安徽省合肥市庐江县八年级(上)期末数学试卷

第一学期期末考试 八年级数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内．）1．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（）2．函数=y 1-x 的自变量x 的取值范围是（）A ．0≥xB ．0>xC ．1≥xD ．1>x 3．将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于（） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°4．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如图：∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合．由此可得△MOC ≌△NOC ．过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 的平分线，在这种作法中，判断△MOC ≌△NOC 的依据是（）A ．AASB ．SASC ．ASAD ．SSS 5．已知一次函数b kx y +=，当2<x 时，0>y ，则下列判断正确的是（） A ．图象经过第一、二、四象限 B ．图象经过第一、二、三象限 C ．图象经过第一、三、四象限D ．图象经过第二、三、四象限6．若点P （a ，a －2）在第四象限，则a 的取值范围是（） A ．－2＜a ＜0 B ．0＜a ＜2 C ．a ＞2 D ．a ＜0 7．各边长均为整数、周长为10的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在平面直角坐标系中，把直线x y =向左平移一个单位长度后，其解析式为（） A ．1+=x y B ．x y = C ．1-=x y D ．2-=x y9．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法有（） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4个第4题图10．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动，即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→（2，0）→（2，1）→…，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（） A ．(4，0) B ． (5，5) C ．(0，5) D ．(5，0)二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案直接填在题后的横线上．）11．点P 关于x 轴对称的点是（2，－1），则P 点的坐标是 ． 12．命题“如果0>ab ，那么a 、b 都是正数”是 ．（填“真命题”或“假命题”） 13．如图所示，请用不等号“＜”或“＞”表示∠1、∠2、∠3的大小关系： ．14．如图，△ABC 的周长为30cm ，DE 垂直平分边AC ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，连接AD ，若AE=4cm ，则△ABD 的周长是= ．15．某机械油箱中装有油60升，工作时平均每小时耗油5升，则工作时，油箱中剩余油量Q （升）与工作时间t （时）之间的函数关系式是 ． 16．若△ABC 的一个外角等于140°，且∠B=∠C ，则∠A= ．17．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：①y 随x 的增大而减小；②b >0；③关于x 的方程0kx b +=的解为2x =；④0<+b kx 的解集是2<x ．其中说法正确的有 ．（把你认为说法正确的序号都填上）． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知A （3，4）、B （0，2），在x 轴上有一动点C ，当△ABC 的周长最小时，C 点的坐标为 ．三、解答题（本大题共6小题，共46分．）x y O 2 y 12 319．（本题满分6分）如图，点A 、C 、B 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A=∠F ，AB=FD ．求证：AE=FC ．【证明】20．（本题满分8分）正比例函数x y 2=的图象与一次函数k x y +-=3的图象交于点P （1，m ）． （1）求k 的值；（2）求两直线与y 轴围成的三角形面积． 【解】21．（本题满分8分）如图，已知CD AB ⊥于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE ，CD 交于点O ，且OB =OC ．求证：AO 平分∠BAC ． 【证明】E A B DF C22．（本题满分8分）如图，一艘船从A 处出发，以每小时10海里的速度向正北航行，从A 处测得礁石C 在北偏西30°方向上，如果这艘船上午8：00从A 处出发，10：00到达B 处，从B 处测得礁石C 在北偏西60°方向上，问：（1）12：00时这艘船距离礁石多远？（2）这艘船在什么时刻距离礁石最近？ 【解】23．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，N 是AB 上任一点（不与A 、B 重合），过N 作NM ⊥AB 交BC 所在直线于M ， （1）若∠A=30°．求∠NMB 的度数； （2）如果将（1）中∠A 的度数改为68°，其余条件不变，求∠NMB 的度数； （3）综合（1）（2），你发现有什么样的规律性，试证明之；（4）若将（1）中的∠A 改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？ 【解】24．（本题满分8分）DA B M C N某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：y （元）． （1）求y 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a 元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 【解】庐江县2016-2017学年度第一学期期末考试八年级数学试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．D 2．C 3．A 4．D 5．A 6．B 7．B 8．A 9．C 10．D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11．（2，1）； 12．假命题； 13．∠3＜∠2＜∠1；14．22cm ； 15．