2021年高中数学第一章习题课1_正余弦函数的图象与性质课后习题含解析北师大版必修二.docx

5.2余弦函数的图象与性质再认识课后篇巩固提升基础达标练1.下列关于函数f(x)=cosxx的说法正确的是()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.非奇非偶函数{x|x≠0,x∈R},且f(-x)=cos(-x)-x =-cosxx=-f(x),故f(x)是奇函数.2.函数y=-cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为()A.π2,1 B.(π,1)C.(0,1)D.(2π,1)y=-cos x(x>0)的图象如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1).3.函数y=-3cos x+2的值域为()A.[-1,5]B.[-5,1]C.[-1,1]D.[-3,1]-1≤cos x≤1,所以-1≤-3cos x+2≤5,即值域为[-1,5].4.函数y=|cos x|的一个单调递减区间是()A.[-π4,π4]B.[π4,3π4]C.[π,3π2]D.[3π2,2π]y=|cos x|的图象(图略),由图象可知A,B都不是单调区间,D为单调递增区间,C为单调递减区间,故选C.5.函数y=cos x在区间[-π,a]上是增加的,则a的取值范围为.y=cos x 在区间[-π,0]上单调递增,所以-π<a ≤0.-π,0]6.cos 110°,sin 10°,-cos 50°的大小关系是 .sin10°=cos80°,-cos50°=cos(180°-50°)=cos130°,而y=cos x 在区间[0,π]上单调递减, 所以cos80°>cos110°>cos130°, 即sin10°>cos110°>-cos50°.°>cos 110°>-cos 50°7.方程2x =cos x 的实根有 .y=2x 与y=cos x 的图象(图略),可知两图象有无数个交点,即方程2x =cos x 有无数个实数根.8.已知函数y=3cos(π-x ),则当x= 时,函数取得最大值.当x= 时,函数取得最小值.3cos(π-x )=-3cos x ,当cos x=-1,即x=2k π+π,k ∈Z 时,y 有最大值3.x=2k π,k ∈Z 时,y 有最大值-3.k π+π,k ∈Z 2k π,k ∈Z9.画出函数y=cos x (x ∈R )的简图,并根据图象写出y ≥12时x 的集合.y=cos x 的简图,如图所示.过点(0,12)作x 轴的平行线,从图象中看出:在区间[-π,π]上,y=12与余弦曲线交于点(-π3,12),(π3,12),故在区间[-π,π]内,当y ≥12时,x 的集合为{x |-π3≤x ≤π3}.当x ∈R 时,若y ≥12,则x 的集合为x -π3+2k π≤x ≤π3+2k π,k ∈Z .能力提升练1.函数y=cos x+|cos x|,x ∈[0,2π]的大致图象为( )cos x+|cos x|={2cosx ,x ∈[0,π2]⋃[3π2,2π],0,x ∈(π2,3π2),根据选项,只有D 符合,故选D .2.在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x 的取值范围是 ( )A.π4,3π4B.π4,π2∪5π4,3π2C.π4,π2D.5π4,7π4解析因为sin x>|cos x|,所以sin x>0,所以x ∈(0,π),在同一平面直角坐标系中画出y=sin x ,x ∈(0,π)与y=|cos x|,x ∈(0,π)的图象,观察图象易得x ∈π4,3π4.3.(多选)关于三角函数的图象,有下列命题正确的是 ( )A.y=sin |x|与y=sin x 的图象关于y 轴对称B.y=cos(-x )与y=cos |x|的图象相同C.y=|sin x|与y=sin(-x )的图象关于x 轴对称D.y=cos x 与y=cos(-x )的图象关于y 轴对称B,y=cos(-x )=cos x ,y=cos |x|=cos x ,故其图象相同;对D,y=cos(-x )=cos x ,故其图象关于y 轴对称,由作图可知AC 均不正确.4.若函数y=2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是( ) A.4B.8C.2πD.4π,图形S 1与S 2,S 3与S 4都是对称图形,有S 1=S 2,S 3=S 4,因此函数y=2cos x 的图象与直线y=2所围成的图形面积等于矩形OABC 的面积.因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S 矩形=2×2π=4π.5.已知函数f (x )=cos x ,x ∈(π2,3π),若函数f (x )=m 有三个从小到大不同的实数根α,β,γ,且β2=αγ,则实数m 的值是( ) A .-12B .12C .-√22D .√22f (x )=m 有三个不同的实数根,则m ∈(-1,0),由题意知三个根分别为α,β,γ,且α<β<γ,则π2<α<β<3π2,5π2<γ<3π,且α+β=2π,β+γ=4π,又β2=αγ,所以β2=(2π-β)(4π-β),解得β=4π3,则m=f (4π3)=cos 4π3=-12,故选A .6.已知函数f (x )={cosx (-π≤x <0),sinx (0≤x ≤π).(1)作出该函数的图象; (2)若f (x )=12,求x 的值.作出函数f (x )={cosx (-π≤x <0),sinx (0≤x ≤π)的图象,如图①所示.①(2)因为f (x )=12,所以在图①基础上再作直线y=12,如图②所示,则当-π≤x<0时,由图象知x=-π3,当0≤x ≤π时,由图象知x=π6或x=5π6.②综上,可知x 的值为-π3或π6或5π6.素养培优练画出函数y=12cos x+12|cos x|的图象,并根据图象讨论其性质.y=12cos x+12|cos x|={cosx (cosx ≥0),0(cosx <0),利用五点法画出函数在[-π2,3π2]上的图象,如图所示.将图中的图象左右平移2k π(k ∈Z )个单位长度,即得函数y=12cos x+12|cos x|的图象(图略). 由图象可知函数具有以下性质: 定义域:R ; 值域:[0,1]; 奇偶性:偶函数;周期性:最小正周期为2π;单调性:在区间[2kπ,2kπ+π2](k ∈Z )上单调递减,在区间[2kπ-π2,2kπ](k ∈Z )上单调递增.。

2021年⾼中数学第⼀章5.1正弦函数的图象与性质再认识课后习题含解析北师⼤版必修⼆.docx§5正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识5.1正弦函数的图象与性质再认识课后篇巩固提升基础达标练1.(多选)关于正弦函数y=sin x的图象,下列说法正确的是()A.关于原点对称B.有最⼤值1轴有⼀个交点D.关于y轴对称y=sin x的图象如图所⽰.根据y=sin x,x∈R的图象可知A,B,C均正确,D错误.2.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的⼤致图象是(),函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的图象⼀定过点(0,1),(π2,0),(π,1),(3π2,2),(2π,1),故.3.(多选)在同⼀平⾯直⾓坐标系中,函数y=sin x,x∈[0,2π)与y=sin x,x∈[2π,4π)的图象()A.重合B.形状相同,位置不同C.两个正弦曲线关于点(2π,0)成中⼼对称,位置不同,可知y=sin x,x∈[0,2π)与y=sin x,x∈[2π,4π)的图象形状相同、位置不同,且两个正弦曲线关于点(2π,0)成中⼼对称.4.函数y=2+sin x,x∈(0,4π]的图象与直线y=2的交点的个数是()y=2+sin x,x∈(0,4π],直线y=2的图象(如图所⽰),可得两图象的交点共有4个,故选D.5.如图,曲线对应的函数是( )A .y=|sin x|B .y=sin |x| sin |x| D .y=-|sin x|x>0时,y=-sin x ;当x<0时,y=sin x.所以y=-sin |x|.y=√-2sinx 的单调递减区间是 .-2sin x ≥0,所以sin x ≤0,所以2k π-π≤x ≤2k π,k ∈Z ,所以函数的定义域是[2k π-π,2k π](k ∈Z ).因为y=√-2sinx 与y=sin x 的单调性相反, 所以函数的单调递减区间为[2kπ-π2,2kπ](k ∈Z ).-π2,2kπ](k ∈Z )7.不通过求值,⽐较下列各组中两个三⾓函数值的⼤⼩: (1)sin (-53π7)与sin (-59π8);(2)sin 500°与sin 530°.(-53π7)=sin 3π7,sin (-59π8)=sin 3π8.3π7<π2,y=sin x 在区间(0,π2)上单调递增,所以sin 3π7>sin 3π8,即sin (-53π7)>sin (-59π8).