2017年吉林省东北师大附中高考数学三模试卷(文科)

2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，x，，则()A.2B.3C.4D.52.若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则()A.0B.2C.D.3.某种酸奶每罐净重单位：服从正态分布随机抽取1罐，其净重在179g与之间的概率为()注：若，，，A. B. C. D.4.等差数列的前n项和记为，若，，则()A.51B.102C.119D.2385.过点作圆的切线PA，A为切点，，则的最大值是()A. B. C. D.6.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，I为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.37.某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是()A.该校2023年与2022年的本科达线人数比为6：5B.该校2023年与2022年的专科达线人数比为6：7C.2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了D.2023年该校不上线的人数有所减少8.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线与直线的夹角为，则点Q的轨迹长度为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，内角A，B，C分别对应边a，b，c则下列命题中正确的是()A.若，则为钝角三角形B.若，，，则的面积为C.在锐角中，不等式恒成立D.若，，且有两解，则b的取值范围是10.已知函数，则下列说法正确的是()A.的极值点为B.的极值点为1C.直线是曲线的一条切线D.有两个零点11.已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是()A.4为的一个周期B.8为的一个周期C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|2x+1≥4}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）2．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S5=15，则a6等于（）A．8 B．7 C．6 D．54．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．36．（5分）设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（）A．B．﹣C．或﹣D．或7．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，则f（x）的最小正周期T和其图象的一条对称轴方程是（）A．2π，x=B．2π，x=C．π，x=D．π，x=8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣3x，则其导函数f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．ln2 B．﹣ln2 C．+ln2 D．9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．210．（5分）若f（x）的定义域为R，f′（x）＞2恒成立，f（﹣1）=2，则f（x）＞2x+4解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）11．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为（）A．（0，1] B．（0，e﹣2] C．[e﹣2，1] D．[1﹣，1]12．（5分）定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（）A．n B．2n C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=（x＞0）的最大值为．14．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a2=b（b+c），则=．15．（5分）函数f（x）=xln（ax）（a＜0）的递增区间是．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=5，a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），则a20﹣3a19=．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=ccosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令c n=1﹣（﹣1）n a n，不等式c k≥2014（1≤k≤100，k∈N*）的解集为M，求所有a k（k∈M）的和．19．（12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．课程[来初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率（Ⅰ）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．（1）当F为A1A的中点，求直线BC与平面BFC1所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m，n是正数，且m≠n，求证：＜．吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|2x+1≥4}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的交集运算进行求解．解答：解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜3}，故选C．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x02+1≤3x0B．∀x∈R，x2+1≤3xC．∀x∈R，x2+1＜3x D．∀x∈R，x2+1＞3x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题．所以，命题p：∃x0∈R，x02+1＞3x0，则￢p是∀x∈R，x2+1≤3x，故选B．点评：本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，S5=15，则a6等于（）A．8 B．7 C．6 D．5考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列性质计算可得，也可由S5=15直接求公差．解答：解：，公差d=1，所以a6=6，故选：C．点评：本题考查数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．（5分）“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性．专题：函数的性质及应用．分析：由“λ＜1”可得 a n+1﹣a n＞0，推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，不能推出“λ＜1”，由此得出结论．解答：解：由“λ＜1”可得 a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n﹣2λ+1＞0，故可推出“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”，故充分性成立．由“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”可得 a n+1﹣a n=[（n+1）2﹣2λ（n+1）]﹣[n2﹣2λn]=2n ﹣2λ+1＞0，故λ＜，故λ＜，不能推出“λ＜1”，故必要性不成立．故“λ＜1”是“数列a n=n2﹣2λn（n∈N*）为递增数列”的充分不必要条件，故选A．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，数列的单调性的判断方法，属于基础题．5．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解答：解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．点评：本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（）A．B．﹣C．或﹣D．或考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：注意到角的变换β=α﹣（α﹣β），再利用两角差的余弦公式计算可得结果．解答：解：∵α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，∴sinα==；同理可得，∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=•+•=，故选：A．点评：本题考查两角和与差的余弦公式，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．7．（5分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，则f（x）的最小正周期T和其图象的一条对称轴方程是（）A．2π，x=B．2π，x=C．π，x=D．π，x=考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值．分析：先化简即可求周期与对称轴方程．解答：解：=，∴T=π，对称轴：，∴，当k=0时，．故选D．点评：本题考查三角函数图象与性质，两角和与差的三角函数，基本知识的考查．8．（5分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣3x，则其导函数f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．ln2 B．﹣ln2 C．+ln2 D．考点：定积分在求面积中的应用；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由题可得f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为：，代入计算可得结果．解答：解：令f'（x）=0，得：或1，所以f′（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为：=；故选B．点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积．9．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵lg2x+lg8y=lg2，∴lg（2x•8y）=lg2，∴2x+3y=2，∴x+3y=1．∵x＞0，y＞0，∴==2+=4，当且仅当x=3y=时取等号．故选C．点评：熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键．10．（5分）若f（x）的定义域为R，f′（x）＞2恒成立，f（﹣1）=2，则f（x）＞2x+4解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：导数的概念及应用．分析：利用条件，构造函数，利用函数的单调性和函数的取值进行求解．解答：解：设F（x）=f（x）﹣2x﹣4，则F'（x）=f'（x）﹣2，因为f′（x）＞2恒成立，所以F'（x）=f'（x）﹣2＞0，即函数F（x）在R上单调递增．因为f（﹣1）=2，所以F（﹣1）=f（﹣1）﹣2（﹣1）﹣4=2+2﹣4=0．所以所以由F（x）=f（x）﹣2x﹣4＞0，即F（x）=f（x）﹣2x﹣4＞F（﹣1）．所以x＞﹣1，即不等式f（x）＞2x+4解集为（﹣1，+∞）．故选B．点评：本题主要考查导数与函数单调性的关系，利用条件构造函数是解决本题的关键．11．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为（）A．（0，1] B．（0，e﹣2] C．[e﹣2，1] D．[1﹣，1]考点：函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：运用导数可得f（x），g（x）在x∈[1，e]时单调递增，要使对任意的x1，x2∈[1，e]，有f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x）min≥g（x）max．解答：解：由于，，∵x∈[1，e]，0＜a≤1，∴f'（x）＞0，g'（x）＞0，即f（x），g（x）在x∈[1，e]时单调递增，由任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，所以f（x）min≥g（x）max，即f（1）≥g（e），∴1+a≥e﹣1，∴a≥e﹣2，又0＜a≤1，得e﹣2≤a≤1，故选C．点评：本题考查函数的单调性的运用，考查运用导数判断函数的单调性，考查不等式恒成立问题转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．12．（5分）定义函数f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（）A．n B．2n C．（2n﹣1）D．（2n﹣1）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当1≤x≤2，f（x）是二次函数，当x ＞2时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．解答：解：当时，f（x）=8x﹣8，所以，此时当时，g（x）max=0；当时，f（x）=16﹣8x，所以g（x）=﹣8（x﹣1）2+2＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max=0．下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．当2n﹣1≤x≤3•2n﹣2时，由函数f（x）的定义知，因为，所以，此时当x=3•2n﹣2时，g（x）max=0；当3•2n﹣2≤x≤2n时，同理可知，．由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时，g（x）max=0．综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间[2n﹣1，2n]上有1个零点，从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．故选：D点评：本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=（x＞0）的最大值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：思路点拨令t=2x+1（t＞1），原式==，利用基本不等式即可得出．解答：解：令t=2x+1（t＞1），原式==，∵，当且仅当t=时取等号．∴原式，故最大值为．点评：本题考查了换元法、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）△ABC中，内角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，且a2=b（b+c），则=．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形为a2=b2+bc代入，约分后再将b+c=代入，利用正弦定理化简得到sinA=2sinBcosB=sin2B，进而得到A=2B，即可求出所求式子的值．解答：解：∵a2=b（b+c），即a2=b2+bc，b+c=，∴由正弦、余弦定理化简得：cosB======，则sinA=sin2B，即A=2B或A+2B=π，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，且a2=b（b+c）=b2+bc，∴cos A===＞0，即c＞b，∴C＞B，∵A+B+C=π，∴A+2B＜π，故A+2B=π不成立，舍去，∴A=2B，则=．故答案为：点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．15．（5分）函数f（x）=xln（ax）（a＜0）的递增区间是．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求单调区间先求定义域，再根据f'（x）＞0解出x的范围即可．解答：解：∵a＜0，∴定义域为（﹣∞，0），f'（x）=ln（ax）+1，当f'（x）＞0时，函数f（x）递增，此时，故递增区间为．故答案为：点评：本题考查函数的导数的应用，函数的单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=5，a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），则a20﹣3a19=﹣1．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：把给出的数列递推式变形，得到等比数列{a n﹣3a n﹣1}，求出其通项公式即可．解答：解：由a n=2a n﹣1+3a n﹣2，得a n﹣3a n﹣1=﹣（a n﹣1﹣3a n﹣2）（n≥3），∵a1=2，a2=5，∴a2﹣3a1=5﹣3×2=﹣1≠0，∴数列{a n﹣3a n﹣1}是以﹣1为首项，以﹣1为公比的等比数列，∵a20﹣3a19是这个数列的第19项，∴，故答案为：﹣1．点评：本题考查了递推式的变形、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=ccosC．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（I）根据正弦定理算出csinA=asinC，与题中等式比较可得，结合C为三角形内角，可得C的大小；（II）余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，列式解出a=5，b=1，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△ABC的面积．解答：解：（I）根据正弦定理，可得csinA=asinC，∵，∴，可得，得，∵C∈（0，π），∴；（II）∵∴sinC=sin（A+B）∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=5sin2A，∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，∵A、B、C为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，由正弦定理可知b=5a (1)由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，∴ (2)由（1）（2）解得a=5，b=1，∴．点评：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于基础题．18．（12分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，n∈N*．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令c n=1﹣（﹣1）n a n，不等式c k≥2014（1≤k≤100，k∈N*）的解集为M，求所有a k（k∈M）的和．考点：数列递推式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公比为q，由a52=a10，可得，解得a1=q．再利用2（a n+a n+2）=5a n+1，可得q，即可得出a n．（II）由（I）可得：．当n为偶数，不成立．当n为奇数，，可得n=2m+1，得到m的取值范围．可知{a k}（k∈M）组成首项为211，公比为4的等比数列．求出即可．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公比为q，∴，解得a1=q，又∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴则2（1+q2）=5q，2q2﹣5q+2=0，解得（舍）或q=2．∴．（Ⅱ）由（I）可得：，当n为偶数，，即2n≤﹣2013，不成立．当n为奇数，，即2n≥2013，∵210=1024，211=2048，∴n=2m+1，5≤m≤49，∴{a k}（k∈M）组成首项为211，公比为4的等比数列．则所有a k（k∈M）的和．点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．19．（12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．课程[来初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率（Ⅰ）求乙同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（Ⅱ）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为，由事件A，B，C，D相互独立能求出结果．（II）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：=．（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，，，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P∵，∴．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC=90°，F为棱AA1上的动点，A1A=4，AB=AC=2．（1）当F为A1A的中点，求直线BC与平面BFC1所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．考点：与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面BFC1所成角的正弦值．（2）求出平面BFC1的一个法向量，利用向量法能求出当时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．解答：解：（1）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），∵F为AA1r 中点，∴，设是平面BFC1的一个法向量，则，得x=﹣y=z取x=1，得，设直线BC与平面BFC1的法向量的夹角为θ，则，∴直线BC与平面BFC1所成角的正弦值为．（2）设，设是平面BFC1的一个法向量，则，取z=2，得是平面FC1C的一个法向量，，得，即，∴当时，二面角B﹣FC1﹣C的大小是45°．点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角为45°时点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（Ⅱ））设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，代入即可求解．解答：解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，有，，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，∴，∴3m2﹣16mk+20k2=0．解得m=2k或m=．当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（﹣，0），经检验符合已知条件．故直线l过定点，定点坐标为（﹣，0）．点评：本题主要考查双曲线方程的求解，以及直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设m，n是正数，且m≠n，求证：＜．考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，对a分情况讨论，（1）当0≤a≤2时，（2）当a＜0或a＞2时，求出导数为0的根，即可得到单调区间；（Ⅱ）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证，根据题意得到g（x）在x≥1时单调递增，且，利用函数的单调性可得证．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（1，+∞），，令h（x）=x2﹣2ax+2a，由题意得x2（x﹣1）＞0，则△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），对称轴为x=a，（1）当0≤a≤2时，h（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上递增；（2）当a＜0或a＞2时，h（x）=0的两根为，，由h（1）=1﹣2a+2a=1＞0，a＞2，得1＜x1＜x2，当x∈（x1，x2）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（1，x1）∪（x2，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）递增，所以f（x）的递增区间为，减区间为．a＜0时，对称轴在y轴左边，那么一根必然为负值，虽然有一根大于零，但由于此时h（1）=1﹣2a+2a=1＞0，也就是在对称轴与1之间产生了一个零点，而函数定义域为（1，+∞），所以此时原函数在（1，+∞）恒为增函数．（Ⅱ）要证，只需证，即，即，设，由题知g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又，所以，即成立，得到．点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，考查不等式的证明，正确利用函数的单调性是关键．。

