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圆锥曲线的定义椭圆：第一定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数（要求该常数大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.一般的，这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距，记作2c ；这个常数记作2a .第二定义：到定点的距离与定直线的距离之比为常数的动点的轨迹，其中常数小于1.椭圆22221x y a b +=上任意一点到左焦点的距离与该点到直线2a x c=-的距离之比为离心率e ，其中2a x c=-成为椭圆的左准线； 椭圆22221x y a b +=上任意一点到右焦点的距离与该点到直线2a x c=的距离之比为离心率e ，其中2a x c=-成为椭圆的右准线.第三定义：与两定点连线的斜率之积为常数的动点轨迹是椭圆，其中常数的范围是()1,0-.设AB 为椭圆22221x y a b+=的任意一条直径，动点P 在该椭圆上，若PA k ，PB k 都存在，则22PA PBb k k a ⋅=-.双曲线：第一定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（要求该常数小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线。
一般的，这两个定点1F 、2F 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距，记作2c ；这个常数记作2a .第二定义：到定点的距离与定直线的距离之比为常数的动点的轨迹，其中常数大于1.双曲线22221x y a b -=上任意一点到左焦点的距离与该点到直线2a x c=-的距离之比为离心率e ，其中2a x c=-成为双曲线的左准线； 双曲线22221x y a b +=上任意一点到右焦点的距离与该点到直线2a x c=的距离之比为离心率e ，其中2a x c=-成为双曲线的右准线.第三定义：与两定点连线的斜率之积为常数的动点轨迹是双曲线，其中常数的范围是()0+∞，。
设AB 为双曲线22221x y a b-=的任意一条直径，动点P 在该椭圆上，若PA k ，PB k 都存在，则22PA PB b k k a⋅=.抛物线：定义：。
圆锥曲线的定义
用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：
1、当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2、当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3、当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4、当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5、当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6、当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7、当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
利用“几何画板”辅助圆锥曲线曲线的统一定义炎陵一中范林华圆锥曲线曲线的定义统一为：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于常数e的点的轨迹，当0<e<1时，它是椭圆；当e＝1时，它是抛物线；当e>1时，它是双曲线。
