创新设计数学人教B选修规范训练：221 综合法与分析法 含解析

．综合法和分析法
预习课本～，思考并完成下列问题()综合法的定义是什么？有什么特点？
()综合法的推证过程是什么？
()分析法的定义是什么？有什么特点？
()分析法与综合法有什么区别和联系？
[新知初探]
．综合法
．综合法、分析法的区别
[点睛]一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．
[小试身手]
．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) ()综合法是执果索因的逆推证法．( ) ()分析法就是从结论推向已知．( )
()所有证明的题目均可使用分析法证明．( )
答案：()× ()× ()×
．若＞＞，则下列不等式中不正确的是( )
．＞．＞
＞
．＞
答案：
．欲证－＜－成立，只需证( )
．(－)＜(－) ．(－)＜(－) ．(＋)＜(＋) ．(－－)＜(－)
答案：
．如果＞，则实数，应满足的条件是．
答案：＞＞。

2019人教版精品教学资料·高中选修数学2．2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法和分析法1．结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法．2．了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会用综合法和分析法证明具体的问题．通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性．基础梳理1．综合法．(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．其一般表示形式是由因导果．(2)用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q2．分析法．(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法. 其一般表示形式是执果索因．(2)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3．分析综合法．(1)定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，就可以证明结论成立．这种证明方法称为分析综合法．(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则分析综合法可用框图表示为：P⇒P1→P1⇒P2→…→P n⇒P′⇓Q m⇐Q′←…←Q1⇐Q2←Q⇐Q1基础自测1．设x，y∈R＋，且x＋y＝6，则lg x＋lg y的取值范围是(B)A．(－∞，lg 6] B．(－∞，2lg 3]C．[lg 6，＋∞) D．[2lg 3，＋∞)解析：∵x，y∈R＋，x＋y＝6，∴2xy≤6，即0＜xy≤9，∴lg xy≤lg 9，即lg x＋lg y≤2lg 3.故选B.2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a”索的因应是(C)A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐3a2＋ac－(a＋c)2＞0⇐(2a＋c)(a－c)＞0⇐(a－b)(a－c)＞0.故选C.3．已知f(x)＝x2，则f′(3)的值为__________________．解析：∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝2×3＝6.答案：64．当a∈________时，函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数．解析：f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数⇐a－1≤5⇐a≤6.答案：(－∞，6]（一）综合法证题的基本步骤(1)分析题目的条件和结论，寻找已知与结论之间的有关数学公式、公理、定理、定义等，确定解决的初步思路；(2)整合所得信息进行推理论证，得出结论．（二）分析法证题的步骤以及格式欲证Q成立，只需证P1，即证P2，只需证P3，…，即证P，因为P成立，所以Q成立或运用逆向推理符号“⇐”，需要注意的是推理符号的方向，不可用反、用错．（三）分析综合法的综合应用在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：用分析法找思路，用综合法写步骤．分析法与综合法相互转换、相互渗透、互为前提，充分利用这一辩证关系，注意它们的联合运用，可以增加解题思路，开阔视野．1．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合起来使用，即先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．2．用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件，不是必要条件，因此各步的寻求用“⇐”，有些步骤也可用“⇔”，但不能用“⇒”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“⇔”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说每步都可逆，或全部都用“⇔”表达．3．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．这些方法是综合法和分析法的延续与补充．1．“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ ”的证明过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”应用了(B )A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.2．要证明3＋5＜4，可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(B ) A ．综合法 B ．分析法 C ．比较法 D ．归纳法解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215<16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.3．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b ＋2ab 4＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b 2＞a ＋b2.又因为y ＝lg x 为增函数，所以有m ＞n .答案：m ＞n4．如图，长方形ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝1， AD ＝2，E 是BC 的中点．(1)求证：直线BB 1∥平面D 1DE ； (2)求证：平面A 1AE ⊥平面D 1DE ；(1)证明：在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，BB 1∥DD 1， 又∵BB 1⊄平面D 1DE ， DD 1⊂平面D 1DE ，∴直线BB 1∥平面D 1DE .(2)证明：在长方形ABCD 中， ∵AB ＝AA 1＝1， AD ＝2，∴AE ＝DE ＝ 2.∴AE 2＋DE 2＝4＝AD 2， 故AE ⊥DE .∵在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ACBD ， ∴DD 1⊥AE .