t t =-++,1y 一222(1)2(1)4(24)232y t t t t t =--+-+--++=-=,52t ∴=; ③当312t <时, 1x =时,15y =,1x t =-时,22(1)y t =--十2(1)4t -+,22125[(1)2(1)4]442y y t t t t -=---+-+=-+=,2t ∴=±(舍去):④322t <时, 1x =时,15y =,x t =时,2224y t t =-++,22125(24)212y y t t t t -=--++=-+=,12t ∴=±(舍去), 综上所述:12或52.12.定义:我们把一次函数(0)y kx b k =+≠与正比例函数y x =的交点称为一次函数(0)y kx b k =+≠的“不动点”.例如求21y x =-的“不动点”:联立方程21y x y x =-⎧⎨=⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩,则21y x =-的“不动点”为(1,1). (1)由定义可知,一次函数32y x =+的“不动点”为 (1,1)-- ;(2)若一次函数y mx n =+的“不动点”为(2,1)n -,求m 、n 的值;(3)若直线3(0)y kx k =-≠与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,且直线3y kx =-上没有“不动点”,若P 点为x 轴上一个动点,使得3ABP ABO S S ∆∆=,求满足条件的P 点坐标.【解答】解:(1)联立32y x y x =+⎧⎨=⎩, 解得11x y =-⎧⎨=-⎩, ∴一次函数32y x =+的“不动点”为(1,1)--,故答案为:(1,1)--;(2)一次函数y mx n =+的“不动点”为(2,1)n -,12n ∴-=,3n ∴=,∴ “不动点”为(2,2),223m ∴=+, 解得12m =-; (3)直线3y kx =-上没有“不动点”,∴直线3y kx =-与直线y x =平行,1k ∴=,3y x ∴=-,(3,0)A ∴,(0,3)B -,设(,0)P t ,|3|AP t ∴=-,1|3|32ABP S t ∆∴=⨯-⨯, 1332ABO S ∆=⨯⨯, 3ABP ABO S S ∆∆=,|3|9t ∴-=,12t ∴=或6t =-,(6,0)P ∴-或(12,0)P .13.对某一个函数给出如下定义:如果存在实数M ,对于任意的函数值y ,都满足y M ,那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M 中,其最小值称为这个函数的上确界.例如,图中的函数2(3)2y x =--+是有上界函数,其上确界是2.(1)函数①221y x x =++和②23(2)y x x =-中是有上界函数的为 ② (只填序号即可),其上确界为 ;(2)如果函数2(,)y x a x b b a =-+>的上确界是b ,且这个函数的最小值不超过21a +,求a 的取值范围;(3)如果函数222(15)y x ax x =-+是以3为上确界的有上界函数,求实数a 的值.【解答】解:(1)①2221(1)0y x x x =++=+,∴①无上确界;②23(2)y x x =-,1y ∴,∴②有上确界,且上确界为1,故答案为:②,1;(2)2y x =-+,y 随x 值的增大而减小,∴当a x b 时,22b y a -+-+,上确界是b ,2a b ∴-+=,函数的最小值不超过21a +,221b a ∴-++,1a ∴-,b a >,2a a ∴-+>,1a ∴<,a ∴的取值范围为:11a -<;(3)222y x ax =-+的对称轴为直线x a =,当1a 时,y 的最大值为251022710a a -+=-, 3为上确界,27103a ∴-=,2.4a ∴=(舍);当5a 时,y 的最大值为12232a a -+=-, 3为上确界,323a ∴-=,0a ∴=(舍);当13a <时,y 的最大值为251022710a a -+=-, 3为上确界,27103a ∴-=,2.4a ∴=;当35a <<时,y 的最大值为12232a a -+=-, 3为上确界,323a ∴-=,0a ∴=,综上所述:a 的值为2.4.14.对某一个函数给出如下定义:若存在实数0m >,对于任意的函数值y ,都满足m y m -,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的m 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,如图中的函数是有界函数,其边界值是1.将函数21(2,0)y x x t t =-+-的图象向上平移t 个单位,得到的函数的边界值n 满足9542n 时,则t 的取值范围是 1324t 或5342t .【解答】解:由题干可得函数21y x t =-++在2x t -时,函数最大值或最小值为n ,9542n , 0t >,抛物线21y x t =-++开口向下,顶点坐标为(0,1)t +,1t ∴+为函数最大值,当512t +=时,32t =, 302t ∴<, 当2t =时,直线2x =-与直线x t =与抛物线交点关于对称轴对称, 302t ∴<时,直线2x =-与抛物线交点为最低点, 把2x =-代入21y x t =-++得3y t =-+,当532t -+=-时,12t =, 12t ∴, 当95142t +时,5342t , 当59324t --+-时,1324t , ∴1324t 或5342t 满足题意. 故答案为:1324t 或5342t . 15.定义:若实数x ,y 满足2x y t =+,2y x t =+,且x y ≠,t 为常数,则称点(,)x y 为“轮换点”.例如,点(1,2)-满足:2123=-+,2(2)13-=+,则点(1,2)-是“轮换点”.已知:在直角坐标系xOy 中,点(,)A m n .(1)1(3,2)A -和2(2,3)A -两点中,点 2A 是“轮换点”;(2)若二次函数21(0)y ax bx c a =++≠上有且仅有一个“轮换点”,且满足:①当1x =时,8y =,②241b ac -=,求二次函数解析式;(3)若点A 是“轮换点”,用含t 的代数式表示m n ⋅,并求t 的取值范围.