利用几何画板这一动态几何工具辅助教学，能更好地揭示圆锥曲线的规律，利于学生的认识和掌握。
下面介绍该课件的制作方法和步骤：一、确定对称轴、焦点、准线。
1．1 打开《几何画板》，新建文件；1．2 画一条水平直线x;1．3 作出直线x对象上的点K、F（焦点）；1．4 过K作直线x的垂线l（准线）。
二、设置离心率。
2．1 画一条线段AB；2．2 作出线段AB对象上的点E；2．3 通过度量、计算，求得线段AE与EB的比（离心率）；2．4 将比值标签改为e。
三、设置作轨迹所需的动态半径。
3．1 过任一点D作出两条相交直线m、n;3．2 以D为圆心，AE为半径画圆交直线m于M；3．3 以D为圆心，EB为半径画圆交直线n于N；作直线MN；3．4 作直线m上一点G，过G作MN的平行线交n于H；3．5 作出线段DG、DH。
四、作出轨迹。
4．1 以F为圆心，线段DG为半径画圆；4．2 以K为圆心，线段DH为半径画圆交直线x于P、Q两点，分别过P、Q 作x的垂线p 、q；4．3 改变E的位置或改变F的位置使圆F与直线p、q都相交，交点分别为P1、P2、P3、P4；4．4 选取P1（或P2、P3、P4）、点G、直线m，构造轨迹，即可作出所需轨迹。
4．5 添加操作按钮、隐藏不必显示的对象。
（若轨迹失真，可增加图象的采样数量）。
双曲线的定义及其标准方程在数学的广袤天地中，双曲线是一种充满魅力和独特性质的曲线。
它不仅在数学理论中占据重要地位，还在物理学、工程学等众多领域有着广泛的应用。
让我们一同来深入探索双曲线的定义及其标准方程。
首先，我们来明确双曲线的定义。
双曲线可以简单地理解为平面内到两个定点的距离之差的绝对值为定值（这个定值小于两个定点之间的距离）的点的轨迹。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距。
为了更直观地理解这个定义，我们可以想象一下。
假设在平面上有两个固定的点 F₁和 F₂，然后有一个动点 P。
如果点 P 到点 F₁和 F₂的距离之差的绝对值始终保持不变，并且这个差值小于 F₁和 F₂之间的距离，那么点 P 运动所形成的轨迹就是一条双曲线。
接下来，我们看看双曲线的标准方程。
双曲线的标准方程分为两种情况：焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上。
当双曲线的焦点在 x 轴上时，其标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），其中 a 表示双曲线实半轴的长度，b 表示虚半轴的长度。
在这个方程中，我们可以通过一些关键的参数来描述双曲线的特征。
比如，双曲线的渐近线方程为＼（y ＝＼pm\frac{b}｛a}x\）。
渐近线是双曲线的重要特征之一，它反映了双曲线在无穷远处的走向。
当双曲线的焦点在 y 轴上时，标准方程则为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。
为了更好地理解双曲线的标准方程，我们可以通过一些具体的数值例子来进行分析。
假设 a ＝ 3，b ＝ 4，当焦点在 x 轴上时，方程为＼（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝ 1\）。
我们可以通过这个方程来计算出双曲线的顶点坐标、焦点坐标等重要信息。
双曲线的顶点坐标为＼（（＼pm a, 0) ＼），即＼（（＼pm 3, 0) ＼）。
焦点坐标为＼（（＼pm c, 0) ＼），其中＼（ c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2} ＼），在这里＼（ c ＝＼sqrt{9 ＋ 16} ＝ 5 ＼），所以焦点坐标为＼（（＼pm 5, 0) ＼）。
收益曲线的定义收益曲线是一个客观衡量投资产品收益水平的重要技术指标，它可以直观地反映出投资市场的综合收益状况，并反映出投资市场未来的发展趋势。
