α-对角占优矩阵的等价表征及其应用

对角占优矩阵可逆的巧妙证明1.引言引言部分的概述部分可以写成以下内容：1.1 概述对角占优矩阵是一类常见的矩阵，在求解线性方程组和矩阵运算中具有重要的应用。

研究对角占优矩阵的可逆性，既是线性代数的基础内容，也是解决实际问题的关键。

本文旨在通过巧妙的证明方法，揭示对角占优矩阵可逆的条件，并探讨这种证明方法在实际应用中的意义。

通过深入研究对角占优矩阵的性质和可逆性条件，我们希望能够更好地理解矩阵的结构和特点，为解决实际问题提供更科学有效的方法。

本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

在引言部分，我们将概述本文的研究目的和结构，为读者提供一个整体的思路。

接下来，在正文部分，我们将详细介绍对角占优矩阵的定义和可逆性条件，并给出巧妙的证明方法。

最后，在结论部分，我们将总结这个巧妙的证明方法的重要性，并讨论对角占优矩阵可逆性的实际应用以及未来的研究方向。

通过阅读本文，读者将能够深入了解对角占优矩阵的性质和可逆性，掌握一种巧妙的证明方法，并将其应用于解决实际问题。

同时，本文也可能会激发读者对矩阵理论的兴趣，促使他们对这一领域进行更深入的研究和探索。

1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：本文主要包含引言、正文和结论三个部分。

引言部分介绍了文章的概述，简要说明了对角占优矩阵可逆的巧妙证明，并明确了本文的目的。

正文部分主要包括两个小节：对角占优矩阵的定义和对角占优矩阵可逆的条件。

在对角占优矩阵的定义部分，将简要介绍对角占优矩阵的概念和性质，为后续证明做基础铺垫。

在对角占优矩阵可逆的条件部分，将详细阐述对角占优矩阵可逆的证明方法，通过一系列推导和运算，以巧妙的方式证明其可逆性。

结论部分主要对本文的内容进行总结，强调了对角占优矩阵可逆的证明方法的巧妙性，并提出了实际应用和进一步研究方向的建议。

通过本文的探讨，读者将更加深入地理解对角占优矩阵可逆的原理和证明方法，并可以在实际应用中进行相关的分析和运用。

整体上，本文结构清晰，内容有层次感，引言部分引领读者对文章内容有个整体的把握，正文部分详细介绍了对角占优矩阵的定义和可逆性条件，并给出了巧妙的证明方法，结论部分对已经讨论的内容进行了总结，并提出了进一步研究的方向。

Gerschgorin®盘定理在严格对角占优矩阵中的应用【摘要】：利用Gerschgorin圆盘定理给出严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明，简化了原证明过程。

关键词：Gerschgorin圆盘定理；矩阵；对角占优矩阵；特征值Application of Gerschgorin theorem in strictly diagonallydominant matrixAn Yu Shua n(University of Electronic Science and Technology of China chengdu gaoxinxiquxiyuandadao2006 hao 611731) Abstract: Using Gerschgorin theorem gave the proof about a number of important conclusions on strictly diagonally dominant matrice ，and the proof is very simple .Key words : Gerschgorin theorem; matrix ; diagonlly dominant matrice ; eigenvalue1引言及预备知识Gerschgorin圆盘定理是矩阵理论中的一个十分重要的定理，在矩阵理论中占有很重要的地位，在很多方面均有应用，尤其在严格对角占优矩阵中.本文利用Gerschgorin 圆盘定理给出了严格对角占优矩阵中的一些重要结论的证明，简化了原证明过程.n 定义[1]设A=(a“n巾，若內> R(A)二刀 a j (i = 1,2；……n)，则称A为对j=1,j = in角占优的；若a ii > R i(A)= 刀a j (i =1,2,……n)，则称为严格对角占优的。

j=1,j= in■£ a j ，j=1, j * i Gerschgorin 圆盘定理[2]设A = (a ij)nXn是复方阵，记R (A)二G i= {: € Cz-a ji < R (A)} (i =1,2, .......... n)，则A的任意特征值一定属于n个圆盘的并n集G(A) = G i ；若在G(A)中，有k个互相连通且与其余n - k个不相交，则A恰有k个i=1特征值含在此k个圆盘组成的区域内。

