《数字信号处理导论_第4章》

(4-6b)
j 1
V jk (z) Fjk (z)W j (z)
(4-7)
相应的信号流图如图4.8所示。
第四章 数字滤波器的结构表示
源节 点1 1 X(z)或x(n)
a
2
3
z－ 1 b
4
吸收 节点 1 Y(z)或y(n)
图4.8 标有支路传输比的Z变换形式的流图
第四章 数字滤波器的结构表示
在图4.8中，每一个支路的传输比均列于该支路的箭头之侧。 对支路（2、4）而言，它所作的是单位延迟变换， 此时的传递
第四章 数字滤波器的结构表示
第四章 数字滤波器的结构表示
4.1 引言 4.2 数字滤波器的信号流图表示 4.3 数字网络的矩阵表示 4.4 无限冲激响应(IIR)系统的基本网络结构 4.5 转置型 4.6 有限冲激响应(FIR)系统的基本网络结构
第四章 数字滤波器的结构表示
4.1 引 言
在设计数字滤波器的过程中，通常总是根据工程指标，按一 定的设计方法或技术，正确确定能够满足所需指标要求的滤波器 的数学模型，然后利用计算机或专用硬件加以实现。为了论述方 便， 我们把滤波器数学模型的确定放到第六章数字滤波器的设计 方法中专门研究，而把数学模型的具体实现放在这里先作必要的 介绍。 而且在这一章中，我们只对该数学模型的硬件实现作必要 的讨论， 利用计算机实现的软件设计则不再赘述。
第四章 数字滤波器的结构表示
S jk (z) bjk X j (z) Rjk (z) c jkWj (z)
把它们代入式（4-6），
N
M
Wk (z) Fjk (z)Wj (z) bjk X j (z)
j 1
j 1
N
Yk (z) c jkWj (z) j 1

由此得到 x(n) n 3n u(n 1)
4. 围线积分法(留数法) 留数法是求Z反变换的一种有用的方法。 根据复变函数 理论， 若
X (z) x(n)z n ， Rx | z | Rx n
第 4 章 Ｚ变换
则
式中， c是X(z)的收敛域中的一条逆时针方向环绕原点的闭 合积分围线。
直接计算围线积分比较麻烦， 一般采用留数定理求解。 按照留数定理， 若函数F(z)=X(z)zn－1在围线c上连续， 在c内 有K个极点zk， 而在围线外部有M个极点zm（M和K都取有限 值）， 则有
第 4 章 Ｚ变换
2. 一般X(z)是z的有理分式， 可以表示为X(z)=B(z)/A(z)， B(z)、 A(z) 都是z的实系数多项式， 并且没有公因式。 记住了 常用序列的Z变换， 就可以将X(z)表示成简单项之和的形式， 而后求取其中的每一项Z反变换（可以查表）， 然后把求得的 每一项部分分式相加， 就得到所求的x(n)， 即若
第 4 章 Ｚ变换
（1） X(z)的收敛域为|z|>Rx－， x(n)必为因果序列， 此时 应将X(z)展开为z的负幂级数， 为此X(z)的分子、 分母应按照 z的降幂排列（或z－1升幂）；
（2） X(z)的收敛域为|z|<Rx+， x(n)必为左边序列， 此时 应将X(z)展开为z的正幂级数， 为此X(z)的分子、 分母应按照 z的升幂排列（或z－1降幂）。
1. 只在有限长度n1≤n≤n2内序列x(n)才具有非零值， 而在此 区间外x(n)=0， 即
第 4 章 Ｚ变换
x(n), n1≤n≤n2 x(n)= 0, 其他
这类序列称为有限长序列。 有限长序列的Z变换为
n2
X (z) x(n) zn nn1

k 0,1,..., N 1 2
5、时间抽取蝶形运算流图符号
X1(k)
X1(k) WNk X 2 (k)
X 2 (k )
WNk
1 X1(k) WNk X 2 (k)
返回DIF 返回例题
设 N 23 8
X1(k)
X 2 (k )
WNk
k 0
W80
1
W81
2
W82
3
W83
X (k)
k 0,1,,7
l0
l 0
X1(k) X 3(k) WNk X 4 (k)
2
X1(k
N 4
)
X 3 (k )
W Nk
2
X
4
(k)
k 0,1,..., N 1 4
x2(r)也进行同样的分解：
x5 (l) x2 (2l)
x6 (l) x2 (2l 1)
l 0,1,..., N 1 4
)
N
/ 21
x1(r)WNrk/ 2
X1(k)
r 0
r 0
X2(k N / 2) X2(k) X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
W (kN N
/
2)
WNkWNN
/
2
WNk
N点X(k)可以表示成前 N点和后 点N 两部分：
2
2
前半部分X(k)：
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
N 1
X (k) x(n)WNnk k = 0, 1, …, N-1
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n = 0, 1, …, N-1
二者的差别只在于WN 的指数符号不同，以及差一 个常数因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算量。

m WN
(4.2.2)
其对称性表现为
WN m WNN m WN
m N 2 m WN
或者 [WN
N m
m ] WN
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT 算 法 基 本 上 分 为 两 大 类 ： 时 域 抽 取 法 FFT(Decimation In Time FFT,简称DIT-FFT)和频域抽取 法FFT(Decimation In Frequency FFT,简称DIF―FFT)。 下面先介绍DIF―FFT算法。 设序列x(n)的长度为N，且满足
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2 基2FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 长度为N的有限长序列x(n)的DFT为
kn X ( k ) x ( n )WN , k 0,1, , N 1 n 0 N 1
(4.2.1)
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值， 直接按(4.2.1)式计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次 复数加法。
2 kr WN /2
所以
X (k )
N / 2 1

r 0
x1 ( r )W
kr N /2
W
k N
N / 2 1

r 0
kr k x2 ( r )WN X ( k ) W /2 1 N X 2 (k )
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT， 即
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减少运算量的措施 4.4 分裂基FFT算法 4.5 离散哈特莱变换(DHT)