(2)sin500°=sin140°,sin530°=sin170°.因为90°<140°<170°<180°,y=sin x 在区间(90°,180°)上单调递减,所以sin140°>sin170°,即sin500°>sin530°.能⼒提升练1.函数f (x )=√-4sin (x +π)的定义域是( )A.RB.[0,+∞)C.[kπ,kπ+π2](k ∈Z ) D.[2k π,2k π+π](k ∈Z )(x )=√-4sin (x +π)=√4sinx ,由4sin x ≥0得sin x ≥0.因此2k π≤x ≤2k π+π(k ∈Z ). 2.定义在R 上的奇函数f (x )的周期是π,当x ∈[0,π2]时,f (x )=sin x ,则f (2021π3)的值为( )A.-12 B.12C.-√32D.√32(2021π33)=-f (π3)=-sin π3=-√32.3.已知α,β∈(0,π2),且cos α>sin β,则α+β与π2的⼤⼩关系是( )A.α+β>π2 B.α+β<π2 C.α+β≥π2D.α+β≤π2cos α>sin β,所以sin (π2-α)>sin β.⽽α,β∈(0,π2),所以π2-α∈(0,π2).由y=sin x 的单调性,知π2-α>β,所以α+β<π2.4.若函数y=sin x 在区间[0,a ]上单调递增,则a 的取值范围为 .y=sin x 的图象(图略)可知,函数y=sin x 在区间[0,π2]上单调递增,所以[0,a ]?[0,π2],所以02]素养培优练已知函数f (x )=lo g 12|sin x|.(1)求其定义域和值域; (2)判断奇偶性;(3)判断周期性,若是周期函数,求其最⼩正周期; .由|sin x|>0,得sin x ≠0,所以x ≠k π(k ∈Z ).所以函数的定义域为{x|x ≠k π,k ∈Z }.因为0<|sin x|≤1,所以lo g 12|sin x|≥0.所以函数的值域为{y|y ≥0}.(2)因为函数定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称,f(-x)=lo g1 2|sin(-x)|=lo g12|sin x|=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)因为f(x+π)=lo g12|sin(x+π)|=lo g12|sin x|=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且最⼩正周期是π. (4)当x∈(kπ,kπ+π2](k∈Z)时,t=|sin x|单调递增;当x∈[kπ-π2,kπ)(k∈Z)时,t=|sin x|单调递减.⼜函数y=lo g12t为减函数,所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-π2,kπ)(k∈Z);单调递减区间为(kπ,kπ+π。

新教材高中数学北师大版必修第二册：课后素养落实(七) 余弦函数的图象与性质再认识(建议用时：40分钟)一、选择题1．若函数f (x )＝3cos 12x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，则函数f (x )的最小值为( ) A ．32 B ．23 C ．22 D ．32A [∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3， ∴12x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6， ∴3cos 12x ≥32×3，即f (x )＝3cos 12x ≥32.]2．函数f (x )＝x 2cos x 的部分图象是( )A [∵f ()－x ＝(－x )2cos (－x )＝x 2cos x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，故排除B 、D.当x ＝π4时，y ＝π216cos π4＝2π232＞0，故排除C.]3．设M 和m 分别表示函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A ．23B ．－23C ．－43D ．－2D [∵y max ＝13－1＝－23，y min ＝13×(－1)－1＝－43，∴M ＋m ＝－23－43＝－2.]4．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象关于x 轴对称 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得到g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得到g (x )的图象D [因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2， 所以把f (x )的图象向右平移π2个单位，可得到g (x )的图象．]5．下列对y ＝cos x 的图象描述错误的是( )A ．在[]0，2π和[]4π，6π上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称 [答案] C 二、填空题6．y ＝cos x 在区间[]－π，a 上为增函数，则a 的取值范围是________．(]－π，0[结合y ＝cos x 的图象可知，a ≤0.]7．函数y ＝－2cos x ＋10取最小值时，自变量x 的取值集合是________．{} |x x ＝2k π，k ∈Z[当cos x ＝1，即x ＝2k π，k ∈Z 时，y 取得最小值8.]8．已知函数y ＝2cos x ，x ∈[]0，1000π的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．2 000π [如图，y ＝2cos x 的图象在[]0，2π上与直线y ＝2围成封闭图形的面积为S ＝4π，所以在[]0，1000π上封闭图形的面积为4π×500＝2 000π.]三、解答题9．求函数y ＝2－cos x 2＋cos x 的值域．[解] y ＝4－（2＋cos x ）2＋cos x ＝42＋cos x －1.∵－1≤cos x ≤1， ∴1≤2＋cos x ≤3， ∴13≤12＋cos x ≤1， ∴43≤42＋cos x≤4，∴13 ≤ 42＋cos x －1≤3，即13 ≤y ≤3. ∴函数y ＝2－cos x 2＋cos x 的值域为⎣⎡⎦⎤13，3. 10．判断方程||x ＝cos x 在R 内根的个数．[解] 在同一直角坐标系中作出函数y ＝||x 和y ＝cos x 的图象，如图．当x ＞π2时，y ＝|x |＞π2＞1，y ＝cos x ≤1.当x ＜－π2时，y ＝|x |＞π2＞1，y ＝cos x ≤1，所以两函数的图象只在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内有两个交点，所以||x ＝cos x 在R 内有两个根．11．(多选题)下列函数中，是周期函数的是( ) A ．y ＝|cos x | B ．y ＝cos |x | C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin |x |ABC [画出y ＝sin |x |的图象(图略)，易知D 选项不是周期函数．故选ABC.] 12．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0，2π]的大致图象为( )A BC DD [由题意得y ＝⎩⎨⎧2cos x ，0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π，0，π2<x <32π.显然只有D 合适．]13．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f (－15π4)＝________． 22 [∵T ＝3π2，∴f (－15π4)＝f (－15π4＋3π2×3)＝f (3π4)＝sin 3π4＝22.]14．当x ∈[]0，2π时，方程sin x ＝cos x 的解集是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，5π4 [在同一坐标系内画出y ＝sin x 和y ＝cos x ，x ∈[]0，2π的图象，如图，可得x ＝π4或x ＝5π4.]15．已知函数f (x )＝2a cos 2x －22a cos x ＋a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，而且函数f (x )的最大值为1，最小值为－5，求a ，b .[解] f (x )＝2a ⎝⎛⎭⎫cos x －222＋b 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2知，cos x ∈[0，1]. (1)当a >0时，当cos x ＝0时，f (x )取最大值a ＋b ； 当cos x ＝22时，f (x )取最小值b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b ＝－5 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝－5 . (2)当a <0时，当cos x ＝0时，f (x )取最小值a ＋b ； 当cos x ＝22时，f (x )取最大值b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－5b ＝1 ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝1.综上知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝－5 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝1 .。