又∵DD 1∩DE ＝D ， ∴直线AE ⊥平面D 1DE . 而AE ⊂平面A 1AE ，所以平面A 1AE ⊥平面D 1DE .1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝(D ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．52．在三角形中，a 为最大边，要想得到三角形为锐角三角形的结论，三边a ，b ，c 应满足说明条件(A )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：若三角形为锐角三角形，即∠A 为锐角，由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0，∴b 2＋c 2－a 2＞0.3．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是{a n }的前n 项和，则(B) A ．S 4＜S 5 B ．S 4＝S 5 C ．S 6＞S 5 D ．S 6＝S 5解析：∵a 2＋a 8＝－6＋6＝0，∴a 5＝0，又公差d >0，∴S 5＝S 4.4．要使 3a －3b ＜3a －b 成立，则a ，b 应满足的条件是(D) A ．ab ＜0且a ＞b B ．ab ＞0且a ＞b C ．ab ＜0且a ＜bD ．ab ＜0且a ＜b 或ab >0且a >b解析：思路不明确，用分析法寻求使不等式成立的条件． 3a －3b ＜3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b ＜a －b ⇔3ab 2＜3a 2b ，∴当ab ＞0时，有3b ＜3a ，即b ＜a ；当ab ＜0时，由3b ＞3a ，即b ＞a . 所以选D.5．已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题： ①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确命题的个数是(B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：①因为a ∥b ，b ∥α⇒a ∥α或a ⊂α，所以①不正确．②因为a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，当a 与b 相交时，才能α∥β，所以②不正确． ③α∥β，过a 作一平面γ，设γ∩β＝c ，则c ∥a ，又a ⊥α⇒c ⊥α⇒α⊥β，所以③正确．④a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ，所以④正确． 综上知③，④正确．6．a ＞0，b ＞0，则下列不等式中不成立的是(D )A ．A ＋B ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C.a 2＋b 2ab≥a ＋b D.2aba ＋b ≥ab解析：特殊法，取a ＝1，b ＝4，则D 不成立．7．函数f (x )＝In 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________．解析：因为f (－x )＝In 1＋x 1－x ＝In ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝In 1－x 1＋x ＝－f (x )，所以f (－a )＝－f (a )＝－b .答案：－b8．设a ＝3＋7，b ＝2＋6，则a 、b 的大小关系为________．解析：由12＋3＞16＋7，化简得2－3＞7－ 6.从而2＋6＞3＋7，即a ＜b答案：a ＜b9．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，(m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，则p 与q 的大小关系为________．解析：p 2＝ab ＋cd ＋2abcd ，q 2＝(ma ＋nc )⎝ ⎛⎭⎪⎫b m ＋d n＝ab ＋nbc m ＋madn＋cd ≥ab ＋cd ＋2abcd ∴q 2≥p 2，∴p ≤q . 答案：p ≤q10．当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：x 2＋mx ＋4＜0⇔m ＜－x －4x，∵y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(1，2)上单调递增，∴－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ∈(－5，－4)．∴m ≤5.答案：(－∞，－5]11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c2.代入上式得（a ＋c ）24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．12．如下图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .证明：(1)由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知，EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面ABC 而BC ⊂平面ABC . ∴EF ∥平面ABC .(2)由三棱锥ABC ­A 1B 1C 1为直三棱柱知，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1， ∴A 1D ⊥CC 1，又A 1D ⊥B 1C .CC 1∩B 1C ＝C ，又CC 1，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴A 1D ⊥平面BB 1C 1C .又A 1D ⊂平面A 1FD ， ∴平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .►品味高考1．(2014·安徽高考)设a＝log3 7，b＝21.1，c＝0.83.1，则(B)A．b＜a＜c B．c＜a＜bC．c＜b＜a D．a＜c＜b解析：∵a＝log3 7，∴1＜a＜2.∵b＝21.1，∴b＞2.∵c＝0.83.1，∴0＜c＜1.故c＜a＜b，选B.π，c＝π－2，则(C)2．(2014·天津高考)设a＝log2π，b＝log12A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞b＞aπ＜0.因为π＞1，解析：因为π＞2，所以a＝log2π＞1.因为π＞1，所以b＝log12所以0＜π－2＜1，即0＜c＜1.所以a＞c＞b.3．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA ⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴ABDE为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD.∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.∴PA⊥CD.又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF.∴CD⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面PCD.。

