集值向量优化问题ε-超有效解的性质

２００３年６月　
Ｊｕｎｅ，２００３　应用数学与计算数学学报　ＣＯＭＭ．ＯＮ　ＡＰＰＬ．ＭＡＴＨ．ＡＮＤ　ＣＯＭＰＵＴ　第１７卷第１期　、，０１．１７　Ｎｏ．１　

集值向量优化问题￡一超有效解的性质　
邵建英　
（嘉兴学院，嘉兴，３１４００１）　
摘要本文讨论了　一超有效点的性质，并给出了　一超有效解集连通性的证明　
关键词：　一超有效点，　一超有效解，向量优化，连通性．　
１．引　言　

向量优化问题解集的结构即几何性质和拓扑性质的研究，是优化理论研究中一　
个十分重要的课题，而解集的连通性又是结构理论中的重要组成部分。自从１９７８年　
Ｎａｃｃａｃｈｅ在有限维空间中讨论了向量优化问题有效解集的连通性以来，已有众多学者　
对此作了研究；胡毓达和胡一凡在文献［８】中讨论了锥拟凸与拓扑向量空间多目标最　
优化有效解集和弱有效解集的连通性；凌晨在文献［３】中讨论了赋范线性空间中锥拟　
凸向量优化问题超有效解集的连通性。本文首先引进了Ｅ一超有效解的概念，考虑赋范　
线性空间中集值向量优化问题在目标映射为上半连续的条件下，证明了该问题的Ｅ一　
超有效解集的连通性。　

２．定义和命题　
设　是Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ拓扑线性空间，ｙ是赋范线性空间，Ｋ　Ｃ　Ｙ是闭凸锥，ｙ　表　
示ｙ的对偶空间，　（！，）是连续线性泛函　在Ｙ处的值，　表示　的对偶锥，即　

Ｋ　＝｛　∈Ｙ　：　（　）　０，Ｖｋ∈　｝　
定义２．１【。】设Ｃ　Ｃ　Ｋ是凸集，称Ｃ是　的基，若Ｋ＝ｃｏｎｅ（Ｃ）＝｛Ａｃ：　０，ｃ∈Ｃ｝，　
且０　ｃｆ（Ｃ），ｄ（ｃ）表示集Ｃ的闭包．　
显然，锥　有基时则锥　是点锥．特别，　是ｙ中的非空点闭凸锥时，那么　
Ｋ＋‘≠　当且仅当　有基，其中　

Ｋ＋‘＝｛　∈Ｙ　：　（　）＞０，Ｖｋ∈Ｋ＼｛Ｄ｝｝．　

定义２．２【。】设Ｂ　Ｃ　Ｙ是非空集合，雪∈Ｂ．称雪是Ｂ关于　的超有效点（简称超　
有效点），若存在７＞０，使ｃｌ（ｃｏｎｅ（Ｂ一雪））ｎ（Ｓ—Ｋ）Ｃ　７・Ｓ，其中Ｓ是ｙ中的闭单位　
球．　Ｂ的超有效点全体记为ＳＥ（Ｂ，　）．　

本文２００２年９月２９日收到．　
浙江省教育厅资助课题（项目编号２００２０５０２）　

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１期　邵建英：集值向量优化问题ｇ一超有效解的性质　６９　
使得Ｆ（ｘ）ＣⅣ（Ｆ（孟）），Ｖｚ∈Ｎ（２）ｎ　Ａ．若Ｆ在Ａ的每一点处都上半连续，则称Ｆ在Ａ　
上是上半连续的．　

命题２．３【。】设Ｃ是　的一个有界基，记　＝　ｎ，｛ｌｌｃＩＩ：Ｃ∈　），‰＝ｄ（ｃｏｎｅ（Ｃ＋ａ・Ｓ））　
其中Ｑ∈（０，１），则　＼｛Ｄ’Ｃ　ｉｎｔＫ　．　
命题２．４【　】设Ｋ　Ｃ　Ｙ有有界基．若Ｂ　Ｃ　Ｙ是非空弱紧集，则ＳＥ（Ｂ，Ｋ）≠０．　
命题２．５【。】设Ａ　Ｃ　Ｘ是连通集，Ｆ在Ａ上是上半连续的，且对任意ｚ∈Ａ，Ｆ（ｘ）　
是ｙ中的连通集，则Ｕ。∈ＡＦ（ｘ）是ｙ中的连通集．　