【解答】解:(1)根据实数x ,y 满足2x y t =+,2y x t =+,且x y ≠,t 为常数,则称点(,)x y 为“轮换点”,1(3,2)A -,则23211=-+,此时2(2)311-≠+,1(3,2)A ∴-不是轮换点;2(2,3)A -,则2237=-+,此时2(3)27-=+,2(2,3)A ∴-是轮换点.故答案为:2A ;(2)设点(,)m n 是轮换点,由题意可知:2m n t =+①,且2n m t =+②,①-②得到:22m n n m -=-,即:(1)()0m n m n ++-=, 10m n ∴++=或0m n -=;当m n =时,则2am bm c m ++=,即:2(1)0am b m c +-+=,二次函数21(0)y ax bx c a =++≠上有且仅有一个“轮换点”, 2(1)0am b m c ∴+-+=有两个相等的根,即:2(1)40b ac --=, 又241b ac -=,22211b b b ∴-+=-,解得:b l =,40ac ∴=,且0a ≠,0c ∴=,当1x =时,8y =,8a b c ∴++=,7a ∴=,217y x x ∴=+;当10m n ++=时,21am bm c m ∴++=--,即:2(1)10am b m c ++++=,同理得:2(1)4(1)0b a c +-+=,241b ac -=,21b a ∴=-;8a b c ++=,93c a ∴=-,241b ac -=,216400a a ∴-=, 解得:52a =或0a = (舍去), 4b ∴=,32c =, 2153422y x x ∴=++, 综上所述,二次函数解析式为:217y x x =+或2153422y x x =++; (3)点(,)A m n 是“轮换点”,2m n t ∴=+①,2n m t =+②,①-②得:220m n m n -+-=,()(1)0m m m n ∴-++=,由“轮换点“定义可知:m n ≠,10m n ∴++=,1m n ∴+=-,①+②得:222m m n n t -+-=,222()21m n t m n t ∴+=++=-,2()221m n mn t ∴+-=-,1221mn t ∴-=-,1mn t ∴=-,m n ≠,2()0m n ∴->,2220m mn n ∴-+>,2()40m n mn ∴+->,把1m n +=-代入,得:140mn ->,14mn ∴<, 114t ∴-<, 34t ∴>, 故1mn t =-,34t >. 16.二次函数图象是抛物线,抛物线是指平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹.其中定点F 叫抛物线的焦点,定直线l 叫抛物线的准线. ①抛物线2(0)y ax a =≠的焦点为1(0,)4F a ,准线为14y a =-,例如,抛物线213y x =的焦点是3(0,)4F ;准线是34y =-;抛物线23y x =-的焦点是 是1(0,)12- 准线是 ; ②将抛物线2(0)y ax a =≠向右平移h 个单位、再向上平移k 个单位(0,0)h k >>,可得抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠;因此抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠的焦点是1(,)4F h k a +,准线为14y k a =-+.例如,抛物线2113y x =+的焦点是7(0,)4F ,准线是14y =;抛物线21(1)2y x =+的焦点是 准线为 .根据以上材料解决下列问题:(1)完成题中的填空;(2)已知二次函数的解析式为221y x x =+-.①求其图象的焦点F 的坐标以及准线解析式;②求过点F 且与x 轴平行的直线与二次函数221y x x =+-图象交点的坐标. ③抛物线上一点P ,点P 与坐标原点O 、F 点构成三角形,求POF ∆周长的最小值,以及P点的坐标.【解答】解:(1)①根据新定义,可得11144(3)12y a ===-⨯-, 所以抛物线23y x =-的焦点是1(0,)12-; 故答案是:1(0,)12-;112x =-; ②根据新定义,可得1h =-,111014242k a +=+=⨯,所以抛物线21(1)2y x =+的焦点是1(1,)2-,准线是12y =-;故答案是:1(1,)2-;12y =-;(2)①将221y x x =+-化为顶点式得:2(1)2y x =+- 根据新定义,可得1h =-,11724414k a +=-=-⨯, 所以可得抛物线221y x x =+-的焦点坐标7(1,)4F --,准线解析式为94y =-;②由①知7(1,)4F --,所以过点F 且与x 轴平行的直线是74y =-,将74y =-代入221y x x =+-得:27214x x -=+-,解得:12x =-或32x =-,所以,过点F 且与x 轴平行的直线与二次函数221y x x =+-图象交点的坐标为17(,)24--和37(,)24--. ③二次函数图象是抛物线,抛物线是指平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹.过原点O 向二次函数221y x x =+-的准线94y =-作垂线.P ∴点坐标为(0,1)-.OPF ∴∆周长OF OP PF =++,PF PQ =,OP PQ OQ +=,OPF ∆周长OF PQ =+. OPF ∴∆周长的最小值即OP ⊥直线2y =-.|2|2OF OQ +=-=+OPF ∴∆周长的最小值为2+. P ∴点的坐标为(0,1)-,OPF ∆周长的最小值为2+.17.将抛物线2y ax =的图象(如图1)绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图象(如图2),记为21:C y x a=.【概念与理解】将抛物线214y x =和22y x =按上述方法操作后可得新的抛物线图象,记为:1:C 214y x =;2:C . 