数学·选修1－2(人教A版)2.2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法和分析法►达标训练1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”应用了( )A．分析法B．综合法C．综合法与分析法结合使用D．演绎法解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.答案：B2．要证明3＋5<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( )A．综合法 B．分析法C．比较法 D．归纳法解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215 <16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.答案：B3．已知a＞0，a－b＋c＜0，其中a，b，c均为实数，则一定有( )A．b2－4ac＞0 B．b2－4ac≤0C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥0答案：A4．要使3a－3b＜3a－b成立，则a，b应满足的条件是( )A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0且a＜bD．ab＜0且a＜b或ab>0且a>b解析：思路不明确，用分析法寻求使不等式成立的条件．3a－3b＜3a－b⇔a－b＋33ab2－33a2b＜a－b⇔3ab2＜3a2b，∴当ab＞0时，有3b＜3a，即b＜a；当ab＜0时，有3b＞3a，即b＞a. 所以选D.答案：D5．已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必定有( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案：A6．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若S1＝1，＝4，则的值为( )A.94B.32C.54D.4解析：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4得＝3，则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.答案：A►素能提高1．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5 答案：D2．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不能定解析：取特殊值．如取a ＝2，b ＝－1，c ＝－1知选B. 答案：B3．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b ＋2ab 4>⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22所以a ＋b 2>a ＋b2.又因为y ＝lg x 为增函数， 所以有m >n . 答案：m ＞n4．若平面内OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且⎪⎪⎪⎪OP 1→＝⎪⎪⎪⎪OP 2→＝⎪⎪⎪⎪OP 3→，则△P 1P 2P 3的形状一定是______________．解析：设⎪⎪⎪⎪OP 1→＝⎪⎪⎪⎪OP 2→＝⎪⎪⎪⎪OP 3→＝r ，所以P 1，P 2，P 3均在以O 为圆心，r 为半径的圆上， 又因为OP1→＋OP 2→＋OP 3→＝0， 所以有⎪⎪⎪⎪OP 1→＋OP 2→＝⎪⎪⎪⎪－OP 3→＝r ， 即有OP 1→2＋2OP 1→·OP 2→＋OP 2→2＝r 2， 所以OP 1→·OP2→＝－r 22， 即cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→⎪⎪⎪⎪OP 1→·⎪⎪⎪⎪OP 2→＝－12， 所以∠P 1OP 2＝120°，故∠P 1P 3P 2＝60°.同理可证∠P 2P 1P 3＝60°，故△P 1P 2P 3是正三角形． 答案：正三角形5．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析：由于y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，而点A 在直线上，则m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1，所以，1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋mn ≥2＋4， 当且仅当m ＝n ＝12时，1m ＋1n 取得最小值4.答案：46．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c2，代入上式得42(a+c)＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，而B＝π3，则A＝B＝C＝π3，从而△ABC为等边三角形．7．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，E是BC 的中点．(1)求证：直线BB1∥平面D1DE；证明：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥DD1，又∵BB1⊄平面D1DE，DD1⊂平面D1DE，∴直线BB1∥平面D1DE.(2)求证：平面A1AE⊥平面D1DE；证明：在长方形ABCD中，∵AB＝AA1＝1，AD＝2，∴AE＝DE＝2，∴AE2＋DE2＝4＝AD2，故AE⊥DE，∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中有DD1⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴DD1⊥AE.又∵DD1∩DE＝D，∴直线AE⊥平面D1DE，而AE⊂平面A1AE，所以平面A 1AE ⊥平面D 1DE .(3)求三棱锥A ­A 1DE 的体积．解析：V AA 1DE ＝V A 1-ADE ＝13AA 1×S △ADE ＝13×1×12×1×2＝13.8．用分析法证明：若a >0，则a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2.证明：要证 a 2＋1a2－2≥a ＋1a －2，只需证a 2＋1a2＋2≥a ＋1a ＋ 2.∵a >0，∴两边均大于零，因此只需证⎝⎛⎭⎪⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22， 只需证a 2＋ 1a 2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证a 2＋1a 2≥22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证a 2＋1a 2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2，即证a 2＋1a2≥2，它显然成立．∴原不等式成立．►品味高考1．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝13.动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A ．8B ．6C ．4D ．3解析：由反射角等于入射角，利用三角形的相似比，准确画图如图，碰撞的顺序是E →F →G →R →M →N →E .故选B.答案：B 2.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)BE∥平面PAD；证明：因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABDE为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD.所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD.打印版所以PA⊥CD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF所以平面BEF⊥平面PCD.高中数学。