广义对角占优矩阵的判定方法刘钰靖【摘要】利用矩阵分析方法和矩阵的Ostrowski对角占优性，给出了一类广义对角占优矩阵的判定条件，拓展了广义对角占优矩阵的判定方法。

%By using matrix analysis method and Ostrowski diagonally dominant matrices,a criteria condition for judging generalized diagonally dominant matrices is given,the judging methods of generalized diagonally dominant matrices are expanded.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】4页(P449-452)【关键词】广义对角占优矩阵;判定;矩阵Ostrowski对角占优性【作者】刘钰靖【作者单位】北华大学数学与统计学院，吉林吉林 132033【正文语种】中文【中图分类】O151.211 引言广义对角占优矩阵是一重要的矩阵类，具有很强的理论价值和广泛的实际背景，在计算数学、信息论、系统论、经济学、控制理论等众多领域都有重要应用[1-2].关于广义对角占优矩阵的判定已有很多系统的结果(见文献[3]等)，其研究方法也在不断改进，如文献[4-5]等引入矩阵的有向图研究矩阵的对角占优性，文献[6-8]等利用矩阵的分块研究其对角占优性，文献[9-11]等研究了矩阵的α-对角占优性等，以及更为实用的迭代判别法[12-13]，而直接给出非奇异H-矩阵的判定条件的研究成果最为丰富.本文利用矩阵的α-对角占优性，给出了广义对角占优矩阵的新判定条件.本文用n×n表示n阶复矩阵的集合，N={1，2，…，n}.设A=(aij)∈n×n，∀i∈N，记aij，aji，为整数).作为约定，本文总假定矩阵的行与列均非零，即Λi≠0，Qi≠0，i∈N.定义1 设A=(aij)∈n×n.若aii>Λi，∀i∈N，则称A为严格对角占优矩阵，记为A∈D；若存在正对角矩阵X，使AX∈D，则称A为广义严格对角占优矩阵，记为A∈D*.定义2[14] 设A=(aij)∈n×n.若存在α∈(0，1]，使∀i∈N有aii则称A为严格α-对角占优矩阵，记为A∈D(α).引理1[14] 设A=(aij)∈n×n. 若A∈D(α)，则A∈D*.2 主要结果定理1 设A=(aij)∈n×n，n>2，α∈(0，1]. 若∀i∈N有则A∈D*.证明：情况1.当时，对∀i∈N，设因为Λi≠0，Qi≠0，知di>0，i∈N且由此得，对i∈N有再由得即设正对角矩阵D=diag(d1，d2，…，dn)，B=AD=(bij)∈n×n.由n>2，di>0得aijaij因此，对∀i∈N有即aij(1)将式(1)两端α次方得aii(2)将式(2)两端分别乘以得aiidi>aijdj)αajidi)1-α，即bii>bij)αbji)1-α.因此B∈D(α).由引理1知B∈D*，进而知A∈D*.情况2.当时，设∀i∈N，再设则知di>0，i∈N且再由得设正对角矩阵D=diag(d1，d2，…，dn)，B=AD=(bij)∈n×n.则对∀i∈N有(3)将式(3)两端α次方得aii(4)将式(4)两端分别乘以得aiidi>aijdj)αajidi)1-α，即bii>bij)αbji)1-α.因此B∈D(α).由引理1知B∈D*，进而知A∈D*.证毕.定理2 设aijaij，α∈(0，1]. 若∀i∈N有则A∈D*.证明：当时，对∀i∈N，设由Λi≠0，Qi≠0，知di>0，i∈N.由得仿定理1中情况1证明可得A∈D*.当时，设对∀i∈N，再设则知di>0，i∈N且仿定理1中情况2证明可得A∈D*.证毕.定理3 设A=(aij)∈n×n，α∈(0，1]，其中若∀i∈N，存在j≠s(j，s∈N)，使且有则A∈D*.证明：当时，由题设对∀i∈N，有di>0，由得仿定理1中情况1证明可得A∈D*.当时，设∀i∈N，再设则知di>0，i∈N且仿定理1中情况2证明可得A∈D*.证毕.3 算例例1 设取α=1/2，有由定理1知A是广义严格对角占优矩阵.例2 设取α=1/2，有由定理1知A是广义严格对角占优矩阵.以上诸例说明给出的条件便于使用，是判定广义严格对角占优矩阵的新的实用方法. 【相关文献】[1] A Berman，R J Plemmons.Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences[M].New York：Society for Industrial and Applied Mathematics，1994.[2] R S Varga.Matrix Iterative Analysis[M].(Second Edition)Berlin：Springer-Verlag，2000.[3] R S Varga.Gersgorin and His Circles[M].Berlin：Springer-Verlag，2004.[4] R A Brualdi.Matrices，Eigenvalues，and Directed Graphs[J].Linear and Multilinear Algebra，1982，11：143-165.[5] 林彤，杜宇辉，术洪亮.矩阵的k-path 覆盖对角占优性与应用[J].东北师大学报：自然科学版，2008，40(4)：1-6.[6] Gao Y M，Xiao H W.Criteria for Generalized Diagonally Dominant Matrices and M-matrices[J].Linear Algebra Appl，1992，169：257-268.[7] Gao Y M，Xiao H W.Criteria for Generalized Diagonally Dominant Matrices and M-matrices Ⅱ[J].Linear Algebra Appl，1996，248：339-353.[8] L Cvetkovic，Vladimir Kostic，Rafael Bru，et al.A Simple Generalization of Gensgorin’s Theorem[J].Adv Comput Math，2011，35：271-280.[9] 吕洪斌.矩阵的弱α-连对角占优性及应用[J].东北师大学报：自然科学版，2005，37(2)：10-14.[10] 李敏，孙玉祥.α-对角占优矩阵的讨论及其应用[J].工程数学学报，2009，26(5)：941- 945.[11] Ljiljana Cvetkovic.H-matrix Theory vs.Eigenvalue Localization[J].Numer Algor，2006，42：229-245.[12] Bishan Li，Lei Li，M Harada，et al.An Iterative Criterion for H-Matrices[J].Linear Algebra and Its Applications，1998，271：179-180.[13] T Kohno，H Niki，H Sawami，et al.An Iterative Test for H-Matrix[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2000，115：349-355.[14] Gao F S，Sun Y X.Judgement of M-matrices[J].Acta Math Appl Sinica，1998，21：535-538.。