【猜想与证明】在平面直角坐标系中,点(,0)M x 在x 轴正半轴上,过点M 作平行于y 轴的直线,分别交抛物线1C 于点A 、B ,交抛物线2C 于点C 、D ,如图3所示. (1)填空:当1x =时,AB CD = ;当2x =时,ABCD= ; (2)猜想:对任意(0)x x >上述结论是否仍然成立?若成立,请证明你的猜想;若不成立,请说明理由. 【探究与应用】(3)利用上面的结论,可得AOB ∆与COD ∆面积比为 ;(4)若AOB ∆和COD ∆中有一个是直角三角形时,求COD ∆与AOB ∆面积之差; 【联想与拓展】(5)若抛物线23:C y mx =、24:(0)C y nx m n =<<,(,0)M k 在x 轴正半轴上,如图所示,过点M 作平行于y 轴的直线,分别交抛物线3C 于点A 、B ,交抛物线4C 于点C 、D .过点A 作x 轴的平行线交抛物线4C 于点E ,过点D 作x 轴的平行线交抛物线3C 于点F .对于x 轴上任取一点P ,均有PAE ∆与PDF ∆面积的比值1:3,请直接写出m 和n 之间满足的等量关系是 .【解答】解:【概念与理解】 根据题中的定义可知:211:4C y x =;22:C y x =; 故答案为:214y x =;2y x =; 【猜想与证明】(1)把1x =代入1C 中,得214y =, 12y ∴=±,1(1,)2A ∴,1(1,)2B -.1AB ∴=;把1x =代入2C 中,得21y =, 1y ∴=±,(1,1)C ∴,(1,1)D -. 2CD ∴=.∴12AB CD =. 把2x =代入1C 中,得212y =,y ∴=2A ∴,(1,2B .AB ∴=;把2x =代入2C 中,得22y =,y ∴=C ∴,(1,D .CD ∴=∴12AB CD ==. 故答案为:12;12.(2)成立,理由如下: 211:4C y x =,0x >,1y ∴=;2y =(A x ∴,(,B x ;AB ∴=;22:C y x =,0x >,1y ∴=2y =(A x ∴,(,B x ;AB ∴=12AB CD ==. 【探究与应用】(3)AOB ∆的面积12h AB =⋅;COD ∆的面积12h CD =⋅,111::222AOB COD S S h AB h CD ∆∆∴=⋅⋅=.故答案为:12. (4)①AOB ∆是直角三角形时,AM BM == OM AM ∴=,x ∴=,解得14x =或0x =(舍去); 14OM ∴=,12AB =,1CD =,11111112424216COD AOB S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=;当COD ∆中有一个是直角三角形时,CM DM =OM AM ∴=,则x =1x =或0x =(舍去); 1OM ∴=,1AB =,2CD =,1111211222COD AOB S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=.∴面积差为116或12; 【联想与拓展】(5)由题意23:C y mx =、24:(0)C y nx m n =<<,(,0)M k 在x 轴正半轴上, 当x k =时,2y mk =,2y nk =,解得y =或y =(A k ∴,(,B k ,(C k ,(,D k ,//AE x 轴,//DF x 轴,(mk E n ∴,(nkF m,, mk AE k n ∴=-,nkDF k m=-, 1()2PAE mk S k n ∆∴=-,1()2PDF nk S k m∆=-, PAE ∆与PDF ∆面积的比值1:3,11[()]:[()]1:322mk nkk k n m∴--=, 整理得,339n m =. 故答案为:339n m =.18.阅读下面的材料,再回答问题.我们知道利用换元法与整体的思想方法可以解方程,分解因式等等,还可以求函数的解析式等.一般地,函数解析式表达形式为:1y x =+,223y x x =+-,3y x =.还可以表示为:()1f x x =+,2()23f x x x =+-,3()f x x=的形式.我们知道()1f x x =+和()1f t t =+和()1f u u =+等表达的意思一样的.举个例子:2(1)f x x +=,设1x t +=,则1x t =-,2()(1)f t t =-,即2()(1)f x t =-.已知:函数2(1)2f x x x +=-,求函数()f x 的解析式.分析:我们可以用换元法设1x t +=来进行求解.解:设1x t +=,则1x t =-,所以222()(1)2(1)212243f t t t t t t t t =---=-+-+=-+.所以2()43f x x x =-+.看完后,你学会了这种方法了吗?亲自试一试吧! (1)若()1f x x =-,求(3)f x -; (2)(21)1f x x +=+,求()f x 的解析式;(3)若2(1)32f x x x -=-+,求(2)f x +的解析式. 【解答】(1)令3t x =-,则()(3)1314t x f t f x x -=-==--=- (2)令21x t +=,则12t x -=,所以11()122t t f t -+=+=,所以1()2x f x += (3)同理(2),可先求出()(1)23(1)22f x x x x x =+-++=-,再可求出(2)(2)2(2)232f x x x x x +=+-+=++19.阅读理解:对于任意正实数a 、b ,2()0a b -,20a ab b ∴-,2a b ab ∴+,只有当a b =时,等号成立.结论:在2(a b ab a +、b 均为正实数)中,若ab 为定值p ,则2a b p +,只有当a b =时,a b +有最小值2p(1)根据上述内容,回答下列问题:若0m >,只有当m = 3 时,9m m+有最小值 . (2)探索应用:如图,已知(3,0)A -,(0,4)B -,P 为双曲线12(0)y x x=>图象上的任意一点,过点P 作PC x ⊥轴于点C ,PD y ⊥轴于点D .求四边形ABCD 面积的最小值. (3)判断此时四边形ABCD 的形状,说明理由.【解答】解:(1)根据题意知,992m m m m +⋅9m m=. 