吉林省长春市东北师大附中2021届高考数学三模试卷(文科) Word版含解析

切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬东北师大附中 2018级高三年级 第四次模拟考试数学（理）学科试卷本试卷共23题，共150分，共6页．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合2{|13},{|20}A x x B x x x =<<=-->，则A B =A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(1,3)- C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,3)-2．已知,l m 是两条不同的直线，α是平面，/l α⊂，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是30A ．6n ≥B ．8n ≥C ．10n >D ．10n ≥4．若()cos sin f x x x =-在[],a a -上是减函数，则a 的最大值是A ．8π B ．4π C ．38π D ．34π 5．若双曲线C ：22221(0,0)x y a b ab -=>>的一条渐近线被以焦点为圆心的圆2240x y x +-=所截得的弦长为b =A ．1BCD ．26．函数ln xy x=的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．某高中高一、高二、高三年级的人数分别为1200、900、900人．现按照分层抽样的方法抽取300名学生，调查学生每周平均参加体育运动的时间．样本数据（单位：小时）整理后得到如右图所示的频率分布直方图．下列说法错误．．的是 A ．每个年级抽取的人数分别为120、90、90人B ．估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人C ．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人D ．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10% 8．已知ABC △的面积是221()4S b c =+（其中,b c 为ABC △的边长），则ABC △的形状 为 A ．等边三角形B ．是直角三角形但不是等腰三角形C ．是等腰三角形但不是直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知2sin(63πθ+=，则sin(26πθ-=A．19-B ．19C．9-D ．910．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton,1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法—用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程()0f x 的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值0x ，()f x 在0x 处的切线与x 轴的交点为1x ，()f x 在1x 处的切线与x 轴的交点为2x ，一直继续下去，得到012,,,n x x x x ，它们越来越接近r ．若2()2(0),2f x x x x ，则用牛顿法得到的r 的近似值2x 约为A ．1.438B ．1.417C ．1.416D ．1.37511．已知2201()10xx x f x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪-<⎪⎩≥，，，若方程()f x t 有三个不同的解123x x x ，，，且123x x x ，则123111x x x -++的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．5(,)2+∞D ．(3,)+∞12．已知3log 15a =，5log 40b =，26c =，则A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知i 为虚数单位，复数z 满足()i 12i z -=，则z = ．14．若实数x ，y 满足约束条件26341400x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为 ．15．如图，在同一个平面内，向量OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=， 向量OB 与OC 的夹角为45，且||||1OA OB ==，||2OC =．若OC =m OA +n OB （m ∈R ，n ∈R ），则n m -= ．16．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin(1794-1847)的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于,E F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于,C B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE AC =，AF AB =，于是AE AF AB AC BC +=+=．由,B C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以,E F 为焦点的椭圆．如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆．已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，15PA =，则椭圆的离心率为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.（12分）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，已知11,1d q a b =+=，22431,1a b a b +=+=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．OA CBα18．（12分）近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关？（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种；有4份担心疫苗的有效性；有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（12分） 如图，在三棱锥A BCD -中，90BCD ∠=︒，1BC CD ==，ACB ACD ∠=∠． （1）证明：AC BD ⊥；（2）若直线AC 与平面BCD 所成的角为45︒，1AC =，求二面角A CD B --的余弦值．20．（12分）如图，已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y P x y Q x y 四点都在抛物线上，直线AP 与直线BQ 相交于点F ，且直线AB 斜率为1． （1）求12y y +和13y y 的值；（2）证明直线PQ 过定点，并求出该定点．21．（12分）已知函数2()2ln 1f x x ax x =-+有两个极值点1,x x（1）求a 的取值范围；（2）证明：2211221()()1x f x x f x a x x -<+-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．22. [选修44-：坐标系与参数方程]（10分）平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线OM ：0(0)θαρ=≥平分曲线2C ，且与曲线1C 交于点A （异于O 点），曲线1C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AOB △的面积S .23. [选修45-：不等式选讲]（10分）已知函数()|2||4|f x x x =--+. （1）求()f x 的最大值m ；（2）已知,,(0,)a b c ∈+∞，且a b c m ++=，求证：22212a b c ++≥.B ACD切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬东北师大附中 2018级高三年级 第四次模拟考试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．i 1-+14．415．1216．23三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.（本小题满分12分）【试题解析】解：（1）由题意11112111131d q a b a d b q a d bq =⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，解得111,2,2a b d q ====，（2分）所以21n a n =-，（4分）2n n b =．（6分） （2）212n n n a n b -=，（7分）23135212222n n n S -=++++（8分）21352121222n n n S --=++++ 相减得231222221122222n n nn S --=+++++- 111212321312212n n n n n n S ---+=+-=--． （12分）【另解】1212123222n n n nn a n n n b --++==-，23011211352135572123()()2222222222n n n n n n n S --++=++++=-+-++- 18．（本小题满分12分） 【试题解析】解：（1）（2分）222()95(3055010) 4.408 3.841()()()()40558015n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯（7分）有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．（8分）（2）1164221592486923C C p C C ===-．（12分）19．（本小题满分12分）【试题解析】证明：（1）取BD 中点O ，连接OA ，OC ，则OC BD ⊥，又BC DC =，ACB ACD ∠=∠，AC AC =，所以ABC ADC ≅△△，所以AB AD =，所以AO BD ⊥．AO CO O =，AO ⊂平面AOC ，CO ⊂平面AOC ，所以BD ⊥平面AOC ．又AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥．（4分)（2）解：（2）由（1）知BD ⊥平面AOC ，BD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AOC ．所以CA 在平面上的射影是CO ，所以ACO ∠为直线AC 与平面BCD 所成的角， 即45ACO ∠=︒．（6分)又因为122CO BD ==1AC =，在ACO △中由余弦定理可知AO 2= 所以222AO OC AC +=，所以AO OC ⊥．且平面AOC 平面BCD OC =，所以AO ⊥平面BCD ．（8分)【方法一】取CD 中点E ，连接OE ，AE ， 则OE CD ⊥，AE CD ⊥，所以AEO ∠为二面角A CD B --的平面角，132cos 332OE AEO AE ∠===． （12分)【方法二】以O 为原点，,,OC OD OA 分别是x 轴，y 轴，z 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则(0,0,0)O ,2C ,2D ,2A ． 2222(,0,),(0,2222CA DA =-=-， 平面BCD 的法向量为)(0,0,1n =， 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则2202222022m CA x z m DA y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，可得(1,1,1)m =，记二面角A CD B --的平面角为θ，则3cos 3|||1|m n m n θ⋅===⨯． 即二面角A CD B --的余弦值为33．（12分) 20．（本小题满分12分）【试题解析】解：（1）因为直线AB 斜率为1，所以设直线AB 方程为y x b =+，与24y x =联立得，2440y y b -+=，124y y +=，（2分） 因为焦点(1,0)F ，所以设直线AP 方程为1x my =+，与24y x =联立得2440y my --=，134y y =-，（4分）（2）设直线PQ 方程为x ty n =+， 与24y x =联立得，2440y ty n --=，344y y t +=，344y y n =-，（6分）由（1）知134y y =-，同理244y y =-， 所以341234344()444y y t y y y y y y n-+--+=+==，又由（1）知124y y +=，所以n t =，（10分）所以直线PQ 方程为(1)x ty t t y =+=+，过定点(0,1)E -． （12分）21．