最新人教版高中数学选修1 2《综合法和分析法》示范教案1最新人教版高中数学选修1-2《综合法和分析法》示范教案12.2.1综合法和分析法教材分析《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．教学目标1。

知识和技能目标(1)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．(2)了解分析法和综合法的思维过程和特点．2．过程与方法目标（1）通过对实例的分析、归纳和总结，可以提高学生的理性思维能力(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度及价值观通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．重点和难点重点：分析法和综合法的思维过程及特点．难点：分析法和综合法的应用．教学过程创设情境、引入新课问题1：我们学习了两种重要的推理方法。

请回忆一下我们学习的推理方法，它们各自的特点和功能是什么？活动设计：学生思考并举手回答，教师提问．活动成果：前面已经学习了合情推理和演绎推理．合理推理是提出新问题、获取新知识的主要推理方式，其特点是结论不可靠；演绎推理是证明结论的主要推理方式，其特点是只要大前提正确，推理形式正确，结论就必须正确提出问题2：使用演绎推理证明，怎样才能保证推理形式正确？活动设计：设问引出将要学习的内容是证明方法．问题3：让我们先看看我们已经证明的两个问题，并试图找出证明过程中的差异。

1.在立方体ABCD-A'B'C'd中，验证：A'C⊥ BD.证明：连接AC∵abcd―a′b′c′d′是正方体，∴aa′⊥平面abcd.又∵bd?平面abcd，∴aa′⊥bd.∵ 自动控制⊥ BD，AA′∩ AC=a，∩ 屋宇署⊥ 飞机a′AC。

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法课时过关·能力提升1.下面叙述正确的是()A.综合法、分析法是直接证明的方法B.综合法是直接证法,分析法是间接证法C.综合法、分析法都是从要证的结论出发D.综合法、分析法都是从已知条件出发答案:A2.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,若当x≤1时,f(x)=(x+1)2-1,则当x>1时,f(x)的解析式为()A.f(x)=(x+3)2-1B.f (x)=(x-3)2-1C.f(x)=(x-3)2+1D.f(x)=(x-1)2-1解析:设x>1,P(x,y)为函数y=f(x)图象上任一点,则P关于x=1的对称点P'(2-x,y)在函数y=(x+1)2-1的图象上,所以y=(2-x+1)2-1=(x-3)2-1.答案:B3.用max{a1,a2,a3,…,a n}表示数集{a1,a2,a3,…,a n}中最大的一个数,则对于a>0,b>0,且a≠b,maABC解析:∵a2+b2>2ab,∴2(a2+b2)>(a+b)2..答案:C4.如果f(x)A.1B.-1C.0D.±1解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),a=1.答案:A★5.设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足f(x)=A.-3B.3C.-8D.8解析:因为f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,由偶函数的性质可知:若f(x)=:①x由①知x2+3x-3=0,故其两根之和为x1+x2=-3;由②知x2+5x+3=0,故其两根之和为x3+x4=-5.因此满足条件的所有x之和为-8.答案:C6.函数y=f(x)在区间(0,2)内是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是.解析:∵y=f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(-x+2).∴x=2是f(x)图象的对称轴.又f(x)在区间(0,2)内是增函数,∴f(1)<f(1.5)=f(2.5),f(0.5)=f(3.5)<f(1).∴f(3.5) <f(1)<f(2.5).答案:f(3.5)<f(1)<f(2.5)7.命题“如果数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n,那么数列{a n}一定是等差数列”.(填“成立”或“不成立”)答案:成立★8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)>0,对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)+2=f(x1)·f(x2),且f(1)=2,则f(2)=.若令f(x1)=a,f(x2)=b,且f(x1+x2)=a+b,则a+b的取值范围是.解析:f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)-2=2×2-2=2.∵f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)-2,∴a+b=ab-2.又ab≤∴a+b≤∴(a+b)2-4(a+b)-8≥0,解得a+b≥2+a+b≤2-但a>0,b>0,∴a+b>0.∴a+b∈[2+答案:2[2+ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,试分别用综合法和分析法证明∠B为锐角.分析由于已知条件为边的关系,而证明的结论是角的问题,故需借助正(余)弦定理,应用三角函数的知识进行证明.证明证法一(分析法):要证明∠B为锐角,只需证cos B>0.因为cos B所以只需证明a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2.又因为a2+c2≥2ac,所以只需证明2ac>b2.由已知2ac=b(a+c),所以只需证明b(a+c)>b2,即需a+c>b成立.因为在△ABC中,恒有a+c>b成立,所以∠B为锐角.证法二(综合法):由题意则b又因为a+c>b,所以b(a+c)=2ac>b2.因为cos B又y=cos x在(0,π)上单调递减,所以∠B所以∠B为锐角.★10.已知数列{a n}满足a1=1,a2=3,a n+2=3a n+1-2a n(n∈N+).(1)证明数列{a n+1-a n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)若数列{b n}满∈N+),证明{b n}是等差数列.分析利用综合法、分析法并结合数列、不等式等知识进行证明即可.(1)证明因为a n+2=3a n+1-2a n,所以a n+2-a n+1=2(a n+1-a n).所∈N+).因为a1=1,a2=3,所以a2-a1=2.所以数列{a n+1-a n}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1),得a n+1-a n=2n(n∈N+),所以a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N+).(3)证明因所2[(b1+b2+…+b n)-n]=nb n, ①2[(b1+b2+…+b n+b n+1)-(n+1)]=(n+1)b n+1.②②-①,得2(b n+1-1)=(n+1)b n+1-nb n,即(n-1)b n+1-nb n+2=0, ③nb n+2-(n+1)b n+1+2=0.④④-③,得nb n+2-2nb n+1+nb n=0,即b n+2-2b n+1+b n=0,所以b n+2-b n+1=b n+1-b n(n∈N+).所以{b n}是等差数列.。