在金融市场中，收益曲线被广泛应用于评估投资者的风险承受能力、衡量投资绩效、定价投资品种、识别市场行情等多个方面。
因此，为了更好地理解收益曲线，并为投资者和投资咨询人员提供参考，本文将对收益曲线进行系统介绍，并对其相关技术参数和分析方法进行说明。
收益曲线是指投资者将期望的投资回报与投资风险之间的关系。
一般来说，收益曲线是投资者的期望收益与投资风险的函数关系，具体表示为：投资者的期望收益 =资者的期望风险。
收益曲线的形状可以根据投资者的风险偏好而有所不同，但大多数投资者的收益曲线呈现出与风险水平成反比的趋势，即风险越大，收益越低。
收益曲线由一系列相关技术参数组成，其中包括：最低收益率（LRR）、最高收益率（HRR）、期望收益率（ERR）、最低风险率（LRR）、最高风险率（HRR）和期望风险率（ERR）等。
最低收益率（LRR）和最高收益率（HRR）分别代表投资者可以接受的最低投资回报率和最高投资回报率，ERR为期望收益率，指投资者期望投资所获得的平均收益率; LRR和HRR分别代表投资者可以接受的最低风险水平和最高风险水平，ERR为期望风险率，指投资者在进行投资时所承受的风险水平。
除了前述基本技术参数外，收益曲线还由一系列细分参数组成，如收益增长率（YGR）、收益率偏差（RAD）、收益率波动率（CRV）、相对收益曲线（RRC）等。
收益增长率（YGR）指投资者的投资回报率在一定时期内的收益增长速度；收益率偏差（RAD）指投资者实际投资回报率与期望收益率之间的差别程度；收益率波动率（CRV）指投资者的投资回报率在一定时期内的波动幅度；相对收益曲线（RRC）指一种投资者可接受的风险水平，其基础是一组投资品种，它能够有效地区分出等风险下的不同投资组合，以满足投资者不同的投资需求。
直线与曲线的关系直线与曲线是几何学中基本的图形，它们之间存在着密切的关系。
本文将从不同的角度来探讨直线和曲线之间的关系，包括它们的定义、性质以及它们在数学和现实生活中的应用。
一、直线的定义和性质直线是几何学中最基本的图形之一，它由无限多个点组成，这些点在同一条直线上排列。
直线没有弯曲或者拐点，可以延伸到无穷远处。
直线可以通过两个点唯一确定，而且任意两点之间都可以画出一条直线。
直线具有以下性质：1. 直线上任意两点可以通过直线段相连。
2. 直线上的所有点到两个端点的距离相等。
3. 直线没有起点和终点，可以一直延伸下去。
二、曲线的定义和性质曲线是由一系列连续的点组成的，它们不在同一直线上。
曲线可以是弯曲的，也可以是闭合的。
曲线可以是平滑的，也可以是不连续的。
曲线有很多种类，包括圆、椭圆、双曲线、抛物线等。
曲线具有以下性质：1. 曲线上的点之间没有特定的距离关系，因为曲线可以弯曲。
2. 曲线可以有起点和终点，也可以是无限延伸的。
3. 曲线上的点可以通过曲线段相连，但曲线段不能完全在同一直线上。
三、直线与曲线之间的关系直线和曲线是密切相关的，在几何学、物理学等领域中都有广泛的应用。
下面将介绍几种直线与曲线之间的关系：1. 切线：在曲线上的任意一点，都存在着唯一的切线。
切线是与曲线仅有一个公共点的直线，它与曲线相切于该点，并且在该点处与曲线的切线方向相同。
2. 弦：弦是连接曲线上的两个点的线段。
对于圆来说，弦可以是直径；对于其他曲线来说，弦只是曲线上的一段线段。
3. 渐近线：在曲线两边逐渐靠近并且无限接近曲线的直线称为渐近线。
渐近线与曲线之间的距离越来越小，但它们永远不会相交。
四、直线与曲线的应用直线和曲线的关系在数学和现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 几何学：直线和曲线是几何学中最基本的概念，它们被广泛应用于解决几何问题、构建图形等。
2. 物理学：在物理学中，直线和曲线常用于描述物体的运动轨迹、力的作用线等。
空间曲线与曲面的基本概念与性质空间曲线和曲面是微积分中的基本概念。