α—严格对角占优矩阵与迭代法的收敛性定理第3O卷第1期2O10年3月辽宁石油化工大学J0URNAIOFIAAONINGSHIHUAUNIVERSITYV o1.30No.1Mar.201O文章编号:1672—6952(2010)01—0081一O3一严格对角占优矩阵与迭代法的收敛性定理宋岱才,魏晓丽,赵晓颖(辽宁石油化工大学理学院,辽宁抚顺113001)摘要:针对线性方程组的系数矩阵为口一严格对角占优矩阵和双严格对角占优矩阵的情况,讨论了线性方程组求解时常用的几种迭代方法的收敛性,给出了迭代法收敛性定理,解决了以往估计迭代矩阵谱半径的问题.结果不仅适用于这两类矩阵,还适用于广义严格对角占优矩阵类,最后举例说明了所给结果的优越性.关键词:一严格对角占优矩阵;双严格对角占优矩阵;迭代法;收敛性中图分类号:O241.6;O151.2文献标识码:Adoi:10.3696/j.issn.1672—6952.2010.01.022—DiagonalStrictlyDominanceMatrixandConvergence TheoremofIterationMethodsSONGDai—cai,WEIXiao—li,ZHAOXiao—ying(SchoolofSciences,LiaoningShihuaUniversity,FushunLiaoning113001,P.R.China)Received25March2009;revised12October2009;accepted13November2009 Abstract:Someiterationmethodsforsolvinglinearsystemwerestudied,whencoefficientma trixisa—diagonalstrictly dominanceordoublydiagonalstrictlydominance,andsomeconvergencetheoremsweregiv en.ResultsobtainedwereapplicabletOa—diagonalstrictlydominancematrixordoublydiagonalstrictlydominancematrix,andimpro vedtheknownresultsandweresuitedtOextendedmatrices.Finally,annumericalexamplesweregivenforillustratinga dvantageofresults.Keywords:a—diagonalstrictlydominancematrix;Doublydiagonalstrictlydominancematrix;Iterationme thod;ConvergencetheoremrCorrespondingauthor.Te1.:+86—413—6860821;fax:+86—413—6860766;e--mail:*************1基本概念及引理给定线性方程组Ax—b,其中A∈为非奇异矩阵,b为维列向量.在用迭代法解此方程组的问题中,常常需要研究其迭代矩阵谱半径的界限,这对于研究迭代法的收敛性以及收敛速度等是非常有意义的.文献[1—7]对于迭代矩阵为严格对角占优矩阵,a一严格对角占优矩阵和双a一严格对角占优矩阵等情形分别讨论了常用的几种迭代法的谱半径的上界估计问题.然而很少见有针对系数矩阵来研究迭代法收敛的问题.本文的主要工作是:针对方程组的系数矩阵A为a一严格对角占优矩阵以及双严格对角占优矩阵,讨论了几种常用迭代法的收敛性,得到了几个从未见过的结论,解决了估计迭代矩阵谱半径的界限问题.最后举例说明这一结果的使用性.设方程组的系数矩阵A分解为A—D—L—u,其中D—diag(aa.,…,a),一L是矩阵A 的严格下三角矩阵,一u是矩阵A的严格上三角矩阵.