正弦定理经典题型总结

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)
正弦定理、余弦定理和射影定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。

其中，正弦定理表达了三角形边长和角度之间的关系，余弦定理则是通过两条边和它们之间的夹角计算第三条边的长度。

射影定理则是利用三角形中某个角的正弦值或余弦值来计算三角形中某条边的长度。

二、面积公式可以用来计算三角形的面积，其中a、b、c 分别为三角形的三条边，而对应的角度则可以通过正弦定理或余弦定理来计算。

三、在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

同时，需要注意计算过程中的精度和单位。

学前诊断】
1.在△ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于1.
2.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于30或60.
3.在△ABC中，c-a=b-ba，且∠C=90.
经典例题】
例1.在△ABC中，若∠A=45°，a=2，c=6，则∠B=45°，b=4.
例2.已知△ABC满足条件acosA=bcosB，可以判断
△ABC是等腰三角形。

例3.在△ABC中，已知b+c=6，求a的值。

根据余弦定理可得a²=(b+c)²-4bc，代入数据得a=2.
本课总结】
本课介绍了三角形中的正弦定理、余弦定理、射影定理和面积公式，这些定理可以帮助我们计算三角形的边长、角度和面积。

在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

正弦定理和余弦定理一、题型归纳<一>利用正余弦定理解三角形【例1】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .【例2】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32a =42b c .(Ⅰ) 求sinA 的值； (Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C A ππ+++-的值.【练习1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.【练习2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos Bcos C＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．<二>利用正余弦定理判断三角形的形状【例3】1、在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC的形状．2、在△ABC 中，在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，则ABC ∆三角形的形状为__________________3、在△ABC 中，在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cosAcosB＝b a， 则ABC ∆三角形的形状为___________________【练习】1、在△ABC 中，2cos22A b cc+=(,,a b c 分别为角,,A B C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A 、正三角形B 、直角三角形C 、等腰三角形或直角三角形D 、等腰直角三角形2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02Cx x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ∆一定是（ ）A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形3、在△ABC 中，2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则△ABC 的形状为__________4、在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ；则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形<三>正余弦定理与三角形的面积【例4】△ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边.如果c a b +=2，B ∠=30°，△ABC 的面积为23，那么b=（ ）A 、132+B 、31+C 、232+D 、32+【练习】已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=． （1）求边AB 的长； （2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．【例5】设O 是锐角ABC ∆的外心，若75=∠C ，且C O AB OC A OB ∆∆∆，，的面积满足关系：CO A BOC AO B S S S ∆∆∆=+3,求A ∠【练习】已知O 是锐角三角形ABC 的外心，△BOC ，△COA ，△AOB 的面积满足关系：COA BOC AOB S S S ∆∆∆=+2（1）推算tanAtanC 是否为定值？说明理由；（2）求证：tanA ，tanB ，tanC 也满足关系：B C A tan 2tan tan =+<四>利用正余弦定理解决最值问题【例6】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足()22243c b a S -+=（1）求角C 的大小； （2）求sinA+sinB 的最大值．【练习】1、已知锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且2223t an b c a acB -+=；()1求B∠；()2求函数()s in f x x B x =+0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值2、设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且b c C a =+21cos .（1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.<五>正余弦定理与向量的运算【例7】已知向量1(sin ,1),(3cos ,)2a xb x =-=-,函数()()f x a b a =+⋅-. (1)求函数()f x 的最小正周期T ;(2)已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐角,23,4a c ==,且()1f A =,求,A b 和ABC ∆的面积S .【练习】1、在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =； （2）若5cos 5C =，求A 的值．2、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos25A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值．二、课后作业：1、在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．2、在△ABC 中，C B C B A sin sin 2sin sin sin 222++=，则A 等于（ ） A 、60B 、45C 、120D 、135°3、若(c b a ++)(a c b —+)=bc 3，且C B A cos sin 2sin =, 那么ΔABC 是_____________.4、在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A的值等于______，AC 的取值范围为________5、在ABC ∆中，若135cos ,53sin ==B A ，则C co s 的值为_________ABC ∆的形状为_____6、ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13A =。

三角函数的经典题型主要包括以下几个方面：
1. 三角函数的基本性质和公式应用：
-三角函数的基本关系：sin²θ+ cos²θ= 1，tanθ= sinθ/cos θ等。

-诱导公式：sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)等的公式。

-二倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差公式等。

2. 解三角形问题：
-正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

-余弦定理：a²= b²+ c²- 2bc cosA，同理可得其他边和角的关系。

-利用正弦定理和余弦定理解决边角关系问题。

3. 三角函数图像和性质：
-正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质。

-利用图像解三角函数方程和不等式。

4. 三角函数的应用问题：
-在物理中的应用，如振动问题、波动问题、光学问题等。

-在地理学中的应用，如地图上的方位角、距离计算等。

-在工程学中的应用，如结构力学、电路分析等。

5. 三角函数的复合与逆运算：
-复合三角函数的运算，如sin(cosx)，cos(sinx)等。

-三角函数的反函数，如arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等。

6. 三角恒等式的证明：
-利用三角函数的基本关系和公式进行恒等式的变形和证明。

以上就是三角函数的一些经典题型总结，掌握这些题型的解题方法和技巧，可以有效地提高解决三角函数问题的能力。

正余弦定理1.定理容：〔1〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C=== 〔2〕余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-〔3〕面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形： 〔1〕一边和两角：〔2〕两边和其中一边的对角： 〔3〕两边和它们所夹的角： 〔4〕三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，如此b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，如此b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，如此角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，如此sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，假如A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，如此c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.146．在△ABC 中，假如cos A cos B ＝ba，如此△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，如此△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或328．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .假如c ＝2，b ＝6，B ＝120°，如此a 等于( )A.6B ．2C.3D. 29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假如a ＝1，c ＝3，C ＝π3，如此A ＝________.10．在△ABC 中，a ＝433，b ＝4，A ＝30°，如此sin B ＝________.11．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，如此a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，如此△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，如此a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，如此a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，如此此三角形有________组解．17．如下列图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，如此货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 与b 、c .19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)假如a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于()A ．6B ．26C ．36D ．4 62．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，如此c 等于()A. 3B.2C. 5 D ．23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，如此∠A 等于()A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假如(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，如此∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，如此a cos B ＋b cos A 等于()A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，如此这个新的三角形的形状为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，如此AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，如此a 为()A.3B ．23C.3或23D ．29．△ABC 的三个角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，如此边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，假如a ＝4，b ＝5，S ＝53，如此边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，如此cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.14．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，如此AB →·BC →的值为________．15．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，如此角C ＝________.16．(2011年调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，如此最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)假如△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，如此b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，如此b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，如此角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，如此sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，假如A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，如此c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，假如cos A cos B ＝ba，如此△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，如此△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .假如c ＝2，b ＝6，B ＝120°，如此a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，如此C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假如a ＝1，c ＝3，C ＝π3，如此A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，a ＝433，b ＝4，A ＝30°，如此sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，如此a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，如此△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°如此a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，如此a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，如此此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：0 17．如下列图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，如此货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 与b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)假如a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B，∴b ＝215.当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于()A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，如此c 等于() A. 3 B. 2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，如此∠A 等于() A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假如(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，如此∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，如此a cos B ＋b cos A 等于() A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，如此这个新的三角形的形状为() A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，如此c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，如此AB →·AC →的值为() A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，如此a 为() A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．△ABC 的三个角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，如此边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案： 310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，假如a ＝4，b ＝5，S ＝53，如此边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，如此cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，如此b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k ＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223. 又S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3.答案：2 314．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，如此AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935) ＝－19. 答案：－1915．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，如此角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°16．(2011年调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，如此最小角的余弦值为________． 解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，如此⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78. 答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10.18．△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)假如△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数． 解：(1)由题意与正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13， 由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A， 得AB ＝sin C sin ABC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b. 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b. 又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc， 即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。