（本小题满分12分）【试题解析】 解：（1）因为函数2()2ln 1f x x ax x =-+有两个极值点12,x x ，所以()()22(1ln )g x f x x a x '==-+有两个零点，（1分）2()2ag x x '=-①若0a ≤，()g x 在(0,)+∞单调递增，至多1个零点，不符合题意；（2分）②若0a >，令2()20ag x x'=-=，x a =， 0x a <<，()0g x '<，()g x 单调递减，x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增，min ()()2ln g x g a a a ==-，（i ）01a <<，min ()()2ln 0g x g a a a ==->，无零点，（3分）（ii ）1a =，min ()()2ln 0g x g a a a ==-=，1个零点，（4分） （iii ）1a >，min ()()2ln 0g x g a a a ==-<， 又1212()2(1ln )0g a e e e e=-+=>， 且222(2)42(1ln 2)2(22ln 1ln 2)0g a a a a a a a =-+=--->， 所以()g x 在21(,),(,2)a a a e各有一个零点，即()f x 有两个极值点12,x x ，综上，1a >．（6分） （2）【证法一】 由（1）知1a >，且112222(1ln )0,22(1ln )0x a x x a x -+=-+=，1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=，22111111()2ln 121f x x ax x x ax =-+=-++， 22222222()2ln 121f x x ax x x ax =-+=-++，222112211122122121()()(21)(21)1x f x x f x x x ax x x ax x x x x x x --++--++==+--，要证明2211221()()1x f x x f x a x x -<+-，只需证212x x a <．（8分）由1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=相减得2211lnx x x a x -=， 不妨设211x t x =>，则111ln ln ,1a t tx x a t x t -==-，2ln 1at t x t =-，所以22122ln ln ln 11(1)a t at t t t x x a t t t ==---，所以只需证22ln 1(1)t t t <-，只需证ln t <(1)t >，（10分）设()ln 1)p t t t =->，21()0p t t '==<所以()ln p t t =(1,)+∞单调递减，()ln (1)0p t t p =<=，所以ln t <212x x a <． （12分）【证法二】不妨设120x x <<，1222112122112()()()()111f x f x x f x x f x x x a x x x x --=<+--2121212()()11(1)()f x f x a x x x x ⇔-<+-221212()1()1f x a f x a x x ----⇔<（9分） 设2222()12ln ()2ln f x a x ax x a a F x x a x x x x ----===--， 2222()1(1)0a a aF x x x x'=-+=-≥，()F x 在(0,)+∞为增函数，221212()1()1f x a f x a x x ----<． （12分）【说明】建议教师重点讲证法一，因为本题中由a 确定12,x x ，即12,x x 都与a 有关，而证法二中的12,x x 并没有利用12,x x 与a 相关，说明本题的结论12,x x 不是极值点也成立． 原来编的题是证明2211221()()21x f x x f x a x x -<<+-，考虑到学生的计算量和难度问题只保留了比较简单的右侧不等式，讲解时可以加上． 要证明2211221()()21x f x x f x a x x -<<+-，只需证2121x x a <<． 【证法一】由1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=相减得2211ln xx x a x -=，不妨设211x t x =>，则111ln ln ,1a t tx x a t x t -==-，2ln 1at t x t =-，要证121x x >，由1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=相加得12122ln x x a a x x +-=， 要证121x x >，只需证122x x a +>，即12ln ln (1)ln 2111a t at t a t tx x a t t t ++=+=>---， 只需证(1)ln 21t t t +>-，即只需证2(1)ln 01t t t -->+，设2(1)()ln (1)1t h t t t t -=->+，22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++， 所以()h t 在(1,)+∞单调递增，2(1)()ln (1)01t h t t h t -=->=+，所以122x x a +>，所以12122ln 0x x a a x x +-=>，所以121x x >． 【证法二】()()22(1ln )g x f x x a x '==-+ 设()()()G x g a x g a x =+--，[0,)x a ∈，则222224()()()220a a x G x g a x g a x a x a x a x-'''=++-=-+-=≤+--， ()()()G x g a x g a x =+--在[0,)a 为减函数，当(0,)x a ∈，()()()(0)0G x g a x g a x G =+--<=， 所以()()g a x g a x +<-，取1x a x =-，则112(2)()()g a x g x g x -<=，又因为122(,),(,)a x a x a -∈+∞∈+∞，且()g x 在(,)a +∞单调递增， 所以122a x x -<，所以122x x a +>，所以12122ln 0x x a a x x +-=>，所以121x x >．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．22. [选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 【试题解析】解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是24y x =，化成极坐标方程为2sin 4cos ρθθ⋅=；曲线2C 的直角坐标方程是()(2214x y -+-=. （5分）（2）曲线2C 是圆，射线OM 过圆心，所以方程是()03πθρ=≥，代入2sin 4cos ρθθ⋅=得83A ρ=， 又2AOB π∠=，所以B ρ=，因此118322AOBA B Sρρ=⋅⋅=⨯⨯=.（10分）23. [选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）【试题解析】解：（1）242(4)6x x x x --+≤--+=，当且仅当4x ≤-时等号成立.也可以画图解答（5分）（2）由（1）可知，6a b c ++=.又∵0a b c >，，， ∴2222222223()2()()a b c a b c a b c ++=+++++ 222222222()()()()a b b c c a a b c =++++++++ 2222222()()=36ab bc ac a b c a b c ≥+++++=++（当且仅当2a b c ===时取等），∴22212a b c ++≥．（10分）。

切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬东北师大附中 2018级高三年级 第四次模拟考试数学（文）学科试题答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DACBDCCBADBA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1； 14．4； 15．19； 16．23． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）解：（1）由题意11112111131d qa b a d b q a d b q =⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，解得111,2,2a b d q ====，所以21,2nn n a n b =-=．（2）212nn n a b n +=-+，23(12)(32)(52)(212)nn S n =+++++++-+23135212222n n =++++-+++++2122n n +=+-．18.（12分） 解：（1）222()95(3055010) 4.408 3.841()()()()40558015n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关． （2）记3份男性问卷为,A B C ,，2份女性问卷分别为,a b ．则5份问卷任取2份的方法为：,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab ，10种． 其中是1份男性问卷和1份女性问卷的有：,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb ，6种． 所以这2份问卷分别是1份男性问卷和1份女性问卷的概率63105p ==． 19．（12分）证明：（1）取BD 中点O ，连接OA ，OC ，则OC BD ⊥，又BC DC =，ACB ACD ∠=∠，AC AC =， 所以ABC ADC ≅△△，所以AB AD =， 所以AO BD ⊥． 又因为AOCO O =，AO ，CO ⊂平面AOC ，所以BD ⊥平面AOC ．又AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥．解：（2）由（1）知BD ⊥平面AOC ，BD ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AOC ．所以CA 在平面上的射影是CO ，所以ACO ∠为直线AC 与平面BCD 所成的角，即45ACO ∠=︒． 又因为1222CO BD ==，1AC =，在ACD 中由余弦定理可知AO 22=， 所以222AO OC AC +=，所以AO OC ⊥．且平面AOC平面BCD OC =，所以AO ⊥平面BCD ． 所以111122113326212A BCD BCDV S AO BC CD AO -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．愿意接种不愿意接种合计 男 30 1040 女 50555 合计80159520．（12分）解：（1）因为焦点(1,0)F ，所以设直线AP 方程为1x my =+，与24y x =联立得2440y my --=，134y y =-．同理244y y =-． （2）①因为直线AB 过定点(0,1)E -，所以设直线AB 方程为1y kx =-， 代入24y x =中得2440ky y --=，121244,y y y y k k-+==，所以121212111y y y y y y ++==-．②直线PQ 的斜率为343422343434444PQy y y y k y y x x y y --===-+-，由（1）知134y y =-，244y y =-．所以344PQ k y y =+12124114411y y y y ==-=--++．21．（12分）解：（1）()1af x x'=-，0x >，①若0a ≤，则()10af x x '=->，()f x 在(0,)+∞单调递增；②若0a >，令()10af x x'=-=，x a =，当0x a <<，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增． （2）由（1）知 ①当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增，至多1个零点，不合题意；②当0a >时，min ()()ln f x f a a a ==-，（i ）01a <<，min ()()ln 0f x f a a a ==->，无零点，不合题意； （ii ）1a =，min ()()ln 0f x f a a a ==-=，1个零点，不合题意； （iii ）1a >，min ()()ln 0f x f a a a ==-<，又1111()(1ln )0e e e ef a =-+=>，且222(2)2[1ln(2)](22ln 1ln 2)(21ln 2)0f a a a a a a a a =-+=--->-->，所以()f x 在21(,),(,2)ea a a 各有一个零点． 综上，1a >．（二）选考题：共10分。

吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|2x+1≥4}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）2．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S5=15，则a6等于（）A．8 B．7 C．6 D．54．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．36．（5分）设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（）A．B．﹣C．或﹣D．或7．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，则f（x）的最小正周期T和其图象的一条对称轴方程是（）A．2π，x=B．2π，x=C．π，x=D．π，x=8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣3x，则其导函数f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．ln2 B．﹣ln2 C．+ln2 D．9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．210．（5分）若f（x）的定义域为R，f′（x）＞2恒成立，f（﹣1）=2，则f（x）＞2x+4解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）11．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为（）A．（0，1] B．（0，e﹣2] C．[e﹣2，1] D．[1﹣，1]12．（5分）定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（）A．n B．2n C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=（x＞0）的最大值为．14．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a2=b（b+c），则=．15．（5分）函数f（x）=xln（ax）（a＜0）的递增区间是．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=5，a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），则a20﹣3a19=．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=ccosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令c n=1﹣（﹣1）n a n，不等式c k≥2014（1≤k≤100，k∈N*）的解集为M，求所有a k（k∈M）的和．19．（12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．课程[来初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率（Ⅰ）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．（1）当F为A1A的中点，求直线BC与平面BFC1所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m，n是正数，且m≠n，求证：＜．吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|2x+1≥4}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的交集运算进行求解．解答：解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜3}，故选C．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是∀x∈R，x2+1≤3x，故选B．点评：本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S5=15，则a6等于（）A．8 B．7 C．6 D．5考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列性质计算可得，也可由S5=15直接求公差．解答：解：，公差d=1，所以a6=6，故选：C．点评：本题考查数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性．专题：函数的性质及应用．分析：由“λ＜1”可得 a n+1﹣a n＞0，推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，不能推出“λ＜1”，由此得出结论．解答：解：由“λ＜1”可得 a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1＞0，故可推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，故充分性成立．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”可得 a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n ﹣2λ+1＞0，故λ＜，故λ＜，不能推出“λ＜1”，故必要性不成立．故“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，数列的单调性的判断方法，属于基础题．5．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解答：解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．点评：本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（）A．B．﹣C．或﹣D．或考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：注意到角的变换β=α﹣（α﹣β），再利用两角差的余弦公式计算可得结果．解答：解：∵α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，∴sinα==；同理可得，∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=•+•=，故选：A．点评：本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．7．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，则f（x）的最小正周期T和其图象的一条对称轴方程是（）A．2π，x=B．2π，x=C．π，x=D．π，x=考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：先化简即可求周期与对称轴方程．解答：解：=，∴T=π，对称轴：，∴，当k=0时，．故选D．点评：本题考查三角函数图象与性质，两角和与差的三角函数，基本知识的考查．8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣3x，则其导函数f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．ln2 B．﹣ln2 C．+ln2 D．考点：定积分在求面积中的应用；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由题可得f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为：，代入计算可得结果．解答：解：令f'（x）=0，得：或1，所以f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为：=；故选B．点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积．9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵lg2x+lg8y=lg2，∴lg（2x•8y）=lg2，∴2x+3y=2，∴x+3y=1．∵x＞0，y＞0，∴==2+=4，当且仅当x=3y=时取等号．故选C．点评：熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键．10．（5分）若f（x）的定义域为R，f′（x）＞2恒成立，f（﹣1）=2，则f（x）＞2x+4解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：导数的概念及应用．分析：利用条件，构造函数，利用函数的单调性和函数的取值进行求解．解答：解：设F（x）=f（x）﹣2x﹣4，则F'（x）=f'（x）﹣2，因为f′（x）＞2恒成立，所以F'（x）=f'（x）﹣2＞0，即函数F（x）在R上单调递增．因为f（﹣1）=2，所以F（﹣1）=f（﹣1）﹣2（﹣1）﹣4=2+2﹣4=0．所以所以由F（x）=f（x）﹣2x﹣4＞0，即F（x）=f（x）﹣2x﹣4＞F（﹣1）．所以x＞﹣1，即不等式f（x）＞2x+4解集为（﹣1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查导数与函数单调性的关系，利用条件构造函数是解决本题的关键．11．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为（）A．（0，1] B．（0，e﹣2] C．[e﹣2，1] D．[1﹣，1]考点：函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：运用导数可得f（x），g（x）在x∈[1，e]时单调递增，要使对任意的x1，x2∈[1，e]，有f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x）min≥g（x）max．解答：解：由于，，∵x∈[1，e]，0＜a≤1，∴f'（x）＞0，g'（x）＞0，即f（x），g（x）在x∈[1，e]时单调递增，由任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，所以f（x）min≥g（x）max，即f（1）≥g（e），∴1+a≥e﹣1，∴a≥e﹣2，又0＜a≤1，得e﹣2≤a≤1，故选C．点评：本题考查函数的单调性的运用，考查运用导数判断函数的单调性，考查不等式恒成立问题转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．12．（5分）定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（）A．n B．2n C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x ＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．解答：解：当时，f（x）=8x﹣8，所以，此时当时，g（x）max=0；当时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知，因为，所以，此时当x=3•2n﹣2时，g（x）max=0；当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．故选：D点评：本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=（x＞0）的最大值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：思路点拨令t=2x+1（t＞1），原式==，利用基本不等式即可得出．解答：解：令t=2x+1（t＞1），原式==，∵，当且仅当t=时取等号．∴原式，故最大值为．点评：本题考查了换元法、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a2=b（b+c），则=．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形为a2=b2+bc代入，约分后再将b+c=代入，利用正弦定理化简得到sinA=2sinBcosB=sin2B，进而得到A=2B，即可求出所求式子的值．解答：解：∵a2=b（b+c），即a2=b2+bc，b+c=，∴由正弦、余弦定理化简得：cosB======，则sinA=sin2B，即A=2B或A+2B=π，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，且a2=b（b+c）=b2+bc，∴cos A===＞0，即c＞b，∴C＞B，∵A+B+C=π，∴A+2B＜π，故A+2B=π不成立，舍去，∴A=2B，则=．故答案为：点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．15．（5分）函数f（x）=xln（ax）（a＜0）的递增区间是．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求单调区间先求定义域，再根据f'（x）＞0解出x的范围即可．解答：解：∵a＜0，∴定义域为（﹣∞，0），f'（x）=ln（ax）+1，当f'（x）＞0时，函数f（x）递增，此时，故递增区间为．故答案为：点评：本题考查函数的导数的应用，函数的单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=5，a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），则a20﹣3a19=﹣1．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：把给出的数列递推式变形，得到等比数列{a n﹣3a n﹣1}，求出其通项公式即可．解答：解：由a n=2a n﹣1+3a n﹣2，得a n﹣3a n﹣1=﹣（a n﹣1﹣3a n﹣2）（n≥3），∵a1=2，a2=5，∴a2﹣3a1=5﹣3×2=﹣1≠0，∴数列{a n﹣3a n﹣1}是以﹣1为首项，以﹣1为公比的等比数列，∵a20﹣3a19是这个数列的第19项，∴，故答案为：﹣1．