三种常用的迭代法分别如下:Jacobi迭代法:-z针=Bar+f,B=D(L+u)'厂一Db(1)Gauss—Seidel迭代法:.z抖一A+g,M一(D—L)'.u,一(D—L)b(2)JOR迭代法:¨===Mz+-厂,M一D[(1一∞)D+(L+U)](3)收稿日期:2009—03—25作者简介:宋岱才(1954一),男,山东济南市,教授.基金项目:辽宁省教育厅高校科研项目(2004F100);辽宁石油化工大学重点学科建设资助项目(K20o409).82辽宁石油化工大学第3O卷其中,f=ob;称为松弛因子;矩阵B,M,M分别称为Jacobi,Gauss—Seidel及JOR迭代法的迭代矩阵.设A一(口)∈C,记R(A)一∑JaJ;S(A)一∑J&amp;,J,i∈N一(1,2,…,).定义1E.]:设A一(口)EC,若对任意的i∈N,d∈E0,1],皆有laI&gt;R?(A)s～(A),则称A为a一严格对角占优矩阵,记为A∈D.若存在正对角矩阵d—diag(d,d.,…,d)使得AdED,则称A为广义口一严格对角占优矩阵,记为AEGD.定义2[]:设A一()EC,若Jah.a,,J&gt;足(A)R,(A),Vi,JEN成立,则称A为双严格对角占优矩阵,记为A∈D.若存在正对角矩阵d—diag(d,d,…,d),使得AdED,则称A为广义双严格对角占优矩阵,记为AEGD.引理1Esl:设A一(口)∈C",若A∈D或AEGD,则A为非奇异矩阵.引理2E]:设A一(&amp;)EC,若A∈JD或AEGD,则A为非奇异矩阵.引理3设是一个常数,0&lt;叫≤1,则当l1≥1时,总有l一1+叫1≥叫.证明当≥l时,有一1+≥≤一l肘,有一1+≤--2+,注意到O&lt;≤1,所以得一】+C.O一2+≤一1≤--OJ.综上得l一1+I≥.2主要结论定理1若A∈D.或A∈D,则对任意初始向量解线性方程组A.r—b的Jacobi迭代法都收敛.证明:首先证明当A∈D.时,Jacobi迭代法收敛.设为B—D(L+u)的任一特征值,则det(;tI--B)一det[2I--D_1(L+(,)]一0,(为单位矩阵),即:detEXD一(L+u)]一0(4)由于A∈D,所以有faI&gt;R(A)s(A)=:=(L+【,)S～(L+【,),i∈N成立.假设B存在一个特征值ff≥1,则由上式得到:fff&amp;f&gt;R(A)S-口(A)一R(L+)S(L+),iEN成立.这说明一(L+u)∈D.由引理1知,一(L+u)非奇异.与(4)式矛盾.所以B的特征值全满足f入f&lt;1,即此时总有Jacobi迭代法迭代矩阵的谱半径小于1,所以收敛.其次,证明当A∈D时,Jacobi迭代法收敛.由于A∈D,则知,对Vi,JEN,falia,f&gt;R(A)R,(A)成立,即:laa,,I&gt;R(A)R,(A)一R(L+U)R,(L+U)假设B存在一个特征值li≥1,同样,上式右边乘以ff.,得到对Vi,JEN,总有f口af&gt;R(A)R(A)一R.(L+u)R,(L+u)成立,说明一(L+u)ED.由引理2知,～(L+u)非奇异.与式(4)矛盾.所以B的特征值全满足fI&lt;1,得Jacobi迭代法收敛.定理2若A∈D.或A∈D,则对任意初始向量解线性方程组一6的Gauss—Seidel 迭代法收敛.证明首先证明A∈D.时,Gauss—Seidel迭代法收敛.设为Gauss—Seidel迭代矩阵(D～L)u的任意特征值,则det(卜一(D—L)u)一0,即det(2I一(D一L)(,)一0.(5)假设M一(D—L)【,至少存在一个特征值≥1.因为A∈D.,即有ViEN,{口f&gt;尺(A)S(A)一R(L+u)S(L+u)两边同时乘以ll,并注意到ll≥1,得:ifiaf&gt;flR?