《一元二次方程》word版 公开课一等奖教案 (20)

按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。

2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。

从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。

本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。

第二章一元二次方程教学目标【知识与技能】1.一元二次方程的相关概念.2.灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况.4.能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题.5.构造一元二次方程解决简单的实际问题.【过程与方法】通过灵活运用解方程的方法，体会几种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法.【情感态度】通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用.【教学重点】运用知识、技能解决问题.【教学难点】解题分析能力的提高．教学过程一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及之间的关系.二、释疑解惑，加深理解1.一元二次方程的概念：如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知数且a≠0)，其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.2.直接开平方法：对于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可用直接开平方法解.直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2=d(d≥0)，然后直接开平方得和.3.配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法.用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．4.公式法：求根公式x=b2-4ac≥0）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．用公式法解一元二次方程的一般步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解.5.因式分解法：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解.6.一元二次方程的根的判别式：我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b 2-4ac ⑴当Δ=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等实数根即2142b b ac x a +=－－，2242b b acx a=－－－. ⑵当Δ=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根 ⑶当Δ=b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根. 7.一元二次方程的根与系数的关系：当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即：8.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：实际问题建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根的检验实际问题的解.【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫. 三、典例精析，复习新知1．（1）方程(m+1)xm 2-2m-1+7x-m=0是一元二次方程，则m 是多少？分析：首先根据一元二次方程的定义得，m 2-2m-1=2；再由一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的定义中a ≠0这一条件得m+1≠0来求m 的值．【答案】 m=3．（2）若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0的常数项为0，则m 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0分析：首先得出m 2-3m+2=0；再由一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的定义中a ≠0这一条件得m-1≠0来求m 的值．【答案】 B【教学说明】此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的一元二次方程问题时，命题者常利用a≠0设计陷阱.2.用适当的方法解一元二次方程(1)x2=3x (2)(x-1)2=3(3)x2-2x-99=0 (4)2x2+5x-3=0分析：方程（1）选用因式分解法；方程（2）选用直接开平方法；方程（3）选用配方法；方程（4）选用公式法.解：（1）x1=0,x2=3;(2)x1,x21=11,x2=-9;(4)x1=1/2,x2=-3.3.若(x2+y2)2-4(x2+y2)-5=0,则x2+y2=______.分析：用换元法设x2+y2=m得m2-4m-5=0，解得m1=5，m2=-1对所求结果，还要结合“x2+y2”进行取舍，从而得到最后结果．【答案】 54.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>-1 B．k>-1且k≠0C．k<1 D．k<1且k≠0分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)k=4k+4＞0得k＞-1，再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得k≠0．【答案】 B5.某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100％，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？分析：如果这种台灯售价上涨x元，那么每个台灯获利(40＋x－30)元，每月平均销售数量为(600－10x)个，销售利润为(40＋x－30)和(600－10x)的积．用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择.解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得(40＋x－30)(600－10x)=10000．即x2-50x+400=0．解得x1=10，x2=40．所以每个台灯的售价应定为50元或80元．当台灯售价定为80元时，销售利润率为5/3，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为2/3，符合要求．答：每个台灯售价应是50元.6.如图，要设计一个矩形的花坛，花坛长60m，宽40m，有两条纵向甬道和一条横向甬道，横向甬道的两侧有两个半圆环形甬道，半圆环形甬道的内半圆的半径为10m，横向甬道的宽度是其它各甬道宽度的2倍．设横向甬道的宽为2xm．(π的值取3)(1)用含x的式子表示两个半圆环形甬道的面积之和；(2)当所有甬道的面积之和比矩形面积的1/5多36m2时，求x的值．解：（1）两个半圆环形甬道的面积=π（10+x）2-π×102=3x2+60x（m2）；（2）依题意，得40×x×2+60×2x-2x2×2+3x2+60x=1/5×60×40+36，整理，得x2-260x+516=0，解得x1=2，x2=258（不符合题意，舍去），∴x=2；答：x的值为2．【教学说明】列方程解应用题注重考查了能力问题，表面文字比较复杂,但认真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了.四、复习训练，巩固提高1.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)=8【答案】 B2.关于x的一元二次方程(a－1)x2+x+a－1=0的一个根为0，则实数a的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．－1或1分析：把x=0代入方程得：|a|－1=0，∴a=±1.∵a－1≠0，∴a=－1．故选A.【答案】 A3.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为______．分析：设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1，x2，得∵Δ=（2k+1）2-4×（k2-2）=4k+9＞0，∴k＞-9/4.∵x1+x2=-（2k+1），x1·x2=k2-2，又∵x21+x22=11，∴（x1+x2）2-2x1x2=11.∴（2k+1）2-2（k2-2）=11，解得k=1或-3.∵k＞-9/4，∴k=1.【答案】 14.若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是______．分析：∵关于x的一元二次方程有实根，∴Δ=42－4a≥0，解之得a≤1.【答案】 a≤15.若关于x的一元二次方程x2－4x+k－3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.分析：根据根与系数的关系列出等式，再由已知条件x1=3x2联立组成方程组，解方程组即可.解:由根与系数的关系得:x1+x2=4①，x1·x2=k－3②又∵x1=3x2③，联立①、③，解方程组得1 23 1x x = =⎧⎨⎩.∴k=x1x2+3=3×1+3=6.方程两根为x1=3,x2=1;k=6.6.某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为______万元；（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）分析：用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解.解：（1）27－（3－1）×0.1=26.8.（2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27－（x－1）×0.1=（27.1－0.1x）万元，若x≤10,则（28－27.1+0.1x）x+0.5x=12解得x1=6,x2=－20(不合题意，舍去)若x>10,则（28－27.1+0.1x）x+x=12解得x3=5(与x>10矛盾，舍去),x4=－24(不合题意，舍去)答：公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.7.如图①，要设计一幅宽20cm，长60cm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为4∶3，如果要使所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为4∶3，可设每个横彩条的宽为4x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到长方形ABCD．(1)结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示：AB=_____cm；AD=_____cm；长方形ABCD的面积为_____cm2；(2)列出方程并完成本题解答．分析：（1）一条竖纹宽度为3x，长方形宽减去两条竖纹宽度，即为AB长度，同理，长方形长减去两条横纹宽度，即为AD长度；长方形面积为20×60×（1-1/3）=800；（2）在（1）的基础上，根据所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一列方程求解即可．解：（1）由题意得，AB=（20-6x）cm，AD=（60-8x）cm，长方形面积为60×20×（1-1/3）=800cm2．（2）由题意列方程得（20-6x）（60-8x）=2/3×1200，解得，x=56，x=10（舍去）．答：每个横彩纹的宽度为10/3cm，每个竖彩纹宽度为5/2cm．五、师生互动，课堂小结1、回顾整理今日收获.2、你还有哪些困惑和疑问？课后作业布置作业：教材“复习题2”中第3、4、5、11、12题.教学反思通过画知识框图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系；让学生对典型例题、自身错题进行整理，从而使学生抓住本章的重点、突破学习的难点.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