当9m m=时, 解得:3m =或3-(不合题意舍去), 故当3m =时,9m m+有最小值,其最小值是6. 故答案是:3;6;(2)P 为双曲线12(0)y x x=>图象上的任意一点, ∴不妨可设12(,)p x x , 则(,0)C x ,12(0,)D x. ADC ABC ABCD S S S ∆∆=+四边形.∴1122ABCD S AC OD AC OB =⨯+⨯四边形 1()2AC OD OB =⋅+ 112(3)(4)2x x =+⋅+ 18212x x=++ 92()12x x=++.又90,0xx>>,∴由阅读理解中的结论可知:9926x x x x+⋅=, 所以当9(0)x x x=>时,即当3x =时,261224ABCD S =⨯+=四边形的最小值;(3)此时四边形ABCD 是菱形,理由如下:由(2)可知:当3x =时,此时点P 的坐标为(3,4)P ,∴5AB ==,5BC ==,5CD =,5DA =,AB BC CD AD ∴===,∴四边形ABCD 是菱形(四条边相等的四边形是菱形).另解:证34OA OC OD OB ====得四边形ABCD 是平行四边形, 再由AC BD ⊥知平行四边形ABCD 是菱形.20.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A 和B (点A 在点B 左侧),若ABC ∆是等腰三角形,则称抛物线2(0)y ax bx c a =++≠是“理想抛物线”. (1)判断抛物线24y x =-+是否为“理想抛物线”,并说明理由; (2)已知经过点(3,0)B 的抛物线2(0)y ax bx c a =++>是“理想抛物线”.①若点1(2,)P k y -,(1Q k -,211)(0)y y y ⋅>是抛物线上另两点,满足当4k >时,PB 与AQ 的交点始终在抛物线的对称轴上,且线段AC 的垂直平分线恰好经过点B ,求此抛物线的解析式;②是否存在整数c 使得||ABC S cn ∆=,且502n <?若存在,求出所有满足条件的整数c 的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)抛物线24y x =-+是“理想抛物线”,理由如下: 抛物线24y x =-+的对称轴为直线:0x =,∴该抛物线是关于y 轴对称,则点A 、B 关于y 轴对称,OC ∴垂直平分AB ,ABC ∴∆为等腰三角形,24y x ∴=-+是为“理想抛物线”;(2)①要满足ABC ∆是等腰三角形,则AB 可能为底边,也可能为腰; 当AB 为底边时,AC AB =,点A 、B 关于y 轴对称, 此时(3,0)B ,(3,0)A -,当4k >时,22k -<-,13k ->, 2P x ∴<-,3Q x >,AC 的垂直平分线恰好经过点B ,6BC AB ∴==,又ABC ∆是等腰三角形, 6AC AB BC ∴===, ABC ∴∆是等边三角形;又132OA AB ==,OC ∴=,(0,C ∴-;∴抛物线的交点式为:(3)(3)y a x x =+-,把点C 坐标代入,(03)(03)a -=+-.a ∴=(负值舍去),∴此时抛物线的解析式为:3)(3)y x x =+-; 当AB 为腰时,AB CB =,仍满足2P x <-,3Q x >, 120y y ⋅>,0a >,0P y ∴>,0Q y >,∴必有点P 在A 点上方,则(2,0)A -,对称轴直线12x =, 5CB AB ∴==, 3OB =,4OC ∴=,(0,4)C -,4c =-,又A B c x x a ⋅=,得23a =,32b =-;∴此时抛物线的解析式为:223432y x x =--; ②存在整数c 使得||ABC S cn ∆=,理由如下:OC 是ABC ∆的高,且0a >,开口向上,抛物线与x 轴有两个交点,1(3)||||2ABC A C S x y cn ∆∴=⋅-⋅=, 1||(3)2A n x ∴=⋅-, 502n<, 150(3)22A x ∴<⋅-, 解得23A x -<,则需要分两种情况,当20A x -<时,0c <,此时BA BC =,|3|A x ∴-=,解得22(3)9A c x =--,20A x -<,20(3)916A x ∴<--,即2016c <,此时,存在1c =-或2c =-或3c =-或4c =-满足题意; 当03A x <<时,0c >,此时,AB AC =,|3|A x ∴-296A c x =-,03A x <<,9969A x ∴-<-<,即209c <<,此时,存在1c =或2c =满足题意;综上可知,存在整数c 是使得||ABC S cn ∆=,且502n <,此时c 的值为1-或2-或3-或4-或1或2.21.对某一个函数给出如下定义:对于函数y ,若当a x b ,函数值y 满足m y n ,且满足()n m k b a -=-,则称此函数为“k 系和谐函数”.(1)已知正比例函数5(14)y x x =为“k 系和谐函数”,请求出k 的值;(2)若一次函数3(14)y px x =-为“3系和谐函数”,求p 的值;(3)已知二次函数22242y x ax a a =-+++,当11x -时,y 是“k 系和谐函数”,求k 的取值范围.【解答】解:(1)14x ,520y ∴,205(41)k ∴-=-,5k ∴=;(2)14x ,当0p >时,343p y p --,(43)(3)33p p ∴---=⨯,3p ∴=;当0p <时,433p y p --,3(43)33p p ∴---=⨯,3p ∴=-;综上所述:3p =±;(3)22222422()32y x ax a a x a a a =-+++=--++,当1x =时,262y a a =+-,当1x =-时,222y a a =--,当x a =时,232y a a =+,①当1a <-时,226222a a y a a +---,22(22)(62)(11)a a a a k ∴---+-=+,4k a ∴=-,4k ∴>;②当1a >时,226222a a y a a +---,22(62)(22)(11)a a a a k ∴+----=+,4k a ∴=,4k ∴>;③当10a -<时,226232a a y a a +-+,22(32)(62)(11)a a a a k ∴+-+-=+,2(1)k a ∴=-,14k ∴;④当01a 时,222232a a y a a --+,22(32)(22)(11)a a a a k ∴+---=+,2(1)k a ∴=+,14k ∴;综上所述:1k .22.