1.6 余弦函数典题精讲1.为什么说：在同一坐标系中正、余弦函数的图像的形状相同，只是位置不同?剖析：很多同学观察它们的图像后，知道这一点，但是离开图像就产生怀疑.究其原因是通过观察、归纳得到的结论没有加以证明.其突破方法是数形结合，要从数和形两方面来分析. 我们知道函数的图像经过左右平移后，其形状未发生变化，但在坐标系中的位置变化了.类似于一个人从北京到纽约，这个人还是他本人，只是他的地理位置改变了.由平移变换，知函数f(x)=sinx 的图像向左平移2π个单位得函数f(x+2π)=sin(x+2π).根据诱导公式sin(x+2π）=cosx 知平移后的函数就是余弦函数f(x)=cosx 的图像，由此可见在同一坐标系中正、余弦函数的图像的形状相同，只是位置不同.由于sin(2kπ+2π+x)=cosx(k∈N )、sin(-2kπ-23π+x)=cosx(k∈N )，则将正弦函数的图像向左平移2kπ+2π(k∈N )个单位或向右平移2kπ+23π(k∈N )个单位均得到余弦函数的图像.通过数和形两方面来分析，就真正明确了其中的正、余弦函数图像的关系，有利于帮助我们解决问题.2.正、余弦函数的诱导公式如何记忆？剖析：诱导公式太多，记不住.其突破路径是从以下几个方面找出规律：函数名称怎样变化；这些角和角α有何共同特点；诱导公式右边的符号有什么变化规律.(1)-α，π±α，2π-α，2kπ+α(k∈Z )的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”.(2) 2π-α，2π+α的三角函数值，等于α的余名三角函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”. （3）这两套公式可以归纳为：k·2π+α(k∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇指k 的奇偶. 典题精讲例1根据余弦函数的图像，求满足cosx≥-21的x 的集合. 思路分析：在一个周期［-π,π］内，找出满足不等式的x ，再拓展到全体实数即可. 解：余弦函数在［-π,π］内的图像如图1-5-5所示.图1-5-5由图,得在［-π,π］内，-3π≤x≤3π. 则满足cosx≥-21的x 的集合是{x|2kπ-3π≤x≤2kπ+3π,k∈Z }. 绿色通道：利用余弦函数的图像可以解三角不等式，还可以求三角函数的周期.要善于利用余弦函数的图像即数形结合解决问题.黑色陷阱：如果在一个周期［0,2π］上，找出满足不等式的x ，再拓展到全体实数上，那么找出的范围是间断的，不是最简形式.要注意保持x 的范围具有“连续性”变式训练1在（0，2π）内，使sinx ＞cosx 成立的取值范围是（ ）A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π） C.（4π，45π） D.（4π，π）∪（45π，23π） 思路解析：利用单位圆或三角函数图像解决会比较简捷直观.方法一（图像法）：作出［0，2π）区间上的正弦和余弦的函数图像，如图1-5-6（1）所示，易知两交点的横坐标为4π和45π，可知C 正确.（1） （2）图1-5-6方法二（单位圆法）：如图1-5-6（2），在单位圆中作出第一、三象限的角平分线，由正弦线和余弦线可知应选C. 方法三（代入验证法）：当x=π时，sinπ=0＞cosπ=-1，即x=π符合题意，排除A 、B 、D.故选C.答案：C变式训练2函数y=|cosx|的周期是（ ）A.2πB.πC.2πD.4π 思路解析：画函数y=|cosx|的图像，如图1-5-7所示.图1-5-7由函数y=|cosx|的图像知周期为π.答案：B例2已知角α的终边经过点P （-5，12），求sinα,cosα.思路分析：分别写出x 、y 、r 的值，应用定义求解.解：由x=5，y=12，得r=22125+=13.∴sinα=r y =1312，cosα=r x =-135. 绿色通道：如果已知角的终边经过的一个点求三角函数值，通常应用三角函数的定义求解. 变式训练已知角α的终边经过点P （5t ，12t ），t≠0，求sinα,cosα.思路分析：应用三角函数的定义.解：由x=5t ，y=12t ，得r=22)12()5(t t +=13|t|.当t ＞0时，r=13t.因此sinα=1312，cosα=135； 当t ＜0时，r=-13t.因此sinα=-1312，cosα=-135. 例3（经典回放）设M 和m 分别是函数y=31cosx-1的最大值和最小值，则M+m 等于（ ） A.32 B.32- C.-34 D.-2 思路分析：只需据y=cosx 的性质（或图像）确定M 、m.由y=31cosx-1，且x∈R 可知y max =M=31-1=-32，y min =m=31--1=-34. ∴M+m=36-=-2. 答案：D绿色通道：解决y=Acosx+B 和y=Acos 2x+Bcosx+C 类型函数，要结合图像，利用换元法，并且正确理解运用余弦曲线的性质解决问题.变式训练1函数y=cos 2x-3cosx+2的最小值为（ ） A.2 B.0 C.41-D.6 思路解析：利用换元法化归为求二次函数的最小值.设cosx=t,-1≤t≤1，则有y=t 2-3t+2=(t-23)241-.画图可知，当t=1时，函数y=cos 2x-3cosx+2取最小值0. 答案：B变式训练2(2006北京高考卷，文2)函数y=1+cosx 的图像（ ）A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=2π对称 思路解析：函数y=1+cosx 是偶函数，其图像关于y 轴对称.答案：B问题探究问题求适合条件cosx=23的角x 的集合. 导思：要求角x 的集合，必须明确怎样表示角x 的余弦值.我们知道余弦线表示余弦值，余弦函数的图像能反映余弦值的大小，由此探究的思路有两条，思路一：图像法，利用余弦函数的图像；思路二：利用余弦线.探究：方法一（图像法）：如图1-5-8所示，在同一坐标系中画出余弦函数y=cosx 的图像和直线y=23，则函数y=cosx 的图像和直线y=23交点的横坐标就是适合条件cosx=23的角x.图1-5-8在一个周期［-π,π］内，有x=±3π.所以适合条件cosx=23的角x=2kπ±3π (k∈Z )， 即角x 的集合是{x|x=2kπ±3π (k∈Z )}. 方法二（利用余弦线）：如图1-5-9所示.由于cosx=23，则角x 的余弦线的方向向右，长度为23.图1-5-9由图可知角x 的终边与±3π的终边相同， 所以适合条件cosx=23的角x 的集合是{x|x=2kπ±3π(k∈Z )}.。

课时分层作业(七) 余弦函数的图像与性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．对余弦函数y ＝cos x 的图像，有如下描述：①向左向右无限延伸；②与y ＝sin x 的图像形状完全一样，只是位置不同；③与x 轴有无数多个交点；④关于y 轴对称．其中正确的描述有( )A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 D [由余弦函数的图像(图略)知①②③④均正确．] 2．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期是( ) A.2k π(k ∈Z ) B ．3π C ．π D ．2πC [∵函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致， 由函数y ＝|cos x |的图像知其最小正周期为π， ∴y ＝|cos x |－1的最小正周期也是π，故选C.] 3．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π C [函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上y ＝|cos x |是减少的．]4．从函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像来看，对应于cos x ＝12的x 有( )A.1个值 B ．