３．主要结论　
先给出几个引理．　
引理３．１设Ｋ　Ｃ　Ｙ是有有界基的闭锥，若Ｂ　Ｃ　Ｙ是非空弱紧集，则　∈Ｋ有　
Ｅ—ＳＥ（Ｂ，Ｋ）≠０．　
证明因为Ｋ　Ｃ　Ｙ有有界基，Ｋ　Ｃ　Ｙ是非空弱紧集，所以由命题２．４得ＳＥ（Ｂ，Ｋ）≠　
０．又由Ｋ　Ｃ　Ｙ是有有界基的闭锥，所以　是点闭凸锥．由命题２．１得ＳＥ（Ｂ，Ｋ）Ｃ　
Ｅ—ＳＥ（Ｂ，　）．故Ｅ—ＳＥ（Ｂ，Ｋ）≠０．　口　
设Ｂ　Ｃ　Ｙ是非空集合，Ｋ　Ｃ　Ｙ是闭凸锥，Ｅ∈Ｋ，　∈Ｂ，我们把满足ｃｌ（ｃｏｎｅ（Ｂ一　
雪＋Ｅ））ｎ（一　）＝｛Ｄ）的　全体记为Ｅ—ＰＥ（Ｂ，　）．　

引理３．２设ｙ在原点局部紧，Ｋ　Ｃ　Ｙ有紧基　，则雪∈Ｅ—ＳＥ（Ｂ，Ｋ）当且仅当　
存在Ｑ∈（０，　），使雪∈Ｅ—ＰＥ（Ｂ，　）．　
证明先证明必要性．　
设　∈Ｅ—ＳＥ（Ｂ，　），则　７＞０，使　

ｃｌ（ｃｏｎｅ（Ｂ一　＋Ｅ））ｎ（Ｓ—Ｋ）Ｃ　７・Ｓ，　
即　
ｃｌ（ｃｏｎｅ（Ｂ一　＋Ｅ））ｎ（Ｓ—　）　
有界．若　Ｅ—ＰＥ（Ｂ，‰）则　

Ｙａ∈（０，　），ｄ（ｃｏｎｅ（Ｂ一　＋Ｅ）ｎ（一　－Ｑ）≠｛Ｄ）．　
取｛Ｑ　）ｃ（０，　），Ｑ　０．则对任意的Ｑ　，　
ｄ（ｃｏｎｅ（Ｂ一　＋ｅ））ｎ（－ｄ（ｃｏｎｅ（Ｃ＋Ｑ　・Ｓ）））≠｛Ｄ），　
即存在ｔ　＞０，ｔ　＞０，Ｙ　∈Ｂ，Ｃ　ｎ∈Ｃ，８　ｎ∈Ｓ，使　
ｌｎ（ｓ，ｎ一　＋Ｅ）＝一　（ｃ　＋Ｑｍｓ　）＝ｄ≠Ｄ　

令ｔｌｎ（　一　＋Ｅ）＝一　２　ｒｎ＋Ｑ　８ｎ　）＋　，则　ｏ．因为ｓ是闭单位球，　是　的有　
界基，因此从ｎ　＋∞，有　２　ｃ　ｒｎ＋Ｑ　８　ｎ）＝一ｄ≠０，可知３Ｎ，当ｎ＞Ｎ时，ｔ　＞ａ＞０，　

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１期　邵建英：集值向量优化问题Ｅ一超有效解的性质　７１　
由　（ｋｏ）　０得￣Ｏ（ｙｏ）：￣ｏ（ｙ１）一　（ｋｏ）　（暑『１），而￣ｏ（ｙ１）　￣Ｏ（ｙｏ）所以￣Ｏ（ｙｏ）＝ｍｉｎ　ｑｏ・Ｆ（Ａ），　
于是ｍｉｎ　ｑｏ・Ｆ（Ａ）∈ｑｏ・Ｆ（￣ｚｌ＋（１一　）　２），从而　ｌ＋（１一　）　２∈Ｂ（　），即Ｂ（　）是　
凸的．　口　
对（３．１）式，引进集值映射ｇ：ｉｎｔＫ　＿＋２ｘ，　＿＋Ｂ（　）关于ｇ有如下的上半连续　
性．　

引理３．４【３】设Ａ　Ｃ　Ｘ是紧集，Ｋ　Ｃ　Ｙ是有有界基的锥．若Ｆ：Ａ＿＋２ｙ关于弱拓　
扑　（　ｙ　）在Ａ上是上半连续的，且对任意　∈Ａ，Ｆ（ｚ）是弱紧集，则９在ｉｎｔＫ　上是　
上半连续的．　