点评：本题考查了递推式的变形、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=ccosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（I）根据正弦定理算出csinA=asinC，与题中等式比较可得，结合C为三角形内角，可得C的大小；（II）余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，列式解出a=5，b=1，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△ABC的面积．解答：解：（I）根据正弦定理，可得csinA=asinC，∵，∴，可得，得，∵C∈（0，π），∴；（II）∵∴sinC=sin（A+B）∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵A、B、C为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a (1)由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴ (2)由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．点评：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于基础题．18．（12分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令c n=1﹣（﹣1）n a n，不等式c k≥2014（1≤k≤100，k∈N*）的解集为M，求所有a k（k∈M）的和．考点：数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公比为q，由a52=a10，可得，解得a1=q．再利用2（a n+a n+2）=5a n+1，可得q，即可得出a n．（II）由（I）可得：．当n为偶数，不成立．当n为奇数，，可得n=2m+1，得到m的取值范围．可知{a k}（k∈M）组成首项为211，公比为4的等比数列．求出即可．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公比为q，∴，解得a1=q，又∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴则2（1+q2）=5q，2q2﹣5q+2=0，解得（舍）或q=2．∴．（Ⅱ）由（I）可得：，当n为偶数，，即2n≤﹣2013，不成立．当n为奇数，，即2n≥2013，∵210=1024，211=2048，∴n=2m+1，5≤m≤49，∴{a k}（k∈M）组成首项为211，公比为4的等比数列．则所有a k（k∈M）的和．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．19．（12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．课程[来初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率（Ⅰ）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为，由事件A，B，C，D相互独立能求出结果．（II）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：=．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P∵，∴．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．（1）当F为A1A的中点，求直线BC与平面BFC1所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面BFC1所成角的正弦值．（2）求出平面BFC1的一个法向量，利用向量法能求出当时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．解答：解：（1）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），∵F为AA1r 中点，∴，设是平面BFC1的一个法向量，则，得x=﹣y=z取x=1，得，设直线BC与平面BFC1的法向量的夹角为θ，则，∴直线BC与平面BFC1所成角的正弦值为．（2）设，设是平面BFC1的一个法向量，则，取z=2，得是平面FC1C的一个法向量，，得，即，∴当时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角为45°时点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（Ⅱ））设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，代入即可求解．解答：解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，有，，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，∴，∴3m2﹣16mk+20k2=0．解得m=2k或m=．当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（﹣，0），经检验符合已知条件．故直线l过定点，定点坐标为（﹣，0）．点评：本题主要考查双曲线方程的求解，以及直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m，n是正数，且m≠n，求证：＜．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，对a分情况讨论，（1）当0≤a≤2时，（2）当a＜0或a＞2时，求出导数为0的根，即可得到单调区间；（Ⅱ）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证，根据题意得到g（x）在x≥1时单调递增，且，利用函数的单调性可得证．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（1，+∞），，令h（x）=x2﹣2ax+2a，由题意得x2（x﹣1）＞0，则△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），对称轴为x=a，（1）当0≤a≤2时，h（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上递增；（2）当a＜0或a＞2时，h（x）=0的两根为，，由h（1）=1﹣2a+2a=1＞0，a＞2，得1＜x1＜x2，当x∈（x1，x2）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（1，x1）∪（x2，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）递增，所以f（x）的递增区间为，减区间为．a＜0时，对称轴在y轴左边，那么一根必然为负值，虽然有一根大于零，但由于此时h（1）=1﹣2a+2a=1＞0，也就是在对称轴与1之间产生了一个零点，而函数定义域为（1，+∞），所以此时原函数在（1，+∞）恒为增函数．（Ⅱ）要证，只需证，即，即，设，由题知g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又，所以，即成立，得到．点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，考查不等式的证明，正确利用函数的单调性是关键．。

绝密★启用前吉林省长春市普通高中2021届高三毕业班下学期教学质量监测(三)(三模)数学(文)试题2021年4月一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2,4},{|2,}n A B x x n A ===∈，则A B =A. {1,2}B. {1,4}C. {2,4}D. {1,2,4}2.已知复数(12i)i (i z =-⋅为虚数单位），则复数z 的虚部是A. 1B. 1-C. 2D. 2-3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =-，则4a 的值为A. 7B. 13C. 28D. 364.下列函数中,周期为π,且在区间(,)2ππ单调递增的是 A. |sin |y x = B. tan 2y x = C. cos 2y x = D. sin 2y x =5.已知向量,a b 满足||1||21==⋅=-，，a b a b ,则|2|-=a bA. 2B.C.D. 6.设,a b 为两条直线,,αβ为两个平面,则下列说法正确的是A. 若//,a b αα⊂ ,则//a bB. 若//,//a b a α ,则//b αC. 若,//a a αβ⊥,则αβ⊥D. 若,a a b α⊥⊥,则//b α7.曲线ln y x x =在x e =处的切线方程为A. y x =B. 2y x e =-C. y ex e =-D. 2y ex e e =-+8.右图是某多面体的三视图,其俯视图为等腰直角三角形,则该多面体各面中,最大面的面积为A.B. C. D. 29.某同学掷骰子5次,并记录了每次骰子出现的点数,得出平均数为2,方差为2.4的统计结果,则下列点数中一定不出现的是A. 1B. 2C. 5D. 610.已知直线:240l ax by ++=被圆22:5C x y +=截得弦长为2,则ab 的最大值为A.B. 2C. D. 111.已知函数|21|,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪-⎩≥,若方程()f x k =有且仅有两个不等实根,则实数k 的取值范围是A. 13k <<B. 13k <≤C. 03k <<D. 3k <12.第24届冬季奥林匹克运动会,将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会,北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家.根据规划,国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线,AC BD （如图),且两切线斜率之积等于916-,则椭圆的离心率为A. 34B. C. 916D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分.。

吉林省东北师范大学附属中学2021届下学期高三年级第四次模拟考试数学试卷（文科）本试卷共23题，共150分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|13},{|20}A x x B x x x =<<=-->，则A B =A ．(1,2)B ．(1,3)C ．(1,2)(2,3) D ．(2,3)2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()i 12i z -=，则z = A ．i 1-+ B ．22i -+ C ．1i -D ．2i 2-3．函数ln xy x=的图象大致为A ．B ．C ．D ．4．若()cos sin f x x x =-在[],a a -上是减函数，则a 的最大值是 A ．8π B ．4πC ．38πD ．34π5．某高中高一、高二、高三年级的人数分别为1200、900、900人．现按照分层抽样的方法抽取300名学生，调查学生每周平均参加体育运动的时间．样本数据（单位：小时）整理后得到如下图所示的频率分布直方图．下列说法错误．．的是A ．每个年级抽取的人数分别为120、90、90人B ．估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人C ．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人D ．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10% 6．执行如图所示的程序框图 若输出的S 是30，则判断框内的条件是A ．6n ≥B ．8n ≥C ．10n ≥D ．10n >7．已知,l m 是两条不同的直线，α是平面，/l α⊂，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 8．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积是221()4S b c =+，则ABC ∆的三个内角的大小为A ．060ABC === B ．090,45A B C === C ．0120,30A B C === D ．090,30,60A B C ===9．若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被以焦点为圆心的圆2240x y x +-= 所截得的弦长为23b =A ．1B 2C 3D ．210．已知3log 15a =，4log 20b =，23c =，则A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>11．在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，3AC BD ==，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为A 11πB ．11πC ．22πD ．44π12．已知2201()10xx x f x x x ≥⎧⎪⎪+=⎨⎪-<⎪⎩，，，若函数()()g x f x t 有三个不同的零点123x x x ，，123()x x x ，则123111x x x -++的取值范围是 A ．