2个值 C ．3个值 D ．4个值B [由于函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝12有且只有两个交点，所以选B.]5．函数y ＝x 2cos x 的部分图像是( )A B C DA [设f (x )＝x 2cos x ，f (－x )＝(－x )2cos (－x )＝x 2cos x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故排除B ，D.当x ＝π4时，y ＝π216cos π4＝2π232＞0，故排除C.]二、填空题6．设P ，Q 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则P ＋2Q ＝________．－103[∵－1≤cos x ≤1， ∴y max ＝13×1－1＝－23，y min ＝13×(－1)－1＝－43，∴P ＋2Q ＝－23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－103.]7．比较大小：cos 15π8________sin π18.> [∵cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8，sin π18＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π18＝cos 4π9.而0<π8<4π9<π2，∴cos π8>cos 4π9，即cos 15π8>sin π18.]8．函数f (x )的定义域为[0，1]，则函数f (cos x )的定义域为______.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z ) [∵f (x )的定义域为[0，1]，∴0≤cosx ≤1，∴－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z .]三、解答题9．画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值； (2)讨论此函数的单调性． [解] 按五个关键点列表如下，(1)当cos x ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3＋2＝5，当cos x ＝－1，即x ∈{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }时，y min ＝3－2＝1.(2)令t ＝cos x ，则y ＝3＋2t ，因为函数y ＝3＋2t ，当t ∈R 时是增加的，所以当x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是增加的，y ＝3＋2cos x 也是增加的，当x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是减少的，y ＝3＋2cos x 也是减少的．10．求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝1－2cos x ； (2)y ＝lg (2cos x －3).[解] (1)由题意，得1－2cos x ≥0，所以cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z ).所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3，k ∈Z .因为－1≤cos x ≤1，所以－2≤－2cos x ≤2， 所以－1≤1－2cos x ≤3，又y ＝1－2cos x ≥0， 所以原函数的值域为[0，3].(2)由题意，得2cos x －3＞0，所以cos x ＞32，结合y ＝cos x 的图像(如图)可得：－π6＋2k π＜x ＜π6＋2k π(k ∈Z ).所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π6＋2k π＜x ＜π6＋2k π，k ∈Z .因为－1≤cos x ≤1，所以－2－3≤2cos x －3≤2－ 3. 因为y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数．所以y ＝lg (2cos x －3)的值域为(－∞，lg (2－3)).1．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0，2π]的大致图像为( )A B C DD [y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，故选D.]2．已知函数f (x )＝cos (x ＋φ)为奇函数，则φ的一个取值为( ) A.π4 B ．π3 C ．0 D ．π2D [当φ＝π2时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ，其定义域为R ，且f (－x )＝－sin (－x )＝sin x ＝－f (x )，f (x )为奇函数．]3．若cos x ＝2m ＋3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，则m 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3时，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 由2m ＋3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1.]4．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin (2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意可得两个函数图像有一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，又0≤φ≤π，解得φ＝π6.]5．已知函数y ＝12cos x －12|cos x |.(1)画出函数的图像；(2)由图像判断函数的奇偶性，周期性；(3)求出该函数的单调递减区间． [解] (1)y ＝12cos x －12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2（k ∈Z ），cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π（k ∈Z ）.函数图像如图所示：(2)由图像可知，函数图像关于y 轴对称，故该函数为偶函数， 函数图像每隔2k π(k ∈Z )重新出现，故为周期函数． (3)该函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z ).。

5.2 余弦函数的图象与性质再认识课后训练巩固提升1.设M 和m 分别是函数y=13cos +m 等于( ).A.23B.-23C.-43D.-22.函数y=cosx-2在x ∈[-π,π]上的图象是( ).3.已知函数f(x)=x 2+cos x,若x 1+x 2=0,则( ). A.f(x 1)<f(x 2) B.f(x 1)>f(x 2) C.f(x 1)+f(x 2)=0 D.f(x 1)-f(x 2)=04.设f(x)是定义域为R,最小正周期为3π2的函数,若f(x)={cosx ,-π2≤x ≤0,sinx ,0<x ≤π,则f (-15π4)的值等于( ).A.1B.√22C.0D.-√225.函数y=|cosx|的一个单调递减区间是( ).A.[-π4,π4] B.[π4,3π4]C.[π,3π2] D.[3π2,2π]6.(多选题)关于函数f(x)=1+cos x,x∈(π3,2π)的图象与直线y=t(t为常数)的交点情况,下列说法正确的是( ).A.当t<0或t≥2时,有0个交点B.当t=0或32≤t<2时,有1个交点C.当0<t≤32时,有2个交点D.当0<t<2时,有2个交点7.已知函数f(x)=sin(x-π2)(x∈R),下列结论错误的是( ).A.函数f(x)的最小正周期是2πB.函数f(x)在区间[0,π2]上单调递增C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数8.在区间(0,2π)内使sin x>|cosx|成立的实数x的取值范围是( ).A.(π4,3π4) B.(π4,π2)∪(5π4,3π2]C.(π4,π2)D.(5π4,7π4)9.方程x 2=cosx 的实数解的个数为 . 10.比较大小:cos15π8cos14π9.11.已知函数y=cosx 在区间[-π,a]上单调递增,则a 的取值范围是 .12.函数y=lg(2cos x-√3)的定义域是 . 13.若方程cosx=2m+3,的取值范围是 . 14.