2．2．1 综合法和分析法（学案）一、知识梳理1、直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法____________和_____________.⑴ 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_____________，最后推导出所要证明的结论_______________，这种证明方法叫综合法。

框图表示： （其中P 表示条件，Q 表示要证的结论）。

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

⑵分析法：从要证明的____________出发，逐步寻找使它成立的_______________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫分析法。

框图表示：分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A 为真，而已知A 为真，故命题B 必为真。

二、情境导学探究任务一：综合法问题：已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：一般地,利用 ,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.要点：顺推证法；由因导果.探究任务二：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因三、典例解析例1已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥变式：已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：111(1)(1)(1)8a b c ---≥.小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2 求证+>变式：求证:+<小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.练习 ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +=，求证：60A B +=.四、当堂检测1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么 A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<<C.22x y x xy y +<<<D.22x y x xy y +<<< 4. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）.A ．a ，b 均为负数，则2a b b a +≥ B ．22≥C ．lg log 102x x +≥D ．1,(1)(1)4a R a a +∈++≥ 5. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题 ①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m n m n αα⎧⇒⎨⊂⎩ 其中为真命题的是 （ ）A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④6.已知:231,:(3)0p x q x x -<-<, 则p 是q 的 条件. 。

课堂探究探究一 综合法的应用1．用综合法证明问题的一般步骤：(1)分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．2．用综合法证明不等式时，要注意不等式性质，均值不等式等的应用，证明三角恒等式时要注意三角函数公式、正弦定理、余弦定理等的应用．【典型例题1】 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝3，求证：a 2＋b 2＋c 2≥3.思路分析：从已知和欲证的两个式子间的关系入手可考虑先将已知式两边平方，然后再运用均值不等式证明．证明：因为a ＋b ＋c ＝3，所以(a ＋b ＋c )2＝9，即a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝9.又因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，于是2(ab ＋bc ＋ca )≤2(a 2＋b 2＋c 2)，所以a 2＋b 2＋c 2＋2(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝9，故a 2＋b 2＋c 2≥3.【典型例题2】 在△ABC 中，A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 思路分析：考虑到要证明的等式中含有边和角，可用正弦和余弦定理进行转化，再结合相关的三角公式证明．证明：由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，所以左边＝a 2－b 2c 2＝c 2－2bc cos A c 2＝1－2b cos A c. 又由正弦定理知b c ＝sin B sin C， 所以左边＝1－2·sin B sin Ccos A ＝sin C －2sin B cos A sin C ＝sin (A ＋B )－2sin B cos A sin C＝sin A cos B ＋cos A sin B －2sin B cos A sin C＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin (A －B )sin C＝右边， 故原等式成立．探究二 分析法的应用1．从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证．这正是分析法证明问题的一般思路．2．一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．3．用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．【典型例题3】 已知函数f (x )＝x 2＋3，若a ＞b ＞0，求证：f (a )＋f (b )2＞f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.思路分析：由于已知条件和欲证结论之间的关系不明确，考虑用分析法证明．证明：要证明f (a )＋f (b )2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2， 即证12＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋3， 只需证a 2＋b 2＋6＞(a ＋b )22＋6， 只需证a 2＋b 2＞(a ＋b )22，因此只需证2a 2＋2b 2＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2＋b 2＞2ab ，只需证(a －b )2＞0，由于a ＞b ＞0，所以(a －b )2＞0显然成立，故原不等式成立．