(L+【,)?ff卜.s(L+u)一[1iR(L+u)]?[IlS(L+u)]卜.≥(儿+【,)?S卜口(旭+【,)说明(D—L)一u为a一严格对角占优矩阵,由引理1得到(D—L)一u非奇异,与(5)式矛盾.所以11≥1不是M一(.D—L)叫【,的特征值,结论成立.其次,证明当A∈D时,Gauss—Seidel迭代法收敛.由于A∈D,则知,对Vi,JEN,la//o~,,i&gt;尺(A)R(A)成立,又由定理1的证明过程及矩阵L和的构成知R(A)一R(L+U)一R:(L)+R(【,),所以对ViEN,即有:第1期宋岱才等.a一严格对角占优矩阵与迭代法的收敛性定理83『alial&gt;JR(L)+R(【,)]?[R(L)+R,(u)]成立.假设M=(D—L)u至少存在一个特征值lJ≥1.上式两边同时乘以l}得:lIIaiiaI&gt;II[R(L)+R(u)]?II[R,(L)十R,(【,)]≥[I『R(L)+R(u)]?[IIR,(L)+R,(u)]一[R(儿)+R(【,)]?[R,(儿)+R(u)]一R(儿+【,)?R(儿+u)上式说明(D—L)一u为严格a一对角占优矩阵,得到A(D—L)一u非奇异,与(5)式矛盾.综上得,若A∈D或A∈D,Gauss—Seidel迭代矩阵的特征值总有lf&lt;1.从而Gauss —Seidel迭代法收敛.定理3若A∈D或A∈D,且∞满足O&lt;叫≤1,则对任意初始向量解线性方程组一6的JOR迭代法收敛.证明当一1时,JOR迭代矩阵M一D(L+u)一B,所以JOR迭代法即为Jacobi迭代法,结论成立.以下证明O&lt;&lt;1时,JOR迭代法收敛.首先,若为迭代矩阵M的任一特征值,则有det(AI--M.)一0,从而有:det{AD一[(1一∞)D+(L+u)]}==:0(6)其次,当时A∈D,知IaJ&gt;R;(A)s～(A)一R(L+u)S.(L+【,)(7)成立.假设存在一个特征值JJ≥1,叉O&lt;≤1,则由引理3得J一1+J≥.式(7)左边乘以J一1+∞I,右边乘以得:『一1+JIal&gt;cU.R?(L+u)(OI-~s(L+u)一R?[(L+【,)]s[(L+【,)]得知一[(I一∞)D+cu(L+u)]∈D.,由引理1得到一[(1一)D+(L+【,)]非奇异,与(6)式矛盾.再证明当A∈D时,JoR迭代法收敛.由于A∈D,并由定理2的证明过程知,所以Vi∈N,laa,,{&gt;R(A)R,(A)一R(L+U)R,(L+u)(8)假设』Ⅵ存在一个特征值『I≥1,由上知,I一1+I.≥叫.(8)式左边乘以I一1+cUl.,右边乘以∞得:』—I+』.fn口』&gt;∞.R(A)R,(A)一(L+U)oA~,(L+)一R叫(L+【,)]R,[(L+【,)]. 这就说明hi)一[(1一)D+∞(L+u)]∈D,由引理2知一[(1一(￡,)D+(U(L+u)]非奇异,这与(6)式矛盾.综上得,若A∈D或A∈D,且0&lt;≤1时,有JOR迭代矩阵的特征值『J=【I&lt;1.从而JOR迭代法收敛.定理得证.在上述的结论中,若矩阵A不满足A∈D.或A∈D,但矩阵A满足A∈GD.或A∈(TD,则上述结论仍然成立,其证明过程与以上证明类似,所以结论还适用于系数矩阵A为广义对角占优矩阵类的情形.3数值例子f4.5321Il1设A===I142I,取口一÷时,满足A∈D,且A∈D,所以由以上定理知,解一b的以上三种迭l1—15J代法收敛都收敛.事实上,经计算得,lD()一O.495;10(M)一0.261;若取叫一0.8,得:ID(M)一0.5961.但若A—f415—]一f_2]～f=O6-41一M一～(下转第95页)第1期刘一丁等.模糊评价法在房地产投资风险评价中的应用95[1]E2]I-3-1[4][5]I-6][7][8]参考文献辜寄蓉,吴合镇.