画出函数y=3+2cos x 的简图.(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合,并分别写出最大值、最小值;(2)讨论此函数的单调性.15.已知函数y=12cos x-12|cosx|.(1)画出函数的图象;(2)由图象判断函数的奇偶性、周期性; (3)求出该函数的单调递减区间. 答案：1.D 由题意可知,函数的最大值M=13-1=-23,最小值m=-13-1=-43,所以M+m=-2.2.A 把y=cosx,x ∈[-π,π]的图象向下平移2个单位长度即可.3.D 由f(x)=x 2+cos x,则f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x 2+cos x=f(x),所以函数为偶函数,又x 1+x 2=0,则x 1=-x 2,所以f(x 1)-f(x 2)=x 12+cosx 1-(x 22+cosx 2)=(-x 2)2+cos(-x 2)-(x 22+cosx 2)=x 22+cosx 2-(x 22+cosx 2)=0.4.B f (-15π4)=f [32π×(-3)+34π]=f34π=sin 34π=√22.5.C 作出函数y=|cosx|的图象,由图象可知选项中只有区间[π,3π2]为单调递减区间,故选C.6.AB 画出函数f(x)的图象如图所示.对于选项A,当t<0或t≥2时,有0个交点,故A 中说法正确.对于选项B,当t=0或32≤t<2时,有1个交点,故B 中说法正确.对于选项C,当t=32时,只有1个交点,故C 中说法错误.对于选项D,当32≤t<2时,只有1个交点,故D 中说法错误.7.D f(x)=sin (x -π2)=-sin (π2-x)=-cosx.∵y=cosx的最小正周期T=2π,∴A正确;∵y=cosx在区间[0,π2]上单调递减,∴f(x)=-cosx在区间[0,π2]上单调递增,故B正确;∵y=cosx的图象关于y轴对称,∴f(x)=-cosx的图象也关于y轴对称,故C正确;∵y=cosx是偶函数,∴f(x)=-cosx也是偶函数,故D错误.8.A ∵sin x>|cosx|,∴sin x>0,∴x∈(0,π).在同一坐标系中画出y=sin x,x∈(0,π)与y=|cosx|,x∈(0,π)的图象,观察图象易得x∈(π4,3π4).9.2 作出函数y=x2与y=cosx的图象(如图),由图象可知y=x2与y=cosx 的图象有两个交点,故方程x2=cosx有两个解.10.> ∵cos15π8=cos(2π-π8)=cosπ8,cos14π9=cos(2π-4π9)=cos4π9,而0<π8<4π9<π2,又y=cosx 在区间(0,π2)上单调递减,∴cos π8>cos 4π9,即cos15π8>cos14π9.11.(-π,0] 因为y=cosx 在区间[-π,0]上单调递增,在区间[0,π]上单调递减,所以只有-π<a≤0时满足条件,故a ∈(-π,0].12.{x |-π6+2kπ<x <π6+2kπ,k ∈Z} 由题意,得2cos x-√3>0,故cosx>√32,结合y=cosx 的图象(如图)可得,-π6+2kπ<x<π6+2kπ(k∈Z).故原函数的定义域为{x |-π6+2kπ<x<π6+2kπ,k∈Z}.13.[-54,-1] 当∈[-54,-1].14.解按五个关键点列表如下,描点、连线画出图象(如图).(1)当cosx=1,即x ∈{x|ax =3+2=5,当cosx=-1,即x ∈{x|in =3-2=1. (2)令t=cosx,则y=3+2t,因为函数y=3+2t 是增函数,所以当x ∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z)时,函数y=cosx 单调递增,y=3+2cos x 也是单调递增的.当x ∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)时,函数y=cosx 单调递减,y=3+2cos x 也是单调递减的.15.解(1)y=12cos x-12|cosx|={0,x ∈(2kπ-π2,2kπ+π2](k ∈Z ),cosx ,x ∈(2kπ+π2,2kπ+32π](k ∈Z ).函数图象如图所示:(2)由图象可知,函数图象关于y 轴对称,故该函数为偶函数,函数图象每隔2kπ(k∈Z)重新出现,故为周期函数.(3)该函数的单调递减区间为[2kπ+π2,2kπ+π](k ∈Z).。

6．1 余弦函数的图像 6．2 余弦函数的性质 填一填1.余弦函数图像的画法 (1)变换法：y ＝sin x 图像向左平移________个单位即得y ＝cos x 的图像．(2)五点法：利用五个关键点________，________，________，________，________画出[0,2π]上的图像，再左右扩展即可．2．余弦函数的性质函数 性质余弦函数y ＝cos x 图像定义域 R值域 [－1,1]最值 当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性 是周期函数，最小正周期为________奇偶性 是偶函数，图像关于y 轴对称单调性在[(2k －1)π，2k π](k ∈Z )上是________的在[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上是________的判一判1.当余弦函数y ＝cos x 取最大值时，x ＝π＋2k π，k ∈Z .( )2．函数y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数．( ) 3．余弦函数的图像分别向左、右无限延伸．( )4．y ＝cos x 的定义域为[0,2π]．( )5．余弦函数y ＝cos x 是偶函数，图像关于y 轴对称，对称轴有无数多条．( )6．余弦函数y ＝cos x 的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形．( )7．函数y ＝a cos x (a ≠0)的最大值为a ，最小值为－a .( )8．函数y ＝cos x (x ∈R )的图像向左平移π2个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图像，那么g (x )＝－sin x ．(想一想1.提示：(1)平移法：这种方法借助诱导公式，先将y ＝cos x 写成y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，然后利用图像平移得到y ＝cos x 的图像．(2)“五点法〞：在函数图像特征的情况下，描出函数图像的关键点，画出草图．这种方法对图像的要求精度不高，是比拟常用的一种画图方法．余弦函数除以上两种常见的画图方法外，还有其他的作图方法(如与正弦函数类似的几何法等)．2．如何理解余弦函数的对称性？提示：(1)余弦函数是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的交点，此时的余弦值为0. (2)余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程为x ＝kx (k ∈Z )，即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值取得最大值或最小值．思考感悟：练一练1.函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( )A.π3 B ．3π C.2π3 D.3π22．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 3．用“五点法〞作出函数y ＝3－cos x 的图像，以下点中不属于五点作图中的五个关键点的是( )A ．(π，－1)B ．(0,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3 4．函数y ＝－3cos x ＋2的值域为( )A ．[－1,5]B ．[－5,1]C ．[－1,1]D ．[－3,1]知识点一 用“五点法〞作函数的图像1.作出函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的图像．2．画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．知识点二 与余弦函数有关的定义域问题3.求y ＝32－cos x 的定义域． 4．求函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域．知识点三 余弦函数的单调性及应用5.求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，3π2的单调区间和最值． 6．比拟cos 26π3与cos ⎝⎛⎭⎪⎫－13π3的大小． 综合知识 余弦函数值域(最值)问题7.求以下函数的最值．(1)y ＝－cos 2x ＋cos x ；(2)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3.。

