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人教A版高中数学选修3-1-4.4 解析几何的进一步发展 -课件(共13张PPT)

人教A版高中数学选修3-1-4.4 解析几何的进一步发展 -课件(共13张PPT)

谢谢
在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告 时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要 的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事，往往 都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是 就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是 与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天 千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也 满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。 乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖 人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达 我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢； 爱情不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不 未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。 相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信 绝眼泪；相信世上有好人，但一定要防范坏人；相信金钱能带来幸福，但不要倾其一生；相信真诚，但不要指责所有虚伪；相信成功，但不要逃避失败；相信缘分，但不 但不要求全责备；相信上帝，但别忘了锁上门。 一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌。最后你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就那么忘记了明 每次却总是不自觉的想起那个给与温暖的人；每每又总是在微笑沉醉时看到了现实，想到了伤痛，然后，冷的感觉再也暖和不起来了，如此反复，心，终于累了，现实就 又最终醒来，我正在行走，却找不到方向。 有些人，注定是等待别人的，有些人，注定是被人等的。一件事，再美好，你做不到，也要放弃；一个人，再留恋，不属于你 生命都免不了缺憾，最真的幸福，莫过于一杯水、一块面包、一张床，还有一双无论风雨，都和你十指相扣的手。 有些伤痕，划在手上，愈合后就成了往事；有些伤痕， 轻，也会留驻于心；有些人，近在咫尺，却是一生无缘的生命中，似乎总有一种承受不住的痛；有些遗憾，注定了要背负一辈子。生命中，总有一些精美的情感在我们身 留在了岁暮回首的刹那。 这世界并不是所有的东西都符合想象，有些时候，山是水的故事，云是风的故事；也有些时候，星不是夜的故事，情不是爱的故事，许多人走着 着看着就淡了，许多梦做着做着就断了，许多泪流着流着就干了。人生，原本就是风尘中的沧海桑田，只是，回眸处，世态炎凉演绎成了苦辣酸甜。 正所谓“独乐乐不如众 离开了原主人的手里，并实现了更有意义的价值。此刻，送人玫瑰这定是开心的，得玫�

几何起源课件ppt

几何起源课件ppt

几何变换
01
02
03
平移
将图形在平面内沿某一方 向移动一定的距离。平移 不改变图形的大小和形状 。
旋转
将图形绕某一点旋转一定 的角度。旋转同样不改变 图形的大小和形状。
缩放
将图形沿某一方向放大或 缩小一定的比例。缩放可 以改变图形的大小，但不 改变其形状。
基础几何定理与证明
03
相似与全等
相似
如果两个图形形状相同， 大小可以不同，则它们是 相似的。
近代几何的演变
要点一
总结词
随着科学技术的进步，几何学在近代经历了巨大的变革和 发展。
要点二
详细描述
文艺复兴时期之后，几何学得到了极大的发展。笛卡尔创 立了解析几何，将几何与代数相结合，为微积分学的发展 奠定了基础。同时，欧拉在图论和拓扑学方面做出了重要 贡献，这些领域的研究对数学和物理学的发展产生了深远 影响。在现代，几何学已经渗透到了各个学科领域，如计 算机图形学、量子力学和宇宙学等。
建筑设计中，几何学被广泛应用于平面规划、空间布局、立 面设计等方面，如利用圆形、三角形、矩形等基本几何形状 进行组合和变形，创造出独特的建筑风格和空间效果。
工程绘图
工程绘图是几何学在实践中的重要应用之一，工程师利用 几何学原理进行工程设计和绘图，以确保工程的安全性和 准确性。
在工程绘图中，几何学被广泛应用于机械设计、土木工程 、航空航天等领域，如利用坐标系、向量、线性代数等几 何知识进行计算和分析，为工程设计和施工提供科学依据 。
几何分析与计算复杂性
几何问题往往具有很高的计算复杂性，如何高效地解决几何问题仍然是当前面临的重要 挑战。
几何在交叉学科中的应用
随着科技的发展，几何学在交叉学科中的应用越来越广泛，如何更好地与其他学科进行 交叉融合，发挥几何学的优势和作用，也是当前需要关注和研究的问题。