目录解三角形 (2)模块一：正余弦定理 (2)考点1：正弦定理 (2)考点2：余弦定理 (5)模块二：题型归纳 (6)考点3：判断三角形形状 (6)考点4：解决实际问题 (7)考点5：正余弦定理综合应用 (7)课后作业： (9)解三角形模块一：正余弦定理在△ABC 中的三个内角A ，B ，C 的对边，分别用a ，b ，c 表示．1．正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即asin A =bsin B =c sin C=2R ．① a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ； ② sin A =a2R ，sin B =b2R ，sin C =c2R ； ③ a:b:c =sin A :sin B :sin C ．④ 面积公式：S =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B ．2．正弦定理用于两类解三角形的问题：① 已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；② 已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角． 3．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：{c 2=a 2+b 2−2ab cos C ,b 2=a 2+c 2−2ac cos B ,a 2=b 2+c 2−2bc cos A. 变形式为：{cos C =a 2+b 2−c 22ab ,cos B =a 2+c 2−b 22ac ,cos A =b 2+c 2−a 22bc .4．余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题： ① 已知两边和任意一个内角解三角形； ② 已知三角形的三边解三角形．考点1：正弦定理例1.（1）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若4A π=，3B π=，a =，则(b = ) A ．1BC ．2D．故选：D ．（2）在ABC ∆中，60A =︒，45B =︒，2b =，则a 等于( ) A B C ．3D【解答】解：ABC ∆Q 中，60A =︒，45B =︒，2b =，故选：D ．例2.（1）在ABC ∆中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．已知a =，2A B π-=，则角(C = ) A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 【解答】解：在ABC ∆中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．由于：0B π<<，故选：B ．（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 22cos c a B +=，则(A =)A ．6π B ．56π C ．3π D ．23π而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，由于A ，(0,)B π∈，sin 0B ≠，故选：B ．例3.（1）满足条件4,45a b A ===︒的三角形的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．无数个D ．不存在【解答】解：由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即216186c c =+-，故选：B ．（2）在ABC ∆中，若30A =︒，a 4b =，那么满足条件的(ABC ∆ ) A ．有一个B ．有两个C ．不存在D ．不能确定∴方程(*)有两个不相等的正实数根，即有两个边c 满足题中的条件，由此可得满足条件的ABC ∆有两个解． 故选：B ．（3）ABC ∆满足下列条件：①3b =，4c =，30B =︒；②5a =，8b =，30A =︒；③6c =，b =60B =︒；④9c =，12b =，60C =︒．其中有两个解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④【解答】解：①sin302c ︒=Q ，234b ∴<=<，即sin30c b c ︒<<，因此两解．同理可得：②两解；③一解，④无解． 故选：A ．考点2：余弦定理例4.（1）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ，4c =．且cos 3cos a B b A =，则ABC ∆的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．【解答】解：ABC ∆中，cos 3cos a B b A =Q ，故选：A ．（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，已知()sin sin sin b c C a A b B +=-，则A ∠的大小为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：()sin sin sin b c C a A b B +=-Q ，∴已知等式利用正弦定理化简得：22()c c b a b +=-，即222b c a bc +-=-，A ∠Q 为三角形内角，故选：C ．模块二：题型归纳1．解决三角形的综合问题时，要注意以下关系式的运用 ① A +B +C =π．② sin (A +B )=sin C ；cos (A +B )=−cos C ． ③ sinA+B 2=cos C 2；cosA+B 2=sin C2．④ a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ． 2．与三角形形状相关的几个结论① 在△ABC 中，若a cos A =b cos B ，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形； ② 在△ABC 中，若a cos A=b cos B=c cos C，则△ABC 为等边三角形；③ 在△ABC 中，若sin 2A +sin 2B =sin 2C ，则△ABC 为直角三角形； ④ 在△ABC 中，若a cos B +b cos A =c sin C ，则△ABC 为直角三角形；⑤ 在△ABC 中，若sin A (cos B +cos C )=sin B +sin C ，则△ABC 为直角三角形．考点3：判断三角形形状例5.（1）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin b a C =，cos c a B =，则ABC ∆一定是( ) A ．等腰三角形非直角三角形 B ．直角三角形非等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：在ABC ∆中，sin b a C =Q ，cos c a B =， 故由正弦定理可得sin sin sin B A C =，sin sin sin C A B =，sin sin sin C A B ∴= 即sin sin C B =，∴由正弦定理可得c b =，故ABC ∆的形状为等腰直角三角形，故选：D ．（2）在△ABC 中，a =2b cos C ，则这三角形一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【解答】A（3）在△ABC 中，a 2tan B =b 2tan A ，则这三角形一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【解答】D考点4：解决实际问题例6.（1）在一座50m 高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60︒，塔底俯角为45︒，那么这座塔的高为( ) A．50(1+m B．50(1 m C． m D． m【解答】解：如图，由已知可得：50AD DC m ==，故选：B ．（2）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与点B 相距20√3海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D 点需要多长时间？ 【解答】1小时考点5：正余弦定理综合应用例7.（1）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2222sin bc A b c a =+-，ABC ∆，则a 的值为( ) A ．1B ．2CD ．【解答】解：2222sin 2cos bc A b c a bc A =+-=Q ，sin cos A A ∴=，即tan 1A =，2a ∴=． 故选：B ．（2）在ABC ∆中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则(C = ) A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒sin :sin :sin 3:5:7A B C =Q ， ::3:5:7a b c ∴=， 设3a t =，5b t =，7c t =，0180C ︒<<︒Q ， 120C ∴=︒． 故选：B ．（3）已知ABC ∆的面积为，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若14b =，(2)cos cos 0a c B b A ++=，则(a c += )A ．16B ．12C ．8D ．4【解答】解：(2)cos cos 0a c B b A ++=Q ，(sin 2sin )cos sin cos 0A C B B A ∴++=，可得：(sin cos sin cos )2sin cos 0A B B A C B ++=，可得：sin()2cos sin 0A B B C ++=， 可得：sin()sin A B C +=，∴由余弦定理可得：2222196()()60a c ac a c ac a c =++=+-=+-，解得：16a c +=．故选：A ．（4）在ABC ∆中，3A π=，2b =，其面积为，则sin sin A Ba b++等于( )A ．1 B ．1C D解得：4c =，故选：A ．课后作业：1.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，13a =，则(b = )A ．12B ．42C ．21D ．63故选：C ．2.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，22cos c a B +=，则(A = ) A ．6π B ．56π C ．3π D ．23π而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，由于A ，(0,)B π∈，sin 0B ≠，故选：B ．3.ABC ∆满足下列条件：①3b =，4c =，30B =︒；②5a =，8b =，30A =︒；③6c =，b =，60B =︒；④9c =，12b =，60C =︒．其中有两个解的是( ) A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④【解答】解：①sin302c ︒=Q ，234b ∴<=<，即sin30c b c ︒<<，因此两解． 同理可得：②两解；③一解，④无解． 故选：A ．4.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，已知()sin sin sin b c C a A b B +=-，则A ∠的大小为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：()sin sin sin b c C a A b B +=-Q ，∴已知等式利用正弦定理化简得：22()c c b a b +=-，即222bc a bc +-=-，A ∠Q 为三角形内角，11故选：C ．5.）在ABC ∆中，3A π=，2b =，其面积为sin sin A B a b ++等于( ) A ．1B ．1C D解得：4c =，故选：A ．。