房地产市场参与者的博弈关系I-J].集团经济研究,2007(12):30—40.杜海鹏.房地产投资风险与决策I-M].北京:经济科学出版社,2003.阮萍.对住宅市场中空置问题本质的认识I-J].云南财贸学院,2000(4):82—84.赵树宽,马力.大型房地产项目投资风险评价体系的研究I-J].科技进步与对策,2002(4):18一ll9.薛小荣.房地产开发风险多因素层次决策支持系统运用探讨[J].西安建筑科技大学:自然科学版,2005,37(4):561—565.粟国敏.房地产项目投资风险评价研究[J].工业技术经济,2003(6):78—81.李庆东.企业竞争力评价指标体系与评价方法研究I-J].辽宁石油化工大学,2004,24(1):93～96.叶义成,柯丽华.系统综合评价技术及其应用i-M-].北京:冶金工业出版社,2006. (Ed.:ZW,Z)(上接第80页)[u]VivekKwatra,ArnoScheodl,IrfanEssa,eta1.Graphcuttextures:imageandvideosynthes isusinggraphcuts[J-~.ACMtransactionsongraphics,2003,22(3):277—286.[12]ShiJianbo,JitendraMalik.NormalizedcutsandimagesegmentationI-J].IEEEtransacti onsonpatternanalysisandmachineintelligence,2000,22(8):888—905.[13][14-~1,15-]1,16-]ShiJianbo,JitendraMalik.Imageandvideosegmentation:thenormalizedcutframework[C] .Chicago:IEEEcomputersociety,1998.GoochAA,OlsenSC,JackTumblin,eta1.Colorgray:salience—preservingcolorremovall,C].LosAngeles:ACMpress,2005.Deussen0,HanrahanP,PharrM,eta1.Realisticmodelingandrenderingofplantecosystems[ C-].NewY ork:ACMpress,1998.李丽君.基于缩略图和EMD的无分割空间色彩图像检索方法[J].辽宁石油化工大学,2009,29(1):73—75.(Ed.:ZW,Z)(上接第83页)参考文献1,1-]HuangTingzhu,BaiZhongzhi.Boundsforspectralradiiofiterativematrices[J].Jouralo fappliedsciences,1998,16(3)269—275.1,23陈焯荣,黎稳.迭代矩阵谱半径的上界估计[J].数学物理,200121A(1):8—13.I-3-]袁玉波,高中喜,黄廷祝,等.JOR迭代法的收敛性[J].电子科技大学,2003,32(6):79O一792.1'41高中喜,黄廷祝,王广彬.迭代法迭代阵谱半径新上界[J].电子科技大学,2002,31(5):542—545.[5]路永洁,宋岱才.关于JOR迭代法收敛性的一个注记I-J].辽宁石油化工大学,2007,27(2):84—86.[6]宋岱才,路永洁.迭代矩阵谱半径的界限[J].山东大学,2008,38(4):123—126.1,7-]冉瑞生,黄廷祝.迭代矩阵特征值模的界I-J].电子科技大学,2006,35(1):133—136.[8]崔琦,宋岱才.非奇异H一矩阵的几个判别条件l-J].辽宁石油化工大学,2007,27(2):8O一83.(Ed.:ZW,Z)。