吉林省高考数学三模试卷 A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·会宁月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）若复数，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A .B .C .D . 23. （2分）设f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在（0，3）内单调递增，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）A . f（1.5）＜f（3.5）＜f（6.5）B . f（6.5）＜f（1.5）＜f（3.5）C . f（6.5）＜f（3.5）＜f（1.5）D . f（3.5）＜f（6.5）＜f（1.5）4. （2分） (2017高二下·穆棱期末) 已知则（）A .B .C .D .5. （2分）椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点F1 ， F2 ，点M在椭圆上，且MF1⊥F1F2 ， |MF1|=，|MF2|=，则离心率e等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二下·安吉期中) 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A .B .C . 1D .7. （2分） (2016高一下·宜春期中) 函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）A . x=B . x=C . x=﹣D . x=﹣8. （2分）运行如图所示的程序流程图，则输出I的值是（）A . 5B . 7C . 9D . 119. （2分） (2016高二上·青岛期中) 过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A . 2B .C . 3D .10. （2分） (2016高二上·南宁期中) 下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A . （0，2）B . （﹣2，0）C . （0，﹣2）D . （2，0）11. （2分）下列说法中正确的是（）A . 棱柱的面中，至少有两个面互相平行B . 棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C . 棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高D . 棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形12. （2分） (2016高一上·石嘴山期中) 若0＜a＜1，则方程a|x|=|logax|的实根个数（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·无锡期末) 已知向量夹角为45°，且，则=________．14. （1分）设数列{an}的通项an=13﹣2n，前n项和为Sn ，则当Sn最大时，（2x﹣）n的展开式中常数项为________．15. （1分）现从A，B，C，D，E五人中选取三人参加一个重要会议，五人被选中的机会相等，则A和B同时被选中的概率是________．16. （1分） (2017高二下·太原期中) 已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，对应边a，b，c成等比数列，那么△ABC的形状为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2017高二上·南通期中) 设等差数列{an}的前n项和为S，a2+a6=20，S5=40．（1）求{an}的通项公式；（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7．若b6=ak，求k的值．18. （5分）某班植树小组栽培甲、乙两种松树，已知小组中每位成员甲、乙两种至少要栽培一种，已知栽培甲品种的有2人，栽培乙品种的有6人，现从中选2人，设选出的人中既栽培甲品种又栽培乙品种的人数为ξ，且P（ξ=0）=，求：（1）植树小组的人数；（2）随机变量ξ的数学期望．19. （10分）(2017·郎溪模拟) 五面体ABC﹣DEF中，面BCFE是梯形，BC∥EF，面ABED⊥面BCFE，且AB⊥BE，DE⊥BE，AG⊥DE于G，若BE=BC=CF=2，EF=ED=4．（1）求证：G是DE中点；（2）求二面角A﹣CE﹣F的平面角的余弦．20. （10分） (2017高一上·洛阳期末) 已知圆心在直线x+y﹣1=0上且过点A（2，2）的圆C1与直线3x﹣4y+5=0相切，其半径小于5．（1）若C2圆与圆C1关于直线x﹣y=0对称，求圆C2的方程；（2）过直线y=2x﹣6上一点P作圆C2的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形PCC2D面积最小时，求直线CD 的方程．21. （15分） (2018高三上·河北月考) 已知函数(m,n∈R)在x=1处取得极值2.（1）求f(x)的解析式；（2） k为何值时，方程f(x)-k=0只有1个根（3）设函数g(x)=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，求a的取值范围22. （10分） (2019高三上·牡丹江月考) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设射线与曲线交于点，与直线交于点，求线段的长．23. （10分） (2018高一上·玉溪期末) 已知二次函数，且，为方程的两根。

2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 2．（5分）（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（5 分）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=|| C．∥D．||＞||5．（5 分）若a＞1，则双曲线﹣y2=1 的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π7．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．98．（5 分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5 分）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．12．（5 分）过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l为C 的准线，点N 在l 上，且MN⊥l，则M 到直线NF 的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分13．（5 分）函数f（x）=2cosx+sinx 的最大值为．14．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=2x3+x2，则f（2）=．15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为．16．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 至21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（12 分）已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，等比数列{b n}的前n 项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD 面积为2，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：P（K2≥K）0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2=．20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：+y2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足= ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且•=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．21．（12 分）设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求a 的取值范围．选考题：共10 分。

高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，集合B={x|1＜x＜2}，则A∪B=（ ）A. {x|x＜2}B. {x|0＜x＜2}C. {x|0＜x≤1}D. ∅3.已知命题p：，则￢p为（ ）A. B.C. D.4.等差数列{a n}中，若（a1+a4+a7）+3a9=15，则此数列的前12项和S12=（ ）A. 24B. 30C. 36D. 485.已知向量，=（2，x-3），，若且，则x的值为（ ）A. 2B. -2C. 1D. -16.已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，给出下列四个结论：①ab＞ac；②c（b-a）＞0；③cb＜ab；④，其中正确结论的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，BC=2，D，E分别是AC1，BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A.B.C.D.8.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）A.图象关于直线对称B.图象关于点对称C.在上的最大值为D.的单调递减区间为9.已知a＞0，b＞0，且ab=2a+b，若a+2b≥m2-8m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A. B. 或C. -1≤m≤9D. m≥9或m≤-110.在正项等比数列{a n}中，a3=2，16a52=a2a6，则数列{a n}的前n项积T n中最大的值是（ ）A. T3B. T4C. T5D. T611.如图，将平面直角坐标系的格点（横，纵坐标均为整数点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0，-1）处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）点标5，点（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此类推，则标签20192的格点坐标为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，g（x）=（其中e为自然对数的底数）．当k∈（0，-）时，函数h（x）=f[g（x）]-k的零点个数为（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x,y满足约束条件,则的最小值是______.14.已知向量，向量在方向上的投影为，且，则=______15.函数，其中e是自然对数的底数，若f(a-3)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是______．16.在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P-BD-C的大小为120°，则三棱锥P-BCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=3，S3=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列的前n项和为T n，求T n的最小值．18.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos C（a cos B+b cos A）=c（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若△ABC的中线CD的长为，求△ABC的面积的最大值．19.已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，当x∈[-3，a]时，求函数f（x）的最大值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，△PAD为等边三角形，且侧面PAD与底面ABCD垂直，，AD=CD=2AB，E为PD的中点，（Ⅰ）证明：AE∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值．21.设圆x2+y2=1与x轴交于两点A，B，曲线C上的任意一点P都满足，O为坐标原点（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若圆x2+y2=1的切线与曲线C交于两点M，N，求△OMN面积的最大值22.已知函数，（Ⅰ）过点（0，0）作函数f（x）图象的切线，求该切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有且只有两个零点，求实数a．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】B【解析】解：A={x|0＜x≤1}；∴A∪B={x|0＜x＜2}．故选：B．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法的定义，对数函数的单调性和定义域，以及并集的运算．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：，则￢p为：．故选：C．4.【答案】B【解析】解：等差数列{a n}中，若（a1+a4+a7）+3a9=15，由于：a1+a7=2a4，所以：3a4+3a9=15，整理得：a4+a9=a1+a12=5，则：．故选：B．直接利用等差数列的性质和前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的坐标计算，涉及向量垂直与平行的判定，属于基础题．根据题意，由向量数量积的性质可得若，则•=2+x（x-3）=0，即x2-3x+2=0，由向量平行的判断方法可得若，则1×4=x2，联立两个式子分析可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，=（2，x-3），，若，则•=2+x（x-3）=0，即x2-3x+2=0，①若，则1×4=x2，②，联立①②可得：x=2，故选：A．6.【答案】B【解析】解：因为c＜b＜a且ac＜0，所以a＞0，c＜0，∴ab-ac=a（b-c）＞0，故①正确；c（b-a）＞0，故②正确；cb-ab=b（c-a）的符号不确定，③不正确；当b＜0时，由c＜b可得＞，④不正确；故选：B．因为c＜b＜a且ac＜0，所以a＞0，c＜0，根据不等式的性质作差比较可得①②正确，b的符号不确定可得③④不正确．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面BB1C1C所成的角的正弦值．【解答】解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，且，，BC=2，∴AB2+BC2=AC2，即AB⊥BC，又BB1⊥平面ABC，所以以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵D，E分别是AC1，BB1的中点，设AA1=t，∴A（0，，0），C1（2，0，t），D（1，，），E（0，0，），=（-1，-，0），取平面BB1C1C的法向量=（0，1，0），设直线DE与平面BB1C1C所成的角为θ，则sinθ=|cos<>|===．∴直线DE与平面BB1C1C所成的角的正弦值为．故选A．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象和性质，三角函数图象的平移，考查了逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．根据题意得到函数g（x）的解析式，利用正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）=sin[2（x-）-]=sin（2x-），对于A，g（）=sin（2×-）≠±1，不是最值点，错误；对于B，g（）=sin（2×-）≠0，错误；对于C，x∈，2x-∈[-π，]，可得g（x）max=g（）=sin=，故正确；对于D，令2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数g（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z，故错误．故选C．9.【答案】C【解析】解：a＞0，b＞0，且ab=2a+b，∴1=+，∴a+2b=（a+2b）（+）=1+4++≥5+2=9，当且仅当a=b=3时取“=”；若a+2b≥m2-8m恒成立，则9≥m2-8m，即m2-8m-9≤0，解得-1≤m≤9，∴实数m的取值范围是[-1，9]．故选：C．由题意化ab=2a+b为1=+，利用基本不等式求出a+2b的最小值，再解关于m的一元二次不等式即可．本题考查了基本不等式与不等式恒成立应用问题，是基础题．10.【答案】A【解析】解：依题意，数列{a n}是等比数列，所以16a52=a2a6=，所以q2=，又因为数列{a n}为正项等比数列，所以q=，所以a n==2•43-n=27-2n，令a n＞1，即27-2n＞1，得n＜，因为n∈N*，所以n≤3，要使数列{a n}的前n项积T n中T3最大，故选：A．根据a3=2，16a52=a2a6，求出数列{a n}的通项公式，计算出T n的表达式，讨论其指数的最值即可．本题考查了等比数列的性质、通项公式、前n项积的最大值等．属于中档题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知平面直角坐标系的格点的规则，找出表上数字标签所示的规律，是解答的关键．考查学生的观察能力．根据条件寻找规律，归纳出其中奇数平方坐标的位置出现的规律，即可得到答案．【解答】解：观察已知中点（1，0）处标1，即12，点（2，1）处标9，即32，点（3，2）处标25，即52，…由此推断点（n+1，n）处标（2n+1）2，当2n+1=2019时，n=1009，故标签20192的格点的坐标为（1010，1009），故选B．12.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2|x|-x2为偶函数，且f（x）的最大值为1，作出f（x）的图象；由g（x）=的导数为g′（x）=，可得x＞-1时，g（x）递增，x＜-2或-2＜x＜-1时，g（x）递减，x=-1取得极小值，作出g（x）的图象，函数h（x）=f[g（x）]-k的零点个数，即为f[g（x）]=k的解的个数，可令t=g（x），k=f（t），若k∈（0，-），则k=f（t）有4解，两个负的，两个正的（一个介于（0，），一个大于1），则t=g（x）有4解，符合题意．故选：B．分别讨论函数f（x），g（x）的性质和画出图象，函数h（x）=f[g（x）]-k的零点的个数，即为f[g（x）]=k的解的个数，可令t=g（x），k=f（t），通过图象观察，分析即可得到结论．本题考查复合函数的图象交点问题，以及函数的零点个数，考查数形结合思想方法，以及分类讨论思想方法，属于中档题．13.【答案】-6【解析】【分析】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值．【解答】解：画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数z=x-2y过点C时，z取得最小值，由，解得C（-2，2），所以z的最小值为z=-2-2×2=-6．故答案为：-6．14.【答案】3【解析】解：依题意，向量，所以==，向量在方向上的投影为，即=，所以=5．2=|-|=，即4=，所以=4+2×5-5=9，所以=3．故填：3．向量，所以==，向量在方向上的投影为，即=，所以=5.2=|-|=，两边平方，解出即可．此题考查了平面向量模的坐标表示、向量数量积的几何意义，平面向量的性质．本题属于中档题．15.【答案】[]【解析】【分析】先判断函数f(x)的奇偶性、单调性，然后利用这些性质转化不等式．本题考查利用单调性求解函数不等式，属于中档题目．【解答】解：=-f(x)，所以f(x)为奇函数，，所以f(x)为增函数；由f(a-3)+f(2a2)≤0可知f(2a2)≤-f(a-3)=f(3-a)，即2a2≤3-a，解之得．故答案为．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了棱锥与外接球的关系，是较难题．设菱形中心为E，则△BCD为等边三角形，利用球的对称性以及等边三角形的性质和勾股定理求出球的半径，则答案可求．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，A=60°，∴△BCD是等边三角形，过球心O作OO'⊥平面BCD，则O'为等边三角形BCD的中心，设AC，BD交于点E，则∠PEA=60°，∵AB=2，∴CE=，∴EO'=，CO'=，过点P作PH⊥AC于H，,设外接球半径为R，,则,,解得,∴三棱锥P-BCD的外接球的表面积为S=．故答案为：．17.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，且a1=3，S3=15．可得3×3+3d=15，解得d=2，则a n=3+2（n-1）=2n+1；（Ⅱ）S n=n（3+2n+1）=n（n+2），==（-），T n=（1-+-+…+-+-）=（--），由T n=（--）为N*上的增函数，可得T n的最小值为T1=．【解析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得S n=n（n+2），==（-），再由数列的裂项相消求和和数列的单调性，可得所求最小值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵2cos C（a cos B+b cos A）=c，∴由正弦定理可得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，可得：2cos C sinC=sin C，∵C∈（0，π），sin C＞0，∴解得cos C=，可得：C=．（Ⅱ）∵∠ADC=π-∠BDC，可得：cos∠ADC=-cos∠BDC，∴由余弦定理可得：=-，解得：c2=2（a2+b2）-12，又由C=，利用余弦定理可得：c2=a2+b2-ab，∴2（a2+b2）-12=a2+b2-ab，整理可得：a2+b2=12-ab≥2ab，即：ab≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，∴S△ABC=ab sin C≤=，当且仅当a=b=2时等号成立，即△ABC的面积的最大值为．【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cos C=，结合C的范围可得C的值．（Ⅱ）由cos∠ADC=-cos∠BDC，利用余弦定理解得：c2=2（a2+b2）-12，又由C=，利用余弦定理可得：c2=a2+b2-ab，联立结合基本不等式可求ab≤4，利用三角形的面积公式即可计算得解．19.【答案】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=x2+2x，令f′（x）≥0⇒x≥0或≤-2，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），（-∞，-2）；单调减区间为（-2，0）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的图象如下（a＞0）．可得f（-2）=f（1），∴当a∈（0，1]时，f（x）max=f（-2）=．当a∈（1，+∞）时，f（x）max=f（a）=+a2+a．【解析】（Ⅰ）求得函数的导数f′（x）=x2+2x，利用导数与单调性关系求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的图象，又可得f（-2）=f（1），分当a∈（0，1]与a∈（1，+∞）讨论即可．本题考查了利用导数求函数的单调性及最值．属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：取AD的中点O，以O为原点，建立坐标系如图，不妨设AB=1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（-1，2，0），P（0，0，），E（-，0，），∴，，，设是平面PBC的法向量，则，∴，取x=1，可得=（1，2，），∵==0，∴，又AE⊄平面PBC，∴AE∥平面PBC；（Ⅱ）设是平面APB的法向量，由（1）知，，则，∴，取，设二面角A=PB-C的平面角为θ，cosθ=||==．故二面角A-PB-C的余弦值为．【解析】（Ⅰ）以AD的中点O为原点建立空间坐标系，找到平面PBC的法向量，计算=0，即，得证；（Ⅱ）找到平面APB的法向量，由二面角的余弦公式可得解．此题考查了利用空间向量研究线面平行，求解二面角等，难度适中．21.【答案】解：（Ⅰ）设A（-1，0），B（1，0），∵＞|AB|，∴P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其中c=1，a=，则b2=1，C的方程为+y2=1（Ⅱ）由已知△OMN的面积S=|MN|×1=|MN|，当直线MN的斜率不存在时，|MN|=，则三角形OMN的面积S=，当斜率存在时，设为k，则MN：y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由判别式△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）＞0得2k2-m2+1＞0，由直线MN与圆相切得=1，即m2=k2+1，代入2k2-m2+1＞0得k2＞0，则x1+x2=-，x1x2=，则|MN|=•=•=2•=•==，∵k2＞0，∴0＜＜1，∴，0＜＜，则0＜|MN|＜，综上可知当直线MN与x轴垂直时，△OMN的面积最大，最大值为．【解析】（Ⅰ）求出A，B的坐标，结合椭圆的定义得到P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，进行求解即可（Ⅱ）结合三角形的面积公式，得到S=|MN|×1=|MN|，讨论直线MN的斜率是否成立，联立方程组，利用设而不求思想进行转化求解即可．本题主要考查轨迹方程的求解，结合椭圆的定义，利用定义法先求出轨迹方程，然后利用设而不求思想联立方程组进行转化求解是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.【答案】解：（Ⅰ）设切点为（m，n），可得n=，函数的导数为f′（x）=，可得切线的斜率为==，解得m=0或-1，即切线的斜率为2或e，可得切线的方程为y=2x或y=ex；（Ⅱ）若函数g（x）有且只有两个零点，即为e x=a（x+），即=有两个实根，函数的导数为f′（x）=，可得-＜x＜时，f（x）递增；x＞或x＜-时，f（x）递减，且f（-）=（2-2）e为极小值，f（）=为极大值，作出f（x）的图象，由图象可得=，解得a=e（-1），或（2-2）e＜＜0，解得a＜-（+1）e，可得实数a的范围是a=e（-1）或a＜-（+1）e．【解析】（Ⅰ）设切点为（m，n），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得m，即有切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有且只有两个零点，即为e x=a（x+），即=有两个实根，考虑f（x）的图象，结合图象可得a的范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查方程思想和转化思想，以及数形结合思想，属于综合题．。