高考数学题型：正弦定理知识归纳_题型归纳
高考数学题型：正弦定理知识归纳正弦定理知识归纳
1.正弦定理：
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即
2,学习效率.理解定理:
⑴正弦定理是解三角形的重要定理，它反映了三角形各边和它所对角的正弦的比的关系，并非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

常与三角、向量、几何等基础知识相结合命题，以考察综合运用数学知识的能力，这是近几年高考的重点、热点和今后命题的发展趋势。

专题8.1正弦定理、余弦定理（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 正弦定理正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【答案】34π. 【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =. 由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-=. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解热门考点02 余弦定理余弦定理：2222cos a b c ab C +-= ， 2222cos b c a ac A +-= ， 2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+=，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-.（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．【答案】（Ⅰ）7,5b c ==；. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为3a =，所以22390c b c -++=；因为2b c -=，所以解得75b c =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3,7,5a b c ===，所以22213cos 214b c a A bc +-==；因为A 为ABC ∆的内角，所以sin A ==.因为sin()sin()sin B C A A +=π-==. 【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：热门考点03正弦定理与余弦定理的综合运用（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .【解析】 选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）（1）求A ；（222a b c +=，求sin C ． 【答案】（1）3A π=；（2）62sin 4C =【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴-=-解得：sin 4C =4因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >，故sin C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+62sin sin()464C ππ+=+=. 【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．热门考点04 应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例7】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝2π或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)， 所以△ABC 为等腰或直角三角形． 【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．热门考点05 与三角形面积有关的问题【答案】3. 【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos 2A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）[,)2ππ;（2【解析】（1）函数2211()cos sin cos 2,(0,)22f x x x x x π=-+=+∈ 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈1k =时，12x ππ≤≤，可得()f x 的增区间为[,)2ππ（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边b=5， 若()0f A =，即有1cos 202A += 解得223A π=，即3A π= 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c =2或3， 若c =2，则cos 02192B =<⨯⨯即有B 为钝角，c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为113153sin 5322S bc A ==⨯⨯⨯=【总结提升】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．热门考点06 与三角形周长有关的问题【典例10】（2017课标1，理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】 【解析】（1）求边长c ；（2）若ABC △的面积20S =．求ABC △的周长． 【答案】（141（2）8241+【解析】（1）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin a C c A =， 因为sin 5a C =，可得sin 5c A =，所以5sin A c=， 又由cos 4c A =，可得4cos A c=， 又因为22222516sin cos 1A A c c +=+=，解得41c = （2）由题意，ABC ∆的面积1sin 202S ab C ==，sin 5a C =，解得8b =，由余弦定理，可得2222cos 644124184141a b c bc A =+-=+-=，解得a =（舍去），所以ABC ∆的周长88L a b c =++==+【总结提升】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.热门考点07 三角形中的最值与范围问题【答案】9 【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴周长的最大值为3+（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 0<B <π，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A C B +=，又因为A B C π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因3,tan 623C C ππ<<>,故3313388tan 82C <+<， 故3382ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(,)82【总结提升】三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.热门考点08 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【答案】13+ 【解析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥，交AB 的延长线与点D ，设CD x =，45CBD BCD ∴∠=∠=， 设BD CD x ==， 又2AB =，2AD AB BD x ∴=+=+，30,tan CDCAD CAD AD︒∠=∠=， 323x x ∴=+， 解得：13x =+，所以船C 离海岸线l 的距离为(13)km +， 故答案为：13+．【答案】1255步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.【答案】缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 【解析】如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船（在D 点），则103CD t =海里，10BD t =海里，在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅))2212212cos1206=+-⋅⋅⋅︒=，解得=BC 又sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，sin sinAC BAC ABC BC ⋅∠∴∠===45ABC ∴∠=︒，故B 点在C 点的正东方向上，9030120CBD ∴∠=︒+︒=︒，在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，sin sin BD CBDBCD CD⋅∠∴∠=12==. 30BCD ∴∠=︒，∴缉私船沿北偏东60︒的方向行驶.又在BCD ∆中，120CBD ∠=︒，30BCD ∠=︒，30D ∴∠=︒，BD BC ∴=，即10t =解得10t =小时15≈分钟. ∴缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.【总结提升】1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有： （1）两点都不可到达； （2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达. 2. 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3. （1）测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． （2）解决角度问题的注意事项①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． ②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．巩固提升A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 299a cb B B B ac +-==∴===故选：C A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选：B A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.A ．42B 30C 29D ．25【答案】A【解析】因为223cos 2cos 12(1,255C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.A B ．2C ．12D ．12-【答案】C 【解析】2221()2c a b =+，由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”，cos C ∴的最小值为12，选C.A ．2πB ．πC ．34π D ．2π 【答案】B 【解析】设ABC △外接圆的半径r ，则22sin 60b r B ===，解得1r =， ∴ABC △外接圆的面积21ππ=⨯=， 故选：B ． A ．两解 B ．一解 C ．一解或两解 D ．无解【答案】A 【解析】因为4a =，5b =，A =45°,所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以290c -+=,解得2c =或2c =, 所以此三角形解有两解. 故选:A . A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】C 【解析】 因为sin sin sin c b Ac a C B -=-+,利用正弦定理角化边得c b a c a c b-=-+, 所以()()()c b c b a c a -+=-, 所以222c b ac a -=-, 所以222a c b ac +-=,所以222122a cb ac +-=,根据余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==,因为0B π<<,所以3B π=.故选:C . A ．13- B ．13C ．3-D ．3【答案】C 【解析】ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，由cos cos sin A B C a b c +=，得：cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C+==，故111tan tan A B +=， 若22285b c a bc +-=， 则222425b c a bc +-=，即4cos 5A =．3sin 5A ∴=，故3tan 4A =， 代入111tan tan A B +=，解得tan 3B =-．故选：C ．A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】C【解析】()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,∴222a ab c b -=-,∴222a b c ab +-=,∴222cos 122a b c C ab +-==,∴3C π=,1sin2S ab C ==∴12ab =,222212c a b ab ab ab =+-≥-=（当且仅当c =时取等号）,∴c ≥∴222()3()36c a b ab a b =+-=+-,∴a b +，∴a b c c ++=设()f c c =()f c 单调递增,c ≥,∴a b c ++≥=故选：C.A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ．A ．π2 B ．π3C ．π4D ．π6 【答案】C【解析】由题可知222124ABC a b c S absinC +-==所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>，∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=，∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.（1）若a =3c ，b cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2ABa b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）5.【解析】（1）因为23,3a c b B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2ABa b =，由正弦定理sin sin abA B =，得cos sin 2BBb b =，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即. 选择条件①的解析：据此可得：，，此时. 选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：. 选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若选①，,∵,∴,∴c=1;若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.。

联邦理科 高三复习 1 正、余弦定理的五大命题热点

一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．

例1 ABC中，3A，BC＝3，则ABC的周长为（ ）

A．33sin34B B．36sin34BC．33sin6B D．36sin6B

例2 在ΔABC中，已知66cos,364BAB，AC边上的中线BD=5，求sinA的值． 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例3在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形

三、 解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

例4 在ABC中，若120A，5AB，7BC，则ABC的面积S＝_________

四、求值问题 例5 在ABC中，CBA、、所对的边长分别为cba、、，

设cba、、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值． 联邦理科 高三复习

2 五、正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题 例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。

（二.）遇险问题 例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？

（三.）追击问题 例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45° 方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航 行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？

解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理1、正弦定理：在△ABC 中，R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径）。