5．2 正弦函数的性质知识点正弦函数的图像和性质[填一填][答一答]1．“正弦函数在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什么？提示：不正确．事实上，“第一象限”是由所有的区间(2k π，2k π＋π2)(k ∈Z )构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着x 值的增大而增大的．2．学习正弦函数的单调性有什么作用？提示：(1)比较三角函数值的大小．解决这类问题时，要先把所比较的三角函数值转化成同一单调区间内的角的同名三角函数值，再比较大小；也可以先转化成与锐角的三角函数值相关的形式，再比较大小．(2)求三角函数的单调区间．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ，ω>0的函数，可把ωx ＋φ视为一个整体，按复合函数单调性的判定方法，结合正弦函数的单调性，直接写出ωx ＋φ的单调区间，再解关于x 的不等式即可．(3)借助正弦函数的图像解三角不等式．对于可化为形如sin(ωx ＋φ)≥a (ω>0)或sin(ωx ＋φ)<a (ω>0)的正弦函数不等式，可把ωx ＋φ视为一个整体，借助y ＝sin x ，x ∈R 的图像和单调性，先在长度为2π的一个周期上找出适合条件的区间，然后两边加上2k π，k ∈Z ，把它扩展到整个定义域上，最后解关于x 的不等式，便可求出x 的解．1．对周期函数定义的五点说明 (1)T 是非零常数．(2)任意x ∈D ，都有x ＋T ∈D ，T ≠0，所以周期函数的定义域一定是无界的． (3)任取x ∈D ，就是取遍D 中的每一个x ，所以周期性是函数在定义域上的整体性质．理解定义时，要抓住每一个x 都满足f (x ＋T )＝f (x )成立才行．若只有个别x 满足f (x ＋T )＝f (x )，不能把T 看作周期，如sin(π4＋π2)＝sin π4，但sin(π3＋π2)≠sin π3，所以π2不是y ＝sin x 的周期． (4)周期也可递推，若T 是y ＝f (x )的周期，那么2T 也是y ＝f (x )的周期．这是因为f (2T ＋x )＝f [T ＋(T ＋x )]＝f (T ＋x )＝f (x )，所以若T 是y ＝f (x )的周期，k ∈Z 且k ≠0，则kT 也是f (x )的周期．(5)并不是所有的函数都是周期函数． 2．对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数，这个正数是对x 而言的，如y ＝sin 2x 的最小正周期是π，因为y ＝sin(2x ＋2π)＝sin 2(x ＋π)，即π是使函数值重复出现的自变量x 加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x .(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f (x )＝C ，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期.类型一 求函数的定义域【例1】 求下列函数的定义域． (1)y ＝2sin x ＋1；(2)y ＝sin x ＋25－x 2.【思路探究】 (1)满足2sin x ＋1≥0的x 的取值集合，即满足sin x ≥－12的x 的取值集合．(2)可转化为解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，25－x 2≥0，先将满足两个不等式的x 的范围解出，再借助数轴求交集．【解】 (1)由题意可知2sin x ＋1≥0，故sin x ≥－12.因为在一个周期⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上符合条件的角的范围为⎣⎡⎦⎤－π6，7π6，所以该函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋7π6(k ∈Z )． (2)根据函数关系式可得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，25－x 2≥0，∴{2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，－5≤x ≤5.如图，可得该函数的定义域为[－5，－π]∪[0，π]．规律方法 正弦函数y ＝sin x 的定义域为R ，但在求由它们与其他函数复合而成的函数的定义域时，可由关系式有意义得到关于正弦函数的三角不等式(组)．而解三角不等式(组)，可以利用基本三角函数的图像或单位圆中三角函数线．求函数y ＝2sin x ＋3的定义域．解析：要使函数有意义，只需2sin x ＋3≥0，即sin x ≥－32. 如图所示，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3.所以该函数的定义域是⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z . 类型二 求函数的值域【例2】 求下列函数的值域．(1)y ＝3－3sin x ；(2)y ＝－|sin x|+sin x ；(3)y ＝sin 2x －2sin x ＋1. 【思路探究】 充分利用sin x 的有界性及二次函数区间最值求解． 【解】 (1)∵－1≤sin x ≤1， ∴－3≤－3sin x ≤3，∴0≤－3sin x ＋3≤6，∴y ∈[0,6]． (2)当sin x ≥0时，y ＝0， 当sin x <0时，y ＝2sin x ， ∴y ∈[－2,0)，∴函数的值域为[－2,0]． (3)y ＝(sin x －1)2，∵sin x ∈[－1,1]，∴sin x －1∈[－2,0]， ∴(sin x －1)2∈[0,4]，∴y ∈[0,4]．规律方法 函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，x ∈D 型函数可以通过换元，令t ＝sin x 化为二次函数，用配方法求其值域，但求解过程中一定要注意中间变量的取值范围，是一个有条件的二次函数求最值问题．求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈[π6，5π6]的值域．解：令t ＝sin x ，因为x ∈[π6，5π6]，所以12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.∴y ＝2t 2＋2t －12＝2(t ＋12)2－1，t ∈[12，1]，且该函数在[12，1]上单调递增．∴f (x )的最小值为f (12)＝1，最大值为f (1)＝72.∴f (x )的值域为[1，72]．类型三 求函数的单调区间【例3】 求函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间．【思路探究】 设u ＝sin x ，先由sin x >0得出x 的范围，再利用y ＝log 12u 的单调性求解．【解】 由sin x >0得2k π<x <2k π＋π，k ∈Z ，∵12<1，∴函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间即为u ＝sin x 的单调递减区间． ∴2k π＋π2≤x <2k π＋π，k ∈Z ，故函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间为：[2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z .规律方法 求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性．求函数y ＝2sin(π4－x )的单调递增区间．解：∵y ＝2sin(π4－x )＝－2sin(x －π4)，∴函数y ＝2sin(π4－x )的单调递增区间就是函数u ＝2sin(x －π4)的单调递减区间．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )．得2k π＋34π≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(π4－x )的单调递增区间为：[2k π＋34π，2k π＋7π4](k ∈Z )．类型四 判断函数的奇偶性【例4】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)；(2)f (x )＝1－sin x ＋sin x －1.【思路探究】 首先判断所给函数的定义域是否关于原点对称，其次用定义直接判断函数的奇偶性．【解】 (1)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)＝－cos 3x4，x ∈R .