对称正定和严格对角占优的关系1. 引言大家好！今天我们来聊聊线性代数中的两个重要概念：对称正定矩阵和严格对角占优矩阵。

听起来是不是有点深奥？别担心，我们来轻松地探讨一下这两个小家伙的关系。

想象一下，在数学的世界里，它们就像两个好朋友，各自有自己的特点，却又有许多共同之处，互相呼应，互相支持。

2. 什么是对称正定矩阵？2.1 定义首先，让我们来解锁“对称正定矩阵”这个概念。

简单来说，若一个矩阵是对称的，就意味着它的转置等于它自己，像个爱美的人，总是希望自己看起来一模一样。

再说到“正定”，它的意思是，对任何非零向量，经过这个矩阵的变换后，结果的内积都是正数。

就像是说：“我绝对不会让你失望！”2.2 特性对称正定矩阵还有很多有趣的特性。

比如说，所有特征值都是正数，就像是总有阳光普照的日子，绝不让阴云笼罩。

而且，这样的矩阵总是可以找到一个“友好的”下三角矩阵，帮助我们进行简单的运算。

好比说，有人给你提供了一个绝佳的通行证，让你畅行无阻，真是太贴心了！3. 什么是严格对角占优矩阵？3.1 定义接着，我们来聊聊“严格对角占优矩阵”。

这个名字听起来复杂，其实它的意思挺简单的：一个矩阵如果对角线上的元素大于同一行其他元素的绝对值之和，那它就被称为严格对角占优矩阵。

就像是班级里的学霸，总是高高在上，成绩遥遥领先，其他同学也只能仰望。

3.2 特性严格对角占优矩阵的一个重要特性是，它总是可逆的。

想想看，如果一个班级里有个学霸，他肯定能带动大家一起进步；同样地，这个矩阵也能帮助我们找到稳定的解。

并且，在数值计算中，严格对角占优的矩阵一般能保证收敛速度快，让人倍感轻松。

真是个好伙伴啊！4. 对称正定与严格对角占优的关系好啦，接下来我们要进入今天的重头戏：这两个概念到底有什么关系呢？嘿嘿，这就有趣了！首先，如果一个对称矩阵是严格对角占优的，那么它一定是正定的。