t Q 560-=；16．40°或100°；17．①②③；18．（1，0）； 三、解答题（本大题共6小题，共46分） 19．证明：∵BE ∥DF ，∴∠ABE =∠D ， ……………2分 在△ABC 和△FDC 中，∠ABE =∠D ，AB =FD ，∠A=∠F ∴△A BE ≌△FDC （ASA ）， ……………5分 ∴AE =FC ． ……………6分20．解：（1）当1=x 时，2=m ，所以P （1，2）， ……………2分 将2,1==y x 代入k x y +-=3，得k +-=32，得：k =5， ……………4分（2）该一次函数解析式为53+-=x y ，与y 轴交点坐标为（0，5）所以两直线与y 轴围成的三角形面积是5.25121=⨯⨯ ……………8分 21．（8分）证明：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴∠ODB =∠OEC=90°，在△BDO 和△CEO 中∵∠DOB =∠EOC ， OB =OC ，∴△BDO ≌△CEO （AAS ）．…………4分 ∴OD=OE ，∴AO 平分∠BAC ．（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）…………8分22．解：（1） 根据题意，得：∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠C=∠CBD －∠CAD=30° ∴∠C=∠CAD ， ∴BC=AB=10×2=20（海里）设12：00时这艘船所在位置为F ，连接FC ， 则BF=10×（12－10）=20（海里） ∴BF=BC∴△CBF 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） ∴FC=BF=20 …………4分 （2） 作CG ⊥AB 于G ，则这艘船行至G 处距离礁石最近，∵△BCF 为等边三角形，∴G 为BF 的中点。

2021-2022学年安徽省合肥市庐江县八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列微信表情图标属于轴对称图形的是()A. B. C. D.2.若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为()A. 1cmB. 2cmC. 5cmD. 8cm3.某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为()A. 9.5×10−7B. 9.5×10−8C. 0.95×10−7D. 95×10−84.如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=24°，则∠2的度数是()A. 54°B. 48°C. 46°D. 76°5.若x2+2(m−1)x+16是完全平方式，则m的值为()A. ±8B. −3或5C. −3D. 56.如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是()A. SASB. ASAC. AASD. SSS7.△ABC中，AB=4，∠B=∠C=15°，则△ABC的面积是()A. 2B. 4C. 6D. 88.下列计算正确的是()D. (x3)2=x6A. x3÷x3=0B. (−3x)2=6x2C. 2x−2=12x29.△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于()A. 67.5°B. 22.5°C. 45°D. 67.5°或22.5°10.元旦期间，庐江某商城生意火爆．元月1日，某商品的售价是m元/千克，元月2日，该商品的售价调整为n元/千克(m≠n)，顾客甲1日和2日分别购买2千克的该商品；顾客乙1日与2日分别购买20元的该商品．在这两次购物中，顾客甲、乙购买该商品的平均单价谁划算()A. 甲划算B. 乙划算C. 一样划算D. 无法比较二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）=______．11.化简：x2yxy212.因式分解：3ab2−6ab+3a=______．13.一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为______．14.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，点M、N分别在BC、CD上，(1)当∠MAN=∠C时，∠AMN+∠ANM=______°；(2)当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=______°.三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）)−2．15.计算：(π−2022)0−(−12四、解答题（本大题共8小题，共82.0分）16.化简：(3m+n)2−3m(m+2n)．17.如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A=∠B.试说明：AC=BD．18.如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．(1)探究：上述操作能验证的等式是______．(2)应用：利用(1)中得出的等式，计算：(1−122)(1−132)(1−142)…(1−192)(1−1102)．19.先化简：3−a2a−4÷(a+2−5a−2)，再从2，−2，3，−3中选一个合适的数作为a的值代入求值．20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为A(4,−4)，B(1,−1)，C(3,−1)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)直接写出点A1，B1，C1的坐标；(3)在△A1B1C1中，求∠A1B1C1的度数．21.如图，在平面直角坐标系中，已知DA⊥x轴于点A，CB⊥x轴于点B，∠COD=90°，CO平分∠BCD，CD交y轴于点E．(1)求证：DO平分∠ADC．(2)若点A的坐标是(−3,0)，求点B的坐标．22.某社区拟用60m2建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类．比B类多2m2.若单独建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的35(1)求每个A、B类摊位的占地面积；(2)已知该社区混合建A类和B类摊位，刚好全部用完60m2.写出建A、B两类摊位个数的所有方案，并说明理由．23.已知：△ABC为等边三角形，D为射线CB上一点，E为射线AC上一点，AD=DE．