2017年吉林省东北师大附中高考数学六模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．【解答】解：∵M={x|﹣l≤x≤2}，∴C u M={x|x＜﹣1或x＞2}∵N={x|x≤3}，∴（C u M）∩N={x|x＜﹣1，或2＜x≤3}故选D．2【解答】解：z===，∴对应的点的坐标为（），位于第四象限，故选：D．3．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=8，a4=7，∴2a1+4d=8，a1+3d=7，解得a1=﹣2，d=3．则a5=﹣2+4×3=10．故选：B．4．【解答】解：由题意可得=====2故选B5．【解答】解：程序执行如下：i=1i=6i=11此时跳出循环并输出i=11故选D．6．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（ 2）2x=12.6，x=1.6．故选：B．7．【解答】解：A：由折现统计图可得出：2013年农民工人均月收入的增长率是：10%；故正确，B：由条形统计图可得出：2011年农民工人均月收入是：2205元；故正确C：∵2012年农民工人均月收入是：2205×（1+20%）=2646（元）＞2205元，∴农民工2012年的人均月收入比2011年的少了，是错误的．故错误，D：由条形统计图可得出，2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高，故选：C8．【解答】解：由题意，f（x）在（0，+∞）上为单调减函数，从而有或，解得a≤﹣2或a≥2，故选D．9 【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．将x=﹣4，y=2代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即，∴C的实轴长为4．故选：A10．【解答】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z=400x+300y的最小值．解得当时，z min=2200．故选B．11．【解答】解：∵AB=2，AC=2，∠ABC=60°∴==，=，C＜60°，sinC=，C=30°，∴∠A=90°，BC==4∵A，B，C是球O的球面上三点∴截面圆的圆心为AC中点，半径为2∵棱锥O﹣ABC的体积为，∴×=，∴d=2，∴R2=（2）2+22=12，∴球O的表面积为：4πR2=48π，故选：D．12．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c在（0，1）上单调递减，但f（0），f（1）的符号不能确定，故①f（0）•f（1）≤0不一定正确；由f′（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，即g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，故g（0）≤0，且g（1）≤0，故②g（0）•g（1）≥0一定正确；由g（0）≤0，且g（1）≤0得b≤0，3+2a+b≤0，令Z=a2﹣3b，则b=（a2﹣Z），当b=（a2﹣Z）过（﹣，0）点时，Z取最小值故③正确；故选：B二、13．【解答】解：令3x+1=4得x=1故f（4）=12+3×1+2=6．故答案为：6．14．【解答】解：由题意可得，∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为：5615．【解答】解：设各项皆为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0（n∈N*），∵a7=a6+2a5，∴=a5q+2a5，化为q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∵存在两项a m、a n使得，∴=4a1，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．则==≥=，当且仅当n=2m=4时取等号．∴的最小值为．故答案为：．16．【解答】解：根据题意：满足条件y＜的点（x，y）的概率是，矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s，则有=率是，∴S=1.328，故答案为：1.328．三、【解答】解：（I）S1=S△ABC===3，S2====2+，∴S2﹣S1=＞0，∴S1＜S2．（II）在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos75°=4+（+）2﹣2×2××=（+）2，∴BD=+，∴AD=BD，∴∠DBA=∠DAB=75°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°，在△BCD中，由余弦定理得CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos∠CBD=12+（+）2﹣2××（+）×=8，∴CD=2．18．【解答】（1）证明：取AB中点H，连结DH、HF，在等腰Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分别是边AB、BC的中点，∴AD=BD=1，又∵翻折后，∴翻折后AD⊥BD，且△ADB为等腰直角三角形，则DH⊥AB，∵翻折后DE⊥AD，DE⊥BD，且AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，∵DE∥AC，∴AC⊥平面ADB，则AC⊥DH，又AB∩AC=A，∴DH⊥平面ABC，又∵HF∥AC，DE∥AC，且HF=AC=DE，∴DEFH是平行四边形，则EF∥DH，∴EF⊥平面ABC；（2）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则A（0，1，0），B（0，0，1），E（1，0，0），C（2，1，0），，设Q（0，t，0）（0≤t≤1），则，设平面BQE的法向量为=（x，y，z），则由，取y=1，则=（t，1，t），要使AF∥平面BEQ，则须，∴，即线段AD上存在一点，使得AF∥平面BEQ，设平面BAE的法向量为=（x，y，z），则由，取y=1，则=（1，1，1），∴cos＜＞=，∵二面角Q﹣BE﹣A为锐二面角，∴其余弦值为，即线段AD上存在一点Q（点Q是线段AD上的靠近点D的一个三等分点），使得AF∥平面BEQ，此时二面角Q﹣BE﹣A的余弦值为．19．【解答】解：（I）设抽到相邻两个月的数据为事件A，∵从6组数据中选取2组数据共有C62=15种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴…（II）由数据求得x=11，y=24，由公式求得，由，求得∴y关于x的线性回归方程为…（III）当x=10时，，当x=6时，，所以该小组所得线性回归方程是理想的．…20．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．21．【解答】（1）解：∵f（x）=e x﹣ax+a，∴f'（x）=e x﹣a，若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna，当f'（x）＜0时，x＜lna，f（x）是单调减函数，当f'（x）＞0时，x＞lna，f（x）是单调增函数，于是当x=lna时，f（x）取得极小值，∵函数f（x）=e x﹣ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），∴f（lna）=a（2﹣lna）＜0，即a＞e2，此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0，存在3lna＞lna，f（3lna）=a3﹣3alna+a＞a3﹣3a2+a＞0，又由f（x）在（﹣∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，可知a＞e2为所求取值范围．（2）证明：∵﹣ax1+a=0，﹣ax2+a=0，∴两式相减得a=．记=s（s＞0），则f′（）= [2s﹣e s﹣e﹣s）]，设g（s）=2s﹣（e s﹣e﹣s），则g'（s）=2﹣（e s+e﹣s）＜0，∴g（s）是单调减函数，则有g（s）＜g（0）=0，而＞0，∴f′（）＜0．又f'（x）=e x﹣a是单调增函数，且∴．（3）解：依题意有﹣ax i+a=0，则a（x i﹣1）=⇒x i＞1（i=1，2）．于是=a，在等腰三角形ABC中，显然C=90°，∴x0=∈（x1，x2），即y0=f（x0）＜0，由直角三角形斜边的中线性质，可知=﹣y0，∴+y0=0，即﹣（x1+x2）+a+=0，∴a﹣（x1+x2）+a+=0，∵x1﹣1≠0， =t，∴at﹣（1+t2）+=0，即a=1+，∴（a﹣1）（t﹣1）=2．22.【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的参数方程为（α为参数），∴椭圆C普通方程为=1，∴=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2），则==+=+==．∴+的值是．23.【解答】解：（1）原不等式等价于，或或故不等式的解集是{x|x≤﹣2或x≥4}；（2）∵|x﹣3|+|x+m|≥|（x﹣3）﹣（x+m）|=|m+3|，∴f（x）min=|3+m|，∴|m+3|≤5，∴m∈[﹣8，﹣2]．。

吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题，共60分1．（5分）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）2．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x3．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|4．（5分）函数的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称5．（5分）已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣36．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则sinC=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣18．（5分）若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A．＞B．|a|＞|b| C．+＞2 D．a+b＞ab9．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（）A．B．C．D．10．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是数列{a n}的前n项和，若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S5等于（）A．15 B．31 C．32 D．5111．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且∀x∈∈R，f（x）=f（x+4）．当x∈∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f﹣f的值为（）A．﹣B．0 C．D．112．（5分）已知直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）其中x1＜x2＜x3＜x4，则有（）A．sinx4=1 B．sinx4=（x4+1）cosx4C．sinx4=kcosx4D．sinx4=（x4+1）tanx4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）sin15°+cos15°=．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，则a99=．15．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．16．（5分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点，若某函数f（x）图象恰好经过n个格点，则称此函数为n阶格点函数，给出以下函数：①f（x）=x2，②f（x）=In|x|；③；④．其中所有满足二阶格点函数的序号是．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}前 n项和为S n，且S n=n2，（1）求{a n}的通项公式（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）若函数f（x）=cosxsin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）写出函数f（x）在[0，π]上的单调区间．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2B，．（Ⅰ）求cosA及sinC的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积．20．（12分）某单位用2560万元购得一块空地，计划在这块地上建造一栋至少12层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为520+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值为多少元？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（a≤0）．（Ⅰ）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）有唯一零点，求实数m的取值范围．吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题，共60分1．（5分）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合B，然后直接求解A∩B．解答：解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故选：D．点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．2．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：∃x0∈R，=x0．故选：D．点评：本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．3．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．解答：解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．点评：本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．4．（5分）函数的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称考点：奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．解答：解：因为═，所以f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），所以函数f（x）是偶函数，即函数图象关于y轴对称．故选A．点评：本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．5．（5分）已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：综合题；简易逻辑．分析：把充分性问题，转化为集合的关系求解．解答：解：∵条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件∴集合q是集合p的真子集，q⊊P即a≥1故选：A点评：本题考察了简易逻辑，知识融合较好．6．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．7．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则sinC=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣1考点：正弦定理．专题：计算题．分析：根据已知三内角的关系，利用内角和定理可求出B的度数，进而求出sinB和cosB的值，由a，b及cosB的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后再由b，c及sinB的值，利用正弦定理求出sinC的值即可．解答：解：由A+C=2B，且A+B+C=π，得到B=，所以cosB=，又a=1，b=，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即c2﹣c﹣2=0，因式分解得：（c﹣2）（c+1）=0，解得c=2，c=﹣1（舍去），又sinB=，b=，根据正弦定理=得：sinC===1．故选C点评：此题考查了正弦定理，余弦定理以及特殊角的三角函数值，根据已知角度的关系，利用三角形内角和定理求出B的度数是本题的突破点，熟练掌握定理是解本题的关键．8．（5分）若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A．＞B．|a|＞|b| C．+＞2 D．a+b＞ab考点：不等关系与不等式．专题：常规题型．分析：利用不等式的基本性质，两个负数取倒数或去绝对值不等式方向应该改变，得到AB 不正确，在根据均值不等式得到C是正确的，对于显然知道a+b＜0而ab＞0故D也不正确．解答：解：∵b＜a＜0∴取倒数后不等式方向应该改变即＜，故A不正确∵b＜a＜0∴两边同时乘以﹣1后不等式方向应该改变﹣b＞﹣a＞0即|a|＜|b|，故B不正确∵b＜a＜0根据均值不等式知：+＞2故C正确∵b＜a＜0∴a+b＜0，ab＞0∴a+b＜ab故D不正确故选C点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．9．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由题意可知，A、T利用T求出ω，利用（）再求φ即可．解答：解：由图象可知，A=2，，T=π，所以ω=2函数y=Asin（ωx+φ）=2sin（2x+φ），当x=时，y=2，因为2sin（+φ）=2，|φ|＜，所以φ=故选C．点评：本题考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，考查学生分析问题和解决问题的能力，是基础题．10．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是数列{a n}的前n项和，若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S5等于（）A．15 B．31 C．32 D．51考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：解一元二次方程由题意可得a1=1，a3=4，公比q=2，由等比数列的求和公式可得．解答：解：解方程x2﹣5x+4=0可得两个根为1和4，由题意得a1=1，a3=4，公比q=2，∴，故选：B点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且∀x∈∈R，f（x）=f（x+4）．当x∈∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f﹣f的值为（）A．﹣B．0 C．D．1考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意得周期T=4，可得f﹣f=f（﹣1）﹣f（1）=2f（﹣1），运用已知区间上的解析式即可求解．解答：解：∀x∈∈R，f（x）=f（x+4）可得周期T=4，f﹣f=f（﹣1+4×504）﹣f（1+4×503）=f（﹣1）﹣f（1），由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）﹣f（1）=2f（﹣1），由于x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（﹣1）=2﹣1=，即有f﹣f=2×=1．故选D．点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）已知直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）其中x1＜x2＜x3＜x4，则有（）A．sinx4=1 B．sinx4=（x4+1）cosx4C．sinx4=kcosx4D．sinx4=（x4+1）tanx4考点：正弦函数的图象．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：依题意，在同一坐标系中作出直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，从而将切点坐标代入直线方程（即切线方程）即可求得答案．解答：解：∵直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点，如图：当x∈（π，2π）时，函数y=|sinx|=﹣sinx，y′=﹣cosx，依题意，切点坐标为（x4，y4），又切点处的导数值就是直线y=k（x+1）（k＞0）的斜率k，即k=﹣cosx4，∴y4=k（x4+1）=﹣cosx4（x4+1）=|sinx4|=﹣sinx4，∴sinx4=（x4+1）cosx4，故选：B．点评：本题考查正弦函数的图象，着重考查导数的几何意义的应用，考查等价转化思想与数形结合思想的综合应用，考查作图能力与分析、运算能力，属于难题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）sin15°+cos15°=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：原式提取，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，即可得到结果．解答：解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=sin（15°+45°）=sin60°=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，则a99=5049．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：根据递推公式a1=2，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，利用累加法和等差数列的前n项和公式求出a99的值．解答：解：由题意知，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，所以a2﹣a1=3，a3﹣a2=4，a4﹣a3=5，…，a99﹣a98=100，上述各式相加得：a99﹣a1=3+4+5+ (100)又a1=2，则a99=2+3+4+5+…+100==5049，故答案为：5049．思路点拨由递推公式相加易得a99=2+3+4+5+…+100=5049．点评：本题考查数列的递推公式的应用，等差数列的前n项和公式，以及累加法求数列的项，难度不大．15．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．解答：解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．点评：本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．16．（5分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点，若某函数f（x）图象恰好经过n个格点，则称此函数为n阶格点函数，给出以下函数：①f（x）=x2，②f（x）=In|x|；③；④．其中所有满足二阶格点函数的序号是2，4．考点：函数的图象．专题：新定义．分析：①当x=﹣2，0，2，…，f（x）=x2，有无数个格点；②只有x=±1时，f（x）=In|x|=0，满足横、纵坐标均为整数；③当x=0，﹣1，﹣2…，均为整数，及该函数有无数个格点；④=2+，只有x=1与x=3时，满足题意．解答：解：①当x=﹣2，0，2，…，f（x）=x2，有无数个格点，可排除A；对于f（x）=In|x|，只有x=±1时，f（x）=In|x|=0，满足横、纵坐标均为整数，故②为二阶格点函数；③当x=0，﹣1，﹣2…，均为整数，及该函数有无数个格点，故可排除C；对于④，=2+，显然只有x=1与x=3时，满足横、纵坐标均为整数，故④为二阶格点函数．故答案为：②④．点评：本题考查函数的图象，着重考查基本初等函数的性质，注重排除法与转化法的考查，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}前 n项和为S n，且S n=n2，（1）求{a n}的通项公式（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将S n=n2中的n用n﹣1代替仿写出一个新的等式，两个式子相减，即得到函数的通项公式．（2）将a n的值代入b n，将其裂成两项的差，利用裂项求和的方法求出数列{b n}的前 n项和T n．解答：解：（1）∵S n=n2∴S n﹣1=（n﹣1）2两个式子相减得a n=2n﹣1；（2）=（故Tn=+++…+==点评：求数列的前n项和问题，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法，常见的求和方法有：公式法、倒序相加的方法、错位相减法、裂项相消法、分组法．18．（12分）若函数f（x）=cosxsin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）写出函数f（x）在[0，π]上的单调区间．