定理３．１设Ａ　ｃ　Ｘ是非空紧凸集，ｙ在原点局部紧，Ｋ　Ｃ　Ｙ是有紧基的锥，　
Ｆ：Ａ＿＋２ｙ关于弱拓扑　（　ｙ　）在Ａ上是上半连续的，且对任意　∈Ａ，Ｆ（　）是弱紧　
集．若Ｆ在Ａ上是　一凸的，则￡一ＳＥ（Ａ，Ｆ）Ｋ是连通的．　
证明先证￡一ＳＥ（Ａ，Ｆ）Ｋ＝Ｕ∞∈｛　ｔＫ。Ｂ　）．　
任取　∈￡一ＳＥ（Ａ，Ｆ）Ｋ，存在雪∈Ｆ（　）ｎ　ｓ—ＳＥ（Ｆ（Ａ），　），由引理３．２知，存在　
Ｑ∈（０，　）使雪∈￡一ＰＥ（Ｂ，　）即ｄ（ｃｏ￣ｅ（Ｆ（Ａ）一　＋￡））ｎ（一　）＝｛０），所以　

ｄ（ｃｏｎｅ（Ｆ（Ａ）＋Ｋ一雪））ｎ（－ｉｎｔＫ￣）＝毋．　
因为Ｆ在Ａ上是　一凸的，则由命题２．２得Ｆ（Ａ）＋Ｋ是凸的．再由凸集分离定理得，　
存在　∈Ｙ　＼｛０），使　

ｓｕｐ｛￣（ｋ）：ｋ∈一　）　ｉｎｆ｛￣（ｙ）：Ｙ∈ｄ（￣ｎｅ（Ｆ（Ａ）＋Ｋ一雪））），　
易证　∈Ｋ　＼｛０）且　（雪）　（　），Ｖｙ∈Ｆ（Ａ）．于是ｍｉｎ・Ｆ（Ａ）∈　・Ｆ（　），由命题２．４知　
金∈Ｂ（Ｆｊ　）ｃ　Ｕ∞∈　Ｋ・Ｂ（Ｆ１　）．　
任取　∈ｉｎｔＫ　，圣∈Ｂ（　），则存在雪∈Ｆ（金）使ｍｉｎ　・Ｆ（Ａ）＝　（雪）．如果雪　
￡一ＳＥ（Ｆ（Ａ），　），则存在　

｛ｔ　（　一雪＋￡）＝８　一　）Ｃ（ｃｏ￣ｅ（Ｆ（Ａ）一　＋￡））ｎ（Ｓ—Ｋ）　
是无界的，其中ｔ　＞０，Ｙ　∈Ｆ（Ａ），８　∈Ｓ，ｋ　∈Ｋ．因为｛８　）有界，所以｛　）无界，　
因而｛　＋ｔ　￡）Ｃ　Ｋ无界，于是存在　０∈Ｙ　，使ｓｕｐ｛ｋｏｏ（ｋ　＋ｔｎ￡）Ｉ）＝＋∞．不妨设　
０（　＋ｔ　￡）＿＋＋∞，因　∈ｉｎｔＫ　，对　０存在Ｑｏ＞０，使　一Ｑ０　０∈Ｋ　，所以　

（　＋ｔ　￡）一ａｏ￣ｏｏ（ｋｎ＋ｔ　￡）　０，　
故　（　＋ｔ　￡）＿＋＋∞．由于｛８　）有界，则当ｎ充分大时，　（ｔ　（　一雪））＝　（８　）一　（　＋　
ｔ　￡）＜０，即　（　）＜　（雪），这与ｍｉｎ　・Ｆ（Ａ）＝　（雪）矛盾．因此雪∈￡一ＳＥ（Ｆ（Ａ），Ｋ）故　
∈￡一ＳＥ（Ａ，Ｆ）Ｋ，即Ｕ∞∈｛　ｔＫ。Ｂ（　）Ｃ￡一ＳＥ（Ａ，Ｆ）Ｋ．　
再证￡一ＳＥ（Ａ，Ｆ）Ｋ是连通的．由引理３．３知Ｂ（Ｆ，　）是非空凸的，因而Ｂ（　）是　
连通的．由引理３．４知ｇ：ｉｎｔＫ　＿＋２ｘ，　＿＋Ｂ（Ｆ，　）在ｉｎｔＫ　上是上半连续的．再由命　
题２．５得￡一ＳＥ（Ａ，Ｆ）Ｋ是连通的．　口　

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