第2章金属塑性变形的物性方程

30 第2章 金属塑性变形的物性方程 物性方程又称本构方程，是关系的数学表达形式。弹性变形阶段有广义Hooke定律，而塑性变形则较为复杂。在单向受力状态下，可由实验测定曲线来确定塑性本构关系。但在复杂受力情况下实验测定困难，因此只能在一定的实验结果基础上，通过假设、推理，建立塑性本构方程。为了建立塑性本构方程，首先需弄清楚塑性变形的开始条件——屈服，以及进入塑性变形后的加载路径等问题。

§2.1 金属塑性变形过程和力学特点 2.1.1 变形过程与特点 以单向拉伸为例说明塑性变形过程与特点，如图2-1所示。金属变形分为弹性、均匀塑性变形、破裂三个阶段。塑性力学视s为弹塑性变形的分界点。当s时，与存在统一的关系，即E。 当s以后，变形视作塑性阶段。

是非线性关系。当应力达到b之后，

变形转为不均匀塑性变形，呈不稳定状态。b

点的力学条件为0d或dP=0。经短暂的不稳定变形，试样以断裂告终。 若在均匀塑性变形阶段出现卸载现象，一部分变形得以恢复，另一部分则成为永久变形。卸载阶段呈线性关系。这说明了塑性变形时，弹性变形依然存在。弹塑性共存与加载卸载过程不同的关系是塑性变形的两个基本特征。 由于加载、卸载规律不同，导致关系不唯一。只有知道变形历史，才能得到一一对应的关系，即塑性变形与变形历史或路径有关。这是第3个重要特征。 事实上，s以后的点都可以看成是重新加载时的屈服点。以g点为例，若卸载则关系为弹性。卸载后再加载，只要g点，关系仍为弹性。一旦超过g点，呈非线性关系，即g点也是弹塑性变形的交界点，视作继续屈服点。一般有

sg

，这一现象为硬化或强化，是塑性变形的第4个显著特点。

在简单压缩下，忽略摩擦影响，得到的压缩s与拉伸s基本相同。但是若将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先压后拉也有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的现象称作Bauschinger效应。这是金属微观组织变化所致。一般塑性理论分析不考虑Bauschinger效应。 Bridgman等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试验。结果表明：静水压力只引起

图2-1 应力应变曲线 31

物体的体积弹性变形，在静水压力不很大的情况下（与屈服极限同数量级）所得拉伸曲线与简单拉伸几乎一致，说明静水压力对塑性变形的影响可以忽略。

2.1.2 基本假设 （1）材料为均匀连续，且各向同性。 （2）体积变化为弹性的。塑性变形时体积不变。 （3）静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性变化。 （4）不考虑时间因素，认为变形为准静态。 （5）不考虑Banschinger效应。

§2.2 塑性条件方程 塑性条件是塑性变形的起始力学条件。 2.2.1 屈服准则 单向拉伸时，材料由弹性状态进入塑性状态时的应力值称为屈服应力或屈服极限，它是初始弹塑性状态的分界点。复杂应力状态下的屈服怎样表示？一般说来，它可以用下列式表示：

,,,,(Ttfijij

S）=0

其中ij为应力张量，ij为应变张量，t为时间，T为变形温度，S为变形材料的组织（Structure）特性。对于同一种材料，在不考虑时间效应及接近常温的情形下，t与T对塑性状态没多大影响。另外，当材料初始屈服以前是处于弹性状态，ij与ij有一一对应关系。因此屈服条件可以表示成为

0)(ijf或0),,(321IIIf或0),,(321f

若以ij空间来描述，则f(ij)=0表示一个包围原点的曲面，称作屈服曲面。当应力点ij

位于此曲面之内时，即0)(ijf，材料处于弹性状态；当ij点位于此曲面上时，即0)(ijf，材料开始屈服。另外，根据静水压力不影响塑性变形之假设，f只与应力偏量有关，即：

0)','(32IIf 由于应力偏量满足0''''3211I，)','(32IIf总是处在应力平面上。这样屈服条件就可以用平面上的封闭曲线来表示。若ij点落在该曲线上，表示ij满足屈服准则。若在这个应力状态上再迭加一个静水压力，这时在三维主应力空间中，相当于沿着等倾线移动的面平行面，而应力点仍满足屈服准则。因此，在三维主应力空间中，屈服曲面是一等截面柱体。它的母线与直线321平行。