又f (－x )＝－cos(－3x 4)＝－cos 3x4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin(3x 4＋3π2)是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ≥0，sin x －1≥0，得sin x ＝1，所以f (x )＝0，x ∈{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }，定义域不关于原点对称． 所以函数f (x )＝1－sin x ＋sin x －1是非奇非偶函数．规律方法 判断函数的奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称，如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．判断函数f (x )＝x sin(π＋x )的奇偶性． 解：∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ， ∴f (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x .即f (－x )＝f (x )，又f (x )的定义域为R ，∴f (x )为偶函数．类型五 利用正弦函数的单调性比较大小【例5】 比较下列各组数的大小． (1)sin π4和sin 2π3；(2)sin(－π18)和sin(－π10)；(3)sin 215π和sin 42π5；(4)sin194°和cos160°.【思路探究】 变形主要有两种：一是异名函数化为同名函数；二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上．【解】 (1)sin 2π3＝sin(π－π3)＝sin π3.∵0<π4<π3<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上单调递增，∴sin π4<sin π3，即sin π4<sin 2π3.(2)∵－π2<－π10<－π18<0，且y ＝sin x 在区间[－π2，0]上单调递增，∴sin(－π18)>sin(－π10)．(3)sin 215π＝sin(4π＋π5)＝sin π5，sin42π5＝sin(8π＋2π5)＝sin 2π5. ∵0<π5<2π5<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上单调递增，∴sin π5<sin 2π5，即sin 215π<sin 425π.(4)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°， cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上单调递增，∴sin14°<sin70°，∴－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.规律方法 比较三角函数值大小的关键是利用诱导公式将三角函数式化成同名函数并将角转化到同一单调区间上，然后利用三角函数的单调性进行比较．比较下列各组中两个三角函数值的大小． (1)sin250°与sin260°；(2)sin(－54π7)与sin(－63π8)．解：(1)∵sin250°＝sin 25π18，sin260°＝sin 26π18，y ＝sin x 在(π，3π2)上为减函数，∴sin25π18>sin 26π18，即sin250°>sin260°. (2)sin(－54π7)＝sin(－8π＋2π7)＝sin 2π7，sin(－63π8)＝sin(－8π＋π8)＝sin π8，∵π2>2π7>π8>0，∴sin 2π7>sin π8， 即sin(－54π7)>sin(－63π8).——易错警示—— 忽略y ＝sin x 的有界性导致错误【例6】 已知sin x ＋sin y ＝13，求sin y －cos 2x 的最大值．【错解】 ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x ，∴sin y －cos 2x ＝13－sin x －(1－sin 2x )＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112.∵－1≤sin x ≤1，∴当且仅当sin x ＝－1时，sin y －cos 2x 取得最大值43.【正解】 ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x .又－1≤sin y ≤1，∴－1≤13－sin x ≤1，又－1≤sin x ≤1，∴－23≤sin x ≤1.∴sin y －cos 2x ＝13－sin x －(1－sin 2x )＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112，∴当且仅当sin x ＝－23时，sin y －cos 2x 取得最大值49.【错解分析】 求三角函数值时，许多三角函数式本身隐含了一些条件，在解题过程中若不挖掘出来，就会出现错误．求函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域．解：令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，∴y ＝t 2＋t －1＝(t ＋12)2－54，t ∈[－1,1]，∴t ＝－12，即sin x＝－12，x ＝2k π－π6或2k π－56π(k ∈Z )时，y min ＝－54， 当t ＝1，即sin x ＝1，x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1.∴原函数的值域为⎣⎡⎦⎤－54，1.一、选择题1．函数y ＝2－sin x 的最大值及相应的x 的值为( C ) A ．y ＝3，x ＝π2B ．y ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：当sin x ＝－1时，y 有最大值3， 此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )．2．函数y ＝9－sin x 的单调递增区间是( B ) A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )C ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z )D ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )解析：y ＝9－sin x 的单调递增区间与y ＝sin x 的单调递减区间相同． 3．下列函数是偶函数的是( D ) A ．y ＝sin x B ．y ＝－2sin x C ．y ＝1＋sin xD ．y ＝|sin x |解析：选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数，对选项D ，f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |＝f (x )，故为偶函数．二、填空题4．函数y ＝1sin x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z }．解析：要使函数有意义，则须sin x ≠0，所以x ≠k π，k ∈Z .即定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z }．5．函数y ＝1－2sin x 取最大值时，自变量x 的值组成的集合是{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }．解析：当函数y ＝1－2sin x 取最大值时，sin x ＝－1，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )．三、解答题6．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2＋sin x ；(2)y ＝－3sin x .解：(1)根据正弦函数y ＝sin x 的定义域为R ，值域为[－1，1]，得所求函数的定义域为R ，值域为[1,3]．(2)要使函数y ＝－3sin x 有意义，必须使－3sin x ≥0，即sin x ≤0，解得2k π－π≤x ≤2k π，k ∈Z .∵0≤－3sin x ≤3，∴0≤y ≤ 3.故所求函数的定义域为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ；值域为[0，3]．。