在数学中，空间曲线是通过空间中移动的点定义的对象，而曲面则是由空间中移动的曲线定义的对象。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是通过空间中一条路径上的点定义的。
例如，考虑一条简单的曲线，如y = sin(x)，该曲线在二维平面上表示为点的集合。
然而，在三维空间中，我们可以考虑该曲线如何在不同的方向上弯曲，这就是空间曲线的概念。
空间曲线还可以用参数方程来表示，例如，对于一条平面上的曲线y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的空间曲线，其中 z 表示曲线在第三个维度上的高度。
许多重要的数学对象和算法都依赖于空间曲线，例如微积分中的积分曲线、微分几何中的切向量和曲率等。
二、空间曲线的性质空间曲线有许多重要的性质，这些性质是微积分中的基本概念。
1. 方向性：空间曲线沿某个方向运动时有所不同，这是由于空间曲线的切向量在不同方向上的变化不同。
2. 曲率：空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
曲线的曲率越大，说明该点处曲线的弯曲程度越大。
3. 弧长：空间曲线的弧长是曲线的长度。
计算曲线弧长可以方便计算曲线上的其他性质。
三、曲面的基本概念曲面是经过空间中一条路径上的所有点的集合定义的对象。
曲面可以通过约束曲线（例如，平面或抛物线）的运动来定义。
例如，考虑一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以对其进行旋转来构建一个圆柱体的曲面。
类似的，我们可以通过旋转一个椭圆来构建一个椭球体的曲面。
曲面也可以用参数方程来表示，例如，对于一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的曲面，其中 z 表示曲面在第三个维度上的高度。
四、曲面的性质曲面是微积分中的基本概念，具有许多重要的性质。
1. 切向量：曲面在某个点处的切向量是曲面在该点处切线的方向向量。
2. 法向量：曲面在某个点处的法向量是垂直于曲面切线的向量。
正则曲线的定义
正则曲线（或称为正则函数）在数学和统计学中是一个连续且处处可微的函数，其导数在定义域内处处不为零。
在概率论和统计学中，正则曲线通常被用来表示随机变量的概率分布函数。
正则曲线的一个重要特征是，它的导数在定义域内处处不为零，这意味着正则曲线在定义域内的任意一点上的变化率都不为零。
因此，正则曲线可以用来描述那些具有平滑、连续且没有突变或跳跃的随机过程或现象。
在数学分析中，正则曲线通常被用作研究微积分和拓扑学等领域的基本对象。
例如，在微积分中，正则曲线可以被用来计算弧长、曲率等几何量；在实分析中，正则曲线也可以被用来研究函数的连续性和可微性等性质。
需要注意的是，正则曲线的定义是一个比较严格的数学概念，而在实际应用中，有些函数虽然不是处处可导，或者在某些点上的导数为零，但仍可以被视为正则曲线的一种特殊情况。
因此，在具体应用中需要根据实际情况进行判断和处理。
曲线切线的定义曲线是平面上的一条不断变化的线段，它可以是圆弧、椭圆、双曲线、抛物线等等。
而曲线上的一点，可以通过一条直线与曲线相切。
这条直线就被称为曲线的切线，而曲线在该点的切点就是切线与曲线相交的点。
切线的定义切线是曲线上的一条直线，它恰好与曲线相切于给定点。
在曲线上的任意给定点，都可以找到一条切线。
切线的位置和方向是由曲线在该点的形状所决定的。
在数学中，切线是通过求曲线在给定点的导数来定义的。
导数是曲线在给定点处的斜率，它可以告诉我们曲线在该点的变化率。
因此，切线的斜率就是曲线在该点的导数。
切线的性质1. 切线与曲线在给定点相切，所以它们的斜率相等。
2. 切线与曲线在给定点的交点被称为切点。
切点就是曲线在该点的近似位置。
3. 切线的斜率是曲线在该点的导数，它可以告诉我们曲线在该点的变化率。
4. 切线的方向可以确定曲线在该点的凸凹性。