2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R=== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C++====++.3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABCabc S ah ab C ac B bc A R A B C R∆====== 4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一） 二、余弦定理1、余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bcac b A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=2、余弦定理可以解决的问题：α北东h i l=θ（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.图1 图2 图3 图42、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角相对于某一正方向的水平角（如图3）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A 【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B BC B B ≠∴===-=. 2、（2009广东文）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==75A ∠=，则b =α 北东南西 B目标lh( )A ．2B ．4＋ C ．4— D【答案】 A【解析】0sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+=由a c ==可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A3、（2011浙江）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )A ．-12 B ．12C ． -1D ． 1 【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2sin cos sin =，∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A .4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==6、（2012重庆理）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______ 【答案】145c =【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513A B A B ==⇒==, 由正弦定理sin sin a b A B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===, 由余弦定理2222142cos 25905605a cb bc A c c c =+-⇒-+=⇒=7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=. （I ）求B ； （Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos 2B =，因此45B = （II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=+4=故sin 1sin A a b B =⨯==+ sin sin 6026sin sin 45C c b B =⨯=⨯=8、（2012江西文）△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求cosA;（2）若a=3,△ABC 的面积为求b,c.【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.9、（2011安徽）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ， 又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， 即12cos 0A -=，1cos 2A =， 又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 2sin 602sin 3b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC·sinC 2752sin(4530)=+2(sin 45cos30cos 45sin 30)=+2321312()2+==10、（2012辽宁理）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.（I ）求cos B 的值;（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值. 【解析】（I ）由已知12,,,cos 32B AC A B C B B ππ=+++=∴==（Ⅱ）解法一：2b ac =，由正弦定理得23sin sin sin 4A CB ==， 解法二：2222221,cos 222a c b a c ac b ac B ac ac+-+-====，由此得22a b ac ac +-=，得a c =所以3,sin sin 34A B C A C π====【课堂练习】1、（2012广东文）在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（ ）A ．B ．CD 2、（2011四川）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ3、（2012陕西理）在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ）A B C ．12 D ．12- 4、（2012陕西）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（ ） A ．23B ．22 C ．21D ．21-5、（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===则sin C 的值为( )A ．3 B ．6 C ．3 D ．66、（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（ ）A ．B ．CD 7、（2012湖北文）设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（ ）A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48、（2011上海）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A C 两点之间的距离是 千米。