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）先化简f（x）=cosxsin（x+）=sin（2x+）+，由正弦函数的性质即可求函数f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递增区间，由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递减区间，从而可求函数f（x）在[0，π]上的单调区间．解答：解：f（x）=cosxsin（x+）=cosx（sinx+cosx）=sin（2x+）+．（Ⅰ）由正弦函数的性质：f（x）的最小正周期为T==π；最大值为．（Ⅱ）∵由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递增区间为：[k，k]，k∈Z，由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递减区间为：[k，k]，k∈Z，∴函数f（x）在[0，π]上的单调区间：函数f（x）在[0，]和[，π]上单调递增，在[，]上单调递减．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，A=2B，．（Ⅰ）求cosA及sinC的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据cosA=cos2B=1﹣2sin2B，及，可求cosA及sinC的值；（Ⅱ）先计算sinA的值，再利用正弦定理，确定a的值，过点C作CD⊥AB于D，利用c=acosB+bcosA，即可求得三角形的面积．解答：解：（Ⅰ）因为A=2B，所以cosA=cos2B=1﹣2sin2B．…（2分）因为，所以cosA=1﹣=．…（3分）由题意可知，B，所以cosB=．…（5分）所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（8分）（Ⅱ）sinA=sin2B=2sinBcosB=因为，b=2，所以，所以a=．…（10分）由cosA=可知，A．过点C作CD⊥AB于D，所以c=acosB+bcosA=．…（12分）所以．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，考查正弦定理的运用，解题的关键是搞清三角形中边角之间的关系．20．（12分）某单位用2560万元购得一块空地，计划在这块地上建造一栋至少12层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为520+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值为多少元？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：由题意可得平均综合费y=520+50x+，利用导数求出函数的最小值以及对应的x的值．解答：解：设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得；y=520+50x+=520+50x+（x≥12，且x∈N*），当x≥12时，y′=50﹣，令y′=0，即50﹣=0，解得x=16；∴当x＞16时，y′＞0；当0＜x＜16时，y′＜0；∴当x=16时，y取得极小值也是最小值，此时最小值为2120．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为16层，此时每平方米的平均综合费用的最小值为2120元．点评：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了利用导数求函数最值的应用问题，是综合性题目．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（Ⅱ））设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，代入即可求解．解答：解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，有，，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，∴，∴3m2﹣16mk+20k2=0．解得m=2k或m=．当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（﹣，0），经检验符合已知条件．故直线l过定点，定点坐标为（﹣，0）．点评：本题主要考查双曲线方程的求解，以及直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（a≤0）．（Ⅰ）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）有唯一零点，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f′（x）=﹣ax+a﹣1=．此题需分a=0和a＜0两种情况讨论；（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）=mx2﹣x﹣lnx，可得g′（x）=（x＞0）．通过对m分情况讨论，利用导数研究函数的单调性极值，即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣ax﹣b，由f′（1）=0，得b=1﹣a．∴f′（x）=﹣ax+a﹣1=．当a=0时，f′（x）=，可得x=1是f（x）的极大值点，符合题意．当a＜0时，由f′（x）=0，得x=1或x=﹣．∵x=1是f（x）的极大值点，∴﹣1，解得﹣1＜a＜0．综上：a的取值范围是﹣1＜a≤0．（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）=mx2﹣x﹣lnx，则g′（x）=（x＞0）．令h（x）=2mx2﹣x﹣1．（1）当m=0时，g′（x）=＜0，则g（x）在（0，+∞）上为减函数．又=﹣+1＞0，g（1）=﹣1＜0，∴函数g（x）有唯一零点．（2）当m＜0时，令h（x）=2mx2﹣x﹣1的图象对称轴为x=＜0，且h（0）=﹣1＜0，∴当x＞0时，h（x）＜0．∴函数g（x）在（0，+∞）上为减函数．当x→0时，g（x）→+∞，即∃x0＞0，使g（x0）＞0，而g（1）=m﹣1＜0，∴函数g（x）存在唯一零点．（3）当m＞0时，方程2mx2﹣x﹣1=0有两个不相等的实数根x1、x2，又x1x2=﹣＜0，不妨设x1＜0，x2＞0．当0＜x＜x2时，h（x）＜0；当x＞x2时，h（x）＞0．∴函数g（x）在（0，x2）上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，∴函数g（x）有最小值g（x）min=g（x2）．要使g（x）=mx2﹣x﹣lnx存在唯一零点，应满足，即，消去m得 2lnx2+x2﹣1=0．令u（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），则+1＞0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，又h（1）=0，所以h（x）=0有唯一的实根x=1，因此x2=1，代入方程组得m=1．综上可知，m≤0或m=1．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、函数零点与函数单调性的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，集合B={x|1＜x＜2}，则A∪B=（）A. {x|x＜2}B. {x|0＜x＜2}C. {x|0＜x≤1}D. ∅3.已知命题p：，则￢p为（）A. B.C. D.4.等差数列{a n}中，若（a1+a4+a7）+3a9=15，则此数列的前12项和S12=（）A. 24B. 30C. 36D. 485.已知向量，=（2，x-3），，若且，则x的值为（）A. 2B. -2C. 1D. -16.已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，给出下列四个结论：①ab＞ac；②c（b-a）＞0；③cb＜ab；④，其中正确结论的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，BC=2，D，E分别是AC1，BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A.B.C.D.8.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A. 图象关于直线对称B. 图象关于点对称C. 在上的最大值为D. 的单调递减区间为9.已知a＞0，b＞0，且ab=2a+b，若a+2b≥m2-8m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. B. 或C. -1≤m≤9D. m≥9或m≤-110.在正项等比数列{a n}中，a3=2，16a52=a2a6，则数列{a n}的前n项积T n中最大的值是（）A. T3B. T4C. T5D. T611.如图，将平面直角坐标系的格点（横，纵坐标均为整数点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0，-1）处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）点标5，点（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此类推，则标签20192的格点坐标为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，g（x）=（其中e为自然对数的底数）．当k∈（0，-）时，函数h（x）=f[g（x）]-k的零点个数为（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x,y满足约束条件,则的最小值是______.14.已知向量，向量在方向上的投影为，且，则=______15.函数，其中e是自然对数的底数，若f(a-3)+f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是______．16.在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P-BD-C的大小为120°，则三棱锥P-BCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=3，S3=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列的前n项和为T n，求T n的最小值．18.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos C（a cos B+b cos A）=c（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若△ABC的中线CD的长为，求△ABC的面积的最大值．19.已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞0，当x∈[-3，a]时，求函数f（x）的最大值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，△PAD为等边三角形，且侧面PAD与底面ABCD垂直，，AD=CD=2AB，E为PD的中点，（Ⅰ）证明：AE∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值．21.设圆x2+y2=1与x轴交于两点A，B，曲线C上的任意一点P都满足，O为坐标原点（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若圆x2+y2=1的切线与曲线C交于两点M，N，求△OMN面积的最大值22.已知函数，（Ⅰ）过点（0，0）作函数f（x）图象的切线，求该切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有且只有两个零点，求实数a．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】B【解析】解：A={x|0＜x≤1}；∴A∪B={x|0＜x＜2}．故选：B．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法的定义，对数函数的单调性和定义域，以及并集的运算．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：，则￢p为：．故选：C．4.【答案】B【解析】解：等差数列{a n}中，若（a1+a4+a7）+3a9=15，由于：a1+a7=2a4，所以：3a4+3a9=15，整理得：a4+a9=a1+a12=5，则：．故选：B．直接利用等差数列的性质和前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的坐标计算，涉及向量垂直与平行的判定，属于基础题．根据题意，由向量数量积的性质可得若，则•=2+x（x-3）=0，即x2-3x+2=0，由向量平行的判断方法可得若，则1×4=x2，联立两个式子分析可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量，=（2，x-3），，若，则•=2+x（x-3）=0，即x2-3x+2=0，①若，则1×4=x2，②，联立①②可得：x=2，故选：A．6.【答案】B【解析】解：因为c＜b＜a且ac＜0，所以a＞0，c＜0，∴ab-ac=a（b-c）＞0，故①正确；c（b-a）＞0，故②正确；cb-ab=b（c-a）的符号不确定，③不正确；当b＜0时，由c＜b可得＞，④不正确；故选：B．因为c＜b＜a且ac＜0，所以a＞0，c＜0，根据不等式的性质作差比较可得①②正确，b的符号不确定可得③④不正确．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面BB1C1C所成的角的正弦值．【解答】解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，且，，BC=2，∴AB2+BC2=AC2，即AB⊥BC，又BB1⊥平面ABC，所以以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵D，E分别是AC1，BB1的中点，设AA1=t，∴A（0，，0），C1（2，0，t），D（1，，），E（0，0，），=（-1，-，0），取平面BB1C1C的法向量=（0，1，0），设直线DE与平面BB1C1C所成的角为θ，则sinθ=|cos<>|===．∴直线DE与平面BB1C1C所成的角的正弦值为．故选A．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象和性质，三角函数图象的平移，考查了逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．根据题意得到函数g（x）的解析式，利用正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）=sin[2（x-）-]=sin（2x-），对于A，g（）=sin（2×-）≠±1，不是最值点，错误；对于B，g（）=sin（2×-）≠0，错误；对于C，x∈，2x-∈[-π，]，可得g（x）max=g（）=sin=，故正确；对于D，令2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数g（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z，故错误．故选C．9.【答案】C【解析】解：a＞0，b＞0，且ab=2a+b，∴1=+，∴a+2b=（a+2b）（+）=1+4++≥5+2=9，当且仅当a=b=3时取“=”；若a+2b≥m2-8m恒成立，则9≥m2-8m，即m2-8m-9≤0，解得-1≤m≤9，∴实数m的取值范围是[-1，9]．故选：C．由题意化ab=2a+b为1=+，利用基本不等式求出a+2b的最小值，再解关于m的一元二次不等式即可．本题考查了基本不等式与不等式恒成立应用问题，是基础题．10.【答案】A【解析】解：依题意，数列{a n}是等比数列，所以16a52=a2a6=，所以q2=，又因为数列{a n}为正项等比数列，所以q=，所以a n==2•43-n=27-2n，令a n＞1，即27-2n＞1，得n＜，因为n∈N*，所以n≤3，要使数列{a n}的前n项积T n中T3最大，故选：A．根据a3=2，16a52=a2a6，求出数列{a n}的通项公式，计算出T n的表达式，讨论其指数的最值即可．本题考查了等比数列的性质、通项公式、前n项积的最大值等．属于中档题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知平面直角坐标系的格点的规则，找出表上数字标签所示的规律，是解答的关键．考查学生的观察能力．根据条件寻找规律，归纳出其中奇数平方坐标的位置出现的规律，即可得到答案．【解答】解：观察已知中点（1，0）处标1，即12，点（2，1）处标9，即32，点（3，2）处标25，即52，…由此推断点（n+1，n）处标（2n+1）2，当2n+1=2019时，n=1009，故标签20192的格点的坐标为（1010，1009），故选B．12.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2|x|-x2为偶函数，且f（x）的最大值为1，作出f（x）的图象；由g（x）=的导数为g′（x）=，可得x＞-1时，g（x）递增，x＜-2或-2＜x＜-1时，g（x）递减，x=-1取得极小值，作出g（x）的图象，函数h（x）=f[g（x）]-k的零点个数，即为f[g（x）]=k的解的个数，可令t=g（x），k=f（t），若k∈（0，-），则k=f（t）有4解，两个负的，两个正的（一个介于（0，），一个大于1），则t=g（x）有4解，符合题意．故选：B．分别讨论函数f（x），g（x）的性质和画出图象，函数h（x）=f[g（x）]-k的零点的个数，即为f[g（x）]=k的解的个数，可令t=g（x），k=f（t），通过图象观察，分析即可得到结论．本题考查复合函数的图象交点问题，以及函数的零点个数，考查数形结合思想方法，以及分类讨论思想方法，属于中档题．13.【答案】-6【解析】【分析】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合解题方法，是基础题．画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值．【解答】解：画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数z=x-2y过点C时，z取得最小值，由，解得C（-2，2），所以z的最小值为z=-2-2×2=-6．故答案为：-6．14.【答案】3【解析】解：依题意，向量，所以==，向量在方向上的投影为，即=，所以=5．2=|-|=，即4=，所以=4+2×5-5=9，所以=3．故填：3．向量，所以==，向量在方向上的投影为，即=，所以=5.2=|-|=，两边平方，解出即可．此题考查了平面向量模的坐标表示、向量数量积的几何意义，平面向量的性质．本题属于中档题．15.【答案】[]【解析】【分析】先判断函数f(x)的奇偶性、单调性，然后利用这些性质转化不等式．本题考查利用单调性求解函数不等式，属于中档题目．【解答】解：=-f(x)，所以f(x)为奇函数，，所以f(x)为增函数；由f(a-3)+f(2a2)≤0可知f(2a2)≤-f(a-3)=f(3-a)，即2a2≤3-a，解之得．故答案为．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了棱锥与外接球的关系，是较难题．设菱形中心为E，则△BCD为等边三角形，利用球的对称性以及等边三角形的性质和勾股定理求出球的半径，则答案可求．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，A=60°，∴△BCD是等边三角形，过球心O作OO'⊥平面BCD，则O'为等边三角形BCD的中心，设AC，BD交于点E，则∠PEA=60°，∵AB=2，∴CE=，∴EO'=，CO'=，过点P作PH⊥AC于H，,设外接球半径为R，,则,,解得,∴三棱锥P-BCD的外接球的表面积为S=．故答案为：．17.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，且a1=3，S3=15．可得3×3+3d=15，解得d=2，则a n=3+2（n-1）=2n+1；（Ⅱ）S n=n（3+2n+1）=n（n+2），==（-），T n=（1-+-+…+-+-）=（--），由T n=（--）为N*上的增函数，可得T n的最小值为T1=．【解析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，即可得到所求；（Ⅱ）求得S n=n（n+2），==（-），再由数列的裂项相消求和和数列的单调性，可得所求最小值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵2cos C（a cos B+b cos A）=c，∴由正弦定理可得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，可得：2cos C sinC=sin C，∵C∈（0，π），sin C＞0，∴解得cos C=，可得：C=．（Ⅱ）∵∠ADC=π-∠BDC，可得：cos∠ADC=-cos∠BDC，∴由余弦定理可得：=-，解得：c2=2（a2+b2）-12，又由C=，利用余弦定理可得：c2=a2+b2-ab，∴2（a2+b2）-12=a2+b2-ab，整理可得：a2+b2=12-ab≥2ab，即：ab≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，∴S△ABC=ab sin C≤=，当且仅当a=b=2时等号成立，即△ABC的面积的最大值为．【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cos C=，结合C的范围可得C的值．（Ⅱ）由cos∠ADC=-cos∠BDC，利用余弦定理解得：c2=2（a2+b2）-12，又由C=，利用余弦定理可得：c2=a2+b2-ab，联立结合基本不等式可求ab≤4，利用三角形的面积公式即可计算得解．19.【答案】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=x2+2x，令f′（x）≥0⇒x≥0或≤-2，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），（-∞，-2）；单调减区间为（-2，0）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的图象如下（a＞0）．可得f（-2）=f（1），∴当a∈（0，1]时，f（x）max=f（-2）=．当a∈（1，+∞）时，f（x）max=f（a）=+a2+a．【解析】（Ⅰ）求得函数的导数f′（x）=x2+2x，利用导数与单调性关系求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的图象，又可得f（-2）=f（1），分当a∈（0，1]与a∈（1，+∞）讨论即可．本题考查了利用导数求函数的单调性及最值．属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：取AD的中点O，以O为原点，建立坐标系如图，不妨设AB=1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（-1，2，0），P（0，0，），E（-，0，），∴，，，设是平面PBC的法向量，则，∴，取x=1，可得=（1，2，），∵==0，∴，又AE⊄平面PBC，∴AE∥平面PBC；（Ⅱ）设是平面APB的法向量，由（1）知，，则，∴，取，设二面角A=PB-C的平面角为θ，cosθ=||==．故二面角A-PB-C的余弦值为．【解析】（Ⅰ）以AD的中点O为原点建立空间坐标系，找到平面PBC的法向量，计算=0，即，得证；（Ⅱ）找到平面APB的法向量，由二面角的余弦公式可得解．此题考查了利用空间向量研究线面平行，求解二面角等，难度适中．21.【答案】解：（Ⅰ）设A（-1，0），B（1，0），∵＞|AB|，∴P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其中c=1，a=，则b2=1，C的方程为+y2=1（Ⅱ）由已知△OMN的面积S=|MN|×1=|MN|，当直线MN的斜率不存在时，|MN|=，则三角形OMN的面积S=，当斜率存在时，设为k，则MN：y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由判别式△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）＞0得2k2-m2+1＞0，由直线MN与圆相切得=1，即m2=k2+1，代入2k2-m2+1＞0得k2＞0，则x1+x2=-，x1x2=，则|MN|=•=•=2•=•==，∵k2＞0，∴0＜＜1，∴，0＜＜，则0＜|MN|＜，综上可知当直线MN与x轴垂直时，△OMN的面积最大，最大值为．【解析】（Ⅰ）求出A，B的坐标，结合椭圆的定义得到P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，进行求解即可（Ⅱ）结合三角形的面积公式，得到S=|MN|×1=|MN|，讨论直线MN的斜率是否成立，联立方程组，利用设而不求思想进行转化求解即可．本题主要考查轨迹方程的求解，结合椭圆的定义，利用定义法先求出轨迹方程，然后利用设而不求思想联立方程组进行转化求解是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.【答案】解：（Ⅰ）设切点为（m，n），可得n=，函数的导数为f′（x）=，可得切线的斜率为==，解得m=0或-1，即切线的斜率为2或e，可得切线的方程为y=2x或y=ex；（Ⅱ）若函数g（x）有且只有两个零点，即为e x=a（x+），即=有两个实根，函数的导数为f′（x）=，可得-＜x＜时，f（x）递增；x＞或x＜-时，f（x）递减，且f（-）=（2-2）e为极小值，f（）=为极大值，作出f（x）的图象，由图象可得=，解得a=e（-1），或（2-2）e＜＜0，解得a＜-（+1）e，可得实数a的范围是a=e（-1）或a＜-（+1）e．【解析】（Ⅰ）设切点为（m，n），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得m，即有切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）有且只有两个零点，即为e x=a（x+），即=有两个实根，考虑f（x）的图象，结合图象可得a的范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查方程思想和转化思想，以及数形结合思想，属于综合题．。

吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题，共60分1．（5分）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）2．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x3．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|4．（5分）函数的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称5．（5分）已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣36．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则sinC=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣18．（5分）若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A．＞B．|a|＞|b| C．+＞2 D．a+b＞ab9．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（）A．B．C．D．10．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是数列{a n}的前n项和，若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S5等于（）A．15 B．31 C．32 D．5111．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且∀x∈∈R，f（x）=f（x+4）．当x∈∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f﹣f的值为（）A．﹣B．0 C．D．112．（5分）已知直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）其中x1＜x2＜x3＜x4，则有（）A．sinx4=1 B．sinx4=（x4+1）cosx4C．sinx4=kcosx4D．sinx4=（x4+1）tanx4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）sin15°+cos15°=．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，则a99=．15．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．16．（5分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点，若某函数f（x）图象恰好经过n个格点，则称此函数为n阶格点函数，给出以下函数：①f（x）=x2，②f（x）=In|x|；③；④．其中所有满足二阶格点函数的序号是．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}前 n项和为S n，且S n=n2，（1）求{a n}的通项公式（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）若函数f（x）=cosxsin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）写出函数f（x）在[0，π]上的单调区间．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2B，．（Ⅰ）求cosA及sinC的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积．20．（12分）某单位用2560万元购得一块空地，计划在这块地上建造一栋至少12层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为520+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值为多少元？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（a≤0）．（Ⅰ）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）有唯一零点，求实数m的取值范围．吉林省长春市东北师大附中2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题，共60分1．（5分）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合B，然后直接求解A∩B．解答：解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故选：D．点评：本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．2．（5分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（）A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题的否定是：∃x0∈R，=x0．故选：D．点评：本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题．3．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx D．y=|x|考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．解答：解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．点评：本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．4．（5分）函数的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称考点：奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．解答：解：因为═，所以f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），所以函数f（x）是偶函数，即函数图象关于y轴对称．故选A．点评：本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．5．（5分）已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a≥﹣3 D．a≤﹣3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：综合题；简易逻辑．分析：把充分性问题，转化为集合的关系求解．解答：解：∵条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件∴集合q是集合p的真子集，q⊊P即a≥1故选：A点评：本题考察了简易逻辑，知识融合较好．6．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．7．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则sinC=（）A．0 B．2 C．1 D．﹣1考点：正弦定理．专题：计算题．分析：根据已知三内角的关系，利用内角和定理可求出B的度数，进而求出sinB和cosB的值，由a，b及cosB的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后再由b，c及sinB的值，利用正弦定理求出sinC的值即可．解答：解：由A+C=2B，且A+B+C=π，得到B=，所以cosB=，又a=1，b=，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即c2﹣c﹣2=0，因式分解得：（c﹣2）（c+1）=0，解得c=2，c=﹣1（舍去），又sinB=，b=，根据正弦定理=得：sinC===1．故选C点评：此题考查了正弦定理，余弦定理以及特殊角的三角函数值，根据已知角度的关系，利用三角形内角和定理求出B的度数是本题的突破点，熟练掌握定理是解本题的关键．8．（5分）若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A．＞B．|a|＞|b| C．+＞2 D．a+b＞ab考点：不等关系与不等式．专题：常规题型．分析：利用不等式的基本性质，两个负数取倒数或去绝对值不等式方向应该改变，得到AB 不正确，在根据均值不等式得到C是正确的，对于显然知道a+b＜0而ab＞0故D也不正确．解答：解：∵b＜a＜0∴取倒数后不等式方向应该改变即＜，故A不正确∵b＜a＜0∴两边同时乘以﹣1后不等式方向应该改变﹣b＞﹣a＞0即|a|＜|b|，故B不正确∵b＜a＜0根据均值不等式知：+＞2故C正确∵b＜a＜0∴a+b＜0，ab＞0∴a+b＜ab故D不正确故选C点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．9．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：由题意可知，A、T利用T求出ω，利用（）再求φ即可．解答：解：由图象可知，A=2，，T=π，所以ω=2函数y=Asin（ωx+φ）=2sin（2x+φ），当x=时，y=2，因为2sin（+φ）=2，|φ|＜，所以φ=故选C．点评：本题考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，考查学生分析问题和解决问题的能力，是基础题．10．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是数列{a n}的前n项和，若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S5等于（）A．15 B．31 C．32 D．51考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：解一元二次方程由题意可得a1=1，a3=4，公比q=2，由等比数列的求和公式可得．解答：解：解方程x2﹣5x+4=0可得两个根为1和4，由题意得a1=1，a3=4，公比q=2，∴，故选：B点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且∀x∈∈R，f（x）=f（x+4）．当x∈∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f﹣f的值为（）A．﹣B．0 C．D．1考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意得周期T=4，可得f﹣f=f（﹣1）﹣f（1）=2f（﹣1），运用已知区间上的解析式即可求解．解答：解：∀x∈∈R，f（x）=f（x+4）可得周期T=4，f﹣f=f（﹣1+4×504）﹣f（1+4×503）=f（﹣1）﹣f（1），由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）﹣f（1）=2f（﹣1），由于x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（﹣1）=2﹣1=，即有f﹣f=2×=1．故选D．点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）已知直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）其中x1＜x2＜x3＜x4，则有（）A．sinx4=1 B．sinx4=（x4+1）cosx4C．sinx4=kcosx4D．sinx4=（x4+1）tanx4考点：正弦函数的图象．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：依题意，在同一坐标系中作出直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，从而将切点坐标代入直线方程（即切线方程）即可求得答案．解答：解：∵直线y=k（x+1）（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有四个公共点，如图：当x∈（π，2π）时，函数y=|sinx|=﹣sinx，y′=﹣cosx，依题意，切点坐标为（x4，y4），又切点处的导数值就是直线y=k（x+1）（k＞0）的斜率k，即k=﹣cosx4，∴y4=k（x4+1）=﹣cosx4（x4+1）=|sinx4|=﹣sinx4，∴sinx4=（x4+1）cosx4，故选：B．点评：本题考查正弦函数的图象，着重考查导数的几何意义的应用，考查等价转化思想与数形结合思想的综合应用，考查作图能力与分析、运算能力，属于难题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）sin15°+cos15°=．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：原式提取，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，即可得到结果．解答：解：sin15°+cos15°=（sin15°+cos15°）=sin（15°+45°）=sin60°=．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，则a99=5049．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：根据递推公式a1=2，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，利用累加法和等差数列的前n项和公式求出a99的值．解答：解：由题意知，当n≥2时，a n﹣a n﹣1=n+1，所以a2﹣a1=3，a3﹣a2=4，a4﹣a3=5，…，a99﹣a98=100，上述各式相加得：a99﹣a1=3+4+5+ (100)又a1=2，则a99=2+3+4+5+…+100==5049，故答案为：5049．思路点拨由递推公式相加易得a99=2+3+4+5+…+100=5049．点评：本题考查数列的递推公式的应用，等差数列的前n项和公式，以及累加法求数列的项，难度不大．15．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．解答：解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．点评：本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．16．（5分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点，若某函数f（x）图象恰好经过n个格点，则称此函数为n阶格点函数，给出以下函数：①f（x）=x2，②f（x）=In|x|；③；④．其中所有满足二阶格点函数的序号是2，4．考点：函数的图象．专题：新定义．分析：①当x=﹣2，0，2，…，f（x）=x2，有无数个格点；②只有x=±1时，f（x）=In|x|=0，满足横、纵坐标均为整数；③当x=0，﹣1，﹣2…，均为整数，及该函数有无数个格点；④=2+，只有x=1与x=3时，满足题意．解答：解：①当x=﹣2，0，2，…，f（x）=x2，有无数个格点，可排除A；对于f（x）=In|x|，只有x=±1时，f（x）=In|x|=0，满足横、纵坐标均为整数，故②为二阶格点函数；③当x=0，﹣1，﹣2…，均为整数，及该函数有无数个格点，故可排除C；对于④，=2+，显然只有x=1与x=3时，满足横、纵坐标均为整数，故④为二阶格点函数．故答案为：②④．点评：本题考查函数的图象，着重考查基本初等函数的性质，注重排除法与转化法的考查，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}前 n项和为S n，且S n=n2，（1）求{a n}的通项公式（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）将S n=n2中的n用n﹣1代替仿写出一个新的等式，两个式子相减，即得到函数的通项公式．（2）将a n的值代入b n，将其裂成两项的差，利用裂项求和的方法求出数列{b n}的前 n项和T n．解答：解：（1）∵S n=n2∴S n﹣1=（n﹣1）2两个式子相减得a n=2n﹣1；（2）=（故Tn=+++…+==点评：求数列的前n项和问题，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法，常见的求和方法有：公式法、倒序相加的方法、错位相减法、裂项相消法、分组法．18．（12分）若函数f（x）=cosxsin（x+）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）写出函数f（x）在[0，π]上的单调区间．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）先化简f（x）=cosxsin（x+）=sin（2x+）+，由正弦函数的性质即可求函数f（x）的最小正周期及最大值；（Ⅱ）由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递增区间，由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递减区间，从而可求函数f（x）在[0，π]上的单调区间．解答：解：f（x）=cosxsin（x+）=cosx（sinx+cosx）=sin（2x+）+．（Ⅰ）由正弦函数的性质：f（x）的最小正周期为T==π；最大值为．（Ⅱ）∵由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递增区间为：[k，k]，k∈Z，由2k≤2x+≤2k，可解得函数单调递减区间为：[k，k]，k∈Z，∴函数f（x）在[0，π]上的单调区间：函数f（x）在[0，]和[，π]上单调递增，在[，]上单调递减．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，A=2B，．（Ⅰ）求cosA及sinC的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据cosA=cos2B=1﹣2sin2B，及，可求cosA及sinC的值；（Ⅱ）先计算sinA的值，再利用正弦定理，确定a的值，过点C作CD⊥AB于D，利用c=acosB+bcosA，即可求得三角形的面积．解答：解：（Ⅰ）因为A=2B，所以cosA=cos2B=1﹣2sin2B．…（2分）因为，所以cosA=1﹣=．…（3分）由题意可知，B，所以cosB=．…（5分）所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（8分）（Ⅱ）sinA=sin2B=2sinBcosB=因为，b=2，所以，所以a=．…（10分）由cosA=可知，A．过点C作CD⊥AB于D，所以c=acosB+bcosA=．…（12分）所以．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，考查正弦定理的运用，解题的关键是搞清三角形中边角之间的关系．20．（12分）某单位用2560万元购得一块空地，计划在这块地上建造一栋至少12层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为520+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值为多少元？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：由题意可得平均综合费y=520+50x+，利用导数求出函数的最小值以及对应的x的值．解答：解：设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得；y=520+50x+=520+50x+（x≥12，且x∈N*），当x≥12时，y′=50﹣，令y′=0，即50﹣=0，解得x=16；∴当x＞16时，y′＞0；当0＜x＜16时，y′＜0；∴当x=16时，y取得极小值也是最小值，此时最小值为2120．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为16层，此时每平方米的平均综合费用的最小值为2120元．点评：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了利用导数求函数最值的应用问题，是综合性题目．21．（12分）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（Ⅱ））设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，代入即可求解．解答：解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，有，，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，∴，∴3m2﹣16mk+20k2=0．解得m=2k或m=．当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（﹣，0），经检验符合已知条件．故直线l过定点，定点坐标为（﹣，0）．点评：本题主要考查双曲线方程的求解，以及直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx（a≤0）．（Ⅰ）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）有唯一零点，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f′（x）=﹣ax+a﹣1=．此题需分a=0和a＜0两种情况讨论；（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）=mx2﹣x﹣lnx，可得g′（x）=（x＞0）．通过对m分情况讨论，利用导数研究函数的单调性极值，即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣ax﹣b，由f′（1）=0，得b=1﹣a．∴f′（x）=﹣ax+a﹣1=．当a=0时，f′（x）=，可得x=1是f（x）的极大值点，符合题意．当a＜0时，由f′（x）=0，得x=1或x=﹣．∵x=1是f（x）的极大值点，∴﹣1，解得﹣1＜a＜0．综上：a的取值范围是﹣1＜a≤0．（Ⅱ）当a=0，b=﹣1时，函数g（x）=mx2﹣f（x）=mx2﹣x﹣lnx，则g′（x）=（x＞0）．令h（x）=2mx2﹣x﹣1．（1）当m=0时，g′（x）=＜0，则g（x）在（0，+∞）上为减函数．又=﹣+1＞0，g（1）=﹣1＜0，∴函数g（x）有唯一零点．（2）当m＜0时，令h（x）=2mx2﹣x﹣1的图象对称轴为x=＜0，且h（0）=﹣1＜0，∴当x＞0时，h（x）＜0．∴函数g（x）在（0，+∞）上为减函数．当x→0时，g（x）→+∞，即∃x0＞0，使g（x0）＞0，而g（1）=m﹣1＜0，∴函数g（x）存在唯一零点．（3）当m＞0时，方程2mx2﹣x﹣1=0有两个不相等的实数根x1、x2，又x1x2=﹣＜0，不妨设x1＜0，x2＞0．当0＜x＜x2时，h（x）＜0；当x＞x2时，h（x）＞0．∴函数g（x）在（0，x2）上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，∴函数g（x）有最小值g（x）min=g（x2）．要使g（x）=mx2﹣x﹣lnx存在唯一零点，应满足，即，消去m得 2lnx2+x2﹣1=0．令u（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），则+1＞0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，又h（1）=0，所以h（x）=0有唯一的实根x=1，因此x2=1，代入方程组得m=1．综上可知，m≤0或m=1．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、函数零点与函数单调性的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