如果切线是向上的，那么曲线在该点是向上凸的。
如果切线是向下的，那么曲线在该点是向下凸的。
5. 切线可以用来求解曲线的极值。
如果曲线在给定点的导数为0，那么该点就是曲线的极值点。
6. 切线可以用来近似曲线的形状。
如果我们只关心曲线在给定点的近似位置，那么切线可以给我们一个很好的近似值。
切线的应用切线在数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学中，切线是微积分的基础概念，它可以用来求解曲线的导数和极值。
在物理学中，切线可以用来描述物体在给定点的运动状态。
例如，当我们研究一个物体的速度和加速度时，我们需要求解物体在给定点的切线和曲率。
切线还可以用来近似曲线的形状，这在计算机图形学和计算机辅助设计中非常有用。
总结曲线切线是数学中的基础概念，它可以用来描述曲线在给定点的形状和变化率。
切线的定义和性质可以帮助我们求解曲线的导数和极值，描述物体的运动状态，近似曲线的形状等等。
因此，学习曲线切线是数学和物理学学习的重要一步，它可以帮助我们更好地理解和应用数学和物理学知识。
曲线定义的发展曲线是什么，初一想，你会认为这是一个非常容易回答的问题．因为在日常生活中，到处都呈现着一条条形态不一的曲线，室内外悬挂着的电线、车轮滚出的痕迹、各种建筑物上的轮廓线等等可以说．人们对曲线是再熟悉不过了，但当需要你用精确的语言描述曲线的一般特征时，你又可能会感到一时难以回答。
下面首先介绍历史上曲线定义的逐步演变过程，其次列举了在历史上出现的几条有趣的奇特曲线，最后介绍常用的两类曲线——正则曲线与简单曲线．曲线概念的历史发展过程：自古迄今，很多数学家都在思考；曲线是什么? 力求得到一个精确的，便于进行数学研究的，具有一般性的曲线定义。
这里我们着重介绍从欧几里得对平面曲线的直观描述到近代乌雷松用点集论描述的最一般的曲线定义这一历史发展的过程．公元前3世纪，欧几里得在他的著作《几何原本＞中．用直观描述的方法定义曲线为“有长无宽”；曲线为“表面的边界”，这样的定义在一定程度上反映出曲线的特征．但它对曲线的数学研究毫无用处．特别是当后来出现一些奇特曲线，例如出现了面积为正数的曲线，还出现了可以作为三个区域的公共边界的曲线，这些曲线的出现，与人们通常直观认为的曲线应是它的面积为零无宽度的平面图形，而且曲线也应是且只是两个区域的公共边界不相符合，同时它也使人们对“无宽”及“边界”的含意模糊了，因此需要寻找曲线的确切定义。
笛卡儿(1596—1650)在平面上建立坐标系，使曲线与方程相对应，然后用代数方程来研究曲线．这时也就产生了笛卡儿的曲线定义：笛卡儿的曲线定义：凡坐标适合方程F (x,y )=0的点的全体称为这方程所确定的曲线．这定义包括了许多曲线，例如方程 x 2+y 2=R 2 表示以原点为中心、R 为半径的圆周; (以及所有的代数曲线)．而且这个曲线定义已经摆脱了直观性描述．有了确切的数学含义，并能按此定义来研究曲线, 然同时半直线又统一定点以等角速度转动所回的曲线．如果取一个定点o 为极点，半直线的初姑位置为极袖，f 表示动点M 到点o 的距离，ϕ表示转动着的半直线与x 轴正向的夹角，这样得到阿基米德螺线的方程是： r a ϕ=且有 r = arg tan /y x ϕ=把r 与ϕ代人方程得阿基米德螺线的直角坐标方程arctan 0y a x= 然而这个方程对于x 的每个数值都有无穷多个y 值与之对应，同样对于y 的每个数值也都有无穷多个x 值与之对应，所以难以用这个方程来研究阿基米德螺线．这又需要考虑曲线概念的新定义.而在那时也发现有些曲线根本不能用方程F (x,y )＝o 来表示，或即使可以用方程来表示，但是很难用它来研究曲线例如阿基米德的螺线(见图1．2)。
它是某点沿半直线匀速运动，同时半出于质点运动时描绘出曲线，即点动成线，因此很自然把曲线直观地定义为：曲线是点运动的轨迹，为把这个直观描述用数学式子表示出来，很容易想到轨迹上动点的位置是依赖于时间，于是就引入第三个变量时间t ，用t 的函数来表示曲线上点的坐标，()x x t = ()y y t =称此表示式为曲线的参数表示式．称t 为参数。