【阅读理解】已知关于x ,y 的二次函数22222()2y x ax a a x a a =-++=-+,它的顶点坐标为(,2)a a ,故不论a 取何值时,对应的二次函数的顶点都在直线2y x =上,我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数,该条直线为根函数.【问题解决】(1)若二次函数223y x x =+-和243y x x =---是同源二次函数,求它们的根函数;(2)已知关于x ,y 的二次函数22:4441C y x mx m m =-+-+,完成下列问题: ①求满足二次函数C 的所有二次函数的根函数;②若二次函数C 与直线3x =-交于点P ,求点P 到x 轴的最小距离,并求出此时m 的值.【解答】解:(1)2223(1)4y x x x =+-=+-,∴该抛物线的顶点为(1,4)--;2243(2)1y x x x =---=-++,∴该抛物线的顶点坐标为(2,1)-.设经过点(1,4)--和点(2,1)-的直线的解析式为y kx b =+,∴421k b k b -+=-⎧⎨-+=⎩,。
专题24:新定义【知识梳理】【方法集会】解决此类题的关键是:(1)深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论; (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”; 归纳“举例”提供的做题方法;归纳“举例”提供的分类情况;(3)依据新定义,运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
【考点突破】考点1、点与点的特殊关系例1、在平面直角坐标系xOy 中,对于点(,)P a b 和点(,)Q a b ',给出如下定义:若,1,1≥b a b b a ⎧'=⎨-<⎩,则称点Q 为点P 的限变点.例如:点()2,3的限变点的坐标是()2,3,点()2,5-的限变点的坐标是()2,5--.(1)①点)的限变点的坐标是___________;②在点()2,1A --,()1,2B -中有一个点是函数2y x=图象上某一个点的限变点, 这个点是_______________;(2)若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上,其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是52≤≤b '-,求k 的取值范围;(3)若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上,其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是≥b m '或,其中m n >.令s m n =-,求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围.b n '<变式1、在平面直角坐标系x O y 中,对于点P (x ,y )和Q (x ,y ′),给出如下定义:如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩≥<,那么称点Q 为点P 的“关联点”.例如:点(5,6)的“关联点”为点(5,6),点(-5,6)的“关联点”为点(-5,-6). (1)① 点(2,1)的“关联点”为 ;② 如果点A (3,-1),B (-1,3)的“关联点”中有一个在函数3y x=的图象上,那么这个点是 (填“点A ”或“点B ”).(2)① 如果点M ※(-1,-2)是一次函数y = x + 3图象上点M 的“关联点”,那么点M 的坐标为 ;② 如果点N ※(m +1,2)是一次函数y = x + 3图象上点N 的“关联点”,求点N 的坐标. (3)如果点P 在函数y =-x 2+4(-2<x ≤a )的图象上,其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是-4<y ′≤4,那么实数a 的取值范围是 .例2、 在平面直角坐标系中,如果点P 的横坐标和纵坐标相等,则称点P 为和谐点.例如点(1,1),(31-,31-),(2-,2-),…,都是和谐点. (1)分别判断函数12+-=x y 和12+=x y 的图象上是否存在和谐点,若存在,求出其和谐点的坐标;(2)若二次函数)0(42≠++=a c x ax y 的图象上有且只有一个和谐点(23,23),且当m x ≤≤0时,函数)0(4342≠-++=a c x ax y 的最小值为-3,最大值为1,求m 的取值范围.(3)直线2:+=kx y l 经过和谐点P ,与x 轴交于点D ,与反比例函数xny G =:的图象交于M ,N 两点(点M 在点N 的左侧),若点P 的横坐标为1,且23<+DN DM ,请直接写出n 的取值范围.变式1、对于平面直角坐标系 xOy 中的点P (a ,b ),若点P '的坐标为(kba +,ka +b )(其中k为常数,且k≠0),则称点P′为点P的“k属派生点”.例如:P(1,4)的“2属派生点”为P'(1+42,214⨯+),即P'(3,6).(1)①点P(—1,—2)的“2属派生点”P'的坐标为____________;②若点的“k属派生点”P′的坐标为(3,3),请写出一个符合条件的点P的坐标____________;(2)若点P在x轴的正半轴上,点P的“k属派生点”为P'点,且△OPP′为等腰直角三角形,则k的值为_______;(3)如图, 点Q的坐标为(0,,点A在函数y=0x<)的图象上,且点A 是点B的“,当线段B Q最短时,求B点坐标.考点2、点和直线的特殊关系例1、如图,在平面直角坐标系中,已知点A (2,3)、B (6,3),连结AB . 