【典型例题4】 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且4sin 2α－2sin 2β＝1.求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β). 思路分析：由于要证的等式较为复杂，而已知条件信息较少，所以可从要证的等式出发，利用分析法证明．证明：要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)， 只需证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝⎛⎭⎫1＋sin 2βcos 2β， 只需证cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝12·cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β， 只需证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)， 只需证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)， 即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于已知4sin 2α－2sin 2β＝1成立，所以原等式成立．探究三 综合法与分析法的综合应用1．有些数学问题的证明，需要把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由P 可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称“两头凑法”．2．在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，综合法表述证明过程则显得简洁，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．【典型例题5】 在某两个正数x ，y 之间插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，插入两数b ，c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．思路分析：前半部分从已知出发采用综合法得到a ，b ，c 之间的关系式，后半部分用分析法反推，然后再与该关系式结合，找到使结论成立的充分条件即可．证明：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，∴x ＝b 2c ，y ＝c 2b， 即x ＋y ＝b 2c ＋c 2b ，从而2a ＝b 2c ＋c 2b. 要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥(b ＋1)(c ＋1)，即证a ＋1≥(b ＋1)＋(c ＋1)2， 也就是证2a ≥b ＋c .因为2a ＝b 2c ＋c 2b， 则只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c 成立即可， 即b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)≥(b ＋c )·bc ，即证b 2＋c 2－bc ≥bc ，即证(b －c )2≥0成立．上式显然成立，∴(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．点评 本题前半部分先用综合法得到一个由已知条件推出的结论，然后再用分析法证明最终结论，其中用到了前面推出的结论，这种处理方法在推理证明中也是常用的．。

综合法和分析法一、教学目标：(一)知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

(二)过程与方法：培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；(三)情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点三、教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点四、教学过程：(一)导入新课：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。

本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

(二)推进新课：1. 综合法在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。

例如：已知a,b>0,求证a(b2c2) b(c2a2)亠4abc教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，弓I导学生应用不等式证明。

教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：弓I导学生应用不等式证明以上问题，弓I出综合法的定义证明：因为b2c2_ 2bc, a 0，所以a(b2c2) _ 2abc。

因为c2a2_ 2ac,b 0，所以b(c2a2) _ 2abc。

因此a(b2c2) b(c2a2)亠4abc。

一般地，禾U用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：P= Q<—;(Qi= Q2)—：.Q2= Q3 l；..…—；：Qn 二Q综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

例1、在厶ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列,求证△ ABC为等边三角形.分析：将A , B , C成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =二；a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是b2二ac •此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求•于是，可以用余弦定理为工具进行证明.证明：由A, B, C成等差数列，有2B=A + C . ①因为A,B,C ABC的内角，所以 A + B + C=二. ②由①②，得B==. ③3由a, b, c成等比数列，有b2二ac ④由余弦定理及③，可得2 2 2 2 2b ac -2accosB=a c -ac .再由④，得a2，c2-ac=ac.即(a -打=Q因此 a = c .从而A=C .由②③⑤，得71A=B=C= —.3所以△ ABC为等边三角形.注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.例2、已知a,b R ,求证a a b b_a b b a.分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。