(1)如图1，当点D为线段BC的中点，点E在AC的延长线上时，求证：BD+AB=AE；(2)如图2，当点D为线段BC上任意一点，点E在AC的延长线上时，(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，当点D在CB的延长线上，点E在线段AC上时，BD、AB、AE之间又有何数量关系？请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；B、不是轴对称图形，本选项不合题意；C、是轴对称图形，本选项符合题意；D、不是轴对称图形，本选项不合题意．故选：C．结合轴对称图形的概念求解即可．本题考查了轴对称图形的概念，.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：设第三边为x cm，∵三角形的两边长分别为3cm和5cm，∴5cm−3cm<x<5cm+3cm，即2cm<x<8cm，∴5cm符合题意，故选：C．设第三边为x cm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，选出合适的x的值即可．本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．3.【答案】A【解析】解：0.00000095=9.5×10−7，故选：A．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4.【答案】A【解析】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=24°，∠F=30°，∴∠BEF=∠1+∠F=54°，∵AB//CD，∴∠2=∠BEF=54°．故选：A．首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度不大．5.【答案】B【解析】解：∵x2+2(m−1)x+16是完全平方式，而16=42，∴m−1=4或m−1=−4，∴m=5或−3．故选：B．由于x2+2(m−1)x+16是完全平方式，而16=42，然后根据完全平方公式即可得到关于m的方程，解方程即可求解．本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．6.【答案】D【解析】解：如图，由作图可知，OA=OB=CE=EF，BA=CF．在△AOB和△CEF中，{AO=CE OB=EF AB=CF，∴△AOB≌△CEF(SSS)，故选：D．如图，由作图可知，OA=OB=CE=EF，BA=CF.根据SSS证明△AOB≌△CEF．本题考查作图−尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．7.【答案】B【解析】解：∵AB=4，∠B=∠C=15°，∴AB=AC=4，过C作CD⊥AB交BA的延长线于D，∵∠B=∠ACB=15°，∴∠CAD=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，∵AC=4，CD是AB边上的高，∴CD=12AC=12×4=2，∴S△ABC=12×4×2=4，故选：B．据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD的度数，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：A、x3÷x3=1，故此选项错误；B、(−3x)2=9x2，故此选项错误；C、2x−2=2x2，故此选项错误；D、(x3)2=x6，故此选项正确．故选：D．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．9.【答案】D【解析】解：①如右图所示，CD在△ABC内部，∵AB=AC，CD为AB上的高，∴∠B=∠ACB，∠CDB=90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC=∠DCA=45°，(180°−45°)=67.5°，∴∠B=∠ACB=12∴∠BCD=∠ACB−ACD=67.5°−45°=22.5°；②如右图所示，CD在△ABC外部，∵AB=AC，CD为AB上的高，∴∠B=∠ACB，∠CDB=90°，又∵△ADC是等腰三角形，∴∠DAC=∠DCA=45°，∴∠B=∠ACB=1×45°=22.5°，2∴∠BCD=∠ACB+ACD=22.5°+45°=67.5°；故答案是22.5°或67.5°．故选：D．根据题意，应该考虑两种情况，①CD在△ABC内部；②CD在△ABC外部．分别结合已知条件进行计算即可．本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角的计算．注意分类讨论．此类题一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．10.【答案】B【解析】解：∵顾客甲购买该商品的平均单价为2m+2n 4=m+n 2(元/千克)， 顾客甲购买该商品的平均单价为20+2020m +20n =2mn m+n (元/千克)，∴m+n 2−2mn m+n =(m+n)2−4mn 2(m+n)=(m−n)22(m+n)>0， ∴乙划算．故选：B ．根据加权平均数的公式分别表示出顾客甲、乙购买该商品的平均单价，再利用作差法比较大小即可．此题考查了加权平均数，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.【答案】x y【解析】解：x 2y xy 2=x y ．故答案为：x y ．直接利用分式的性质化简进而得出答案．此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．12.【答案】3a(b −1)2【解析】解：原式=3a(b 2−2b +1)=3a(b −1)2．故答案为：3a(b −1)2．先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解．本题考查提取公因式法和公式法进行因式分解，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式的结构是解题关键．13.【答案】八【解析】【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n−2)⋅180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，(n−2)⋅180°=3×360°，解得n=8，∴这个多边形为八边形．故答案为八．14.【答案】121118【解析】解：(1)∵∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，∴∠C=180°−121°=69°，∴∠MAN=∠C=69°，∴AMN+∠ANM=180°−∠MAN=180°−69°=121°，故答案为121．