正余弦定理在解三角形中的应用知识点与题型归纳一、知识点（一）. 正弦定理和余弦定理 1．公式在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R.a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ；b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC变形(1)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝2R. bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；abc b a C 2cos 222-+=.2.三角形常用面积公式:(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)； (2)A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===. 3.常用结论：(1)．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B; (2)．三角形中的射影定理在△ABC 中，B c C b a cos cos +=；A c C a b cos cos +=；B a A b c cos cos +=．(3)．内角和公式的变形①sin(A ＋B)＝sin C ；②cos(A ＋B)＝-cos C.(4)．角平分线定理：在△ABC 中，若AD 是角A 的平分线，如图，则AB AC ＝BDDC .（二）. 利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.在△ABC 中，已知,a b 和A 时，解的情况主要有以下几类：①若A 为锐角时：a bsin Aa bsin A()bsin A a b ()a b ()<⎧⎪=⎪⎨<<⎪⎪≥⎩无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角A b a sin = b a ≥ b a A b <<sin sin a b A <一解 一解 两解 无解 ② 若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤⎧⎨>⎩无解一解锐角（三）. 三角形的形状的判定 1.判断三角形形状的(1). 若b a =或()()()0=---a c c b b a ,则△ABC 为等腰三角形; (2). 若222c b a =+,则△ABC 为以C 为直角的直角三角形； (3). 若222c b a <+,则△ABC 为以C 为钝角的钝角三角形； (4). 若()()022222=-+-c b aba ,则△ABC 为等腰三角形或直角三角形；(5). 若b a =且222c b a =+,则△ABC 为等腰直角三角形；(6). 若B A 2sin 2sin =,即B A =或π2=+B A ，则△ABC 为等腰三角形或直角三角形； (7). 用余弦定理判定三角形的形状（最大角A 的余弦值的符号）①.在ABC ∆中，222222090cos 02b c a A A b c a bc+-<<⇔=>⇔+>,则△ABC 为锐角三角形； ②.在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc+-=⇔==⇔+=，则△ABC 为直角三角形； ③.在ABC ∆中，22222290cos 02b c a A A b c a bc+-<⇔=<⇔+<，则△ABC 为钝角三角形； 2.判断三角形形状的2种思路(1).化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2).化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用π=++C BA这个结论．（四）. 解三角形时的常用结论在ABC ∆中，0180A B C ++=，0902A B C++= （1）在ABC ∆中sin sin cos cos ;A B a b A B A B >⇔>⇔>⇔<（2）角的变换--互补关系：0sin(A+B)=sin(180)sinC C -=，0cos(A+B) cos (180)cosC C =-=-，0tan(A+B) tan(180)tan C C =-=-；（3）角的变换--互余关系：0sinsin (90)cos 222A B C C +=-=，0cos cos(90)sin 222A B C C+=-=， （4）B A B A 222sin 2sin =⇒=或π=+B A 22B A =⇒或2π=+B A .二、典型例题类型一：利用正、余弦定理解三角形【例1】.△ABC 中，,6c =A=45°，a=2，求b 和B ，C.【解答】：解法一 ：由正弦定理a c 2=sin C=sin A sin C sin 45sin C 2=︒得，所以若C=60°，则B=75°，a 2b sin B sin 751,sin A sin 45==︒=︒若C=120°，则B=15°，a 2b sin B sin15 1.sin A sin 45==︒=︒解法二：余弦定理2222a b c 2bccos A b 641,=+-=+-=，解得若222a c b b 1cos B==B=75C=602ac +-=︒︒，则，若222a c b b 1,cos B==B=15C=120.2ac 4+-=︒︒则， 解法三：正余弦定理2222a b c 2bccos A b 641=+-=+-=，解得若a b c b 1==sin B=C=sin A sin B sinC 42=，则由，得因为b>c>a ，所以B>C>A ，所以B=75°，C=60°；若a b c b 1==sin B=,sin C=,sin A sin B sinC 42=，则由，得 因为c>a>b ，所以C>A>B ，所以B=15°，C=120°.类型二：用正、余弦定理判断三角形的形状【例2】.已知△ABC 中cos cos a A b B =，试判断△ABC 的形状.【解答】：方法一：用余弦定理化角为边的关系由cos cos a A b B =得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅⇒22222222()()a b c a b a c b +-=+-，即22222()()0a b a b c -+-=，当220a b -=时，ABC ∆为等腰三角形；当2220a b c +-=即222a b c +=时，则ABC ∆为直角三角形； 综上：ABC ∆为等腰或直角三角形.方法二：用正弦定理化边为角的关系 由正弦定理得：R Bb A a 2sin sin ==,即A R a sin 2=，B R b sin 2= 因为cos cos a A b B =，所以2sin cos 2sin cos =R A A R B B ，即sin2sin2=A B , 因为()π,0,∈B A , 所以22=A B 或22+=A B π，即=A B 或2+=A B π故ABC ∆为等腰三角形或直角三角形. 【总结升华】（1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？（2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断.（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角.（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可.一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理.（5）βαβα=⇒=sin sin 或βπα-=，不要丢解.在△ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B -+=+-，试判断三角形的形状.【解答】：因为2222()sin()()sin()a b A B a b A B -+=+-,所以222sin cos 2sin cos a B A b A B =， 由正弦定理得：22sin sin cos sin sin cos A B A B A B =,因为ABC ∆中，sin 0A ≠, sin 0B ≠,所以sin cos sin cos A A B B ⋅=⋅,即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-,即：A B =或2π=+B A ， 所以ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.类型三：与三角形面积有关的问题【例3】.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)[一题多解]设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【解答】：(1)由已知条件可得tan A ＝－3，()π,0∈A ，所以32π=A ， 在△ABC 中，由余弦定理得32cos 44282πc c -+=，即c 2＋2c －24＝0， 解得c ＝－6(舍去)，或c ＝4.(2)法一：如图，由题设可得2π=∠CAD ，所以6π=∠-∠=∠CAD BAC BAD ，故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为1216sin21=⋅⋅⋅AD AC AD AB π， 又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.法二：由余弦定理得cos C ＝27， 在Rt △ACD 中，cos C ＝ACCD ，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7， 所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin ∠DAB ＝ 3. 【总结升华】(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．(2021·新高考2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+． （1）若2sin 3sin C A =，求△ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【解析】：（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c Cab，所以，C 为锐角，则sin 8C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯=△ （2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，因为Z a ∈，故2a =.类型四：利用正、余弦定理求边角的范围问题【例4】.锐角 △ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边.(1)若()()(),a c a c b b c +-=-求A 的大小 (2)⎪⎭⎫⎝⎛++=62sin sin 22πB B y 取最大值时，求B 的大小. 【解答】：（1）因为()()(),a c a c b b c +-=-，所以222.b c a bc +-=，故由余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，因为A 是锐角三角形的内角，所以20π<<A ,所以3π=A .（2）22sin sin(2)6y B B π=++=1cos2sin 2coscos2sin66B B B ππ-++11cos221sin(2)26B B B π=-=+-,当且仅当3B π=时取等号,所以3π=A .【总结升华】对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的角或边之间的函数关系，利用正、余弦函数的有界性或二次函数的知识解决问题. 【变式】已知在锐角ABC ∆中,,,a b c 为角A ,B ,C 所对的边,()22cos 2cos 2Bb c A a a -=- (1)求角A 的值; (2)若a =则求b c +的取值范围.【解答】：（1）在锐角ABC ∆中，根据()21cos 2cos 2cos 2,22B B b c A a a a a +-=-=-⋅ 利用正弦定理可得()sin 2sin cos sin (cos )BC A A B -=- ，即sin cos cos sin 2sin cos B A B A C A += ，即sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos ,C C A = 所以21cos =A ,所以3π=A ,若a = 则由正弦定理可得2sin sin sin b c aB C A===，所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=+=+B B C B c b 32sin sin 2sin sin 2π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=6sin 32cos 3sin 3πB B B .由于022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩⇒26ππ<<B ⇒3263πππ<+<B , 所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,236sin πB ,所以(]32,3∈+c b .【例5】.在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 所对的边，53cos =B ,7=a ，且21-=⋅→→BC AB ,求角C 的大小.【解答】：因为21-=⋅→→BC AB ，所以21=⋅→→BC BA , 所以21cos cos ==⋅=⋅→→→→B ac B BC BA BC BA .又53cos =B ，所以54sin =B ，35=ac . 又7=a ，所以5=c ，所以325357257cos 222222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b ,所以24=b . 由正弦定理B bC c sin sin =,得.2254245sin sin =⨯==B b c C因为b c <，所以C 为锐角，所以45=C . 【总结升华】利用正、余弦定理解决三角形中与平面向量有关的问题时，注意数量积定义的应用，其中特别注意向量的夹角与三角形内角之间的关系，例如→AB 与→AC 的夹角等于内角A,但→AB 与→CA 的夹角等于内角A 的补角.在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,tan C = (1). 求cos C(2). 若5,2CB CA ⋅= 且9,a b +=求c【解答】：（1）因为tan C =sin cos CC=又因为22sin cos 1C C +=，解得1cos 8C =±.因为tan 0,C >所以C 是锐角，1cos 8C =（2）因为5,2CB CA ⋅=所以5cos 2ab C =,所以20ab =又因为9=+b a ，所以81222=++b ab a ，所以4122=+b a ， 所以36cos 2222=-+=C ab b a c ,所以6=c .【例6】.如图所示，已知半圆O 的直径为2，点A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，点B 为半圆上任意一点， 以AB 为一边作等边三角形ABC ，求B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大.