就像是学霸不仅成绩好，性格也特别好，大家都愿意跟他交朋友。

4.1 反之不成立但是，如果说严格对角占优矩阵一定是对称正定的，那就不一定啦！想象一下，有些人虽然看起来很优秀，但内心可能有些小秘密，不愿意显露出来。

对角占优矩阵的行列式估计赵建兴;桑彩丽【摘要】For estimates of the determinant of diagonally dominant matrices, at first, some lower and up-per bounds of the main diagonal elements ofA-1 were given by using the elements of a strictly diagonally dominant matrix A. Next, monotone increasing sequence of lower bounds and monotone decreasing se-quence of upper bounds of determinant of A were given by using successive reduction and recursive meth-ods. These sequences resultedion improve ment of some existing results, and then were applied the upper and lower bounds of determinant of diagonally dominant matrices. Finally, numerical examples were giv-en to verify the theoretical results. Numercial examples showed that the present estimates could reach the true value of the determinant in some cases and were more accurate than the existing results.%针对对角占优矩阵的行列式估计问题，首先利用严格对角占优矩阵A的元素给出逆矩阵A-1的主对角元的上下界，然后利用逐次降阶法和递归法给出A的行列式的单调递增的下界序列和单调递减的上界序列，改进了一些已有结果。

严格对角占优矩阵可逆的证明概述及解释说明1. 引言1.1 概述在线性代数中，矩阵的可逆性一直是一个重要而又广泛讨论的问题。

严格对角占优矩阵是一类特殊的矩阵，其具有较强的特征和性质。

本文旨在通过对严格对角占优矩阵可逆性进行证明和详细解释，加深我们对这一类矩阵的认识，并为后续应用中提供理论支持。

1.2 文章结构本文主要分为五个部分。

引言部分（第1部分）介绍了本文所涉及的问题和文章的结构；严格对角占优矩阵的定义、性质和可逆性证明方法将在第2部分详细探讨；第3部分讨论可逆矩阵的推导与证明，以加深对可逆性概念和求解方法的理解；结果与讨论将在第4部分展示实际应用中严格对角占优矩阵可逆性的意义、验证结果准确性并进行案例分析；最后，在总结与展望（第5部分）中，本文总结已有工作并指出不足之处，提出改进设想并展望后续研究的方向与意义。

1.3 目的本文旨在证明严格对角占优矩阵的可逆性，并通过推导和解释，深入探讨这种特殊矩阵的定义、性质和可逆性证明方法。

通过本文的研究，读者将能更全面地了解严格对角占优矩阵，并理解它们在实际应用中可逆性的重要意义。

此外，对于线性代数领域从事相关研究或教学工作的人员来说，本文也有一定参考价值。

以上是“1. 引言”部分的内容，请根据需要进行修改补充。

2. 严格对角占优矩阵的定义和性质2.1 严格对角占优矩阵的定义与示例在线性代数中，一个n×n的方阵A被称为严格对角占优矩阵，如果满足以下条件：对于每一行i(1≤i≤n)，都有|a[i][i]|>Σ|a[i][j]|, j≠i。

换句话说，在严格对角占优矩阵中，每个元素的绝对值大于该元素所在行中其他元素绝对值的总和。

下面是一个严格对角占优矩阵的示例：```A = [4 -1 0-2 6 -10 -3 9]```可以看到，每个主对角线元素（a[i][i]）的绝对值都大于该行其他元素绝对值的总和（Σ|a[i][j]|, j≠i）。

2.2 严格对角占优矩阵的性质分析严格对角占优矩阵具有以下几个重要性质：- 对于任意给定的向量b，方程Ax=b有唯一解。