第一章 三角函数[课时作业] [A 组 基础巩固]1．函数y ＝－x cos x 的部分图像是( )解析：∵y ＝－x cos x 是奇函数，∴图像应关于原点对称，故排除A 、C 两项．又x ∈(0，π2)时，y＝－x cos x ＜0，故选D. 答案：D2．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图像和直线y ＝12的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2＝sin x2. ∵x ∈[0,2π]，∴x2∈[0，π]，取关键点列表如下：x 0 π 2π x 2 0 π2 π sin x 210 ∴y ＝sin x 2，x ∈[0,2π]的图像如图．由图可知y ＝sin x 2，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝12有两个交点．答案：C3．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( ) A ．cos 0＜cos 12＜cos 1＜cos 30°＜cos πB ．cos 0＜cos π＜cos 12＜cos 30°＜cos 1C ．cos 0＞cos 12＞cos 1＞cos 30° ＞cos πD ．cos 0＞cos 12＞cos 30°＞cos 1＞cos π解析：在[0，π2]上，0＜12＜π6＜1，又余弦函数在[0，π2]上是减少的，所以cos 0＞cos 12＞cos π6＞cos 1＞0.又cos π＜0，所以cos 0＞cos 12＞cos π6＞cos 1＞cos π.答案：D4．设M 和m 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A.23 B ．－23C ．－43D ．－2解析：需根据y ＝cos x 的性质(或图像)确定M 、m .由y ＝13cos x －1，可知y max ＝M ＝13－1＝－23，y min ＝m ＝－13－1＝－43.所以M ＋m ＝－2.答案：D5．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x ＜cos x ，下列命题中正确的是( )A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，函数取得最大值1C ．当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z)时，函数取得最大值－1D ．当且仅当2k π＋π＜x ＜2k π＋3π2(k ∈Z)时，f (x )＜0解析：画出函数f (x )的图像(图略)，由图像容易看出：该函数的值域是⎣⎡⎦⎤－22，1；当且仅当x ＝2k π＋π2或x ＝2k π，k ∈Z 时，函数取得最大值1；当且仅当x ＝2k π＋5π4，k ∈Z 时，函数取得最小值－22；当且仅当2k π＋π＜x ＜2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )＜0，可知A ，B ，C 不正确，故选D. 答案：D6．函数y ＝|cos x |的最小正周期是________．解析：画出y ＝cos x 的图像，把位于x 轴下方的图像关于x 轴翻折后，可得到y ＝|cos x |的图像，可知周期为π. 答案：π7．函数f (x )＝lg(1＋2cos x )的定义域是________．解析：由条件知1＋2cos x ＞0，即1≥cos x ＞－12，解得2k π－2π3＜x ＜2k π＋2π3，k ∈Z.从而定义域为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z)． 答案：⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，2π3＋2k π(k ∈Z) 8．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．解析：作出函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像，如图所示，由图像可知原方程有两个实数解．答案：29．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2－cos x ；(2)f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ·b ≠0)．解析：(1)∵x ∈R ，又f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)∵x ∈R ，又f (－x )＝a sin(－x )＋b cos(－x ) ＝－a sin x ＋b cos x ，∴f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )， ∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． 10．求函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的值域． 解析：y ＝cos 2x －3cos x ＋2＝(cos x －32)2－14.∵－1≤cos x ≤1，y 关于cos x 是单调递减的， ∴当cos x ＝－1时，y max ＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6； 当cos x ＝1时，y min ＝1－3×1＋2＝0.故此函数的值域是[0,6]．[B 组 能力提升]1．函数y ＝ln cos x (－π2＜x ＜π2)的图像是( )解析：∵－π2＜x ＜π2，∴0＜cos x ＜1，ln cos x ＜0，图像应在x 轴下方．答案：A2．在(0,2π)内使sin x ＞|cos x |成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4解析：∵sin x ＞|cos x |，∴sin x ＞0，∴x ∈(0，π)．在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图像，如图．观察图像易得使sin x ＞|cos x |成立的x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，故选A. 答案：A3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，x ∈[0,2π]，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，sin x ≥cos x ，sin x ，sin x ＜cos x .作出区间[0,2π]内f (x )的图像，如图．由f (x )的图像可得f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 4．若cos x ＝1－m 2m ＋3，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，则m 的取值范围是________． 解析：由y ＝cos x 的图像可知，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3时y ＝cos x 的值域为⎣⎡⎦⎤12，1，所以12≤1－m2m ＋3≤1，解之得－23≤m ≤－14.答案：[－23，－14]5．求下列函数的最大值和最小值： (1)y ＝3－2cos(x ＋π)； (2)y ＝cos x －2cos x －1.解析：(1)∵y ＝3－2cos(x ＋π)＝3＋2cos x ， ∴－1≤cos x ≤1，∴3－2≤y ≤3＋2，即1≤y ≤5， ∴y max ＝5，y min ＝1.(2)解法一 (利用分子常数化)：∵y ＝cos x －2cos x －1＝cos x －1－1cos x －1＝1＋11－cos x ，∴当cos x ＝－1时，y min ＝1＋12＝32，无最大值．解法二 (利用函数有界性)：由y ＝cos x －2cos x －1，得cos x ＝y －2y －1.又∵－1≤cos x ≤1，∴|y －2y －1|≤1，∴|y －2|≤|y －1|， ∴y 2－4y ＋4≤y 2－2y ＋1，∴2y ≥3，∴y ≥32，∴y min ＝32，无最大值，此时，cos x ＝－1.∴y min ＝32.6．阅读如图所示的流程图．若记y ＝f (x )， (1)写出y ＝f (x )的解析式，并求函数的值域； (2)若x 0满足f (x 0)＜0，且f (f (x 0))＝1，求x 0.解析：(1)f (x )＝⎩⎨⎧x 2(x ≤0)2cos x (0＜x ＜π)x 3(x ≥π)当x ≤0时，f (x )＝x 2∈[0，＋∞)； 当0＜x ＜π时f (x )＝2cos x ∈(－2,2)； 当x ≥π时f (x )＝x 3∈[π3，＋∞)．综上可知：函数f (x )的值域为(－2，＋∞)． (2)∵f (x 0)＜0，∴f (f (x 0))＝[f (x 0)]2＝1，∴f (x 0)＝－1， ∴f (x 0)＝2cos x 0＝－1， ∴cos x 0＝－12.又由f (x 0)＜0知π2＜x 0＜π，∴x 0＝2π3.。