吉林省长春市东北师大附中2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+2．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,7773．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．[﹣3，2） B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0）4．已知(2sin,cos),(3cos,2cos)2222xxxxa b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（ ） A ．85[,)52B ．75[,)42C ．57[,)34D ．7(,2]45．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．36．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>7．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．1B ．43C ．3D ．48．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．199．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件11．要得到函数3cos 2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 23cos 2y x x =-的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 12．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年江西师大附中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x＞0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2） D．（2，3）2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），则=（）A． B． C．D．3．（5分）一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班6名同学成绩的平均数为82，乙班6名同学成绩的中位数为77，则x﹣y=（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣44．（5分）已知sin（﹣π+θ）+2cos（3π﹣θ）=0，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．5．（5分）已知直线l1：（m﹣4）x﹣（2m+4）y+2m﹣4=0与l2：（m﹣1）x+（m+2）y+1=0，则“m=﹣2”是“l1∥l2”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分又不必要6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．216﹣20πB．216﹣26πC．216﹣60πD．216﹣54π7．（5分）已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？”意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（）（注：3丈=5步，1里=300步）A．4里55步B．3里125步C．7里125步D．6里55步9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一个最高点坐标为（1，2），相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于（2，0）中心对称 B．f（x）的图象关于直线x=3对称C．f（x）在区间（2，3）上单调递增D．f（2017）=210．（5分）执行下列程序，输出S的值为（）A．﹣B．C．D．11．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点C为圆心，CE长为半径作圆，点P是该圆上的任一点，则的取值范围是（）A．B． C．D．12．（5分）已知F1，F2是双曲线的左右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，S n 是{a n}的前n项和，则S12的值为．14．（5分）设实数x，y满足条件，则目标函数z=7x﹣2y的最大值是．15．（5分）已知四面体ABCD中，△ABC，△BCD都是边长为2的正三角形，当四面体ABCD的体积最大时，它的外接球的表面积为．16．（5分）设x1，x2是函数f（x）=（a﹣1）x3+bx2﹣2x+1（a≥2，b＞0）的两个极值点，且，则实数b的取值范围是．三、解答题：本大题共小6题，共70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若=12．（1）求角C的大小；（2）若边长c=2，求边长a和b大小．18．（12分）某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[60，100]区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如右图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．（1）根据以上信息填好下列2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？（2）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率．（以下临界值及公式仅供参考，n=a+b+c+d）19．（12分）已知等腰梯形ABCE（图1）中，AB∥EC，AB=BC=EC=4，∠ABC=120°，D是EC中点，将△ADE沿AD折起，构成四棱锥P﹣ABCD（图2），M，N分别是BC，PC的中点．（1）求证：AD⊥平面DMN；（2）当平面PAD⊥平面ABCD时，求点C到平面PAB的距离．20．（12分）已知椭圆的左右焦点为F 1，F2，其离心率为，又抛物线x2=4y在点P（2，1）处的切线恰好过椭圆C的一个焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（﹣4，0）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1k+k2k=λk1k2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=是自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若h（x）=f（x）﹣g（x），当a≥0时，求函数h（x）的最大值；（3）若m＞n＞0，且m n=n m，求证：mn＞e2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点o为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于点A，B，若点P的坐标为，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+2|（a∈R）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣4，﹣2]，求a的取值范围．2017年江西师大附中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x＞0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2） D．（2，3）【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x＞0}={x|x＜0或x＞3}=（﹣∞，0）∪（3，+∞），B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=（﹣2，2），∴A∩B=（﹣2，0）．故选：A．2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），则=（）A． B． C．D．【解答】解：由复数z1，z2在复平面内的对应点的分别为（1，﹣1），（﹣2，1），得z1=1﹣i，z2=﹣2+i，则=．故选：B．3．（5分）一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图．已知甲班6名同学成绩的平均数为82，乙班6名同学成绩的中位数为77，则x﹣y=（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4【解答】解：已知甲班6名同学成绩的平均数为82，即80+（﹣3﹣8+1+x+6+10）=82，即（6+x）=2，则6+x=12，x=6，乙班6名同学成绩的中位数为77，若y=0，则中位数为=76，不满足条件．若y＞0，则中位数为（70+y+82）=77，即152+y=154，则y=2，则x﹣y=6﹣2=4，故选：C．4．（5分）已知sin（﹣π+θ）+2cos（3π﹣θ）=0，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵sin（﹣π+θ）+2cos（3π﹣θ）=0，∴sinθ=﹣2cosθ，∴==．故选：C．5．（5分）已知直线l1：（m﹣4）x﹣（2m+4）y+2m﹣4=0与l2：（m﹣1）x+（m+2）y+1=0，则“m=﹣2”是“l1∥l2”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分又不必要【解答】解：若m=﹣2，则两直线方程为﹣6x﹣8=0，和﹣3x+1=0，即x=﹣，和x=，则直线1∥l2，若m≠﹣2，则两直线方程为y=x+和y=﹣x﹣，若直线1∥l2，则=﹣，即m﹣4=﹣2（m﹣1）=﹣2m+2，得3m=6，m=2，此时直线方程为y=﹣x和y=﹣x﹣，满足直线l1∥l2，即“m=﹣2”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选：B．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．216﹣20πB．216﹣26πC．216﹣60πD．216﹣54π【解答】解：由已知三视图得到几何体是正方体截去一个圆台，其中正方体棱长为6，圆台上底面半径为1，下底面半径为3，所以体积为：=216﹣26π；故选：B．7．（5分）已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则g′（x）=1﹣=，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．8．（5分）刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？”意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（）（注：3丈=5步，1里=300步）A．4里55步B．3里125步C．7里125步D．6里55步【解答】解：设海岛高度为AB，前后表分别为CD，EF，由题意可知CD=EF=5，DG=123，DF=1000，FH=127，由△ABG∽△CDG得，由△ABH∽△EFH得，∴，解得BD=30750，∴AB=1255．∴AB=4里55步．故选：A．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一个最高点坐标为（1，2），相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于（2，0）中心对称 B．f（x）的图象关于直线x=3对称C．f（x）在区间（2，3）上单调递增D．f（2017）=2【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一个最高点坐标为（1，2），故有A=2，2sin（ω+φ）=2，∴ω+φ=2kπ+，k∈N*①．∵函数的图象相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，=2，∴ω=，φ的最小正值为，f（x）=2sin（+），故当x=2时，f（x）=，故排除A；当x=3时，f（x）=0，故排除B；在区间（2，3）上，x+∈（，π），函数f（x）单调递减，故排除C；f（2017）=2sin（+）=2sin（504π++）=2sin=2，故D正确，故选：D．10．（5分）执行下列程序，输出S的值为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算并输出S的值；且S=﹣+﹣+﹣…+=﹣×（1﹣）+×2×（﹣）﹣×3×（﹣）+×4×（﹣）+…+×10×（﹣）=×[﹣1+（+）﹣（+）+（+）﹣…+（+）﹣]=×（﹣）=﹣．故选：A．11．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，以点C为圆心，CE 长为半径作圆，点P是该圆上的任一点，则的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系，如图则A（0，0），C（2，2），D （0，2），E（2，1），P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，=（x，y），=（2，﹣1），所以=2x﹣y=z，则y=2x﹣z，当此直线与圆相切时使得在y轴的截距取得最值，所以，解得z=2，所以的取值范围是[2﹣，2+]；故选：D．12．（5分）已知F1，F2是双曲线的左右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意得右焦点F2（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，由F2A的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得A的横坐标为，由F2A的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得B的横坐标为．由，可得3（c﹣）=﹣c，即为﹣+4c=，由e=，可得﹣+4=，即有2e4﹣5e2+3=0，解得e2=或1（舍去），即为e=．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，S n 是{a n}的前n项和，则S12的值为54．【解答】解：∵{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，∴=a3•a11，即=（a1+2）（a1+10），解得：a1=﹣1．∴S12=﹣12+=54．故答案为：54．14．（5分）设实数x，y满足条件，则目标函数z=7x﹣2y的最大值是16．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=7x﹣2y过点B时，z取得最大值，由，可得B（4，6）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值：7×4﹣2×6=16．故答案为：16．15．（5分）已知四面体ABCD中，△ABC，△BCD都是边长为2的正三角形，当四面体ABCD的体积最大时，它的外接球的表面积为．【解答】解：如图，取BC中点F，连接AF，DF，∵△ABC与△BCD都是正三角形，∴BC⊥AF，BC⊥DF，AF∩DF=F；∴BC⊥平面ADF，BC⊂平面BCD；∴平面BCD⊥平面ADF，过A作AH⊥DF，垂足为H，则AH⊥平面BCD，即线段AH的长是点A到平面BCD的距离；∴当AF⊥面BCD时，四面体ABCD的体积最大，设O为四面体ABCD外接球的球心，O1，O2分别为△ABC，△BCD的外接圆的圆心．∴OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面BCD，且O1F=O2F=OO1=OO2=2×sin60°×=，，∴四面体ABCD外接球的半径R=外接球的表面积为4πR2=故答案为：16．（5分）设x1，x2是函数f（x）=（a﹣1）x3+bx2﹣2x+1（a≥2，b＞0）的两个极值点，且，则实数b的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：∵f（x）=（a﹣1）x3+bx2﹣2x，∴f′（x）=3（a﹣1）x2+2bx﹣2，∴x1，x2是方程3（a﹣1）x2+2bx﹣2=0的两个根，∴x1+x2=，x1x2=，∵a≥2，b＞0，∴两根一正一负，∴|x 1|+|x2|=|x1﹣x2|=2，⇒（2﹣4x1x2=8∴∵a﹣1≥1，b＞0故b2=18（a﹣1）2﹣6（a﹣1）≥18﹣6=12，⇒b≥2故答案为：．三、解答题：本大题共小6题，共70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若=12．（1）求角C的大小；（2）若边长c=2，求边长a和b大小．【解答】解：（1）∵，∴，∴，∵C∈（0，π），∴．（2）∵，∴ab=24，又c2=a2+b2﹣2abcosC，得a2+b2=52，解之得或．18．（12分）某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[60，100]区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如右图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．（1）根据以上信息填好下列2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？（2）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率．（以下临界值及公式仅供参考，n=a+b+c+d）【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下；计算，则有90%的把握认为学生成绩优良与班级有关；（2）分层抽样甲班抽取了3人，记作A1，A2，A3，乙班抽取了2人，记作B1，B2，从中任意抽取3人，有A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A2B1B2，A3B1B210种情形，其中至少有2人来自甲班的有7种情形，则至少有2人来自甲班的概率为P=．19．（12分）已知等腰梯形ABCE（图1）中，AB∥EC，AB=BC=EC=4，∠ABC=120°，D是EC中点，将△ADE沿AD折起，构成四棱锥P﹣ABCD（图2），M，N分别是BC，PC的中点．（1）求证：AD⊥平面DMN；（2）当平面PAD⊥平面ABCD时，求点C到平面PAB的距离．【解答】（1）证明：取AO的中点O，连结OB，BD，OP，∵△PAD，△ABD，O是AD的中点，∴PO⊥AD，OB⊥AD，又OP∩OB=O，AD⊥平面POB，∵PB⊂平面OPB，∴AD⊥PB，∵M，N分别是BC，PC的中点，∴MN∥PB，∴AD⊥MN，又△BCD是等边三角形，M是BC的中点，∴DM⊥BC，又BC∥AD，∴AD⊥DM，又DM∩MN=M，∴AD⊥平面MND．（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵△PAD，△ABD是边长为4的等边三角形，∴OP=OB=2，PB=2，PA=AB=4，∴cos∠PAB==，∴sin∠PAB=．==2，∴S△PAB==4，V P﹣ABC=V C﹣PAB，又S△ABC设C到平面PAB的距离为h，则=，解得h=．20．（12分）已知椭圆的左右焦点为F1，F2，其离心率为，又抛物线x2=4y在点P（2，1）处的切线恰好过椭圆C的一个焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（﹣4，0）斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1k+k2k=λk1k2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）∵抛物线x2=4y在点P（2，1）处的切线方程为y=x﹣1，∴它过x轴上（1，0）点，∴椭圆C的一个焦点为（1，0）即c=1又∵，∴，∴椭圆C的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l的方程为y=k（x+4），联立，∴，∵，∴，∴，∴，∴存在常数．21．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=是自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若h（x）=f（x）﹣g（x），当a≥0时，求函数h（x）的最大值；（3）若m＞n＞0，且m n=n m，求证：mn＞e2．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），且，令f'（x）＞0⇒0＜x＜e，f'（x）＜0⇒x＞e，∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．（2）∵，∴，当x＞e时，，∵a≥0，∴﹣a（x﹣e）≤0，∴h'（x）＜0，当0＜x＜e时，，∴h'（x）＞0，∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴．（3）∵m＞n＞0，m n=n m，∴nlnm=mlnn，∴即f（m）=f（n）．由（1）知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则1＜n＜e＜m，要证mn＞e2，即证，即证，即证，即证，由于1＜n＜e，0＜lnn＜1，即证e2lnn＜2n2﹣n2lnn．令G（x）=e2lnx﹣2x2+x2lnx（1＜x＜e），=，∵1＜x＜e，∴G'（x）＞0恒成立，∴G（x）在（1，e）递增，∴G（x）＜G（e）=0在x∈（1，e）恒成立，∴原不等式成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点o为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于点A，B，若点P的坐标为，求的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为为参数），∴消去t，得直线l的普通方程为：，∵曲线C的极坐标方程为，∴，∴圆C的直角坐标方程为．（2）把直线l的参数方程代入中，整理，得5t2+12t+6=0设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∵△＞0，∴同号）∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x+2|（a∈R）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣4，﹣2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，，则原不等式可化为或或，解得x≤﹣3或x≥2，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）；（2）因为f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣4，﹣2]，则|x+a|+|x+2|≥|x﹣2|在x∈[﹣4，﹣2]上恒成立，即|x+a|≥|x﹣2|﹣|x+2|=﹣（x﹣2）+x+2=4在x∈[﹣4，﹣2]上恒成立，即x+a≤﹣4或x+a≥4在x∈[﹣4，﹣2]上恒成立，即a≤（﹣4﹣x）min=﹣2或a≥（4﹣x）max=8，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[8，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合，则（ ）A. A ⊆BB. B ⊆AC. A ∪B=RD. A ∩B =∅ 2. 已知 z -2=（z +2）i （i 为虚数单位），则复数 z =（）A. 1+2iB. 1-2iC. 2iD. -2i3. 圆 x -4x +y =0 与圆 x +y +4x +3=0 的公切线共有（ ）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D.4 条4.将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2 次正面朝上，1 次反面朝上”的概率 为（）5.A.B. C.已知 α 是第三象限角，且 cos （）= ，则 sin2α=（）D.6.A.B. C. D.已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠DAB =60°，点 E ，F 分别为 BC ，CD 的中点，则 （）=A.3B.1C. D.7.8.四棱锥 P -ABCD 中，PA ⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 是正方形，且 PA =AB =2，则直线 PB 与平面 PAC 所成角为（ ）A.B. C. D.将函数 f （x ）=sin （2x + ）的图象向右平移 φ（φ＞0）个单位长度，得到函数 g （x ） 的图象，且 g （-x ）=-g （x ），则 φ 的一个可能值为（）9.A.双曲线 C ：B.C.D.=1（a ＞0，b ＞0），F ，F 分别为其左，右焦点，其渐近线上一点12G 满足 GF ⊥GF 1 2，线段 GF 与另一条渐近线的交点为 H ，H 恰好为线段 GF 的中点，1 1则双曲线 C 的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 410. 已知函数 f （x ）=e -e +，若 f （lg m ）=3，则 f （lg ）=（）A.-4B.-3C.-2D.-111. 已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（）2 2 2 2 x -xA.B. C. D.8π12. 定义区间[a ，b ]，（a ，b ），（a ，b ]，[a ，b ）的长度为 b -a ．如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为 m （其中 m ∈（0，e ]，e 为自然对数的底数），那么称 这个函数为“m 函数”．下列四个命题：①函数 f （x ）=e +lnx 不是“m 函数”； ②函数 g （x ）=ln x -e 是“m 函数”，且 me =1； ③函数 h （x ）=e lnx 是“m 函数”；④函数 φ（x ）= 是“m 函数”，且 m lnm=1．其中正确的命题的个数为（ ）A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 函数 f （x ）=14. 已 x ，y 满足约束条件，则 f （f （-e ））=______．，则 z =3x +y 的最大值为______．15. 设△ABC 的内角 A ，BC 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b =6，c =4，A =2B ，则a =______． 16.以抛物线 y =2px （p ＞0）焦点 F 为圆心，p 为半径作圆交 y 轴于 A ，B 两点，连结FA 交抛物线于点 D （D 在线段 FA 上），延长 FA 交抛物线的准线于点 C ，若|AD |=m ， 且 m ∈[1，2]，则|FD |•|CD |的最大值为______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）17. 已知 S n 是数列{a }的前 n 项和，S =n +2n ，等比数列{b }的公比为 4，且 a =5b ． nnn 2 1（Ⅰ）求数列{a }，{b }的通项公式； n n（Ⅱ）求数列{a •b }的前 n 项和 T ．n n n18. 如图，直三棱柱 ABC -AB C 中，点 D 是棱 B C 的中点， 1 1 1 1 1AB =AC = ，BC =BB =2． 1（Ⅰ）求证：AC ∥平面 A BD ；1 1（Ⅱ）求点 D 到平面 ABC 的距离．1x x m x 2 2第2 页，共16 页19. 一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货．今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252．（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？20. 椭圆C：=1，点A（2，0），动直线y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，已知直线AM的斜率为k，直线AN的斜率为k，且k，k的乘积为λ．1212（Ⅰ）若k=0，求实数λ的值；（Ⅱ）若，求证：直线MN过定点．21. 已知函数 f （x ）=x +xlnx ，g （x ）=ax -2（a -1）x+a -1． （Ⅰ）求证：曲线 y =f （x ）与 y =g （x ）在（1，1）处的切线重合； （Ⅱ）若 f （x ）≤g （x ）对任意 x ∈[1，+∞）恒成立．（1）求实数 a 的取值范围；（2）求证：ln[（n +1）!•n !]＜（其中 n ∈N *）．22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρ =，直线 l与曲线 C 交于 A ，B 两点．