(2)如下图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB=121°，∴∠HAA′=59°，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=59°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×59°=118°．故答案为：118．(1)由三角形内角和定理求出∠C=180°−121°=69°，所以∠MAN=∠C=69°，即可求出AMN+∠ANM．(2)作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．作DA延长线AH，利用三角形内角和定理即可．本题考查两角度数和的求法，考查三角形性质的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．15.【答案】解：原式=1−4=−3．【解析】化简零指数幂，负整数指数幂，然后再计算．本题考查负整数指数幂，零指数幂，理解a0=1(a≠0)，a−p=1a p(a≠0)是解题关键．16.【答案】解：原式=(9m2+6mn+n2)−(3m2+6mn)=9m2+6mn+n2−3m2−6mn=6m2+n2．【解析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．此题考查了完全平方公式，以及单项式乘多项式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．17.【答案】证明：∵E是AB的中点，∴AE=BE，在△AEC和△BED中，{∠A=∠BAE=BE∠AEC=∠BED，∴△AEC≌△BED(ASA)，∴AC =BD ．【解析】证明△AEC≌△BED(ASA)，可得AC =BD ．本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．18.【答案】a 2−b 2=(a +b)(a −b)【解析】解：(1)第一个图形中阴影部分的面积是a 2−b 2，第二个图形的面积是(a +b)(a −b)，则a 2−b 2=(a +b)(a −b)．故答案为：a 2−b 2=(a +b)(a −b)；(2)原式=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)⋯(1−110)(1+110)=12×32×23×43×⋯×910×1110=1120．(1)分别计算图1和图2中阴影部分的面积，根据面积相等即可得出答案；(2)逆用平方差公式，中间项全部约分掉，只剩下第一项和最后一项，从而得出答案． 本题考查了平方差公式的几何背景，掌握a 2−b 2=(a +b)(a −b)是解题的关键． 19.【答案】解：原式=−(a−3)2(a−2)÷(a 2−4a−2−5a−2)=−(a −3)2(a −2)⋅a −2(a +3)(a −3)=−12(a+3)，∵a −2≠0，a −3≠0，a +3≠0，∴a ≠2，a ≠±3，∴当a =−2时，原式=−12×(−2+3)=−12．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出a 的值，继而代入计算即可．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)点A1，(4,4)，B1(1,1)，C1(3,1)；(3)∠A1B1C1=45°．【解析】(1)根据轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；(2)根据点A1，B1，C1的位置写出坐标即可；(3)利用网格特征解决问题即可．本题考查作图−轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：∵CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠BCO，∵CB⊥x轴，DA⊥x轴，∴DA//CB//y轴，∴∠BCO=∠EOC，∠ADO=∠EOD，∴∠EOC=∠DCO，∵∠COD=90°，∴∠DCO+∠ODC=90°，∠EOC+∠EOD=90°，∴∠EOD=∠EDO，∴∠EDO=∠ADO，∴DO平分∠ADC．(2)解：过点O作OF⊥CD于点F，则∠OFD=∠OFC=90°，∵DO平分∠ADC，CO平分∠DCB，OA⊥AD，OB⊥CB，∴OA=OF，OF=OB，∴OA =OB ，∵A(−3,0)，∴OB =OA =3，∴B(3,0)．【解析】(1)先由DA ⊥x 轴、CB ⊥x 轴得到DA//CB//y 轴，进而得到∠ADO =∠ODE 、∠EOC =∠OCB ，再由∠COD =90°得到∠DOE +∠EOC =90°和∠ODE +∠DCO =90°，然后得到∠EOD =∠EDO ，从而得到∠ADO =∠EDO ，即可得证DO 平分∠ADC ；(2)过点O 作OF ⊥CD 于点F ，然后由角平分线的性质定理得到OA =OF 、OF =OB ，再由点A(−3,0)求得点B 的坐标．本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质定理，解题的关键是熟练应用三角形的内角和定理求得∠EDO =∠DOE ．22.【答案】解：(1)设每个B 类摊位的占地面积为xm 2，则每个A 类摊位的占地面积为(x +2)m 2，依题意得：60x+2=35×60x ，解得：x =3，经检验，x =3是原方程的解，且符合题意，∴x +2=5．答：每个A 类摊位的占地面积为5m 2，每个B 类摊位的占地面积为3m 2．(2)有3个方案，理由如下：设建造a 个A 类摊位，b 个B 类摊位，由题意得：5a +3b =60，则a =12−35b ，∵a 、b 为正整数，∴{a =9b =5或{a =6b =10或{a =3b =15， ∴共有3个方案：①A 类摊位9个，B 类摊位5个；②A 类摊位6个，B 类摊位10个；③A 类摊位3个，B 类摊位15个．【解析】(1)设每个B类摊位的占地面积为xm2，则每个A类摊位的占地面积为(x+2)m2，由题意：社区拟用60m2建A、B两类摊位以搞活“地摊经济”，若单独建A类或B类摊位，.列出分式方程，解方程即可；则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的35(2)设建造a个A类摊位，b个B类摊位，由题意：该社区混合建A类和B类摊位，刚好全部用完60m2.列出二元一次方程，求其正整数解即可．本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．23.