《高中数学立体几何》课件

《高中数学立体几何》课件
立体几何在数学、工程、建筑等领域 有着广泛的应用，是理解和描述现实 世界空间关系的重要工具。
立体几何的重要性
01
02
03
培养空间思维能力
学习立体几何有助于培养 学生的空间想象力和逻辑 思维能力，提高解决实际 问题的能力。
数学学科基础
立体几何是数学学科体系 中的重要组成部分，对于 理解数学概念、掌握数学 方法具有重要意义。
《高中数学立体几何》ppt课 件
目 录
• 立体几何简介 • 立体几何基础知识 • 立体图形的性质与分类 • 立体几何的应用 • 解题技巧与思路 • 立体几何的未来发展
01
立体几何简介
什么是立体几何
立体几何是研究三维空间中图形和物 体性质的一门学科。它涉及到点、线 、面、体等基本元素，以及它们之间 的位置关系和度量关系。
角度的计算
角度是描述两条射线或线段之间夹角 的大小的量。在立体几何中，角度可 以通过使用三角函数或几何定理来计 算。
距离的计算
距离是描述两点之间或一点到一条线 段之间的最短路径的大小的量。在立 体几何中，距离可以通过使用勾股定 理或几何定理来计算。
03
立体图形的性质与分类
立体图形的性质
空间性
立体图形存在于三维空间 中，具有空间特性。
近现代发展
随着数学和科学技术的不断进步， 立体几何逐渐与代数学、分析学等 学科交叉融合，形成了更加丰富和 深入的研究领域。
02
立体几何基础知识
点、线、面的基本性质
点的基本性质
面的基本性质
Байду номын сангаас
点是几何学中最基本的元素，没有大 小和形状。在空间中，点的唯一特征 是它的位置。
面是由无数条线组成的，它只有面积 而没有厚度。面的形状和位置由其上 的点和其上的线的分布决定。

几何学的发展史PPT

几何学的发展史PPT

建筑设计
建筑设计是几何学应用的重要领域之一，建筑师利用几何 学原理设计出各种形状和结构的建筑物，以满足功能和审 美需求。
建筑设计中，几何学主要应用于空间布局、结构分析、材 料排布等方面，例如利用几何原理确定建筑物的平面和立 体布局，分析结构的稳定性和承重能力，以及合理排布建 筑材料以降低成本等。
工程绘图
• 文艺复兴时期的几何学：文艺复兴时期，随着科学和技术的进步，几何学也取 得了重大突破。达芬奇、伽利略和开普勒等科学家将几何学应用于天文学、物 理学和工程学等领域，推动了科学革命的发展。
• 现代几何学：19世纪以后，几何学逐渐向更高维度的空间拓展。非欧几何的 创立和发展，为几何学带来了新的研究方向和应用领域。现代几何学还包括拓 扑学、微分几何、代数几何等分支，它们在理论物理、计算机科学和数据科学 等领域中发挥着重要作用。
射影几何学的兴起
射影几何学是几何学的一个重要分支，其兴起与中世纪欧洲 的大学教育密切相关。射影几何学的研究对象是图形在投影 下的性质和问题，对于当时的建筑、绘画和工程等领域有着 重要的应用价值。
射影几何学的兴起也与当时的哲学思想有关，特别是唯理论 和经验论的争论。唯理论者认为几何学中的公理和定理是自 明的，而经验论者则强调实践和应用的重要性。射影几何学 的兴起体现了当时哲学思想的交锋和碰撞。
非欧几何学的发现
非欧几何学的发现
非欧几何学是指与欧几里得几何学不同的几何体系，其公理体系和欧几里得几何学有所 不同。在19世纪，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约 等人分别独立发现了非欧几何学。非欧几何学的发现打破了欧几里得几何学的唯一性，
使得人们开始认识到不同的公理体系可以导致不同的几何体系。
微分几何学的兴起