（Ⅰ）求直线 l （Ⅱ）求|AB |．的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； 23. （Ⅰ）已知 a ＞0，b ＞0，且 a +b =2，求证：a +b≥2；（Ⅱ）已知 a ＞0，b ＞0，c ＞0，求 a +b +c +（ ） 的最小值，并写出取最小值时 a ，b ，c 的值．2 2 4 43 3 33答案和解析1.【答案】C【解析】解：A ={x |x ＜0，或 x ＞2}，且 ；∴A ∪B =R ．故选：C ．容易求出集合 A ={x |x ＜0，或 x ＞2}，从而可判断集合 A ，B 的关系． 考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及并集的概念． 2.【答案】C【解析】解：∵z -2=（z +2）i ，∴z （1-i ）=2+2i ，故 z =．故选：C ．先将式子化为 z （1-i ）=2+2i ，再由复数的除法运算即可得出结果． 本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型． 3.【答案】D【解析】解：根据题意，圆 x -4x +y =0，即（x -1） +y =4，其圆心坐标为（2，0）半径 为 2；圆 x +y +4x +3=0，即圆（x +2） +y =1，其圆心坐标为（-2，0）半径为 1； 则两圆的圆心距为 4，两圆半径和为 3，因为 4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有 4 条． 故选：D ．根据题意，把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较 圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而分析可得答案． 本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标 准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系．4.【答案】B【解析】解：将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2 次正面朝上，1 次反面朝上”的概率是 P == ．故选：B ．此问题相当于进行 3 次独立重复试验恰好发生 2 次正面朝上的概率． 本题考查了 n 次独立重复试验恰好发生 k 次的概率． 5.【答案】A【解析】解：cos （）= ，可得 sin α=，∵sin α+cos α=1，α 是第三象限角∴cosα=-=- ，∴sin2α=2sin αcos α= ．故选：A ．由诱导公式可以求出角 α 的正弦值，再由同角的正弦值与余弦值的平方和为1 这一关系，2 2 2 22 2 2 2 2 2可求出α的余弦值，最后运用二倍角正弦公式求出sin2α．本题考查了三角函数的诱导公式、同角正弦函数与余弦函数的关系、二倍角公式．6.【答案】D【解析】解：点E为BC的中点，；所以= +=+=+点F为CD的中点，所以=+=+=+=-，可得•=（+）•（-）=•-2+-•=•-||+||，222因为菱形ABCD的边长为2，所以||=||=2，又因为∠DAB=60°，可得•=•= •2•2•cos60°=•4•=．故选：D．先确定一组基底，利用向量加法运算法则，用这对基底把，表示出来，然后进行数量积计算．本题考查了向量的数量积运算、向量的加法运算、菱形的几何性质，考查化简运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：连接AC交BD于点O，因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA，PA AC=A，因此BD⊥平面PAC；故BO⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因PA=AB=2，所以PB=2，BO=．所以sin∠BPO==，所以∠BPO=．故选：A．连接AC交BD于点O，连接OP，证明BO⊥平面PAC，进而可得到∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，根据题中数据即可求出结果．本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型．先由题意写出g（x）解析式，根据g（-x）=-g（x），可知g（x）为奇函数，进而可求出φ．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x-2φ+）的图象，又g（-x）=-g（x），所以g（x）为奇函数，∴-2φ+=kπ，k∈Z，∴可取φ=，故选：A．9.【答案】B【解析】解：由题意得双曲线C：=1（a＞0，b＞0），的渐近线方程为，焦点坐标为F （-c，0），F（c，0）；不妨令G在渐近线12设G（x，x），上，则H在y=-x上，由GF⊥GF，得，即12又H恰好为线段GF的中点，所以H（1，解得x=a，所以G（a，b），，），因H在y=-x上，所以故选：B．，因此c=2a，故离心率为2．根据题意得到双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为F （-c，0），F（c，0）；12不妨令G在渐近线上，则H在y=-x上，设G（x，x），根据题意求出G点坐标，再得到H的坐标，将H坐标代入直线y=-，即可得出结果．本题主要考查双曲线的斜率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型．10.【答案】C【解析】解：根据题意，f（x）=e-e+，则f（-x）=e-e+，则f（x）+f（-x）=1，若f（lgm）=3，则f（lg）=f（-lg m）=1-f（lg m）=1-3=-2；故选：C．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）+f（-x）=1，又由f（lg m）=3，则f（lg）=f （-lg m）=1-f（lg m），计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题．11.【答案】Cx-x-x x【解析】解：根据三视图，在长方体中还原该三 棱锥为 P -ABC ，且长方体的底面边长为 2，高为 ；取 AB 中点为 D ，上底面中心为 E ，连接 DE ， EP ，则 DE = ，EP =1，因为三角形 ABC 为直角三角形，所以 D 点为三 角形 ABC 的外接圆圆心，因此三棱锥的外接球球心，必在线段 DE 上，记 球心为 O ，设球的半径为 R ，则 OB =OP =R ，所以有 OE ==，OD ==，因此，解得所以该三棱锥的外接球表面积为 4πR =．，故选：C ．先在长方体中还原该三棱锥为 P -ABC ，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位 置，设球的半径为 R ，列出方程即可求出结果．本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考 题型．12.【答案】B【解析】解：命题①：f （x ） 定义域为（0，+∞），在定义域上 f （x ）是单调递增，显 然这个区间没有长度，因此函数 f （x ）不是“m 函数”，故命题①是真命题．命题②：g （x ）的定义域为（0，+∞），g ′（x ）= -e =当 g ′（x ）＞0 时，函数 g （x ）是增函数，∵x ＞0，∴1-xe ＞0 得 ＞e ，构造两个函数，v （x ）= 和 u （x ）=e ，图象如下图所示：通过图象可知当 x ∈（0，m ），u （x ）＞v （x ）而 v （1）=e ＞u （1）=1，即 m ∈（0，1）， u（m ）=v （m ），所以当 x ∈（0，m ），时，函数 g （x ）是增函数，增区间的长度为 m ， 又因为 m ∈（0，1），显然有 m ∈（0，e ），成立，所以函数 g （x ）是“m 函数”，∵u （m ）=v （m ），∴ =e 即 me =1成立，故命题②是真命题．2 x x x x m m命题③：函数 h （x ）=e ln x 定义域为（0，+∞），h ′（x ）=e （ln x + ）显然 x ＞1 时，h ′（x ）＞0，此时函数 h （x ）是单调递增函数，增区间为（1，+∞）， 而区间（1，+∞）没有长度，故函数 h （x ）=e lnx 不是“m 函数”，故命题③是假命题．命题④：函数 φ（x ）=定义域（0，+∞），φ′（x ）=当 φ′（x ）＞0 时，φ（x ）是增函数，故只需 1-x lnx ＞0 成立，φ（x ）是增函数，也就是 ＞ln x 成立，φ（x ）是增函数，构造两个函数，u （x ）= ，w （x ）=ln x 如下图所 示：通过图象可知：当 x ∈（0，m ）时，u （x ）＞w （x ），而 u （e ）= ＜w （e ）=1，所以 m＜e ．从而有 x ∈（0，m ）时， ＞ln x 时，函数 φ（x ）是增函数，显然区间（0，m ）， 长度为 m ，而 m ＜e所以函数 φ（x ）=是“m 函数”，又 u （m ）=w （m ），即 m lnm=1．故命题④是真命题．综上所述：正确的命题的个数为 3 个， 故选：B ．利用导数、函数的图象，结合“m 函数”的定义，对四个命题逐一判断即可得到结论． 本题考查命题的真假关系，考查了利用函数的导数、函数的图象找函数增区间的数学能 力．重点考查了学生阅读能力、知识的迁移能力、数形结合的数学思想．综合性较强， 有一定的难度．13.【答案】e【解析】【分析】本题考查求函数值，分段函数中的求函数值问题是比较常见的一种题型，属于基础题． 根据题意，由函数的解析式求出 f （-e ）的值，进而又由 f （f （-e ））=f （1），计算可 得答案． 【解答】解：根据题意，f （x ）= 则 f （-e ）=ln e =1，则 f （f （-e ））=f （1）=e =e ；故答案为：e ．，第 9 页，共 16 页x x x 114.【答案】3【解析】解：根据约束条件可以画出可行域，如下图所示：由 z =3x +y ，可知直线 y =-3x +z 过 A （1，0）时，z 有最大值为 3×1+0=3． 故答案为：3．先根据约束条件画出可行域，求出各直线的交点，通过分析能求出目标函数的最大值． 本题考查了线性归划问题．解决此类问题的关键是画出可行域，然后根据目标函数的几 何意义求出最值．15.【答案】2【解析】解：根据题意， △在ABC 中，b =6，c =4，A =2B ；由正弦定理可得=，即=，变形可得 cos B= ，又由余弦定理可得 cos B = 则有= ，解可得 a =2 ， 故答案为：2 ．=，根据题意，由正弦定理可得=，即=，变形可得 c os B = ，又由余弦定理可得 cos B ==，联立可得= ，解可得 a 的值，即可得答案．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型． 16.【答案】32【解析】解：由题意可得抛物线 y =2px （p ＞0）的焦点为 F （ ，0），准线方程为x =- ，所以以 F 为圆心，p 为半径的圆的方程为+y=p ，因为 A ，B 两点为圆+y =p 与 y 轴的两个交点，不妨令 A 为 y 轴正半轴上的点，2 2 2 2 2由 x =0 得，A （0， ）；所以直线 AF 的斜率为 k =AF=-，因此直线 AF 的方程为 y =- x +，由得 C （-，p ）；由得 D （ ， ），所以|FD |= + = ，|C D |== p ，|AD|== p ，又|AD |=m ，且 m ∈[1，2]，所以 p ∈[1，2]，即 p ∈[3，6]，因此|PD |•|CD |= p ≤32，当且仅当 p =6 时，取等号．故答案为：32．由题意得到以 F 为圆心，P 为半径的圆的方程，再令 A 为 y 轴正半轴上的点，从而求出 A 点坐标，得到直线 A F 的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C 、D 两点坐标，即可用 p 表示出|FD |•|CD |，再由|AD |=m ，且 m ∈[1，2]，求出 p 的范围，即 可得出结果．本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，是中档题． 17.【答案】解：（I ）∵S =n +2n ，n ≥2，S =（n -1） +2（n -1）， ∴an =2n +1． n=1 时，a =S =3，对于上式也成立．1 1∴a n =2n +1． a =5b ． 2 1∵5b =a =5，解得 b =1． 1 21∴bn =4 ．（II ）∵a •b =（2n +1）•4 ． ∴T n =3+5×4+7×4 +……+（2n +1）•4 ．4T =3×4+5×4 +7×4 +……+（2n -1）•4 +（2n +1）•4 ． n∴-3T=3+2（4+4 +……+4 n）-（2n +1）•4 =3+2×-（2n +1）•4 n，∴T n=- +•4 ．【解析】（I ）由 S =n +2n ，n ≥2，S =（n -1） +2（n -1），可得 a ．n =1 时，a =S ，可 n n -1 n 1 1得 a ．a =5b ．解得 b ．可得 b ．n 2 1 1 n （II ）a •b =（2n +1）•4 ．利用错位相减法即可得出．n n本题考查了数列递推关系、等差数列等比数列的通项公式求和公 式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18.【答案】（Ⅰ）证明：连接 AB ，交 A B 于点 O ，则 O 为 AB1 1 1 的中点，2 2 2 n n -1n -1 n -1n n n -1 2n -1 n2 3 2 n -1 n n 2 2n -1 1 1 1第11 页，共16 页∴AC ∥平面 A 11BD ．（Ⅱ）解：取 BC 的中点 H ， ∵AB =AC ，∴BC ⊥AH ，∵BB ⊥平面 ABC ，AH ⊂平面 ABC ，∴BB ⊥AH ， 11∵BC ∩BB 1=B ，∴AH ⊥平面 BCC B ．又 AB =AC =，BC =2，∴AB ⊥AC ，AH= BC =1，∵BB ⊥C D ，∴S= C D •BB =11=1，∴V=V= S•AH== ．∵AB ⊥AC ，AB ⊥AA 1，AC ∩AA =A ， 1 ∴AB ⊥平面 AA C A ，∴AB ⊥AC ，∵AC 1= =，∴S ==，设 D 到平面 ABC 的距离为 h ，则 V1解得 h = ．∴点 D 到平面 ABC 的距离为 ． 1== ，【解析】（Ⅰ）连接 AB ，交 A B 于点 O ，则 O 为 AB 的中点，连接 OD ，则 OD ∥AC ， 故而 AC ∥平面 A 1 （Ⅱ）根据 V BD ； 1 =V计算点 D 到平面 ABC 的距离． 1 本题考查了线面平行的证法，一般有二种方法：一种是证明线线平行；一种是证明面面 平行．同时本题也重点考查了点到面的距离的求解，如果直接法困难时，往往采用等积 法来求解．19.【答案】解：（Ⅰ）四月前 10 天订单中百合需求量众数为 255，平均数 = （231+241+243+244+251+252+255+255+263+265）=250．频率分布直方图补充如下：（Ⅱ）设订单中百合花需求量为 a （支），由（Ⅰ）中频率分布直方图， a 可能取值为 235，245，255，265，相应频率分别为 0.1，0.3，0.4，0.2， ∴20 天中 a =235，245，255，265 相应的天数为 2 天，6 天，8 天，4 天．1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1①若空运 250 支，a =235，当日利润为 235×2-250×1.6=70， a =245，当日利润为 245×2-250×1.6=90，a =255，当日利润为 255×2-250×1.6-15×1.8=101， a =265，当日利润为 265×2-250×1.6-15×1.8=103，20 天总利润为：70×2+90×6+101×8+103×4=1900 元． ②若空运 255 支a =235，当日利润为 235×2-255×1.6=62， a =245，当日利润为 245×2-255×1.6=82， a =255，当日利润为 255×2-255×1.6=102，a =265，当日利润为 265×2-255×1.6-10×1.8=104，20 天总利润为：62×2+82×6+102×8+104×4=1848 元．∵1900＞1848，∴每天空运 250 支百合花四月后 20 天总利润更大．【解析】（Ⅰ）根据众数的定义直接可求出众为 255．利用平均数的公式可以求出平均 数．根据给定的分组，通过计算完成频率分布直方图．（Ⅱ）设订单中百合花需求量为 a （支），由（Ⅰ）中频率分布直方图，可以求出 a 可 能取值、a 每个可能取值相应频率，a 每个可能取值相应的天数．分别求出空运 250 支， 255 支百合花时，销售总利润的大小，进行比较，得出结论．本题考查众数、平均数、频率分布直方图；重点考查了学生通过阅读，提取有用信息， 用数学知识解决实际生活问题的能力，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）不妨设 M （-2 ，k =k =1 2∴k k =-= ，1 2∴λ=．，m ），N （2，m ）（Ⅱ）设联立得（1+4k ）x +8km +4m -4=0，由题 △意=16（4k +1-m ）＞0，设 M （x ，y ），N （x ，y ），1122∴x +x =-12，x x =1 2，∵k k =1 2•==-∴4（kx 1+m ）（kx +m ）+3（x -2）（x -2）=0，2 1 2 ∴（4k +3）x x +（4km -6）（x +x ）+4m +12=0，1 212∴（4k +3）•+（4km -6）（-）+4m +12=0，∴2k +m +2km =0，∴m =-k 或 m =-2k ，均符 △合＞0．若 m =-2k ，直线 MN ：y =k （x -2）过 A （2，0），与已知矛盾． ∴m =-k ，直线 MN ：y =k （x -1）过定点（1，0）．【解析】本题主要考查椭圆的简单性质，以及椭圆中直线过定点的问题，熟记椭圆的性 质，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型．2 2222 22 22 2（Ⅰ）先由k=0，设设M（-2，m），N（2，m），表示出k，k，进而12可求出结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，设M（x，y），N（x，y），根据韦达定理得到k，m1122的关系式，进而可得出直线所过的定点．21.【答案】解：（Ⅰ）证明：f′（x）=2+ln x，f′（1）=2，f（1）=1y=f（x）在（1，2）处的切线方程为y=2x-1．g′（x）=2a-2（a-1），g′（1）=2，g（1）=1y=g（x）在（1，1）处的切线方程为y=2x-1．所以切线重合．（Ⅱ）（1）令F（x）=g（x）-f（x）=ax-2（a-1）x+a-1-x-x lnx（x≥1），则F′（x）=2a（x-1）-ln x，①当a≤0时，F′（x）≤0当且仅当x=1时，取等号，F（x）在[1，+∞）递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不成立．②当a＞0时，，（i）当0＜a＜时，=0，时，F″（x）＜0，F′（x）递减，F′（x）＜F′（1）F（x）在（ii）当a递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不恒成立．时，F″（x）≥0，F′（x）在[1，+∞）递增，F′（x）≥F′（1）=0，f（）x在[1，+∞）递增，F（x）≥F（1）=0，f（x）≤g（x）恒成立．综上实数a的取值范围为．（2）证明：由（1）知当a= 时，f（x）≤g（x），∀x≥1恒成立．得，令x=1，2，…，n得n个不等式相加得，∴∴，∴．下面只要证明，即，再由不等式得，令得，2取 k =1，2，3，…，n 得 n 个不等式累加得证明成立．故原不等式成立．【解析】（Ⅰ）先对函数 f （x ）求导，得到 f ′（1）=2，再由 f （1）=1，根据直线的点 斜式方程即可求出 y =f （x ）在点（1，1）处的切线方程；另外同理求出 y =g （x ）在（1， 1）处的切线方程，即可得出结论成立；（Ⅱ）（1）先令 F （x ）=g （x ）-f （x ），对函数 F （x ）求导，通过讨论 a ≤0 与研究函数 F （x ）的单调性，即可得出结果；、（2）先由（1）得到当时，f （x ）≤g （x ），∀x ≥1 恒成立，得，分别令 x =1，2，…，n 得个不等式相加得，整理化简得到只要证明即可得出结论成立．本题主要考查导数的几何意义以及导数的应用，通常需要对函数求导，通过研究函数单 调等来处理，属于较难题目．22.【答案】解：（Ⅰ）易知直线 l的方程为 y =x +1，曲线 C 的方程为 + =1．（Ⅱ）将（t参数），代入 + =1 中得 7t -6-18=0 △，＞0设 AB 所对应的参数分别为 t ，t 12，t +t = 1 2，t t =- ， 1 2|AB |=|t -t |=1 2= ．【解析】（Ⅰ）由参数方程消去参数，可直接得出直线的普通方程；根据极坐标方程与 直角坐标方程的互化，可直接得出曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将代入 + =1 得到关于 t的一元二次方程，由韦达定理以及|AB |=|t -t |1 2即可求出结果本题主要考查参数方程与普通方程的互化、以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟 记公式以及弦长公式等即可，属中档题．23.【答案】证明：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥≥ [ ] = ×4解（II ）a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a +b +c +（ ）≥3+（3 ）≥2=18当且仅当 a =b =c =时，原式取最小值 18．【解析】（Ⅰ）由基本不等式可得，进而可证明出结论； （Ⅱ）由基本不等式可得，进而可得出结果．2 4 4 23 3 3 3 3本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型．。

2017年吉林省东北师大附中高考数学六模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．（5分）已知U=R，M={x|﹣l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2＜x≤3}C．{x|x≤﹣1，或2≤x≤3} D．{x|x＜﹣1，或2＜x≤3}2．（5分）已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．34．（5分）平面向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=（）A．B．C．4 D．125．（5分）执行下列程序后，输出的i的值是（）A．5 B．6 C．10 D．116．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.47．（5分）2014年5月12日，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图．根据以上统计图来判断以下说法错误的是（）A．2013年农民工人均月收入的增长率是10%B．2011年农民工人均月收入是2205元C．小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了”D．2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高8．（5分）函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≥﹣2 C．﹣2≤a≤2 D．a≤﹣2或a≥29．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．4 B．2 C．D．810．（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元11．（5分）已知A，B，C是球O的球面上三点，AB=2，AC=2，∠ABC=60°，且棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．10πB．24πC．36πD．48π12．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．（5分）已知函数f（3x+1）=x2+3x+2，则f（4）=．14．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为．15．（5分）已知各项皆为正数的等比数列{a n}（n∈N*），满足a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n使得=4a1，则+的最小值为．16．（5分）如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S①利用计算机先产生N组均匀随机数（x i，y i）（i=1，2，3，…N），x i∈[0，2]，y i∈[0，2]②生成N个点（x i，y i），并统计满足条件y i＜的点的个数N1，已知某同学用计算机做模拟试验结果，当N=1000时，N1=332，则据此可估计S的值为．三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，AD=，BC=2，∠ABC=120°，∠DAB=75°（Ⅰ）设△ABC、△ABD的面积分别为S1，S2，求证：S1＜S2（Ⅱ）求BD和DC的长．18．（12分）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，腰长为2，D、E分别是边AB、BC 的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B﹣ADEC，且F为棱BC中点，BA=．（1）求证：EF⊥平面BAC；（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q ﹣BE﹣A的余弦值，若不存在，请说明理由．19．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x的线性回归方程=bx+a；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：线性回归方程的系数公式为b==，a=．20．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）函数f（x）=e x﹣ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：（f′（x）为函数f（x）的导函数）；（3）设点C在函数y=f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记=t，求（a﹣1）（t﹣1）的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（α为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C上的两点，且OA⊥OB，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+m|（x∈R）．