【答案】证明：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∵点D为线段BC的中点，∠BAC=30°，∴BD=CD，∠CAD=12∵AD=DE，∴∠E=∠CAD=30°，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=60°−30°=30°，∴∠CDE=∠E，∴CD=CE，∴AE=AC+CE=AB+CD=AB+BD；(2)成立，理由如下：如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，∵BH=BD，∠B=60°，∴△BDH为等边三角形，∴∠BHD=60°，BD=DH，∵AB−BH=BC−BD，即AH=DC，∵AD=DE，∴∠E=∠CAD，∴∠BAC−∠CAD=∠ACB−∠E，即∠BAD=∠CDE，∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，∴180°−∠BHD=180°−∠ACB，即∠AHD=∠DCE，在△AHD和△DCE，{∠DAH=∠CDE AH=CD∠AHD=∠DCE，∴△AHD≌△DCE(AAS)，∴DH=CE，∴BD=CE，∴AE=AC+CE=AB+BD；(3)AB=BD+AE，理由如下：如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，EF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，∴EF//BC，∴∠EDB=∠DEF，在△AFD和△EFD中，{AD=DE DF=DF AF=EF，∴△AFD≌△EFD(SSS)，∴∠ADF=∠EDF，∠DAF=∠DEF，∴∠FDB=∠EDF+∠EDB，∠DFB=∠DAF+∠ADF，∵∠EDB=∠DEF，∴∠FDB=∠DFB，∴DB=BF，∵AB=AF+FB，∴AB=BD+AE．【解析】(1)如图1，利用△ABC是等边三角形得出角，边关系，利用AD=DE，得出△CDE 是等腰三角形，得出CD=CE，由线段关系可得出BD+AB=AE；(2)如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，利用AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE= AB+BD；(3)如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，EF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应相等的线段．。

安徽省合肥市庐江县2015-2016学年度八年级数学上学期期末考试试题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，请将每小题唯一正确选项前的代号填入下面的答题栏内）1．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.000 002 5米的颗粒物，将0.000 002 5用科学记数法表示为（）A．0.25×10﹣5B．2.5×10﹣5C．2.5×10﹣6D．2.5×10﹣72．下列汽车标志图案中，不是轴对称图形的是（）A．B． C．D．3．下列运算中，正确的是（）A．4a•3a=12a B．a•a2=a3C．（3a2）3=9a6D．（ab2）2=ab44．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=20°，∠COD=100°，则∠C的度数是（）A．80° B．70° C．60° D．50°5．与分式的值相等的分式是（）A．B．C．D．﹣6．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．77．如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．15 B．±5C．30 D．±308．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．3cm B．7cm C．7cm或3cm D．8cm9．若P=（a+b）2，Q=4ab，则（）A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q10．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A5B5A6的边长为（）A．6 B．16 C．32 D．64二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．因式分解a3﹣4a的结果是．12．已知点A（1﹣a，5）与点B（3，b）关于y轴对称，则a﹣b的值是．13．请写出同时满足以下两个特点的一个分式：①分式有意义时字母的取值范围是x≠1；②当x=2时，分式的值为3，这样的分式可以是．14．如图，C为线段AE上一点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD 与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②△CDP≌△CEQ；③PQ∥AE；④∠AOB=60°．一定成立的结论有（把你认为正确结论的序号都填上）．三、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分）15．先化简（﹣）÷，然后从﹣1、﹣、1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．16．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）17．阅读下面求y2+4y+8的最小值的解答过程．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求x2﹣2x+3的最小值．18．如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，∠ADC=60°，求∠C的度数．五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，在边长为（2m+3）的正方形纸片中剪出一个边长为（m+3）的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，求另一边长．20．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．六、（本题满分12分）21．根据条件，求式子的值．（1）已知a+=﹣3，求a2+的值；（2）已知+=2，求的值．七、（本题满分12分）22．某水果店第一次用600元购进水果若干千克，第二次又用600元购进该水果，但这次每千克的进价比第一次进价的提高了25%，购进数量比第一次少了30千克．（1）求第一次每千克水果的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每千克售价至少是多少元？八、（本题满分14分）23．