(3,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．5(,)2+∞ D ．(1,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件2．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）A ．2B ．10C ．34D ．983．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．254．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)5．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或1 B ．3或1 C ．4或1 D ．5或16．如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点P 为平行四边形外一点，且AP OB ，BP OA ，则DP =（ ）A ．2DA DC +B ．32DA DC + C ．2DA DC +D ．3122DA DC +7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．458．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 59．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( ) A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种10．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省东北师范大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，其共轭复数为，故选A．2. 已知集合，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，，所以，故选D．3. 平面向量与的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】C4. 阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B5. 已知是第二象限角，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：考点：1．诱导公式；2．同角间的三角函数关系式；3．二倍角公式6. “”是“直线：与直线：垂直”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由题意得，直线与直线垂直，则，解得或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，故选A．考点：两条直线的位置关系及充分不必要条件的判定．7. 为了解甲、乙、丙三个小区居民的生活成本，现分别对甲、乙、丙三个小区进行了“家庭每周日常消费额”的调查．将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图），若甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图：且棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，∴几何体的体积故选D．点睛：本题考查三视图及几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．题型新颖.9. 已知函数（）的最小正周期为，则在区间上的值域为（）A. B. C. D.【答案】B考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质.10. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，底面为直角三角形，且，则，则球的直径，则球的表面积选C11. 已知是椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A考点：椭圆的概念，向量运算．12. 已知定义域为的函数满足：当时，，且当时，，若在区间内，函数的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C点睛：本题考查函数与零点与方程有关系，解题方法是把的零点转化为的图象与直线的交点个数，为此只要作出函数的图象，而直线是过原点的动直线，它们的交点情况从图象上易看出，从而只要求出一些直线的斜率即可得结论．本题解法也是我们解决此类问题的通法，转化时，一般要转化为“定函数”，“动直线”，便于观察，得出结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在中，若，边的长为2，的面积为，则边的长为__________．【答案】【解析】，，则，，即．14. 已知实数，满足则的最大值是__________．【答案】10【解析】作出可行域，如图四边形内部（含边界），作直线，向上平行直线，目标函数增大，当过点时，取得最大值10．15. 已知双曲线（，）的一条渐进线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________．【答案】16. 设函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数图象上两点与的横坐标分别为1和，则；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点，是抛物线上不同的两点，则；④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，则．其中真命题的序号为__________．（将所有真命题的序号都填上）【答案】①②③④点睛：本题考查学生的创新意识，解题时只要根据新概念“弯曲度”的定义求出相应函数的“弯曲度”一一验证即可，①直接计算，②举一例计算检验，③④求出“弯曲度”并证明对应的不等式，转化与化归思想在这类问题中得到了充分的体现．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）（）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由写出当时，，两式相减可得数列的递推式，再求得，从而确定数列是等比数列，得通项公式；（Ⅱ）数列可以看作是一个等差数列和等比数列相乘所得，其前项和可用错位相减法求得．试题解析：（Ⅰ）由，①得，，②①②，得，即（，），所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，所以（）．（Ⅱ），，作差得，∴（）．点睛：本题考查错位相减法求和，对一个等差数列与一个等比数列相乘所得数列，其前项和可用错位相减法求解，首先写出和，然后在此式两边乘以等比数列的仅比，并错位，两式相减，可把和式转化为中间部分项是等比数列的和，应用等比数列求和公式可得结论．数列求和方法除直接应用等差数列和等比数列前项和公式外还有分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等等．18. 学校为了了解、两个班级学生在本学期前两个月内观看电视节目的时长，分别从这两个班级中随机抽取10名学生进行调查，得到他们观看电视节目的时长分别为（单位：小时）：班：5、5、7、8、9、11、14、20、22、31；班：3、9、11、12、21、25、26、30、31、35．将上述数据作为样本．（Ⅰ）绘制茎叶图，并从所绘制的茎叶图中提取样本数据信息（至少写出2条）；（Ⅱ）分别求样本中、两个班级学生的平均观看时长，并估计哪个班级的学生平均观看的时间较长；（Ⅲ）从班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为，从班的样本数据中随机抽取一个不超过11的数据记为，求的概率．【答案】（Ⅰ）①班数据有集中在茎0、1、2上，班数据有集中在茎1、2、3上；②班叶的分布是单峰的，班叶的分布基本上是对称的；③班数据的中位数是10，班数据的中位数是23．（Ⅱ）A平均13.2小时，B平均20.3小时，B班学生平均观看时间较长；（Ⅲ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）按照茎叶图的规则可得茎叶图，从图中可归纳一些数据信息．（Ⅱ）由平均值公式可计算出均值；（Ⅲ）抽出的数据可组成一个数对，可用列举法得出数对个数，并能得出的数对个数，从而得概率．试题解析：（Ⅰ）茎叶图如下（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）：从茎叶图中可看出：①班数据有集中在茎0、1、2上，班数据有集中在茎1、2、3上；②班叶的分布是单峰的，班叶的分布基本上是对称的；③班数据的中位数是10，班数据的中位数是23．（Ⅲ）班的样本数据中不超过11的数据有6个，分别为5,5,7,8,9,11；班的样本数据中不超过11的数据有3个，分别为3,9,11．从上述班和班的数据中各随机抽取一个，记为，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，共18种，其中的有：，，，，，，，共7种．故的概率为．19. 如图，已知长方形中，，为的中点，将沿折起，使得平面平面，设点是线段上的一动点（不与，重合）．（Ⅰ）当时，求三棱锥的体积；（Ⅱ）求证：不可能与垂直．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．试题解析：（Ⅰ）取的中点，连接．∵，∴，又为的中点，∴，∵平面平面，又平面，平面，∴平面．∵，∴，又，∴．（Ⅱ）假设．由（Ⅰ）可知，平面，∴．在长方形中，，∴、都是等腰直角三角形，∴．而、平面，，∴平面．而平面，∴．由假设，、平面，，∴平面，而平面，∴，这与已知是长方形矛盾，所以，不可能与垂直．20. 设点是轴上的一个定点，其横坐标为（），已知当时，动圆过点且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）当时，若直线与曲线相切于点（），且与以定点为圆心的动圆也相切，当动圆的面积最小时，证明：、两点的横坐标之差为定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.试题解析：（Ⅰ）因为圆与直线相切，所以点到直线的距离等于圆的半径，所以，点到点的距离与到直线的距离相等.所以，点的轨迹为以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以圆心的轨迹方程，即曲线的方程为．动圆的半径即为点到直线的距离.当动圆的面积最小时，即最小，而当时；.当且仅当，即时取等号， 所以当动圆的面积最小时，，即当动圆的面积最小时，、两点的横坐标之差为定值.21. 函数，（是自然对数的底数，）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）已知表示不超过的最大整数，如，，若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先得出，求出导函数，由确定增区间，确定减区间，从而确定出的最小值为，而，由此不等式得证；A①，在上是增函数，最小值为；②，即时，因为在上是增函数，且，因此在上有一个零点，记为，，即，这样有当时，，即；当时，，即，所以，在上是减函数，在上是增函数，所以，又，所以，所以，所以．由，可令，由此求出的范围，即此时的范围，综合以上两点可得．试题解析：（Ⅰ）（）.当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，取得最小值，最小值为，所以，又，且当时等号成立，所以，.①当，即时，恒成立，即，所以在上是增函数，所以，依题意有，解得，所以．②当，即时，因为在上是增函数，且，若，即，则，所以，使得，即，且当时，，即；当时，，即，所以，在上是减函数，在上是增函数，所以，又，所以，所以，所以．由，可令，，当时，，所以在上是增函数，所以当时，，即，所以．综上，所求实数的取值范围是．点睛：本题是导数与函数的综合应用，解题主要思路就是用导数研究函数的性质，即研究函数的单调性，函数的最值，解题关键是转化与化归．第（Ⅰ）小题是证明函数不等式，本题解法比较特殊（不具有一般性），求出不等式左边的最小值与不等式右边的最大值，由最小值最大值证得结论，第（Ⅱ）小题主要是问题转化为，因此接着就是求两个最小值，其中由第（Ⅰ）小题可知为0，在求最小值时，对其导数的零点的讨论，要注意又对它求导，利用导数研究，分类讨论是必不可少的方法，在零点不确定时，设为，利用零点的定义得出与的关系，从而得出的范围是解题过程的点睛之笔，遇到这类问题时要注意这个方法的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程经过点且倾斜角为的直线与抛物线：（）交于、两点，、、成等比数列．（Ⅰ）写出直线的参数方程；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数）；（Ⅱ）．试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为（为参数）．（Ⅱ）把参数方程代入，得，，，根据直线参数的几何意义，，，因为、、成等比数列，所以，，所以.23. 选修4-5：不等式选讲设函数（）．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若不等式的解集非空，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）直接计算，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；（2），分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.（2）f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为﹣，+∞）.不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是．考点：1.含绝对值不等式的证明与解法.2.基本不等式.。