高中数学第三章几何学发展史从经验几何到演绎几何课件北师大版

高中数学第三章几何学发展史从经验几何到演绎几何课件北师大版
答案:经验几何主要是解决各类具体问题的实用知识,处于原始 算法积累时期,本质上都是算术的应用,几何学作为独立的学科还不 存在.演绎几何与经验几何的区别就在于演绎几何形成了一个理论 体系,给出了逻辑证明,使命题的正确性得到保证.
重难点拨
思悟升华
一
二
二、《原本》和《圆锥曲线论》
【例 2】 阅读下面的资料,请你结合本课的学习谈谈《原本》 对后世数学的发展起到了怎样的作用?
亚洲西部的底格里斯河与幼发拉底河之间的地带,通常叫作美 索不达米亚平原,美索不达米亚语出希腊文,意思是“两河之间的地 区”,故而这个地区也称为两河流域(今伊拉克境内).像尼罗河一样, 两河流域也是人类文明的摇篮.从公元前 3000 年到前 200 年,这一地 区(在今伊拉克和伊朗西部)所创造的数学,习惯统称为巴比伦数学. 早在公元前 5000~前 4000 年,两河流域的苏美尔人用削尖的芦苇秆 或木棒在软泥板上写字,泥板晒干后坚硬如石.由于这样的字形状像 楔子,所以这种文字称为楔形文.苏美尔人以后,各民族继续使用楔形 文,只是不同时期所使用的有所不同.
6.希腊人发现了圆锥曲线,阿波罗尼奥斯总其大成,写了《圆锥曲 线论》.这确实是古典希腊几何的登峰造极之作,也是继《原本》之 后又一本数学巨著.
重难点拨
思悟升华
Байду номын сангаас
一
二
一、经验几何与演绎几何
【例 1】 阅读下列材料,体会经验几何与演绎几何的差异. 尼罗河是埃及的母亲河,通常在每年的 7 月中旬定期泛滥,11 月 后洪水逐渐消退,留下肥沃的淤泥.这样来年就容易耕作,庄稼的丰收 也就有了保障.埃及的几何学就起源于尼罗河泛滥后的土地测量,这 种说法最早出自古希腊的历史学家希罗多德(约公元前 484—前 424),他说:“西索斯特里斯……在埃及居民中进行了一次土地划分. 他把同样大小的正方形土地平均分配给所有人,而土地持有者每年 向他缴纳租金,作为他的主要收入.如果河水冲毁了某人分得土地的 任何一部分,这个人就可以将此事告知国王,国王就会派人前来调查 并测量损失地段的面积,今后的租金就要按照减少后的土地面积来 征收了.正是由于有了这样的做法,埃及才第一次有了几何学,而希腊 人又从那里学到了它.”

几何学的突破与发展PPT

几何学的突破与发展PPT
物理学中的许多问题需要用到几何学的知识，如 相对论、量子力学等领域的研究。
几何学与计算机科学的交叉研究
计算机图形学、计算机视觉等领域的研究需要用 到大量的几何学知识，如三维重建、计算机动画 等。
几何学与工程学的交叉研究
工程学中的许多问题需要用到几何学的知识，如 建筑设计、机械设计等领域的研究。
05
几何和双曲几何等。
微分几何
研究曲线、曲面和流形 的几何性质及其在空间
中的变化。
拓扑学
研究空间中不同形状的 属性以及它们之间的关
系。
02
几何学的突破
非欧几何的诞生
总结词
非欧几何的诞生是几何学发展史上的重大突破，它打破了欧几里得几何的局限性，为数学和物理学的发展开辟了 新的道路。
详细描述
非欧几何的诞生始于19世纪初，主要代表人物包括德国数学家高斯和俄国数学家罗巴切夫斯基。他们发现了几何 学中存在与欧几里得几何不同的新几何体系，这些新几何体系在曲面上具有更好的适用性。非欧几何的诞生不仅 挑战了传统的几何观念，还为解决物理学的空间问题提供了新的思路。
微分几何的兴起
总结词
微分几何的兴起是几何学发展史上的又一重 大突破，它通过引入微积分的方法，对曲线 、曲面等几何对象进行了深入的研究。
详细描述
微分几何的兴起始于18世纪，主要代表人物 包括法国数学家蒙日和德国数学家高斯。他 们通过引入微积分的方法，对曲线、曲面等 几何对象进行了深入的研究，发现了曲线和 曲面的内在性质和规律。微分几何的兴起为 几何学的发展注入了新的活力，也为物理学
几何学的突破与发展
• 几何学简介 • 几何学的突破 • 几何学在现代科学中的应用 • 几何学面临的挑战与未来发展 • 结论
01