已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），（1）如图（1），当x为何值时，PQ∥AB；（2）如图（2），若PQ⊥A C，求x；（3）如图（3），当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．安徽省合肥市庐江县2015～2016学年度八年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，请将每小题唯一正确选项前的代号填入下面的答题栏内）1．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.000 002 5米的颗粒物，将0.000 002 5用科学记数法表示为（）A．0.25×10﹣5B．2.5×10﹣5C．2.5×10﹣6D．2.5×10﹣7【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 002 5=2.5×10﹣6；故选：C．【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．下列汽车标志图案中，不是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故正确；C、是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故错误．故选B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．下列运算中，正确的是（）A．4a•3a=12a B．a•a2=a3C．（3a2）3=9a6D．（ab2）2=ab4【考点】单项式乘单项式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据单项式乘单项式，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B，根据积的乘方，可判断C、D．【解答】解：A、系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，故A错误；B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B正确；C、3得利方是27，故C错误；D、积的乘方等于乘方的积，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，单项式的乘法：系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．4．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=20°，∠COD=100°，则∠C的度数是（）A．80° B．70° C．60° D．50°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】根据平行线性质求出∠D，根据三角形的内角和定理得出∠C=180°﹣∠D﹣∠COD，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠D=∠A=20°，∵∠COD=100°，∴∠C=180°﹣∠D﹣∠COD=60°，故选C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质的应用，关键是求出∠D的度数和得出∠C=180°﹣∠D﹣∠COD．5．与分式的值相等的分式是（）A．B．C．D．﹣【考点】分式的基本性质．【分析】由分式的变号法则，可以得到正确的答案．【解答】解：根据分式的变号法则：分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变．故A、B、D错误，只有C正确．故选C．【点评】解题的关键是正确运用分式的变号法则．分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变．6．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n﹣2）×180°=2×360，解得：n=6．即这个多边形为六边形．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．7．如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．15 B．±5C．30 D．±30【考点】完全平方式．【专题】计算题．【分析】本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是3x和5的平方，所以中间项应为加上或减去3x和5的乘积的2倍，所以kx=±2×3x×5=±30x，故k=±30．【解答】解：∵（3x±5）2=9x2±30x+25，∴在9x2+kx+25中，k=±30．故选D．【点评】对于完全平方公式的应用，要掌握其结构特征，两数的平方和，加上或减去乘积的2倍，因此要注意积的2倍的符号，有正负两种，本题易错点在于只写一种情况，出现漏解情形．8．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）A．3cm B．7cm C．7cm或3cm D．8cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．故选A．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．9．若P=（a+b）2，Q=4ab，则（）A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q【考点】因式分解-运用公式法；非负数的性质：偶次方．【专题】计算题；因式分解．【分析】把P与Q代入P﹣Q，去括号合并整理后，判断差的正负即可．【解答】解：∵P=（a+b）2，Q=4ab，∴P﹣Q=（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2≥0，则P≥Q，故选C【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A5B5A6的边长为（）A．6 B．16 C．32 D．64【考点】等边三角形的性质．【专题】规律型．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，故选B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11．因式分解a3﹣4a的结果是a（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】原式提取a后，利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．已知点A（1﹣a，5）与点B（3，b）关于y轴对称，则a﹣b的值是﹣1 ．