0)(ijf曲面到底是什么形状？不同的推理过程和实验可以得到不同的曲面形状。其中最为常用的是Tresca屈服准则和Von Mises屈服准则。 32

2. 2. 2 Tresca屈服准则 最早的屈服准则是1864年Tresca根据库伦在土力学中的研究结果，并从他自己做的金属挤压试验中提出以下假设：当最大切应力达到某一极限k时，材料发生屈服。即：

kmax

（2. 1）

用主应力表示时，则有： k2 , ,max133221 （2. 2）

当有321约定时，则有： k231 （2. 3） 在主应力空间中，式（2. 2）是一个正六棱柱；在平面上，Tresca条件是一正六边形（见图2-2）。

（a） 主应力空间的屈服表面 （b）π平面上的屈服轨迹 图2-2 屈服准则的图示

k值由实验确定。若做单向拉伸试验，0,321s，则由式（2. 3）有2/sk。若做纯剪试验，则有ss321,0,，则可得sk。比较后，若Tresca屈服条件正确，则应有：

kss22 （2. 4） 对多数材料，此关系只能近似成立。 在材料力学中，Tresca屈服准则对应第三强度理论。 在一般应力状态下，应用Tresca准则较为繁琐。只有当主应力已知的前提下，使用Tresca屈服准则较为方便。 33

2. 2. 3 Von Mises屈服准则 Tresca屈服准则不考虑中间主应力的影响；另外当应力处在两个屈服面的交线上时，数学处理将遇到一些困难；在主应力未知时，Tresca准则计算十分复杂。因此Von Mises在1913年研究了实验结果后，提出了某一屈服准则，即当：

CI2' （2. 5）

时材料就进入屈服，其中C为常数。由于2'I与g，e以及材料的弹性形状改变能

2'21IGUeD有关，因此具有不同的物理意义。 常数C由实验来定。单拉时，s1，032代入式（2. 5）有3/2sC；薄壁管纯扭时，0,231k，代入式（2. 5），有2kC，所以Von Mists塑性条件可表示成：

kse3 （2. 6） 对于多数材料，实验结果接近上式。 在主应力空间中，Von Mises屈服准则为一圆柱柱面。在平面上，Von Mises屈服准则为一个圆。 若用单拉实验确定常数，两种屈服准则此时重合，则Tresca六边形将内接接近于Mises圆，并有：

Tresca ,2/Mises,max对对

sse





（2. 7）

若用纯剪实验确定常数，两种屈服准则此时也重合，则Tresca六边形将外接于Mises圆，并有：







Tresca MisesVon 3max对对kk

e



 （2. 8）

在材料力学中，Von Mises屈服条件为第四强度理论。 2. 2. 4 两种屈服条件的实验验证 以上两种屈服条件最主要的差别在于中间主应力是否有影响。以下介绍的两个实验结果均表明Von Mises条件比Tresca条件更接近于实际。 Lode在1925年分别对铁、铜和镍薄壁圆筒进行拉伸与内压力联合作用。用Lode参数

来反映中间主应力的影响，即：

312132)()( （2. 9）

其变化范围为11结果见图2. 3。纵坐标为s/)(21，并规定在单拉时两个 34

屈服条件重合。这时采用式（2. 7）。对Tresca有1/)(31s；而对Von Mists，有23132/)(s，实验点接近Von Mises。 Taylor-Quinney在1931年分别对铜、铝、软钢做成的薄壁圆筒施加拉扭组合应力。同样规 定单拉时两个屈服条件重合。有：

 MisesVon 13Tresca 1422

x

22

sxyssxysx





比较理论曲线与实验结果（图2-4）也可看出实验点更接近Von Mises屈服条件。对金属材料而言，实验点多数落在这两个屈服条件所包围的范围之内。

从图2-3可以看到，在平面应变状态下，即=0时，两种屈服条件相差最大，为15.5%。 2. 2. 5 硬化材料的屈服条件 从单向拉伸曲线可以看到，进入塑性变形以后的应力都可以视作屈服点，称作后继屈

服点，而且其值总是大于初始屈服点s。对于三维应力空间，初始屈服条件为一曲面。对于硬化材料，是否也可类推出后继屈服面？该曲面形状如何？大小如何？实验表明，硬化材料确实存在后继屈服曲面，也称加载曲面。但其形状、大小不容易用实验方法完全确定，尤其是随着塑性变形的增长，材料变形的各向异性效应愈益显著，问题变得更为复杂。因此，为了便于应用，不得不对强化条件进行若干简化假设，其中最简单的模型为等向强

图2-3 Lode实验结果 图2-4 屈服条件验证—拉扭试验