【解答】：设∠AOB ＝α，在△ABO 中，由余弦定理),0(,cos 45cos 21221222πααα∈-=⋅⨯⨯-+=AB ，所以243sin 21AB OB OA S S S ABC AOB +⋅⋅⋅=+=∆∆α)cos 45(43sin 1221αα-+⨯⨯⨯=345cos 3sin +-=αα3453sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πα. 因为πα<<0，所以当23ππα=-，πα65=，即π65=∠AOB 时，四边形OACB 的面积最大. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，θ=∠BAD ，△BCD 是正三角形．(1)将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数； (2)求S 的最大值及此时θ角的值． 【解答】:(1)△ABD 的面积θθsin 21sin 11211=⨯⨯⨯=S ， 由于△BCD 是正三角形，则△BCD 的面积S 2＝34BD 2.在△ABD 中，由余弦定理可知θθcos 22cos 11211222-=⨯⨯⨯-+=BD ， 于是四边形ABCD 的面积()θθcos 2243sin 21-+=S ， 所以S ＝32＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πθ，πθ<<0.(2)由S ＝32＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πθ及πθ<<0，得3233ππθπ<-<-，当23ππθ=-，即65πθ=时，S 取得最大值1＋32. 类型八：与正、余弦定理有关的综合题【例8】.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设()C B A C B sin sin sin sin sin 22-=-.①求A ；②若2a ＋b ＝2c ，求sin C.【解答】：①由已知得C B A C B sin sin sin sin sin 222=-+，故由正弦定理得bc a c b =-+222.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为1800<<A ，所以A ＝60°.②由①知C B -=120，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C)＝2sin C ， 即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sinC ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于1200<<C ，所以sin(C ＋60°)＝22，故 ()6060sin sin -+=C C ＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24. （2017四川理）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265b c a bc +-=，求tan B . 【解答】:（I ）根据正弦定理，可设 sin ,sinB,c sinC a k B b k k ===,(K>0), 代入cos cos sin A B Ca b c+=中，变形可得)sin(sin cos cos sin sin sin B A B A B A B A +=+=.(*) 在ABC ∆中，由A B C π++= ,有sin()sin()sin A B C C π+=-= 所以sin()sin A B C +=.（II ）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-== 由（*）B A B A B A sin cos cos sin sin sin +=，所以443sin cos sin 555B B B =+ 故sin tan 4cos BB B==三、巩固练习1．（2017新课标Ⅲ文）在中，，BC 边上的高等于,则( )A.2. (2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C c B b A a sin 4sin sin =-， cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3 3. 在ABC ∆中,60A =, 1b =，ABC S ∆=，则sin sin sin a b cA B C++++等于 ().3A.3B .3C .D 4. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，3π=C ，则△ABC 的面积是( )A.3B.239 C.233D.335．△ABC 中，三边a 、b 、c 与面积S 的关系式为)(41222c b a S -+=，则C=（ ）. A 、030 B 、045 C 、060 D 、090 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A.090B.0120C.0135D.01507.在△ABC 中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤,则A 的取值范围是（ ）.]6,0.(πA ),6.[ππB ]3,0.(πC ),3.[ππD8. (2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为____________．9. 已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x ，则实数x 的取值范围是_______. 10. 已知ABC ∆1，面积为1sin 6C ，且sin sin A B C +=，则角C=_______. 11 .ABC ∆中三边分别为a,b,c,若2,sin cos a b B B ==+=则角A=________． 12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝41a ，2sinB ＝3sinC ，则cosA 的值为 ． ABC △π4B13BC sin A 31010531013.（2018四川高考文）已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，A tan 、B tan 是关于方程()R p p px x ∈=+-+0132x 2＋两个实根. (I). 求C 的大小(II). 若AB ＝1，AC ＝，求p 的值.14．（2017浙江理）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 已知b+c=2a cos B. （I ）证明：A=2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.15.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,3,a b == 7sin sin 23B A +=（1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆的面积.16.在如图所示的四边形ABCD 中，090,120,BAD BCD ∠=∠= 060,2,BAC AC ∠== 记BAC θ∠=（1）求用含θ 的代数式表示DC ； （2）求BCD ∆面积S 的最小值17. (2019·理1)ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．四、答案与解析361. 【解析】：设BC 边上的高线为AD ，则AD DC AD BC 2,3==，所以AD DC AD AC 522=+=,由正弦定理，知A BCB AC sin sin =，即A ADAD sin 3225=，解得10103sin =A ，故选D. 2.【解答】：因为C c B b A a sin 4sin sin =-，所以由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2. 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（4c 2＋b 2）2bc ＝－3c 22bc ＝－14，所以b c ＝6.故选A. 3. 【解析】：因为60=A , b=1，3sin 21==∆A bc S ABC ，所以c=4 由余弦定理有13cos 2222=-+=A bc c b a ，所以13=a ,由正弦定理有3392sin 2==A a R ，且CcB b A a R sin sin sin 2===， 所以33922sin sin sin ==++++R C B A c b a .故选B.4.【解析】：由题意得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，又由余弦定理可知，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2－ab ，所以－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6． 所以S △ABC ＝233sin 21=C ab ．故选C ． 5.【解析】：因为S △ABC ＝()22241sin 21c b a C ab -+= ，所以2222sin ab C a b c =+-， 即C abc b a C cos 2sin 222=-+=，所以1tan =C ，故 45=C ,故选B. 6.【解析】：设中间角为θ，则,60,21852785cos 222 ==⨯⨯-+=θθ 12060180=-为所求.故选B. 7.【解析】：由已知得，bc c b a -+≤222，即212222≥-+bc a c b ，所以21cos ≥A ， 因为π<<A 0,所以30π≤<A .故选C.8.【解答】：因为a ＝2c ，b ＝6，3π=B ，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，得()3cos2226222π⋅⋅⨯-+=c c c c ，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝12×43×23×3sin π＝6 3.或：a 2＝b 2＋c 2，所以2π=A ，所以△ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.9.【解析】：由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+222222222233232x x x ，解得135<<x .10.【解析】：cb a C B A 2,sin 2sin sin =+∴=+因为12+=++c b a ，所以122+=+c c ，解得1=c ，所以2=+b a因为C C ab S sin 61sin 21==，所以31=ab ， 所以()21222cos 22222=--+=-+=ab c ab b a ab c b a C ，所以3π=C . 11.【解析】：由2cos sin =+B B 可得1)4sin(=+πB ,所以4π=B ，由正弦定理得：21sin =A .又因为a<b,所以B A <,所以6π=A . 12.【解析】：在△ABC 中，因为b －c ＝41a ①，2sinB ＝3sinC ，所以2b ＝3c ②， 所以由①②可得a ＝2c ，b ＝23c． 再由余弦定理可得4134492cos 222222-=⋅-+=-+=c c c c c bc a c b A ，13.【解析】：(I)因为方程()R p p px x ∈=+-+0132的判别式△＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥32， 由韦达定理，有tanA ＋tanB ＝－3p ，tanAtanB ＝1－p ，于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B)＝33tan tan 1tan tan -=-=-+ppB A B A ，所以tanC ＝－tan(A ＋B)＝3，所以C ＝60°.(II)由正弦定理，得sinB ＝22360sin 6sin == AB C AC .解得B ＝45°或B ＝135°(舍去), 于是A ＝180°－B －C ＝75°则tanA ＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝3233133130tan 45tan 130tan 45tan +=-+=-+. 所以p ＝－31(t anA ＋tanB)＝－31(2＋3＋1)＝－1－3. 14.【解析】：（1）由正弦定理可得B A C B cos sin 2sin sin =+, 故B A B A B B A B B A sin cos cos sin sin )sin(sin cos sin 2++=++=, 所以)sin(sin B A B -=,又()π,0,∈B A ，故π<-<B A 0 ，所以()B A B --=π或B=A -B , 因此π=A （舍去） 或A=2B, 所以A=2B.（II ）由42a S =得4sin 212a C ab ==，故有B B B C B cos sin 2sin 21sin sin ==，因sin 0B ≠，得sinC cos =B ． 又()π,0,∈C B ，所以B C ±=2π．当2π=+C B 时，2π=A ； 当2π=-B C 时，4π=A ．综上，2π=A 或4π=A ．15.【解析】：（1）在ABC ∆中，由正弦定理，得BA sin 3sin 7= 即A B sin 3sin 7= 又因为32sin sin 7=+A B , 解得23sin =A ， 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3π=A .（2）在ABC ∆中，由余弦定理bc a c b A 2cos 222-+=， 得cc 679212-+=，即022=+-c c ，解得c=1 或c=2，当c=1时，因为01472cos 222<-=-+=ac b c a B ,所以角B 为钝角，不符合题意，舍去；当c=2时，因为01472cos 222>=-+=ac b c a B ，且b>c,b>a, 所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意. 所以ABC ∆的面积233232321sin 21=⨯⨯⨯==A bc S . 16.【解答】：（1）在ADC ∆中，000036090120150ADC θθ∠=---=-，由正弦定理可得sin sin DC AC DAC ADC =∠∠ ，即002sin 30sin(150)DC θ=- ， 于是：01.sin(150)DC θ=-（2）在ABC ∆中，由正弦定理得0,sin sin 60AC BCθ=即BC =由（1）知：01sin(150)DC θ=-所以 120sin 21⋅⋅=CD BC S =034sin sin(150)θθ-= 故075θ=，S取得最小值为6-.17.【详解】：（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=所以2221cos 22b c a A bc +-∴==因为()0,A π∈ ，所以3A π∴=.（2）因为c b a 22=+sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=⇒3sin C C =因为22sin cos 1C C += ，所以(()223sin 31sin C C ∴=-，解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin 4C =（2）法二：因为c b a 22=+sin 2sin A B C += 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=，整理可得：3sin C C -=，即3sin 6C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=.。