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据两点关于y轴对称的点的坐标的特点列出有关a、b的方程求解即可求得a﹣b的值．【解答】解：∵点A（1﹣a，5）与点B（3，b）关于y轴对称，∴1﹣a=﹣3，b=5∴a=4，b=5∴a﹣b=4﹣5=﹣1故答案为﹣1．【点评】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，牢记点的坐标的变化规律是解决此类题目的关键．13．请写出同时满足以下两个特点的一个分式：①分式有意义时字母的取值范围是x≠1；②当x=2时，分式的值为3，这样的分式可以是．【考点】分式有意义的条件；分式的值．【专题】开放型．【分析】根据分式的值为0的条件，由①的叙述可知此分式的分子一定不等于0；由②的叙述可知此分式的分母当x=2时的值为3，根据求分式的值的方法，把x=2代入此分式，得分式的值为3．【解答】解：由题意，可知所求分式可以是：．（答案不唯一）．故答案是：．（答案不唯一）．【点评】本题是开放性试题，考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件及求分式的值的方法．14．如图，C为线段AE上一点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD 与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②△CDP≌△CEQ；③PQ∥AE；④∠AOB=60°．一定成立的结论有①②③④（把你认为正确结论的序号都填上）．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE；②由△ACD≌△BCE得∠CEB=∠CDA，加之∠ACB=∠DCE=60°，可得∠PCD=60°，DC=EC，得到△CDP≌△CEQ（ASA）；③由△CDP≌△CEQ，得到PC=QC，再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，即可证明；④利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知正确．【解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴①正确，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB=∠CDA，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠PCD=∠QCE，在△CDP和△CEQ中，∴△CDP≌△CEQ，②正确；∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE③正确，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用等边三角形的性质证明△CDP≌△CEQ．三、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分）15．先化简（﹣）÷，然后从﹣1、﹣、1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题；分式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a=﹣代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=，当a=﹣时，原式=﹣8．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）【考点】作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；（2）作点B关于x轴的对称点B'，然后连接AB'，与x轴的交点即为点P．【解答】解：（1）（2）所作图形如图所示：．【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）17．阅读下面求y2+4y+8的最小值的解答过程．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求x2﹣2x+3的最小值．【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【分析】多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值．【解答】解：x2﹣2x+3=x2﹣2x+1+3﹣1=（x﹣1）2+2≥2，∵（x﹣1）2≥0即（x﹣1）2的最小值为0，∴x2﹣2x+3的最小值为2．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18．如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC，∠ADC=60°，求∠C的度数．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠BAD=x．由AD平分∠BAC，得出∠CAD=∠BAD=x，∠BAC=2∠BAD=2x．由AC=BC，得出∠B=∠BAC=2x．根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=60°，即2x+x=60°，求得x=20°，那么∠B=∠BAC=40°．然后在△ABC中，根据三角形内角和定理得出∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=100°．【解答】解：设∠BAD=x．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=x，∠BAC=2∠BAD=2x．∵AC=BC，∴∠B=∠BAC=2x．∵∠ADC=∠B+∠BAD=60°，∴2x+x=60°，∴x=20°，∴∠B=∠BAC=40°．在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，难度适中．设∠BAD=x，利用∠ADC=60°列出关于x的方程是解题的关键．五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，在边长为（2m+3）的正方形纸片中剪出一个边长为（m+3）的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，求另一边长．【考点】因式分解的应用．【分析】由于边长为（2m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为m，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．