吉林省长春市东北师范大学附属中学2021届高三数学下学期大练习试题（九）文（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知{1,0,1,2,3}A =-，}1|{>=x x B ，则B A 的元素个数为（ ） A. 0 B. 2C. 3D. 5【答案】B 【解析】 【分析】先根据A B ⋂的定义可以求出交集，然后判断交集的元素的个数。

【详解】因为A B ⋂={}2,3，所以A B ⋂的元素个数为2个，故本题选B 。

【点睛】本题考查了集合交集运算、以及集合元素个数。

2.复数2(2)ii z -=（i 为虚数单位），则z =（ ）A. 5B. 5C. 25D. 41【答案】A 【解析】试题分析：根据复数的运算可知，可知的模为，故本题正确选项为A.考点：复数的运算与复数的模.3.函数2()sin 22cos 1f x x x =-+的最小正周期为（ ） A. π B. 2π C. 3πD. 4π【答案】A 【解析】 【分析】把()2sin22cos 1f x x x =-+，化成sin()y A x B ωϕ=++或者cos()y A x B ωϕ=++形式，然后根据公式2T πω=,可以直接求解。

【详解】由()2sin22cos 1f x x x =-+，可得：2()sin 2(2cos 1)sin 2cos 2)4f x x x x x x π=--=-=-，222T πππω===，所以本题选A 。

【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式、辅助角公式、周期公式。

4.已知向量()1,2a =-，()3,1b =，(),4c x =，若()a b c -⊥，则=x （ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】利用坐标表示出a b -，根据垂直关系可知()0a b c -⋅=，解方程求得结果. 【详解】()1,2a =-，()3,1b = ()4,1a b ∴-=-()a b c -⊥ ()440a b c x ∴-⋅=-+=，解得：1x =本题正确选项：A【点睛】本题考查向量垂直关系的坐标表示，属于基础题.5.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>一条渐近线方程为x y 2=，则其离心率为（ ）B. 3C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由渐近线方程可以知道,a b 的关系，再利用222a b c +=这个关系，可以求出,a c 的关系，也就可以求出离心率。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合{}|02A x x =≤≤，集合{}|lg 0B x x =>，则A B =A ．(](),12,-∞+∞ B ．()(),01,2-∞ C ．[)1,2 D ．(]1,22．已知复数iiz -=3，则||z = A ．4 B ．10 C ．5 D ．2 3．下列说法正确的是A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若cos cos x y ≠，则x y ≠”的否命题是“若cos cos x y =，则x y ≠”C ．“0x <”是“20x x ->”的充要条件D ．若p ：x ∀∈R ，2320x x --<，则p ⌝：0x ∃∈R ，200320x x --.4．设12log 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，182c =，则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．某四棱锥的三视图如图所示，则 此四棱锥的体积为A ．2B ．3C ．4D ．66．等差数列}{n a 前n 项和为n S ，281112a a a ++=，则13S =A.32B.42C .52D. 627．为了得到函数2sin 3y x =的图象，可以将函数sin 3cos3y x x =+的图象A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬东北师大附中2021届高三年级第三次摸底考试（数学文）学科试题C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位 8．设双曲线22221x y a b-=的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率ABC ．5D ．29．正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为A ．812π B ．814πC ．815πD ．817π10．已知()f x 是R 上的偶函数，对任意∈x R , 都有(6)()(3)f x f x f +=+，且(1)2f =，则(2021)f 的值为A ．0B ．2-C ．2D ．6 11．在钝角ABC ∆中，2AB =，sin 2B =，且ABC ∆面积是2，则=AC A ．B ．2 CD12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '是函数()f x 的导函数且在[)0,+∞上()1f x '<， 若(2020)()20202f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为 A ．[]1010,1010- B ．[)1010,+∞ C ．(],1010-∞-D ．(][),10101010,-∞-+∞第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分, 共20分.）13. 已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与b a -平行，则实数x 的值为 ．14. 设直线l 过点(0,),a 倾斜角为︒45，且与圆222220x y x y +---=相切，则a 的值为 ．15. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-0101022y x y x y x ，则y x z -=2的取值范围为 ．16. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]，a b 上的两个函数，若函数()()()=-h x f x g x 在[]，a b 上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[]，a b 上是“关联函数”．若()=f x 234-+x x 与()2=+g x x m 在[03]，上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且4228S S =+． （1）求公差d 的值； （2）若11,n a T =是数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求使不等式511nT ≥成立的n 的最小值．18. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是边长为１的 正方形，侧棱PA 与底面成的角是︒45，,M N 分别是,AB PC 的中点． （1）求证：MN ∥平面PAD ； （2）求三棱锥M PBC -的体积．19．（本小题满分12分）东北师大附中数学科技节知识竞赛活动圆满结束，现从参加知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩低于50分为困难生，已知甲乙两人是困难生，为了解困难生具体情况，从选取的困难生随机抽取两人，求甲乙两人中至少有一人被抽到的概率？20（本小题满分12分） 已知函数()ln 1f x ax x =++． (1)若1a =-，求函数()f x 的最大值；(2)对任意的0x >，不等式()xf x e ≤恒成立，求实数a 的取值范围．21. （本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点)2,0(A ,右焦点为)0,(c F ，直线AF交椭圆于B 点，且满足||2||FB AF =, 233||=AB ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线)0(>=k kx y 与椭圆相交于D C ,两点，求四边形ACBD 面积的最大值．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为01)4cos(2=+-πθρ，曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 3cos 2y x （α为参数）． （1）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）已知点)1,0(-P ，曲线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，求PA PB +.23．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数|1||2|)(-++=x x x f （1）解不等式5)(≤x f ；（2）若关于x 的不等式2()2f x a a ≤-有解，求实数a 的取值范围．一、选择题 DBDAD CCCBC CB 二、填空题高三年级第三次摸底考试（数学文）学科试题（参考答案）13. 2 14 22± 15. ]5,1[- 16. 9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦三．解答题17. 解：（1）由4228S S =+，即()1146228a d a d +=++，化简得：48d =，解得2d =； （2）由11,2a d ==，得21n a n =-， 所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以12231111111111123352121n n n T a a a a a a n n +⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，由511n T ≥解得5n ≥，所以n 的最小值为5． 18. 证明：（1）取PD 的中点Q ,连结QN 、AQ ,N 是PC 的中点QN ∴//CD ,且QN =12CD ，底面四边形ABCD 是边长是１的正方形，又M 是AB 的中点，AM ∴//CD ,且AM ∴=12CD ,QN ∴//AM ,且QN =AM ，AMNQ ∴四边形是平行四边形，//MN AQ ∴,又AQ PAD ⊂平面,MN ∴∥平面PAD .（2）PD ⊥平面ABCD ，PAD ∴∠是侧棱PA 与底面成的角，即PAD ∴∠=045，PAD ∆∴是等腰直角三角形，则1PD AD ==, 11331111113412M PBC P MBC MBC V V S PD AB BC PD--∴==⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=19 .解：（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯= ，解得0.025a =． ，平均成绩为：450.05550.1650.2750.3850.25950.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯74= （2）困难生共5人，设另外三人a,b,c,甲乙为1,2，所有情况：ab,ac,a1,a2,bc,b1,b2,c1,c2,12710P =20解：(1)当1a =-时，()ln 1f x x x =-++，定义域为()0,∞+，()111xf x x x'-=-+=. 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >.因此，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞； 所以()()max 10==f x f(2)不等式ln 1xax x e ++≤恒成立，等价于ln 1x e x a x--≤在()0,∞+恒成立，令()ln 1x e x g x x --=，0x >，故只需()min a g x ≤即可，()()21ln x x e x g x x'-+=， 令()()1ln xh x x e x =-+，0x >，则()10xh x xe x=+>'， 所以()y h x =在()0,∞+单调递增，而()10h =，所以()0,1x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()y g x =在()0,1单调递减；()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()y g x =在()1,+∞单调递增，所以在1x =处()y g x =取得最小值()11g e =-， 所以1a e -≤，即实数a 的取值范围是{}1a a e ≤-.21.解：（1）由题意， ||2||FB AF =,由233||=AB 知3||=AF , 右焦点为)0,(cF ||2AF a b ∴===又.