高中数学 第三章 几何学发展史 3.3 解析几何课件 北师

答案:建立如图所示的坐标系,则 A(9,-9),B(2,y1),设圆方程为 x2+(y-b)2=r2,因为 A(9,-9),O(0,0)在圆上,所以解得圆的方程为 x2+(y+9)2=81,B 点纵坐标 y1= 77-9,涨水前 B 离水面距离为 77 m,涨水 后 B 离水面距离为 77-2.7 m<6.5 m,船要通过,高度需降低
类似的问题在生活中是会经常遇到的,解决的方法自然会想到 利用解析几何知识,解析几何知识又是在怎样的情境中被发现的呢? 它的发现又具有怎样的意义呢?学完本节内容相信你就可以解决这 些问题.
-2习
Y预习导引 U XIDAO YIN
H 互动课堂 U DONG KE TANG
-7-
§3 解析几何
Y预习导引 U XI DAO YIN
H 互动课堂 U DONG KE TANG
重难点拨
思悟升华
一
二
答案:大田 ABCD 中的点分成三类:设第一类沿 PA 送肥较近,第 二类沿 PB 送肥较近,第三类沿 PA 和 PB 送肥
一样远近,第三类构成第一类、第二类点的界线,即我们所要求
的轨迹.以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐
标系,设 M 为界线所在曲线上的一点,则满足|PA|+|AM|=|PB|+|BM|,
于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50(50<|AB|).由双曲线的定义可知 M 点
的轨迹是以 A,B 为焦点的双曲线靠近 B 点的一支,其方程可求得为
(1)求证:EF∥平面 SAD; (2)设 SD=2CD,求二面角 A-EF-D 的大小.
-9-
§3 解析几何
重难点拨