【解答】解：依题意得剩余部分为：（2m+3）2﹣（m+3）2=4m2+12m+9﹣m2﹣6m﹣9=3m2+6m，而拼成的矩形一边长为m，∴另一边长是（3m2+6m）÷m=3m+6．答：若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为：3m+6．【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟记平方差、完全平分公式．20．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．【考点】等边三角形的性质．【专题】证明题．【分析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．【解答】证明：连接BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和2016届高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．六、（本题满分12分）21．根据条件，求式子的值．（1）已知a+=﹣3，求a2+的值；（2）已知+=2，求的值．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题；分式．【分析】（1）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理即可求出所求式子的值；（2）已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理得到a+b=2ab，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：（1）∵a+=3，∴（a+）2=a2+2+=9，则a2+=7；（2）∵+=2，∴=2，即a+b=2ab，则原式===﹣．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．七、（本题满分12分）22．某水果店第一次用600元购进水果若干千克，第二次又用600元购进该水果，但这次每千克的进价比第一次进价的提高了25%，购进数量比第一次少了30千克．（1）求第一次每千克水果的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每千克售价至少是多少元？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设第一次每千克水果的进价为x元，则第二次每千克水果的进价为（1+25%）x元，根据题意可列出分式方程解答；（2）设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）设第一次每千克水果是进价为x元，根据题意列方程得，﹣=30，解得x=4，经检验：x=4是原分式方程的解．答：第一次每千克水果的进价为4元．（2）设售价为y元，第一次每千克水果的进价为4元，则第二次每千克水果的进价为4×（1+25%）=5（元）根据题意列不等式为：×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，解得y≥6．答：每千克水果售价至少是6元．【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．最后不要忘记检验．八、（本题满分14分）23．已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s），（1）如图（1），当x为何值时，PQ∥AB；（2）如图（2），若PQ⊥AC，求x；（3）如图（3），当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点O，OQ与OP是否总是相等？请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】动点型．【分析】（1）首先得出△PQC为等边三角形，进而表示出PC=4﹣x，CQ=2x，由4﹣x=2x，求出答案；（2）根据题意得出CQ=PC，即2x=（4﹣x），求出即可；（3）根据题意得出QH=DP，进而判断出△OQH≌△OPD（AAS），即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠C=60°，∴当PC=CQ时，△PQC为等边三角形，于是∠QPC=60°=∠B，从而PQ∥AB，∵PC=4﹣x，CQ=2x，由4﹣x=2x，解得：x=，∴当x=时，PQ∥AB；（2）∵PQ⊥AC，∠C=60°，∴∠QPC=30°，∴CQ=PC，即2x=（4﹣x），解得：x=；（3）OQ=PO，理由如下：作QH⊥AD于H，如图（3），∵AD⊥BC，∴∠QAH=30°，BD=BC=2，∴QH=AQ=（2x﹣4）=x﹣2，∵DP=BP﹣BD=x﹣2，∴QH=DP，在△OQH和△OPD中，，∴△OQH≌△OPD（AAS），∴OQ=OP．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 2.5B. -3C. √2D. 02. 若a、b是实数，且a + b = 0，则下列结论正确的是（）A. a > 0，b < 0B. a < 0，b > 0C. a = 0，b = 0D. 无法确定3. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，下列结论正确的是（）A. ∠BAC = ∠ABCB. ∠BAC = ∠ACBC. ∠ABC = ∠ACBD. 无法确定4. 若x² - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2 或 3B. 1 或 4C. 1 或 2D. 2 或 45. 在平面直角坐标系中，点P（-3，2）关于原点的对称点是（）A.（3，-2）B.（-3，-2）C.（-3，2）D.（3，2）6. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3/xC. y = x² - 1D. y = √x7. 若a、b是方程x² - 4x + 3 = 0的两根，则a + b的值为（）A. 2B. 4C. 3D. 18. 下列各数中，绝对值最大的是（）A. -3B. 2C. 0D. -29. 已知一次函数y = kx + b（k ≠ 0）的图象经过点A（1，2），下列结论正确的是（）A. k > 0，b > 0B. k < 0，b < 0C. k > 0，b < 0D. k < 0，b > 010. 在等边三角形ABC中，若AB = AC = BC = 6，则三角形ABC的周长为（）A. 12B. 18C. 24D. 30二、填空题（每题3分，共30分）11. 若a、b是方程x² - 3x + 2 = 0的两根，则a² + b²的值为______。

12. 若x = -1是方程2x² - 5x + 3 = 0的解，则该方程的另一个解为______。