椭圆C 的标准方程是12322=+y x . （2）由（Ⅰ）知)0,1(F ,)2,0(A ,∴直线AF 的方程为022=-+y x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+02212322y x y x 得0)3(26422=-=-x x x x ，得23,021==x x .∴)22,23(-B 设点)2,0(A ，)22,23(-B 到直线)0(>=k kx y 的距离为1d 和2d ， 1221+=k d ，122322++=k k d ， 直线)0(>=k kx y 与椭圆相交于D C ,两点,∴联立⎪⎩⎪⎨⎧==+kxy y x 12322,得6)23(22=+x k ，得236,2362423+=+-=k x k x . 23162||1||22432++=-+=∴k k x x k CD .∴设四边形ACBD 面积为S ，则12)2(32316)(||2122221++⋅++=+=k k k k d d CD S )0(2322632>++⋅=k k k .设),2(2+∞∈+=k t ，则2-=t k ，)2(2)2(32632>+-⋅=∴t t t S .2218126312638263263tt t t t S ⋅+⋅-⋅=+-⋅=2343)8231(812632≤+-⋅=t 8231=t ，即2324238+===k t ，即32=k 时，四边形ACBD 面积有最大值23.（以||AB 为底边，点C 点D 到线段AB 的距离为高计算四边形ACBD 面积也可以） 22解：（1）01sin cos ,sin ,cos =++∴==θρθρθρθρy x ,1C 的普通方程为01=++y x , 2C 的普通方程为13422=+y x . （2）1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=12222t y t x （t 为参数），将曲线1C 的参数方程代入2C 的普通方程， 整理得0162872=--t t ，令1PA t =，2PB t =，由韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+7167282121t t t t ， 则有7244)(||||||||||212212121=-+=-=+=+t t t t t t t t PB PA . 23．解：（1）|1||2|)(-++=x x x f①当2-≤x 时，512)1(2)(≤--=----=x x x x f ，3-≥∴x ，,2-≤x ∴23-≤≤-x ； ②当12<<-x 时，53)1(2)(≤=--+=x x x f 恒成立， 12<<-∴x 符合题意； ③当1≥x 时，512)1(2)(≤+=-++=x x x x f ，2≤∴x ，又21,1≤≤∴≥x x ； 综上知不等式5)(≤x f 的解集为]2,3[-.（2）由（Ⅰ）知，⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--=1,1212,32,12)(x x x x x x f ，所以3)(min =x f ， 2232,2331a a a a a a ≤--≥≥≤-即，，所以或。

吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题，共60分1．（5分）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）2．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x3．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|4．（5分）函数的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称5．（5分）已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣36．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则sinC=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣18．（5分）若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A．＞B．|a|＞|b| C．+＞2 D．a+b＞ab9．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（）A．B．C．D．10．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是数列{a n}的前n项和，若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S5等于（）A．15 B．31 C．32 D．5111．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且∀x∈∈R，f（x）=f（x+4）．当x∈∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f﹣f的值为（）A．﹣B．0 C．D．112．（5分）已知直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）其中x1＜x2＜x3＜x4，则有（）A．sinx4=1 B．sinx4=（x4+1）cosx4C．sinx4=kcosx4D．sinx4=（x4+1）tanx4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）sin15°+cos15°=．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，则a99=．15．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．16．（5分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点，若某函数f（x）图象恰好经过n个格点，则称此函数为n阶格点函数，给出以下函数：①f（x）=x2，②f（x）=In|x|；③；④．其中所有满足二阶格点函数的序号是．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}前 n项和为S n，且S n=n2，（1）求{a n}的通项公式（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）若函数f（x）=cosxsin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）写出函数f（x）在[0，π]上的单调区间．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2B，．（Ⅰ）求cosA及sinC的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积．20．（12分）某单位用2560万元购得一块空地，计划在这块地上建造一栋至少12层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为520+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值为多少元？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（a≤0）．（Ⅰ）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）有唯一零点，求实数m的取值范围．吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题，共60分1．（5分）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合B，然后直接求解A∩B．解答：解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故选：D．点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．2．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：∃x0∈R，=x0．故选：D．点评：本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．3．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．解答：解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．点评：本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．4．（5分）函数的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称考点：奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．解答：解：因为═，所以f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），所以函数f（x）是偶函数，即函数图象关于y轴对称．故选A．点评：本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．5．（5分）已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：综合题；简易逻辑．分析：把充分性问题，转化为集合的关系求解．解答：解：∵条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件∴集合q是集合p的真子集，q⊊P即a≥1故选：A点评：本题考察了简易逻辑，知识融合较好．6．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．7．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则sinC=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣1考点：正弦定理．专题：计算题．分析：根据已知三内角的关系，利用内角和定理可求出B的度数，进而求出sinB和cosB的值，由a，b及cosB的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后再由b，c及sinB的值，利用正弦定理求出sinC的值即可．解答：解：由A+C=2B，且A+B+C=π，得到B=，所以cosB=，又a=1，b=，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即c2﹣c﹣2=0，因式分解得：（c﹣2）（c+1）=0，解得c=2，c=﹣1（舍去），又sinB=，b=，根据正弦定理=得：sinC===1．故选C点评：此题考查了正弦定理，余弦定理以及特殊角的三角函数值，根据已知角度的关系，利用三角形内角和定理求出B的度数是本题的突破点，熟练掌握定理是解本题的关键．8．（5分）若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A．＞B．|a|＞|b| C．+＞2 D．a+b＞ab考点：不等关系与不等式．专题：常规题型．分析：利用不等式的基本性质，两个负数取倒数或去绝对值不等式方向应该改变，得到AB 不正确，在根据均值不等式得到C是正确的，对于显然知道a+b＜0而ab＞0故D也不正确．解答：解：∵b＜a＜0∴取倒数后不等式方向应该改变即＜，故A不正确∵b＜a＜0∴两边同时乘以﹣1后不等式方向应该改变﹣b＞﹣a＞0即|a|＜|b|，故B不正确∵b＜a＜0根据均值不等式知：+＞2故C正确∵b＜a＜0∴a+b＜0，ab＞0∴a+b＜ab故D不正确故选C点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．9．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由题意可知，A、T利用T求出ω，利用（）再求φ即可．解答：解：由图象可知，A=2，，T=π，所以ω=2函数y=Asin（ωx+φ）=2sin（2x+φ），当x=时，y=2，因为2sin（+φ）=2，|φ|＜，所以φ=故选C．点评：本题考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，考查学生分析问题和解决问题的能力，是基础题．10．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是数列{a n}的前n项和，若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S5等于（）A．15 B．31 C．32 D．51考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：解一元二次方程由题意可得a1=1，a3=4，公比q=2，由等比数列的求和公式可得．解答：解：解方程x2﹣5x+4=0可得两个根为1和4，由题意得a1=1，a3=4，公比q=2，∴，故选：B点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且∀x∈∈R，f（x）=f（x+4）．当x∈∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f﹣f的值为（）A．﹣B．0 C．D．1考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意得周期T=4，可得f﹣f=f（﹣1）﹣f（1）=2f（﹣1），运用已知区间上的解析式即可求解．