高中数学第三章几何学发展史3.1从经验几何到演绎几何课件北师大版选修3_


重难点拨
思悟升华
一
二
一、经验几何与演绎几何
【例 1】 阅读下列材料,体会经验几何与演绎几何的差异. 尼罗河是埃及的母亲河,通常在每年的 7 月中旬定期泛滥,11 月 后洪水逐渐消退,留下肥沃的淤泥.这样来年就容易耕作,庄稼的丰收 也就有了保障.埃及的几何学就起源于尼罗河泛滥后的土地测量,这 种说法最早出自古希腊的历史学家希罗多德(约公元前 484—前 424),他说:“西索斯特里斯……在埃及居民中进行了一次土地划分. 他把同样大小的正方形土地平均分配给所有人,而土地持有者每年 向他缴纳租金,作为他的主要收入.如果河水冲毁了某人分得土地的 任何一部分,这个人就可以将此事告知国王,国王就会派人前来调查 并测量损失地段的面积,今后的租金就要按照减少后的土地面积来 征收了.正是由于有了这样的做法,埃及才第一次有了几何学,而希腊 人又从那里学到了它.”
激趣诱思
新知预习
1.在很长的一个历史时期,几何都没有形成一个理论体系,这种 几何学称为归纳与经验的几何学.数学史家通常将古埃及视为几何 学的故乡,把古巴比伦视为代数的故乡. 2.公元前 7 世纪,几何学从古埃及传到了古希腊,在古希腊人手 里,几何学发生了质的变化,许多定理第一次被证明,演绎数学就在希 腊诞生,其中较著名的人物有:泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图、欧几 里得. 3.古希腊人在几何学上提出著名的三大作图问题,它们是三等 分任意角、化圆为方、立方倍积. 4.欧几里得的《原本》的出现是数学史上的一个伟大的里程碑. 它是古希腊数学成果、 方法、 思想和精神的结晶.它是数学史上第一 个逻辑结构严谨、体系宏伟的演绎系统,是数学知识系统化的开端, 对后世数学、科学的发展起了不可估量的示范作用.
激趣诱思
新知预习
5.在 《原本》 中,有一些工作是欧几里得完成的,他完善了前人所 做的一些不严格的证明.但是,他最伟大的贡献是把前人的数学成就 按照严格的逻辑体系进行整理排列,形成历史巨著.在我国明朝时期, 意大利传教士利玛窦与我国数学家徐光启合译了《原本》前 6 卷, 中译本书名为《几何原本》.1847 年,李善兰把《原本》的后 7 卷译 完.《原本》中包含 4 种不同的概念:定义、公理、公设、命题. 6.希腊人发现了圆锥曲线,阿波罗尼奥斯总其大成,写了 《圆锥曲 线论》.这确实是古典希腊几何的登峰造极之作,也是继《原本》之 后又一本数学巨著.

几何的发展及公理化体系PPT

详细描述
笛卡尔在17世纪初提出了坐标系的概念，将几何图形与代数方程联系起来。通过 坐标系，几何图形可以用代数方程来表示，反之亦然。这一创新使得几何学的研 究更加深入和广泛，为微积分和现代数学的发展奠定了基础。
坐标系与几何图形的表示
总结词
坐标系是解析几何的核心工具，它使得几何图形能够用代数 方程来表示，从而使得几何问题可以通过代数方法来解决。
详细描述
微积分的研究需要用到大量的几何概念和工具，如极限、导数、积分等都与几何图形有关。同时，解析几何的应 用也深化了微积分的研究，如曲线面积、曲面体积等问题的解决需要用到解析几何的知识。因此，微积分与几何 是相互促进、共同发展的。
03
非欧几何的发现
非欧几何的背景与起源
欧几里得几何的局限性
非欧几何的诞生
几何拓扑的研究领域
几何拓扑是研究几何对象在拓扑变换下的性质和不变量的学科，是现代几何学的 重要组成部分。
几何拓扑的研究领域包括拓扑空间、流形、几何群论等，这些领域的研究对于数 学其他分支的发展以及物理学、工程学等领域的应用都有着重要的意义。
几何机器学习的新兴领域
几何机器学习是近年来新兴的一个领域，主要是利用机器学 习的方法对几何对象进行分析和建模，以实现自动化和智能 化的处理和应用。
物理学
相对论中的广义相对论使用非欧几何来描述时空 的弯曲。
数学与其他领域
非欧几何的发展对数学和其他领域产生了深远的 影响，推动了数学和科学的发展。
04
几何公理化体系的建立
欧几里得几何公理化体系
01
欧几里得几何公理化体系是几何学的基础，它以五个基本公理为基础，推导出 了一系列几何定理和性质。
02
这五个基本公理包括：两点确定一条直线、直线可以无限延长、通过直线外一 点有且只有一条直线与已知直线平行、所有直角都相等、以及所有相似图形都 可以通过连续变换相互重合。