若对于平面内一点P ,线段AB 上都存在点Q ,使得PQ ≤1,则称点P 是线段AB 的“邻近点”.(1)判断点D ,是否线段AB 的“邻近点” (填“是”或“否”);(2)若点H (m ,n )在一次函数的图象上,且是线段AB 的“邻近点”,求m 的取值范围.(3)若一次函数的图象上至少存在一个邻近点,直接写出b 的取值范围.变式1、定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ,在△MPQ 中,当PQ 边上的高为2时,称M 为PQ 的“等高点”,称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离”. (1)若P (1,2),Q (4,2) . ①在点A (1,0),B (25,4),C (0,3)中,PQ 的“等高点”是 ; ②若M (t ,0)为PQ 的“等高点”,求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值. (2)若P (0,0),PQ =2,当PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时,直接 写出点Q 的坐标.变式2、对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ,给出如下定义:在线段AB 外有一点P ,如果在线段AB 上存在两点C 、D ,使得∠CPD =90°,那么就把点P 叫做线段AB 的悬垂点.719(,)551-=x y y x b =+(1)已知点A (2,0),O (0,0)①若1(1,)2C ,D (1,1),E (1,2),在点C ,D ,E 中,线段AO 的悬垂点是______;②如果点P (m ,n )在直线1y x =-上,且是线段AO 的悬垂点,求m 的取值范围;(2)如下图是帽形M (半圆与一条直径组成,点M 是半圆的圆心),且圆M 的半径是1,若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点,求此线段长的取值范围.考点3、有关图像之间特殊距离的新定义例1、给出如下规定:两个图形1G 和2G ,点P 为1G 上任一点,点Q 为2G上任一点,如果线段PQ 的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形1G 和2G 之间的距离.在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点.(1)点A 的坐标为A (1,0)则点B (2,3)和射线OA 之间的距离为__________, 点C (-2,3)和射线OA 之间的距离为_________; (2)如果直线y=x 和双曲线xky =之间的距离为2,那么k =_______;(可在图1中进行研究)(3)点E 的坐标为(1,3),将射线OE 绕原点O 逆时针旋转 60,得到射线OF ,在坐标平面内所有和射线OE ,OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M .①请在图2中画出图形M ,并描述图形M 的组成部分;(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)②将射线OE,OF 组成的图形记为图形W ,抛物线22-=x y 与图形M 的公共部分记为图形N ,请直接写出图形W 和图形N 之间的距离变式1、设点Q 到图形W 上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W 的距离.例如正方形ABCD 满足A (1,0),B (2,0),C (2,1),D (1,1),那么点O (0,0)到 正方形ABCD 的距离为1.(1)如果⊙P 是以(3,4)为圆心,1为半径的圆,那么点O (0,0)到⊙(2)①求点(3,0)M 到直线21y x =+的距离;(3)如果点(0,)G b 到抛物线2y x =的距离为3,请直接写出b 的值.变式2、在平面直角坐标系xOy 中,给出如下定义:若点P 在图形M 上,点Q 在图形N 上,称线段PQ 长度的最小值为图形M ,N 的密距,记为d (M ,N ).特别地,若图形M ,N 有公共点,规定d (M ,N )=0. (1) 如图1,⊙O 的半径为2,①点A (0,1),B (4,3),则d (A ,⊙O )= ,d (B ,⊙O )= . ②已知直线l :b x y +=43与⊙O 的密距d (l ,⊙O )=56,求b 的值.(2) 如图2,C 为x 轴正半轴上一点,⊙C 的半径为1,直线33433+=x y -与x 轴交于点D ,与y 轴交于点E ,线段..DE 与⊙C 的密距d (DE ,⊙C )<21.请直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围.考点4、有关函数的新定义例1、对某一个函数给出如下定义:若存在实数0M >,对于任意的函数值y ,都满足M y M -≤≤,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的M 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,下图中的函数是有界函数,其边界值是1.(1)分别判断函数1y x=()0x >和()142y x x =+-<≤是不是有界函数?若是有界函数,求其边界值;(2)若函数1y x =-+()a x b b a ≤≤>,的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b 的取值范围;(3)将函数()210y x x m m =-≤≤≥,的图象向下平移m 个单位,得到的函数的边界值是t ,当m 在什么范围时,满足314t ≤≤?变式1、若y 是关于x 的函数,H 是常数(H >0),若对于此函数图象上的任一两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),都有|y 1-y 2|≤H ,则称该函数为有界函数,其中满足条件的所有常数H 的最小值,称为该函数的界高。