解答：解：∀x∈∈R，f（x）=f（x+4）可得周期T=4，f﹣f=f（﹣1+4×504）﹣f（1+4×503）=f（﹣1）﹣f（1），由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）﹣f（1）=2f（﹣1），由于x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（﹣1）=2﹣1=，即有f﹣f=2×=1．故选D．点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）已知直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）其中x1＜x2＜x3＜x4，则有（）A．sinx4=1 B．sinx4=（x4+1）cosx4C．sinx4=kcosx4D．sinx4=（x4+1）tanx4考点：正弦函数的图象．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：依题意，在同一坐标系中作出直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，从而将切点坐标代入直线方程（即切线方程）即可求得答案．解答：解：∵直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点，如图：当x∈（π，2π）时，函数y=|sinx|=﹣sinx，y′=﹣cosx，依题意，切点坐标为（x4，y4），又切点处的导数值就是直线y=k（x+1）（k＞0）的斜率k，即k=﹣cosx4，∴y4=k（x4+1）=﹣cosx4（x4+1）=|sinx4|=﹣sinx4，∴sinx4=（x4+1）cosx4，故选：B．点评：本题考查正弦函数的图象，着重考查导数的几何意义的应用，考查等价转化思想与数形结合思想的综合应用，考查作图能力与分析、运算能力，属于难题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）sin15°+cos15°=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：原式提取，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，即可得到结果．解答：解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=sin（15°+45°）=sin60°=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，则a99=5049．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：根据递推公式a1=2，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，利用累加法和等差数列的前n项和公式求出a99的值．解答：解：由题意知，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，所以a2﹣a1=3，a3﹣a2=4，a4﹣a3=5，…，a99﹣a98=100，上述各式相加得：a99﹣a1=3+4+5+ (100)又a1=2，则a99=2+3+4+5+…+100==5049，故答案为：5049．思路点拨由递推公式相加易得a99=2+3+4+5+…+100=5049．点评：本题考查数列的递推公式的应用，等差数列的前n项和公式，以及累加法求数列的项，难度不大．15．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．解答：解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．点评：本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．16．（5分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点，若某函数f（x）图象恰好经过n个格点，则称此函数为n阶格点函数，给出以下函数：①f（x）=x2，②f（x）=In|x|；③；④．其中所有满足二阶格点函数的序号是2，4．考点：函数的图象．专题：新定义．分析：①当x=﹣2，0，2，…，f（x）=x2，有无数个格点；②只有x=±1时，f（x）=In|x|=0，满足横、纵坐标均为整数；③当x=0，﹣1，﹣2…，均为整数，及该函数有无数个格点；④=2+，只有x=1与x=3时，满足题意．解答：解：①当x=﹣2，0，2，…，f（x）=x2，有无数个格点，可排除A；对于f（x）=In|x|，只有x=±1时，f（x）=In|x|=0，满足横、纵坐标均为整数，故②为二阶格点函数；③当x=0，﹣1，﹣2…，均为整数，及该函数有无数个格点，故可排除C；对于④，=2+，显然只有x=1与x=3时，满足横、纵坐标均为整数，故④为二阶格点函数．故答案为：②④．点评：本题考查函数的图象，着重考查基本初等函数的性质，注重排除法与转化法的考查，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}前 n项和为S n，且S n=n2，（1）求{a n}的通项公式（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将S n=n2中的n用n﹣1代替仿写出一个新的等式，两个式子相减，即得到函数的通项公式．（2）将a n的值代入b n，将其裂成两项的差，利用裂项求和的方法求出数列{b n}的前 n项和T n．解答：解：（1）∵S n=n2∴S n﹣1=（n﹣1）2两个式子相减得a n=2n﹣1；（2）=（故Tn=+++…+==点评：求数列的前n项和问题，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法，常见的求和方法有：公式法、倒序相加的方法、错位相减法、裂项相消法、分组法．18．（12分）若函数f（x）=cosxsin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）写出函数f（x）在[0，π]上的单调区间．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）先化简f（x）=cosxsin（x+）=sin（2x+）+，由正弦函数的性质即可求函数f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递增区间，由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递减区间，从而可求函数f（x）在[0，π]上的单调区间．解答：解：f（x）=cosxsin（x+）=cosx（sinx+cosx）=sin（2x+）+．（Ⅰ）由正弦函数的性质：f（x）的最小正周期为T==π；最大值为．（Ⅱ）∵由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递增区间为：[k，k]，k∈Z，由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递减区间为：[k，k]，k∈Z，∴函数f（x）在[0，π]上的单调区间：函数f（x）在[0，]和[，π]上单调递增，在[，]上单调递减．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，A=2B，．（Ⅰ）求cosA及sinC的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据cosA=cos2B=1﹣2sin2B，及，可求cosA及sinC的值；（Ⅱ）先计算sinA的值，再利用正弦定理，确定a的值，过点C作CD⊥AB于D，利用c=acosB+bcosA，即可求得三角形的面积．解答：解：（Ⅰ）因为A=2B，所以cosA=cos2B=1﹣2sin2B．…（2分）因为，所以cosA=1﹣=．…（3分）由题意可知，B，所以cosB=．…（5分）所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（8分）（Ⅱ）sinA=sin2B=2sinBcosB=因为，b=2，所以，所以a=．…（10分）由cosA=可知，A．过点C作CD⊥AB于D，所以c=acosB+bcosA=．…（12分）所以．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，考查正弦定理的运用，解题的关键是搞清三角形中边角之间的关系．20．（12分）某单位用2560万元购得一块空地，计划在这块地上建造一栋至少12层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为520+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值为多少元？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：由题意可得平均综合费y=520+50x+，利用导数求出函数的最小值以及对应的x的值．解答：解：设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得；y=520+50x+=520+50x+（x≥12，且x∈N*），当x≥12时，y′=50﹣，令y′=0，即50﹣=0，解得x=16；∴当x＞16时，y′＞0；当0＜x＜16时，y′＜0；∴当x=16时，y取得极小值也是最小值，此时最小值为2120．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为16层，此时每平方米的平均综合费用的最小值为2120元．点评：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了利用导数求函数最值的应用问题，是综合性题目．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（Ⅱ））设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，代入即可求解．解答：解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，有，，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，∴，∴3m2﹣16mk+20k2=0．解得m=2k或m=．当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（﹣，0），经检验符合已知条件．故直线l过定点，定点坐标为（﹣，0）．点评：本题主要考查双曲线方程的求解，以及直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（a≤0）．（Ⅰ）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）有唯一零点，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f′（x）=﹣ax+a﹣1=．此题需分a=0和a＜0两种情况讨论；（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）=mx2﹣x﹣lnx，可得g′（x）=（x＞0）．通过对m分情况讨论，利用导数研究函数的单调性极值，即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣ax﹣b，由f′（1）=0，得b=1﹣a．∴f′（x）=﹣ax+a﹣1=．当a=0时，f′（x）=，可得x=1是f（x）的极大值点，符合题意．当a＜0时，由f′（x）=0，得x=1或x=﹣．∵x=1是f（x）的极大值点，∴﹣1，解得﹣1＜a＜0．综上：a的取值范围是﹣1＜a≤0．（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）=mx2﹣x﹣lnx，则g′（x）=（x＞0）．令h（x）=2mx2﹣x﹣1．（1）当m=0时，g′（x）=＜0，则g（x）在（0，+∞）上为减函数．又=﹣+1＞0，g（1）=﹣1＜0，∴函数g（x）有唯一零点．（2）当m＜0时，令h（x）=2mx2﹣x﹣1的图象对称轴为x=＜0，且h（0）=﹣1＜0，∴当x＞0时，h（x）＜0．∴函数g（x）在（0，+∞）上为减函数．当x→0时，g（x）→+∞，即∃x0＞0，使g（x0）＞0，而g（1）=m﹣1＜0，∴函数g（x）存在唯一零点．（3）当m＞0时，方程2mx2﹣x﹣1=0有两个不相等的实数根x1、x2，又x1x2=﹣＜0，不妨设x1＜0，x2＞0．当0＜x＜x2时，h（x）＜0；当x＞x2时，h（x）＞0．∴函数g（x）在（0，x2）上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，∴函数g（x）有最小值g（x）min=g（x2）．要使g（x）=mx2﹣x﹣lnx存在唯一零点，应满足，即，消去m得 2lnx2+x2﹣1=0．令u（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），则+1＞0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，又h（1）=0，所以h（x）=0有唯一的实根x=1，因此x2=1，代入方程组得m=1．综上可知，m≤0或m=1．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、函数零点与函数单调性的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。