按照上述阿基米德螺线的形成，取时间t 为参数，v 为动点沿半直线移动的速度，ω是半直线绕坐标原点转动的角速度，曲线每点的坐标x , y 可表示为时间t 的函数cos sin x vt t y vt t ωω=⎧⎨=⎩这就是阿基米德螺线的参数表示式.选直线为x 轴，取圆周上一定点落在直线上原点．取参数为圆的滚动角ϕ，得到摆线的参数表示式(sin )(1cos )x a y a ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩在19世纪后半叶，基于这种用参数表示曲线的方法，在i9世纪后半叶，基于这种用参数表示曲线的方法，法国数学家若尔当给出了例3 摆线(见图1．3)半径为a 的圆，沿平面上一条直线作无滑动的滚动，圆周上一点的轨迹为摆线。
曲线的另一种定义。
如果平面上点的坐标是参数t 在区间 [0，l]上所给定的连续 函数()x t ϕ= ()y t φ=那末这些点的全体称为曲线．若尔当以最清晰的形式叙述的这个曲线定义与笛卡儿的曲线定义一样，有确切数学含义，而且一直被人们沿用到现在，只是他所定义的曲线又过分一般化了。
1890年意大利数学家佩亚诺构造出一条曲线——佩亚诺曲线，他的这条由定义在[0,1]上的两个连续函数()x t ϕ= ()y t φ=表示的曲线却填满整个单位正方形、这就表明，出现在我们面前不是蔓延在平面上的一条“细长无宽”的曲线，因此又需要修正若尔当关于曲线的上述定义，使新定义的曲线中，不出现类似于佩亚诺曲线的奇特情形。
19世纪末，当集合论发展起来的时候，许多数学对象部被看作是某种元素的集合．同样，几何图形也被看作是具有某种性质的点的集合。
这样，许多数学问题都可以用集合沦观点来论述。
特别，康托尔把曲线看作一个具有某种特性的平面点集，采用集合论来描述曲线的概念．在论述用集合论来描述的平面上曲线的定义之前，有必要先引入集合论中某些概念，因为没有这些概念，就难以论述曲线的定义．由于其中有些概念如开集、闭集、边界、极限点等在数学分析课程中己作介绍，不再重复。
这里重点论述连续统概念，它是以后考虑的基本对象，在曲线定义中起着根本作用．定义：如果E是R2中一个集合，把它任意分为两个非空子集A 和B，至少在这两个子集的一个中，可以找到一点是另一子集的聚点，那末称集合E是连通集否则称为不连通集．由上述定义我们可以得到集合E是不连通集的充分必要条件是：存在两个非空的闭集A与B，使得E A B⋂=Φ.=⋃，且A B 根据连通集的定义可以证得全直线R、R上任何区间、正方形、圆等等都是连通集．由一点所构成的集合与空集都被认为是连通集.定义: E是R2中一个集合，如果它的一切无穷子集在E中都有聚点，那末称E为列紧集。
用闭区间套原理可以证明：线段[a,b] 是列紧集．用类似方法也可证得闭正方形是列紧集在集合论中有下面结果：R、R2上的集合E是列紧集的充要条件是E为有界闭集.定义称连通而又列紧的集合为连续统由上述定义可知，直线段、正方形都是连续统．另外根据点集论中结果：连续统的连续映象都为连续统．我们能证明像圆周、椭圆、双纽线等这样的集合都是连续统．现在把思路回到论述曲线的定义上来，考虑一个平面点集必须具有什么样的一种性质，才能将它认作是位于平面上的—条曲线?分析我们所熟悉的份直线段、圆周、椭圆、双纽线等这些平面曲线，把它们都看作是一个平面点集，由直观地看出，存在着共有特性：它们分布在平面上，都是连成一整段，不分割成一些孤立部分；另外，曲线上每个点又都不是孤立的一个点，与它任意接近处总还有曲线上的其它点这些特征正从几何直观表明它们都是平面上的连续统因此，自然面然地要在连续统中去找我们所要叫做平面曲线的东西．然而，如果定义曲线为平面上的连续统，这样在平面曲线中就要包括保正方形、圆盘等这种连续统，显然这是我们所不能承认的。