1 一元二次方程一等奖创新教案《17.1 一元二次方程》教案学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力．2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念．难点：由实际问题列出一元二次方程．准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项．教学过程：走进一元二次方程问题:某小组同学元旦互赠贺年卡一张,全组共增贺年卡90张,求这个小组的同学数.列方程：___整理得：你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？探究新知问题1、把195张图片平均分给若干名学生，已知每人分得的图片数比人数少2.问学生有多少人问题2.一块面积是125cm2长方形铁片，它的长是宽的5倍，则铁片的长是多少？问题1可列方程___ 整理得___①问题2可列方程___ 整理得___②1、2、观察①②两个方程以及上述两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义．定义:只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.一般形式: (ɑ0)其中是二次项，bx是一次项，c是常数项，二次项系数，b一次项系数．展示反馈【挑战自我】1、判断下列方程是否是一元二次方程；（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2；___（2）7x－3=2x2；（3）（2x－1）－3x（x－2）=0 （4）2x（x－1）=3（x＋5）－4．3、判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解；（1）±1 ±2；（2）±2，±4学会新知：1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程．2、一元二次方程的一般形式：_________ ，其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数．自主探究：完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数．（（1）（2）归纳小结：1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？。

一元二次方程（1）初中数学组赵赛赛一教学目标知识与技能:（1）理解一元二次方程的概念；（2）理解一元二次方程的一般形式及其有关概念。

过程与方法：通过丰富的实例，观察，理解并掌握一元二次方程的概念和一般表达式。

情感态度与价值观：经历有具体问题抽象出一元二次方程等有关概念的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型；经历设置丰富的问题情境，体会建立数学模型解决问题的优点，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣。

二．教学重难点重点：理解一元二次方程的概念及一般形式。

难点：理解并掌握一元二次方程的概念及一般形式。

三．教学方法自主探究四．教学手段多媒体课件五．课时1课时六．课型新授课七．教学过程（一）、回顾知识1好，同学们，我们一起来回忆下之前都学过哪些方程，还记得吗那么什么样的方程色一元一次方程其中的“元”和“次”分别表示什么意思（学生举手回答）（二）、问题导入1 很好，看来同学们都还记得，接下来我们一起来看看这两个问题。

（出示，宽50cm ，在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛（1）让学生四人为一组分组讨论，列出方程。

（教师分析并指导）（2）观察所列方程，它们之间有什么共同点（3）观察所列方程，再类比一元一次方程的概念，你是否能总结出一元二次方程的概念。

（4）根据你所列方程是归纳一元二次方程的一般形式是什么其中二次项、二次项系数、一次项、一次项的系数分别是什么师生共同总结：（1）像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（2次）的方程，叫做一元二次方程。

（2）一般地，任何一个关于的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：a2bc=0（a≠0这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

一元二次方程优秀教案•相关推荐一元二次方程优秀教案（通用11篇）作为一名默默奉献的教育工作者，可能需要进行教案编写工作，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。

那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？以下是小编整理的一元二次方程优秀教案，仅供参考，大家一起来看看吧。

一元二次方程优秀教案篇1教学目标1．了解整式方程和一元二次方程的概念；2．知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式，一元二次方程。

3．通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。

难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议：1．教材分析：1）知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。

2）重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。

方程，只有当时，才叫做一元二次方程。

如果且，它就是一元二次方程了。

解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。

（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。

如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。

如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。

教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。