正弦定理知识点总结（精华）与试题1．特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA=c a sinB=c b sinC=1 即：c=A a sin c=B b sin c=C c sin A a sin =B b sin =Cc sin2．能否推广到斜三角形？证明一（传统证法）在任意斜△ABC 当中： S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin3．用向量证明：证二：过A 作单位向量j 垂直于+= 两边同乘以单位向量•(+)=• 则：•+•=• ∴||•|AC |cos90︒+||•|CB |cos(90︒-C)=||•||cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin 同理：若过C 作j 垂直于得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin 当△ABC 为钝角三角形时，设 ∠A>90︒ 过A 作单位向量垂直于向量 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，A a sin =B b sin =Ccsin 注意：（1）正弦定理适合于任何三角形。

（2）可以证明A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） （3）每个等式可视为一个方程：知三求一ACBjACBj5.知识点整理6、应用：例1、已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：21030sin 45sin 10sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=C A c a C c A a Θ 00105)(180=+-=C A B25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin ,sin sin 00+=+⨯==⨯==∴=C B c b C c B b 又练习：1、在△ABC 中，已知A=450,B=600,a=42，解三角形.2、在△ABC 中，AC=3，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长为 ．3、在△ABC 中，B=45,C=60,c=1，则最短边的边长等于例2．1 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b 00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，Θ222=+=∴c b a例2．2 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a Ac C C c A a Θ0012060,sin 或=∴<<C c a A c Θ1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴C B c b B C 时，当，1360sin 15sin 6sin sin ,151200-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b注意：时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： （1） 当A 为锐角 （2） 当A 为直角或钝角练习：1. ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若26120c b B ===o ，，，则a 等于 （ ）AB ．2CD2、已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b = ( )A.2 B ．4＋．4—3、在ABC △中，若1tan 3A =，150C =o，1BC =，则AB = .4、已知△ABC 中，045,a b B ===解三角形例3：在△ABC 中，分别根据下列条件指出解的个数（1）、a=4,b=5,A=300; (2)、a=5,b=4,A=600;(3)、0120a b B ===; (3)、060.a b A ===练习：1．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30° C ．a=1,b=2,∠A=100° D ．b=c=1, ∠B=45°1、在△ABC 中，a=5，b=3，C=1200,则sinA:sinB= 2、在△ABC 中，acosB=bcosA,则⊿ABC 为（ ）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、钝角三角形 3、在△ABC 中，若b=2asinB,则A=4、在△ABC 中，若sin cos ,A BB a b=则的值为 5、在△ABC 中，a:b:c=1:3:5,2sin sin sin A BC-则的值为6、在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=4:5:6,且a+b+c=30，则a=7、若三角形的三个内角之比为1：2：3，则该三角形的三边之比为8、在△ABC 中，0a b c60,sin sin sin A a A B C++=++则等于9.ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若,2a A B ==,则cos B =( )Ａ）3 （Ｂ）4 （Ｃ）5 （Ｄ）610、在△ABC 中，若sinA>sinB,则有（ ）a<b B a b C a>b D a b A ≥、、、、、的大小关系无法确定。

专题：正弦定理和余弦定理 考点集结一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理内容2sin sin sinab cR A B C ===2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-变形形式①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; ②sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2cR ;③a:b:c=sinA: sinB: sinC;④sin sin sin sin a b c aA B C A ++=++222222222cos ;2cos ;2cos .2b c a A bc a c b B ca a b c C ab +-=+-=+-=解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。

已知三边，求各角； 已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

注：在ΔABC 中，sinA>sinB 是A>B 的充要条件。

（∵sinA>sinB ⇔22a bR R >⇔a>b ⇔A>B ）二、应用举例1、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）①北偏东α 即由指北方向顺时针旋转α 到达目标方向；②北偏本α 即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向； ③南偏本等其他方向角类似。

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡比） 2、ΔABC 的面积公式（1）1()2a a S a h h a =表示边上的高；（2）111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R ====为外接圆半径； （3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。

利用正弦定理解三角形一、正弦定理在任意一个三角形ABC中，各边与它所对应角的正弦之比相等，且比值等于该三角形外接圆的直径。

即：a sin A =bsin B=csin C=2R（R为三角形外接圆半径）二、正弦定理解三角形正弦定理是求解三角形的一大工具，利用正弦定理，可以解决以下两个三角形问题：1.已知三角形的两个角和任意一边，求三角形的其他两边和角2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他两角和边。

注意：正弦定理是在三角形中使用，有以下关系和条件：①∠A+∠B+∠C=Π②∠A，∠C，∠B三个角中最多只有一个钝角或直角③在使用正弦定理解三角形时要注意解的个数。

三、例题分析例题1：在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=105°，c=10，求解该三角形。

解：由题可知，是已知三角形两角和一边，可用正弦定理。

∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠C=180°-45°-105°=30°由正弦定理asin A =bsin B=csin C得：a sin45°=bsin105°=10sin30°=20∴a=20×√22=10√2b=20×sin105°=20×sin（180°−75°）=20×sin75°= 5（√6+√2）例题2：在三角形ABC中，a=2√2,b=4,∠A=30°，求解该三角形解：由asin A =bsin B=csin C得：2√2sin30°=4sin∴sin=2√2=√22又∵0<∠B<150°∴∠B=45°或135°（这时代表着三角形的解不唯一）①当∠B=45°时，∠C=180°-30°-45°=105由2√2sin30°=csin 05°得c=4√2sin105°=4√2×√6+√24=2√3+2②当∠B=135°时，∠C=180°-30°-135°=15°由2√2sin30°=csin 5°得：c=4√2sin15°=4√2×√6−√24=2√2−2例题3：根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解。