几何学的发展 ppt课件

第五章 几何学的发展
形的认识
形是人类对生存空间形式的直接 认识
从无规则图形逐渐制造出一些规 则的形体，形成抽象意义下的几何图形。
ppt课件
1
图5.1由鱼形演化出的不规则的几何图形
从立体图形到平面图形 图腾崇拜和宗教礼仪 Nhomakorabeappt课件
2
5.2 测量与几何
在几何发展最早的古代埃及，几 何一词具有“土地测量”的含义。在古 希腊几何学传入中国之后，汉字用几何 一词来称谓这门学科，而汉语中“几何” 具有“多少”的意思。
ppt课件
25
5.8 几何基础与公理化方法
5.8.1 公理化方法
非欧几何、非交换代数（如四元数）的出现，使数 学家注意到古希腊把公理当作自明的真理的局限性。 分析的算术化研究不断深入，逐渐形成了科学的公 理化方法。 公理集合的性质
相容性，即由公理导出的定理，没有哪两个是相互矛盾的； 完备性，即理论系统中的定理都可以从公理导出 独立性，即由公理导出的定理中中没有一个是另一个的逻辑 结果。在任何一个公理系中，不加定义的概念 例如几何学中的“点”和“线”，它们在物理领域中的“意义”或关系， 在数学上是非本质的。它们被当作纯粹抽象的东西，它们在演绎系统中 的性质，完全用公理的形式加以界定
[插入图5.30] 离开了求证第五公设的目标，朝向创 造非欧几何的目标靠拢但是，他们没 有认识到欧几里得几何并不是在经验 可证实的范围内描述物质空间性质的 唯一几何
ppt课件
20
5.6.3 奇异的罗巴切夫斯基几何学
罗巴切夫斯基非欧几何的平行公理：设a是任一直线，A是a外任一定点。在a与A 所决定的平面上，过点A而与a不相交的直线，至少有两条
轨迹是一曲线，它上面的任意三点都不在一条直线上。 在任一角内，至少存在这样一点，通过它不能做出一条同时与两
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5.6 罗巴切夫斯基几何学
在欧几里得几何学中第五公设（即 平行公理）的研究过程中，人们不自觉 地将得到了许多第五公设的等价命题。 发现了罗巴切夫斯基几何学
5.6.1 第五公设及其等价命题
等价命题 普莱菲尔的平行公理：过直线外一点只能作 一条直线平行于该直线三角形三个内角之和等 于两个直角； 每个三角形的内角和都相同； 通过一角内任一点可以作与此角两边相交的截 线； 存在两个相似而不全等的三角形； 毕达哥拉斯定理； 过不在一直线上的三点可作一圆； 圆内接正六边形的一边等于此圆的半径； 四边形的内角和等于四个直角；
中LM=b , NL=a/2, 延长MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是
OM 的长度。
[插入图5.27]
曲线与方程的思想明确指出：几何曲线可以用唯一的
含x和y有限次代数方程来表示的曲线
费马的工作
费马关于曲线与方程的思想，源于 对阿波罗尼兹圆锥曲线的研究。 他使用 了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数 表述式。
第五章 几何学的发展
形的认识
形是人类对生存空间形式的直接 认识
从无规则图形逐渐制造出一些规 则的形体，形成抽象意义下的几何图形。
图5.1由鱼形演化出的不规则的几何图形
从立体图形到平面图形 图腾崇拜和宗教礼仪
5.2 测量与几何
在几何发展最早的古代埃及，几 何一词具有“土地测量”的含义。在古 希腊几何学传入中国之后，汉字用几何 一词来称谓这门学科，而汉语中“几何” 具有“多少”的意思。
体的体积公式：
V = (1/3) h (a2 + ab +b2)
5.2.2 求积方法
勾股术与图证 [插入图5.5] “析理以辞，解体用图”—— “弦图” [插入图 5.7]
大方 = 弦方 + 2矩形， 大方 = 勾方 + 股方 + 2矩形， 比较（1）与（2），得
弦方 = 勾方 + 股方。
（1） （2）
《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 但 是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的
例如, 每一个三角形都是等腰的“证明” [插入图5.18]
》在证明相关结论中使用了多种 几何方法，如,叠合法,归谬法,代数式的几 何证法,等等。这些方法是人类早期研究图 形性质的数学方法，在现代基础教育中仍 发挥着积极的作用。