拓展题型(二) 新定义或新概念问题在新定义或新概念的题目中,首要都是理解新运算或新概念,然后通过模仿、类比或归纳解决问题.新定义只要能转化为通常的运算,再按照常规运算顺序进行计算即可.新概念类的题目则要求我们通过阅读,理解新概念,总结和发现新规律,进而求解.1.设a ,b ,c ,d 为实数,现规定一种新的运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d =ad -bc ,则满足等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2 x +13 2 1=1的x 的值为-10. 2.(2016·雅安)P 为正整数,现规定P !=P(P -1)(P -2)…×2×1.若m !=24,则正整数m =4.3.(2014·成都)在边长为1的小正方形组成的方格纸中,称小正方形的顶点为“格点”,顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”.格点多边形的面积记为S ,其内部的格点数记为N ,边界上的格点数记为L ,例如,图中三角形A BC 是格点三角形,其中S =2,N =0,L =6;图中格点多边形DEFGHI 所对应的S ,N ,L 分别是7,3,10.经探究发现,任意格点多边形的面积S 可表示为S =aN +bL +c ,其中a ,b ,c 为常数,则当N =5,L =14时,S =11.(用数值作答)4.(2015·资阳)已知抛物线p :y =ax 2+bx +c 的顶点为C ,与x 轴相交于A ,B 两点(点A 在点B 左侧),点C 关于x 轴的对称点为C′,我们称以A 为顶点且过点C′,对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线,直线AC′为抛物线p 的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y =x 2+2x +1和y =2x +2,则这条抛物线的解析式为y =x 2-2x -3. 5.(2016·南充二诊改编)对于正数x ,规定f (x)=x 1+x ,例如f (2)=21+2=23,f(13)=131+13=14,根据规定,计算f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 017)+f(12)+f(13)+f(14)+…+f(12 017)=2_01612. 6.(2015·成都)如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,正确的是②③.(写出所有正确说法的序号)①方程x 2-x -2=0是倍根方程;②若(x -2)(mx +n)=0是倍根方程,则4m 2+5mn +n 2=0;③若点(p ,q)在反比例函数y =2x的图像上,则关于x 的方程px 2+3x +q =0是倍根方程; ④若方程ax 2+bx +c =0是倍根方程,且相异两点M(1+t ,s),N(4-t ,s)都在抛物线y =ax 2+bx +c 上,则方程ax 2+bx +c =0的一个根为54. 7.(2016·巴中)定义新运算:对于任意实数m ,n 都有m☆n=m 2n +n ,等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算.例如:-3☆2=(-3)2×2+2=20.根据以上知识解决问题:若2☆a 的值小于0,请判断方程:2x 2-bx +a=0的根的情况.解:∵2☆a 的值小于0,∴22a +a =5a <0,解得a <0.在方程2x 2-bx +a =0中,Δ=(-b)2-8a≥-8a >0,∴方程2x 2-bx +a =0有两个不相等的实数根.。
新概念型问题
考点二:运算题型中的新概念
2.(2012•株洲)若(x1,y1)•(x2,y2)=x1x2+y1y2,则(4,5)•(6,8)=.
考点三:探索题型中的新概念
例3 (2012•南京)如图,A、B是⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B 重合)、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角.
(1)已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角,
①若AB是⊙O的直径,则∠APB=°;
②若⊙O的半径是1,AB=,求∠APB的度数;
(2)已知O2是⊙O1外一点,以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B
两点,∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交⊙O2
于M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索∠APB
与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.
对应训练
3.(2012•陕西)如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴
有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的
三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)“抛物线三角形”一定是三角形;
(2)若抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直
角三角形,求b的值;
(3)如图,△OAB是抛物线y=-x2+b′x(b′>0)的“抛物线三
角形”,是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在,
求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.