正弦定理、余弦定理精讲精析点点突破热门考点01 正弦定理正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题．面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B【典例1】（2019·全国高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 【典例2】（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【答案】（1）5sin C =；（2）2tan 11DAC ∠=.【解析】（1）由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =. 由正弦定理得sin 5sin sin sin 5c b c B C C B b =⇒==. （2）由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =-=. 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=. 所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【总结提升】已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解热门考点02 余弦定理余弦定理：2222cos a b c ab C +-= ， 2222cos b c a ac A +-= ， 2222cos c a b ac B +-=.变形公式cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，os C ＝a 2＋b 2－c 22ab【典例3】（2020·全国高考真题（理））如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos3013211CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【典例4】（2019·北京高考真题（文））在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值． 【答案】（Ⅰ）7,5b c ==；. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为3a =，所以22390c b c -++=；因为2b c -=，所以解得75b c =⎧⎨=⎩.（Ⅱ）由（Ⅰ）知3,7,5a b c ===，所以22213cos 214b c a A bc +-==；因为A 为ABC ∆的内角，所以sin A ==.因为sin()sin()sin B C A A +=π-==. 【总结提升】应用余弦定理解答两类问题：热门考点03正弦定理与余弦定理的综合运用【典例5】（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【典例6】（2019·全国高考真题（理））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22-=-．(sin sin)sin sin sinB C A B C（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C =. 【解析】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 0B C A C ==>所以sin C >，故sin C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin 63cos C C -=，即3sin 3cos 23sin 66C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭2sin 62C π⎛⎫∴-=⎪⎝⎭ 由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+ 62sin sin()46C ππ+=+=. 【总结提升】应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．热门考点04 应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状【典例7】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝2π或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)， 所以△ABC 为等腰或直角三角形． 【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范对三角函数值的限制．热门考点05 与三角形面积有关的问题【典例8】（2018·全国高考真题（文））△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．. 【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos A =，从而求得bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===.【典例9】（2017·上海高考真题）已知函数()221cos sin 2f x x x =-+，()0,x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）[,)2ππ;（2 【解析】（1）函数2211()cos sin cos 2,(0,)22f x x x x x π=-+=+∈ 由222,k x k k Z πππ-≤≤∈，解得,2k x k k Z πππ-≤≤∈1k =时，12x ππ≤≤，可得()f x 的增区间为[,)2ππ（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边b=5， 若()0f A =，即有1cos 202A += 解得223A π=，即3A π= 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6=0， 解得c =2或3， 若c =2，则cos 0B =<即有B 为钝角，c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为11sin 532224S bc A ==⨯⨯⨯=【总结提升】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．热门考点06 与三角形周长有关的问题【典例10】（2017课标1，理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】 【解析】【典例11】（2019·江西洪都中学高二月考（理））在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且cos 4c A =，sin 5a C =．（1）求边长c ；（2）若ABC △的面积20S =．求ABC △的周长． 【答案】（141（2）8241+【解析】（1）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin a C c A =， 因为sin 5a C =，可得sin 5c A =，所以5sin A c=， 又由cos 4c A =，可得4cos A c=，又因为22222516sin cos 1A A c c+=+=，解得c = （2）由题意，ABC ∆的面积1sin 202S ab C ==，sin 5a C =，解得8b =，由余弦定理，可得2222cos 64412841a b c bc A =+-=+-=，解得a =，所以ABC ∆的周长88L a b c =++=+=+【总结提升】应用正弦定理、余弦定理，建立边长的方程，是解答此类问题的基本方法，解答过程中，要注意整体代换思想的应用，如果遇到确定最值问题，往往要结合均值定理求解.热门考点07 三角形中的最值与范围问题【典例12】（2018·江苏高考真题）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例13】（2020·全国高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴周长的最大值为3+【典例14】（2019·全国高考真题（文））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3B π=;(2). 【解析】 (1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 0<B <π，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B =π，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABCS <<. 故ABCS的取值范围是 【总结提升】三角形中的最值范围问题，往往有三种情况，一是转化成三角函数的值域问题，利用三角函数的图象和性质；二是利用基本不等式求最值，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误；三是利用函数的单调性.热门考点08 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题【典例15】（2019·上海市金山中学高一月考）如图，在笔直的海岸线l 上有两个观测点A 和B ，点A 在点B 的正西方向，2AB km =．若从点A 测得船C 在北偏东60°的方向，从点B 测得船C 在北偏东45°的方向，则船C 离海岸线l 的距离为______km ．（结果保留根号）【答案】13+ 【解析】如图所示，过点C 作CD AB ⊥，交AB 的延长线与点D ，设CD x =，45CBD BCD ∴∠=∠=， 设BD CD x ==， 又2AB =，2AD AB BD x ∴=+=+，30,tan CDCAD CAD AD︒∠=∠=， 323x x ∴=+， 解得：13x =+所以船C 离海岸线l 的距离为(13)km ， 故答案为：13+【典例16】（2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺（二））我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇：“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步.（参考译文：假设测量海岛,立两根标杆，高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少？ 岛与前标杆相距多远?）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”） 【答案】1255步【解析】如图所示，设岛高步，与前标杆相距步，由相似三角形的性质有，解得：，则海岛高度为1255步.【典例17】（2019·海南高一期中）在海岸A 处发现北偏东45︒方向，距A 处()31-海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75︒方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.【答案】缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 【解析】如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船（在D 点），则3CD t =海里，10BD t =海里， 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅))2212212cos1206=+-⋅⋅⋅︒=，解得=BC 又sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，sin sin2AC BAC ABC BC ⋅∠∴∠===45ABC ∴∠=︒，故B 点在C 点的正东方向上，9030120CBD ∴∠=︒+︒=︒，在BCD ∆中，由正弦定理，得sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，sin sin BD CBDBCD CD⋅∠∴∠=12==. 30BCD ∴∠=︒，∴缉私船沿北偏东60︒的方向行驶.又在BCD ∆中，120CBD ∠=︒，30BCD ∠=︒，30D ∴∠=︒，BD BC ∴=，即10t =解得t =15≈分钟. ∴缉私船应沿北偏东60︒的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.【总结提升】1.测量距离问题，归纳起来常见的命题角度有： （1）两点都不可到达； （2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达. 2. 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3. （1）测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． （2）解决角度问题的注意事项①测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． ②求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．③在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．巩固提升1．（2020·全国高考真题（文））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ）A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 29a c b B B B ac +-==∴===故选：C2．（2020·全国高考真题（理））在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12 D ．23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB = 由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.3. （2019·上海市金山中学高一月考）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B 【解析】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选：B4．（2016·全国高考真题（文））△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.5．（2018·全国高考真题（理））在ABC ∆中，cos 2C =，则AB=（ ）A ．BCD ．【答案】A 【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.6．（2012·陕西高考真题（理））在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A B C ．12D ．12-【答案】C 【解析】2221()2c a b =+，由余弦定理得,222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”，cos C ∴的最小值为12，选C.7．（2019·吴起高级中学高二期中（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，60B =，b =则ABC ∆外接圆的面积是（ ） A ．2π B ．πC ．34πD ．2π 【答案】B 【解析】设ABC △外接圆的半径r ，则22sin sin 60b r B ===，解得1r =， ∴ABC △外接圆的面积21ππ=⨯=，8．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））在ΔABC 中，4a =，5b =，A =45°，则此三角形解的情况是( ) A ．两解 B ．一解C ．一解或两解D ．无解【答案】A 【解析】因为4a =，5b =，A =45°,所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以290c -+=,解得2c =或2c =, 所以此三角形解有两解. 故选:A .9．（2019·榆林市第二中学高二期中（文））已知△ABC 中，sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】C 【解析】 因为sin sin sin c b Ac a C B -=-+,利用正弦定理角化边得c b a c a c b-=-+,所以()()()c b c b a c a -+=-, 所以222c b ac a -=-, 所以222a c b ac +-=,所以222122a cb ac +-=,根据余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==,因为0B π<<,所以3B π=.10．（2019·陕西高三（理））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos cos sin A B Ca b c+=，若22285b c a bc +-=，则tan B 的值为（ ） A ．13- B ．13C ．3-D ．3【答案】C 【解析】ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，由cos cos sin A B C a b c +=，得：cos cos sin 1sin sin sin A B CA B C +==， 故111tan tan A B+=， 若22285b c a bc +-=，则222425b c a bc +-=，即4cos 5A =．3sin 5A ∴=，故3tan 4A =， 代入111tan tan A B+=，解得tan 3B =-． 故选：C ．11．（2019·四川高三月考（理））已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-，若ABC △的面积为ABC △的周长的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．D ．3+【答案】C 【解析】()sin sin sin a b A c C b B -⋅=-,∴222a ab c b -=-,∴222a b c ab +-=,∴222cos 122a b c C ab +-==,∴3C π=, 1sin2S ab C ==∴12ab =,222212c a b ab ab ab =+-≥-=（当且仅当c =时取等号）,∴c ≥∴222()3()36c a b ab a b =+-=+-,∴a b +=，∴a b c c ++=设()f c c =()f c 单调递增,c ≥,∴a b c ++≥=故选：C.12．（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 13.（2018·全国高考真题（文））ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C 【解析】 由题可知222124ABCa b c SabsinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.14.（2020·江苏省高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.15．（2019·江苏高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 【答案】（1）3c =；（2）25. 【解析】（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)3c c +-=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a b A B=，得cos sin 2B Bb b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16．（2020·山东海南省高考真题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【解析】解法一：由可得：，不妨设，则：，即.选择条件①的解析：据此可得：，，此时.选择条件②的解析：据此可得：，则：，此时：，则：.选择条件③的解析：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴, 若选①，,∵,∴,∴c=1; 若选②，,则,;若选③,与条件矛盾.。

解三角形 一．正弦定理：A a sin =B bsin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到 1.(1) a=2RsinA (2) b=2RsinB (3) c=2RsinC 2.(1) sinA=a/2R (2) sinB=b/2R (3) sinC=c/2R 3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC 余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ） 三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.例四：在△ABC中，若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC的面积是例五.判断三角形的形状（1）正弦定理判断在△ABC中，若a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．（2）余弦定理判断在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断三角形的形状．例六 判断解得个数不解三角形，判断下列三角形的解的个数： （1）a=5,b=4,A=120度（2）a=7,b=14,A=150度（3）a=9,b=10,A=60度（4）c=50,b=72,C=135度考试类型一、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1、ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB2、 在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值． 3、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则 A.a ＞b B.a ＜b C. a ＝b D.a 与b 的大小关系不能确定 4、在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 5、在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B = A －223 B 223C －63D 636、在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a = 。