5.2.1 经验公式
古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积 的方法
三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示
圆面积的计算公式是A = (8d/9)2，其中d是
直径。这就等于取π为3.1605。
四边形的面积公式：（a + c）（b + d）/4 （其中a、b、c、d依次表示边长）。
高为h、底边长为 a和 b的方棱锥的平头截
5.3.1 《原本》的公理化体系
《原本》的公理化体系：全书 先给出若干条定义和公理，再按由简到 繁的顺序编排出一系列的定理(465个命 题)。使整个几何知识形成了一个演绎 体系
公设：（1） 从任一点到任一点 作直线是可能的。（2） 把有限直线不 断循直线延长是可能的。（注意，这里 所谓的直线，相当于今天我们所说的线 段。）（3） 以任一点为中心和任一距 离为半径作一圆是可能的。（4） 所有 直角彼此相等。（5） 若一直线与两直 线相交，且若同侧所交两内角之和小于 两直角，则两直线无限延长后必相交于
笛卡尔的工作
几何学》是笛卡尔哲学思想方法实践的重要结果
首先运用代数方法解决作图的问题，指出，几何作图
实质是对线段作加减乘除或平方根的运算，所以它们都可 以用代数的术语表示。假定某几何问题归结为寻求一个未
知长度x，经过代数运算知道x满足
x= a a2 b2
，
他2画出4x的方法如下：如图5.27作直角三角形NLM，其
该侧的一点（现今称为平行公理）。
公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相 等的。 （2） 等量加等量，总量仍相等。 （3） 等量减等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的东西是相等的。 （5） 整体大于部分。
从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系
存在着以下一些缺陷。
没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上
阿基米德的双重方法——用力学原理发现公式， 再用穷竭法加以证明 [插入图5.11]
如图5.11抛物线有内接三角形PQq，其中P与Qp中 点V的连线平行于抛物线的轴。阿基米德从物理的方法 发现：抛物线被Qp截得的抛物线弓形的面积，与三角 形QPq的面积之比是4：3。阿基米德进而使用穷竭法证
明
5.2.3 多边形数
[插入图5.12] [插入图5.13] [插入图5.14]
最早的演绎几何学
《几何原本》（约公元前300年，古 希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学 理论体系——几何学。标志着人类科学研 究的公理化方法的初步形成，
《几何原本》共十三卷，其中第一、 三、四、六、十一和十二卷，是我们今天 熟知的平面几何和立体几何的知识，其余 各卷则是数论和（用几何方法论证的）初 等代数知识。全书证明了465个命题。
举例如下： 毕德哥拉斯定理，《原本》使用几何的证 法如下：
如图5.19，先证明△ABD△FBC，推得矩形BL 与正方形GB等积。同理推得矩形CL与正方 形AK等积。
5.4 三大作图问题与《圆锥曲线》
三个作图问题： 倍立方，即求作一立方体的边，使
该立方体的体积为给定立方体的两倍； 三等分角，即分一个给定的任意角
其中圆锥曲线的定义方法如下： [插入图5.25]
5.5 坐标几何与曲线方程思想
17世纪法国数学家笛卡尔和费马创 立的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几 何方法的局限性，认识到利用代数方法 来研究几何问题，是改变传统方法的有 效途径。 并为此开始了各自的研究工 作，把代数方程和曲线、曲面的研究联 系在一起
为三个相等的部分； 化圆为方，即作一正方形，使其与
一给定的圆面积相等。
直到19世纪，才证实了只用圆规和直尺来 求解这三个作图题的不可能性，然而对这 三个问题的深入探索引出大量的发现。 其中包括
圆锥曲线理论 梅内克缪斯（约公元前4世纪）最先发现 了圆锥曲线： [插入图5.24] 阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》将圆锥曲 线的性质全部囊括