A.(7,6)B.(7,-6)C.(-7,6)D.(-7,-6)。
中考数学分类(含答案)新看法形一、1 .(2010 安徽蚌埠)S n =a 1 a 2a nnS 1 S 2S n ,称 T na 1 a 2,⋯⋯,,令 T,na n 列数的“理想数”。
已知 a 1 ,a 2 ,⋯⋯,a 500 的“理想数” 2004 ,那么 8 ,a 1 ,a 2 ,⋯⋯,a 500 的“理想数”A .200 4B .2006C .2008D .2010【答案】 C 2 .( 2010浙江杭州) 定 [ a,b,c ] 函数 yax 2 bx c 的特色数 , 下面 出特色数[2 m , 1 – m , –1 – m ]的函数的一些 :① 当 m = – 3 ,函数 象的 点坐 是 ( 1 , 8);33② 当 m > 0 ,函数 象截 x 所得的 段 度大于3;2③ 当 m < 0 ,函数在x > 1, y 随 x 的增大而减小;4④ 当 m0 ,函数 象 同一个点.其中正确的 有 A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④【答案】 B3 .( 2010 浙江宁波)《几何原来》的 生, 志着几何学已成 一个有着 密理 系 和 科学方法的学科,它确定了 代数学的基 . 它是以下哪位数学家的著作 (A) 欧几里得 (B)(C) 笛卡(D) 刘徽【答案】 A4 .(2010 山 ) 把一个 形先沿着一条直 行 称 ,再沿着与 条直 平行的方向平移, 我 把 的 形 叫做滑 称 .在自然界和平常生活中,大......量地存在 种 形 (如 甲) . 合 称 和平移 的相关性 ,你 在 滑 称 程中,两个 三角形(如 乙)的 点所拥有的性 是 ( )......(A) 点 与 称 垂直 (B) 点 被 称 均分 (C) 点 被 称 垂直均分(D) 点 互相平行【答案】 Ba 1( a b)5 .( 2010 鄂尔多斯 )定义新运算: a ⊕b=a 且 ,则函数 y=3 ⊕x 的图象( a b b 0)b大体是【答案】 B6 .( 2010 四川达州) 在平面直角坐标系中,对于平面内任一点( m,n ),规定以下两种变换:① f (m, n) (m, n) ,如 f (2,1) (2, 1) ;② g(m, n)( m, n) ,如 g(2,1)( 2, 1) .依照以上变换有: f g 3,4f 3, 43,4 ,那么 gf 3,2等于A. (3,2)B. (3,-2 )C. (-3 ,2)D.(-3,-2)【答案】 A二、填空题1 .( 2010 安徽蚌埠) 若 x 表示不高出 x 的最大整数(如3,223 等),则3111_________________。
中考数学专题新概念型问题
一、中考专题诠释
所谓“新概念”型问题,主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力
二、解题策略和解法精讲
“新概念型专题”关键要把握两点:一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法;二是根据问题情景的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移.
考点二:运算题型中的新概念
2.若(x1,y1)•(x2,y2)=x1x2+y1y2,则(4,5)•(6,8)=.
考点三:探索题型中的新概念
例3 如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.
(1)“抛物线三角形”一定是三角形;
(2)若抛物线y=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求b的值;
(3)如图,△OAB是抛物线y=-x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”,是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD?若存在,求出过O、C、D三点的抛物线的表达式;若不存在,说明理由.
考点四:开放题型中的新概念
例4 在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下概念:
若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|;
若|x1-x2|<|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|.
例如:点P1(1,2),点P2(3,5),因为|1-3|<|2-5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点).
(1)已知点A(-1
2
,0),B为y轴上的一个动点,
①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标;
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)已知C是直线y=3
4
x+3上的一个动点,
①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;
②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.
思路分析:(1)①根据点B位于y轴上,可以设点B的坐标为(0,y).由“非常距离”的概念可以确定|0-y|=2,据此可以求得y的值;
②设点B的坐标为(0,y).因为|- 1
2
-0|≥|0-y|,所以点A与点B的“非常距离”最小值为|-
1
2
-0|=
1
2
;
(2)①设点C的坐标为(x0,3
4
x0+3).根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常
距离”为|x1-x2|”知,C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0= 3
4
x0+2,据此可以求得点C的
坐标;
②当点E在过原点且与直线y= 3
4
x+3垂直的直线上时,点C与点E的“非常距离”最小,即
E(- 3
5
,
4
5
).解答思路同上.
解:(1)①∵B为y轴上的一个动点,∴设点B的坐标为(0,y).
∵|-1
2
-0|=
1
2
≠2,
∴|0-y|=2,
解得,y=2或y=-2;
∴点B的坐标是(0,2)或(0,-2);
②点A与点B的“非常距离”的最小值为1
2
;
(2)①∵C是直线y=3
4
x+3上的一个动点,
∴设点C的坐标为(x0,3
4
x0+3),
∴-x0=3
4
x0+2,
此时,x0=-8
7
,
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为:8
7
,
此时C(-8
7
,
15
7
);
②E(-3
5
,
4
5
).
-3
5
-x0=
3
4
x0+3-
4
5
,
解得,x0=-8
5
,
则点C的坐标为(-8
5
,
9
5
),
最小值为1.
点评:本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题,一定要弄清楚题干中的已知条件.本题中的“非常距离”的概念是正确解题的关键.
对应训练
4.(2012•台州)请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a⊕b”,使得下列算式成立:
1⊕2=2⊕1=3,(-3)⊕(-4)=(-4)⊕(-3)=- 7
6
,(-3)⊕5=5⊕(-3)=-
4
15
,…
你规定的新运算a⊕b= (用a,b的一个代数式表示).
考点五:阅读材料题型中的新概念
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′C′,即如图①,我们将这种变换记为[θ,n].
(1)如图①,对△ABC作变换[60°,3]得△AB′C′,则S△AB′C′:S△ABC= ;直线BC
与直线B′C′所夹的锐角为度;
(2)如图②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC 作变换[θ,n]得△AB'C',使点B、C、C′在同一直线上,且四边形ABB'C'为矩形,求θ和n的值;
(3)如图③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=l,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB'C'为平行四边形,求θ和n的值.。