那末平面上的连续统还应具有什么特性才能被称为是平面曲线? 进一步分析圆盘和圆周、正方形和它的边界折线段的区别，圆盘、正方形内部的点在它的邻近都是集合的点，而圆周、折线段上的点在它的邻近处既有圆周、折线段上的点，也都有不同于它们的点．综合以上分析，就有康托尔给出的曲线定义：如果连续统C具有以下性质：对连续统C的任意一点x，如果任意给定正数ε，在平面上总可以找到一点y，它不属于连续统C，而且与点x的距离小于ε，则称连续统C为平面曲线. 我们把这个定义下的曲线称为康托尔曲线．根据这个定义可直接报出：连续统C为康托尔曲线的允分必要条件是：连续统C不包含任何开子集.显然，直线段、圆周、双纽线以及许多常见的平面曲线都是康托尔曲线而且康托尔定义下的曲线已排除了像佩亚诺曲线这种奇特曲线，但它也包括了让人们难以接受的有奇特性的曲线，其中一个精彩的例子就是波兰数学家谢尔乎斯基所作的曲线，称它为谢尔平斯基地毯.康托尔曲线定义与若尔当曲线定义同样具有确切的数学含义，而且成为后来研究曲线的依据．然而，康托尔的曲线定义却不能搬到空间中来，即不能用作空间曲线的定义. 很显然，正方形作为空间一个点集，它不包含任何开集，且是一个连续统．但我们不能认为它是一条空间曲线，这需要人们去考虑，不管是对平面曲线还是空间曲线，能够有一个用点集论统一描述的曲线定义．苏联数学家乌雷松(1898—1924)在20世纪20年代完成了这个工作，给出曲线的最一般定义．乌雷松仍用点集论来描述曲线酌定义，不过他是从另一个角度描述曲线作为点集所具有的特性，即考虑曲线的所谓量度数——维数一般认为在平面上或空间中的直线段、圆周都是1维的，正方形不管是在平面上还是在空间中都是2维的．这里我们不去介绍一般维数概念．只给出点集的1维度的确切含义．我们观察在直线段上任取一点x，作这点的一个任意小邻域，此邻城是一个开集，如果x是线段的内点，则此开集的边界是由两个点所构成．如果x是线段的端点，则此开集的边界是由一个点所构成．于是说明直线上任一点的任一邻域的边界是不包含多于一个点所构成的连续统．同样圆周上的任一弧段的边界也是两个点．假设在圆周上任取一点，这点的任何一个小邻域是一段小开弧段，它的边界是由两个点构成，所以也是不包含多于一个点所构成的连续统．可是圆盘与正方形却与它们不同，在圆盘内或正方形内任取一点，作这点的任意小一个邻域，这邻域是一个小开圆，它的边界是圆周，显然此圆周是包含多于一个点所构成的连续统．由此我们定义1维连续统为：设点x是连续统C的一个点．如果存在点x的一个任意小邻域，此邻域的边界不包含C中任何由多于一点所构成的连续统，那末称连续统C在点x具有维度1．换句话说，如果对任意结定正数ε，存在包含x的开集，其直径小于ε，而其边界不包含c中任何多于一点所构成的连续统，那末称连续统C在点x具有维度1如果连续统C在它的每一点都是1维的，称连续统C具有维度1．由上所述可见，线段、圆周都是1维连续统．现在我们可以给出鸟鲁松关于曲线的定义：1维连续统称为曲线．在乌雷松的曲线定义下，不论是平面上还是在空间中的直线段和圆周都是曲线，而正方形既不是平面曲线，也不是空间曲线。
至此，我们完成了陈述曲线概念的历史发展过程，那末不同的曲线定义所包含的曲线是否相同呢? 答案是否定的，具体地说，有以下结论：1o如果若尔当曲线不是一条广义佩亚诺曲线．它必是一条康托曲线．这是因为我们可以证明若尔当曲线是一个连续统（证明可参看鲁金著的《实变函数论》)。
反过来，康托尔曲线不一定是若尔当曲线。
观察图1.4(a) 与1.4(b)两条曲线，图1.4(a)中曲线是由一个圆周C和在它里面旋转面无限地接近C的螺线所组成, 图1.4(b) 中曲线是当：x≠时由方程1s inyx=所确定的曲线, 再加上y轴上一个闭线段[-1,1]．这两条曲线都是康托尔曲线．但不是若尔当曲线．严格的论证需要较多点集论知识，这里不再赘述．下面对图1．4(a)中曲线，粗略说明它不是若尔当曲线．假设它若是尔当曲线．其参数表示式为：()x t ϕ= ()y t φ= 01t ≤≤其中()x t ϕ= ()y t φ= 在[0,1]连续。