（1）当m=1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若不等式f（x）≤5的解集不是空集，求参数m的取值范围．2017年吉林省东北师大附中高考数学六模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1．（5分）（2017•吉林二模）已知U=R，M={x|﹣l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则（∁M）∩N=（）UA．{x|2≤x≤3}B．{x|2＜x≤3}C．{x|x≤﹣1，或2≤x≤3} D．{x|x＜﹣1，或2＜x≤3}【解答】解：∵M={x|﹣l≤x≤2}，∴C u M={x|x＜﹣1或x＞2}∵N={x|x≤3}，∴（C u M）∩N={x|x＜﹣1，或2＜x≤3}故选D．2．（5分）（2017•吉林二模）已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z===，∴对应的点的坐标为（），位于第四象限，故选：D．3．（5分）（2017•南关区校级模拟）在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．3【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=8，a4=7，∴2a1+4d=8，a1+3d=7，解得a1=﹣2，d=3．则a 5=﹣2+4×3=10．故选：B．4．（5分）（2017•南关区校级模拟）平面向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=（）A．B．C．4 D．12【解答】解：由题意可得=====2故选B5．（5分）（2017•朝阳区校级模拟）执行下列程序后，输出的i的值是（）A．5 B．6 C．10 D．11【解答】解：程序执行如下：i=1i=6i=11此时跳出循环并输出i=11故选D．6．（5分）（2017•汕头三模）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（2）2x=12.6，x=1.6．故选：B．7．（5分）（2017•南关区校级模拟）2014年5月12日，国家统计局公布了《2013年农民工监测调查报告》，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图．根据以上统计图来判断以下说法错误的是（）A．2013年农民工人均月收入的增长率是10%B．2011年农民工人均月收入是2205元C．小明看了统计图后说：“农民工2012年的人均月收入比2011年的少了”D．2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高【解答】解：A：由折现统计图可得出：2013年农民工人均月收入的增长率是：10%；故正确，B：由条形统计图可得出：2011年农民工人均月收入是：2205元；故正确C：∵2012年农民工人均月收入是：2205×（1+20%）=2646（元）＞2205元，∴农民工2012年的人均月收入比2011年的少了，是错误的．故错误，D：由条形统计图可得出，2009年到2013年这五年中2013年农民工人均月收入最高，故选：C8．（5分）（2011•南充模拟）函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≥﹣2 C．﹣2≤a≤2 D．a≤﹣2或a≥2【解答】解：由题意，f（x）在（0，+∞）上为单调减函数，从而有或，解得a≤﹣2或a≥2，故选D．9．（5分）（2017•南关区校级模拟）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．4 B．2 C．D．8【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y ＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．将x=﹣4，y=2代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即，∴C的实轴长为4．故选：A10．（5分）（2009•湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元【解答】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z=400x+300y的最小值．解得当时，z min=2200．故选B．11．（5分）（2016•新余二模）已知A，B，C是球O的球面上三点，AB=2，AC=2，∠ABC=60°，且棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．10πB．24πC．36πD．48π【解答】解：∵AB=2，AC=2，∠ABC=60°∴==，=，C＜60°，sinC=，C=30°，∴∠A=90°，BC==4∵A，B，C是球O的球面上三点∴截面圆的圆心为AC中点，半径为2∵棱锥O﹣ABC的体积为，∴×=，∴d=2，∴R2=（2）2+22=12，∴球O的表面积为：4πR2=48π，故选：D．12．（5分）（2017•佛山一模）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b （a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c在（0，1）上单调递减，但f（0），f（1）的符号不能确定，故①f（0）•f（1）≤0不一定正确；由f′（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，即g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，故g（0）≤0，且g（1）≤0，故②g（0）•g（1）≥0一定正确；由g（0）≤0，且g（1）≤0得b≤0，3+2a+b≤0，令Z=a2﹣3b，则b=（a2﹣Z），当b=（a2﹣Z）过（﹣，0）点时，Z取最小值故③正确；故选：B二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．13．（5分）（2017•朝阳区校级模拟）已知函数f（3x+1）=x2+3x+2，则f（4）= 6．【解答】解：令3x+1=4得x=1故f（4）=12+3×1+2=6．故答案为：6．14．（5分）（2012•大纲版）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．【解答】解：由题意可得，∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为：5615．（5分）（2016•静安区一模）已知各项皆为正数的等比数列{a n}（n∈N*），满足a 7=a6+2a5，若存在两项a m、a n使得=4a1，则+的最小值为．【解答】解：设各项皆为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0（n∈N*），∵a7=a6+2a5，∴=a5q+2a5，化为q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∵存在两项a m、a n使得，∴=4a1，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．则==≥=，当且仅当n=2m=4时取等号．∴的最小值为．故答案为：．16．（5分）（2017•南关区校级模拟）如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S①利用计算机先产生N组均匀随机数（x i，y i）（i=1，2，3，…N），x i∈[0，2]，y i∈[0，2]②生成N个点（x i，y i），并统计满足条件y i＜的点的个数N1，已知某同学用计算机做模拟试验结果，当N=1000时，N1=332，则据此可估计S的值为 1.328．【解答】解：根据题意：满足条件y＜的点（x，y）的概率是，矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s，则有=率是，∴S=1.328，故答案为：1.328．三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（12分）（2017•朝阳区校级模拟）如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，AD=，BC=2，∠ABC=120°，∠DAB=75°（Ⅰ）设△ABC、△ABD的面积分别为S1，S2，求证：S1＜S2（Ⅱ）求BD和DC的长．【解答】解：（I）S1=S△ABC===3，S2====2+，∴S2﹣S1=＞0，∴S1＜S2．（II）在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos75°=4+（+）2﹣2×2××=（+）2，∴BD=+，∴AD=BD，∴∠DBA=∠DAB=75°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45°，在△BCD中，由余弦定理得CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos∠CBD=12+（+）2﹣2××（+）×=8，∴CD=2．18．（12分）（2017•南关区校级模拟）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，腰长为2，D、E分别是边AB、BC的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B﹣ADEC，且F为棱BC中点，BA=．（1）求证：EF⊥平面BAC；（2）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q ﹣BE﹣A的余弦值，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AB中点H，连结DH、HF，在等腰Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分别是边AB、BC的中点，∴AD=BD=1，又∵翻折后，∴翻折后AD⊥BD，且△ADB为等腰直角三角形，则DH⊥AB，∵翻折后DE⊥AD，DE⊥BD，且AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，∵DE∥AC，∴AC⊥平面ADB，则AC⊥DH，又AB∩AC=A，∴DH⊥平面ABC，又∵HF∥AC，DE∥AC，且HF=AC=DE，∴DEFH是平行四边形，则EF∥DH，∴EF⊥平面ABC；（2）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则A（0，1，0），B（0，0，1），E（1，0，0），C（2，1，0），，设Q（0，t，0）（0≤t≤1），则，设平面BQE的法向量为=（x，y，z），则由，取y=1，则=（t，1，t），要使AF∥平面BEQ，则须，∴，即线段AD上存在一点，使得AF∥平面BEQ，设平面BAE的法向量为=（x，y，z），则由，取y=1，则=（1，1，1），∴cos＜＞=，∵二面角Q﹣BE﹣A为锐二面角，∴其余弦值为，即线段AD上存在一点Q（点Q是线段AD上的靠近点D的一个三等分点），使得AF∥平面BEQ，此时二面角Q﹣BE﹣A的余弦值为．19．（12分）（2017•南关区校级模拟）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与医院抄录1至6月份每月10号的昼夜温差情况与患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程=bx +a ；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：线性回归方程的系数公式为b==，a=．【解答】解：（I ）设抽到相邻两个月的数据为事件A ，∵从6组数据中选取2组数据共有C 62=15种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种， ∴…（4分）（II ）由数据求得x=11，y=24，由公式求得，由，求得∴y 关于x 的线性回归方程为…（9分）（III ）当x=10时，，当x=6时，，所以该小组所得线性回归方程是理想的．…（12分）20．（12分）（2014•重庆）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF 1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C （0，y0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．21．（12分）（2017•南关区校级模拟）函数f（x）=e x﹣ax+a（a∈R），其图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）求a的取值范围；（2）证明：（f′（x）为函数f（x）的导函数）；（3）设点C在函数y=f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记=t，求（a﹣1）（t﹣1）的值．【解答】（1）解：∵f（x）=e x﹣ax+a，∴f'（x）=e x﹣a，若a≤0，则f'（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾．∴a＞0，令f'（x）=0，则x=lna，当f'（x）＜0时，x＜lna，f（x）是单调减函数，当f'（x）＞0时，x＞lna，f（x）是单调增函数，于是当x=lna时，f（x）取得极小值，∵函数f（x）=e x﹣ax+a（a∈R）的图象与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），∴f（lna）=a（2﹣lna）＜0，即a＞e2，此时，存在1＜lna，f（1）=e＞0，存在3lna＞lna，f（3lna）=a3﹣3alna+a＞a3﹣3a2+a＞0，又由f（x）在（﹣∞，lna）及（lna，+∞）上的单调性及曲线在R上不间断，可知a＞e2为所求取值范围．（2）证明：∵﹣ax1+a=0，﹣ax2+a=0，∴两式相减得a=．记=s（s＞0），则f′（）=[2s﹣e s﹣e﹣s）]，设g（s）=2s﹣（e s﹣e﹣s），则g'（s）=2﹣（e s+e﹣s）＜0，∴g（s）是单调减函数，则有g（s）＜g（0）=0，而＞0，∴f′（）＜0．又f'（x）=e x﹣a是单调增函数，且∴．（3）解：依题意有﹣ax i+a=0，则a（x i﹣1）=⇒x i＞1（i=1，2）．于是=a，在等腰三角形ABC中，显然C=90°，∴x0=∈（x1，x2），即y0=f（x0）＜0，由直角三角形斜边的中线性质，可知=﹣y0，∴+y0=0，即﹣（x1+x2）+a+=0，∴a﹣（x 1+x2）+a+=0，∵x1﹣1≠0，=t，∴at﹣（1+t2）+=0，即a=1+，∴（a﹣1）（t﹣1）=2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•朝阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（α为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C上的两点，且OA⊥OB，求+的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C的参数方程为（α为参数），∴椭圆C普通方程为=1，∴=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2），==+=+==．∴+的值是．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•朝阳区校级模拟）已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+m|（x∈R）．（1）当m=1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若不等式f（x）≤5的解集不是空集，求参数m的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于，或或故不等式的解集是{x|x≤﹣2或x≥4}；（2）∵|x﹣3|+|x+m|≥|（x﹣3）﹣（x+m）|=|m+3|，∴f（x）min=|3+m|，∴|m+3|≤5，∴m∈[﹣8，﹣2]．参与本试卷答题和审题的老师有：wdnah；maths；沂蒙松；lincy；733008；lcb001；whgcn；刘长柏；szjzl；blue；sdpyqzh；豫汝王世崇；qiss；邢新丽；zhczcb；sxs123；minqi5；wfy814；zlzhan；刘老师（排名不分先后）菁优网2017年6月19日。

好教育云平台 名校精编卷 第1页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第2页（共4页）最新吉林省东北师大附中 高三二模数学（文科）试卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．若集合A ={x|−1<x <1}，B ={x|0<x <2}，则A ∪B =A ．{x|−1<x <1}B ．{x|−1<x <2}C ．{x|0<x <2}D ．{x|0<x <1} 2．设i 是虚数单位，若复数z=i1+i ，则z =A ．12+12i B ．1+12i C ．1−12i D ．12−12i3．已知向量=（2，x ），=（1，2），若∥，则实数x 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．设sinθ+cosθ=√22,则sin2θ= A ．12B ．−12C ．14D ．√245．函数y =12lnx +x −1x−2的零点所在的区间为A ．(1e ,1) B ．(1,2) C ．(2,e ) D ．(e,3) 6．下列有关命题的说法正确的是 A ．若"p ∧q"为假命题，则p,q 均为假命题B ．"x =−1"是"x 2−5x −6=0"的必要不充分条件C ．命题"若x >1,则1x <1 "的逆否命题为真命题D ．命题"∃x 0∈R,使得x 02+x 0+1<0"的否定是："∃x ∈R,均有x 2+x +1≥0 "7．元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x =0时，问一开始输入的x =A ．34 B ．78 C ．1516 D ．31328．若在△ABC 中，sin(A +B)sin(A −B)=(sin C )2，则此三角形的形状是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 9．函数y =x +cosx 的大致图象是A ．B ．C ．D ．10．已知函数f(x)={log a x ， 0<x <1(4a −1)x +2a ，x ≥1 满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立， 则实数a 的取值范围是此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第4页（共4页）A ．(0,16)B ．(0,16]C ．(0,14) D ．(1,+∞)11．已知f(x)=−13x 3+x 在区间(a,10−a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是 A ．a <−1 B ．−2≤a <3 C ．−2≤a <1 D ．−3<a <112．在等腰直角ΔABC 中，AC =BC ，D 在AB 边上且满足:CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =tCA ⃑⃑⃑⃑⃑ +(1−t)CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,若 ∠ACD =60∘，则t 的值为A ．√3−12B ．√3−1C ．3−√32D ．√3+12二、填空题13．若sin(π2+α)=−35,α∈(0,π)，则sinα=___________．14．已知向量a =(λ,3),b =(3,−2)，如果a 与b 的夹角为直角，则λ=_________. 15．已知函数y =log 2(ax −1)在(−2,−1)上单调递减，则a 的取值范围是____________. 16．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x +4)=f (x )，且当x ∈[−2，0]时，f (x )=(13)x−6.在区间(−2，6]内关于x 的方程f (x )−log a (x +2)=0(a >1)恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题17．已知函数f(x)=√3cos2x +sin2x +m . （1）求f(x)的最小正周期；（2）当x ∈[0,π2]时，f(x)的最小值为5，求m 的值.18．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB −bcosA =0． （1）求角A 的大小：（2）若a =2√5，b =2．求△ABC 的面积．19．如图,在四棱锥P ABCD -中,棱PA ⊥底面ABCD ,且AB BC ⊥, //AD BC ,22PA AB BC AD ====, E 是PC 的中点.(1)求证: DE ⊥平面PBC ； (2)求三棱锥A PDE -的体积.20．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是E 、F，离心率e =点F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点， ABE ∆的周长为16．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为原点，圆D ： ()2223x y r -+=（0r >）与椭圆C 交于M 、N 两点，点P 为椭圆C 上一动点，若直线PM 、PN 与x 轴分别交于G 、H 两点，求证： OG OH ⋅为定值．21．已知函数f (x )=xlnx −ax (a ∈R )． （1）求函数f (x )的单调区间； （2）若f (x )+a ≥0恒成立，求a 的值.22．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1{x cos y sin αα=+=（α为参数），曲线222:13x C y +=.（1）在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求12,C C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=≥与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x =-．（1）若()()29f t f t +<，求t 的取值范围；（2）若存在[]2,4x ∈，使得()23f x x a ++≤成立，求a 的取值范围．最新吉林省东北师大附中高三二模数学（文科）试卷数学答案参考答案1．B【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解.【详解】因为A={x|−1<x<1}，B={x|0<x<2}，所以A∪B={x|−1<x<2}. 故答案为：B【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．A【解析】【分析】利用复数的除法化简即得解.【详解】由题得z=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i2=12+12i.故答案为：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 3．D【解析】解：向量=（2，x），=（1，2），∥，可得x=4．故选：D．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．4．B【解析】【分析】把已知方程两边同时平方,结合二倍角公式即可得解.【详解】由题得(sinθ+cosθ)2=(√22)2=12,∴1+sin2θ=12,∴sin2θ=−12.故答案为：B 【点睛】本题主要考查同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.5．C【解析】试题分析：由题意，求函数y=12lnx+x−1x−2的零点，即为求两个函数12lnx=−x+1x+2的交点，可知12lnx=−x+1x+2等号左侧为增函数，而右侧为减函数，故交点只有一个，当x=2时，12lnx<−x+1x+2，当x=e时，12lnx>−x+1x+2，因此函数y=12lnx+x−1x−2的零点在(2,e)内，故选C．考点：1、函数的零点定理；2、函数的单调性.6．C【解析】【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】A. 若"p∧q"为假命题，则p,q中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B. "x=−1"是"x2−5x−6=0"的充分不必要条件，因为由"x2−5x−6=0"得到“x=-1或x=6”，所以该选项是错误的；C. 命题"若x>1,则1x<1"的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D. 命题"∃x0∈R,使得x02+x0+1<0"的否定是："x∈R,均有x2+x+1≥0"，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假和充要条件的判断，考查逆否命题及其真假，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7．B【解析】好教育云平台名校精编卷答案第1页（共12页）好教育云平台名校精编卷答案第2页（共12页）分析：根据流程图，求出对应的函数关系式，根据题设条件输出的x=0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．详解：第一次输入x=x，i=1；第二次输入x=2x−1，i=2；第三次输入x=2(2x−1)−1=4x−3，i=3；第四次输入x=2(4x−3)−1=8x−7，i=4>3，输出8x−7=0，解得x=78.故选B.点睛：本题考查算法框图，解答本题的关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．8．B【解析】【分析】因为A、B、C是三角形的内角，所以有A+B=180°−C，即sin(A+B)=sin C，再通过三角变换解得cos B=0，最终得出结果。