最新人教版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》本章小结

第二章圆锥曲线与方程
本章综述
本章的内容是：曲线与方程，椭圆，双曲线，抛物线.重点是圆锥曲线标准方程及其性质的研究.难点是已知曲线求方程.
根据已知条件选择适当的坐标系，借助数和形的对应关系建立曲线方程，把形的问题转化为数的研究，再把数的研究转化为形来讨论，这是解析几何的基本思想和方法.用解析法研究圆锥曲线是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯，也是学习其他科学技术的基础，而学习圆锥曲线，需要综合运用过去学过的数学知识，因此，学习这一章，起着承前启后的作用．圆锥曲线是解析几何的重点内容.要深入理解曲线与方程的有关概念与相互关系，重点抓住两个基本问题：一是根据曲线方程研究曲线的基本性质；二是根据曲线的几何特征求曲线的方程.学习本章常用的方法有直接法、代入法、几何法、定义法、交轨法、参数法等. 圆锥曲线方程的应用和开放题在教材的例题和习题中有多处涉及，在各地的高中会考和高考模拟试卷中也有逐年增加的趋势，这类试题一般都紧扣课本内容，贴近生活，具有跨学科的特点.在高考中圆锥曲线占总分的15%左右，分值一直保持稳定.选择题、填空题重视基础知识和基本方法，而且具有一定的灵活性与综合性；解答题注重基本方法、数学思想的理解掌握和灵活运用，通常又不单独考查，多数情况是与函数、向量、数列结合起来，综合性强，难度较大，常被安排在试题最后.。

课题：椭圆与双曲线的对偶性质--（实验班）椭 圆课时：16 课型：复习课1. 椭圆在点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点(除长轴端点)12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴且不过原点的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

第二章 圆锥曲线与方程本章概览 内容提要本章主要学习三种圆锥曲线及方程，它们分别是椭圆、双曲线和抛物线，需掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质具体内容如下： 一、椭圆 1.椭圆定义平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的方程（1）焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：2222b y a x +=1（a ＞b ＞0）.（2）焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：2222bx a y +=1（a ＞b ＞0）.（3）一般表示：Ax 2+By 2=1（A ＞0，B ＞0且A≠B ）.椭圆的简单几何性质（a 222）1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F 1F 2|叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程若焦点F 1（-c ，0）、F 2（c ，0），则双曲线的标准方程为2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0，c 2=a 2+b 2）若焦点F 1（0，-c ）、F 2（0，c ），则双曲线方程为2222bx a y -=1（a ＞0，b ＞0），c 2=a 2+b 2）222）1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线，定点F 不在定直线l 上.四、圆锥曲线的统一性1.它们都是平面截圆锥得到的截口曲线.2.它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，此值的取值范围不同形成了不同的曲线.3.它们的方程都是关于x，y的二次方程.学法指导圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型,有很多非常好的几何性质,这些重要的几何性质在日常生活、社会生产及其他科学中都有着重要而广泛的应用,所以学习这部分内容对于提高自身的素质是非常重要的.高中阶段对圆锥曲线的学习,主要是结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想.同时,在本模块中,在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.圆锥曲线本身有一些很深奥的性质(如光学性质、行星运行轨道的性质等),其中有一些是圆锥曲线最基本的性质.。

【金版学案】2015-2016学年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末小结新人教A版选修1-1圆锥曲线是高考的重点内容之一，主要考查以下几方面：1．考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质、待定系数法求圆锥曲线方程，圆锥曲线定义的应用等，尤其是离心率是高考的热点，题型上选择，填空、解答题都有可能出现；2．双曲线的渐近线是一种独特的性质，也是高考考查的重要内容，充分运用渐近线方程，简化解题过程；3．直线与圆锥曲线位置关系问题是高考的热点，涉及直线与圆锥曲线的关系中的求弦长、焦点弦长及弦中点问题、取值范围、取值等问题．题型以解答题的形式出现居多，这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合．专题一圆锥曲线定义的应用利用圆锥曲线的定义解题的策略：(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1 如图，直线AB过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1的大小为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：由抛物线的定义可知|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，且AA 1，BB 1都平行于x 轴，∴∠AA 1F ＝∠AFA 1＝∠A 1FO ，∠BB 1F ＝∠BFB 1＝∠B 1FO ，∴∠A 1FB 1＝∠AFA 1＋∠BFB 1＝12×π＝π2.答案：D 变式迁移1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是(A)A ．2B ．3 C.115 D.3716解析：如图，可知直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1，0)的距离，故本题可化为：在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F (1，0)和到直线l 1的距离之和最小，则最小值为F (1，0)到直线l 1：4x－3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2.例2 已知圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，求过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．解析：因为圆P 与圆C 外切，如图所以|PC |＝|PA |＋2，即|PC |－|PA |＝2， 因为0<|PC |－|PA |<|AC |，所以由双曲线的定义，点P 的轨迹是以A ，C 为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中a ＝1，c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝9－1＝8.故所求轨方程为x 2－y 28＝1(x <0)．变式迁移2．一动圆和两圆x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为(C) A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线解析：C 1：x 2＋y 2＝1，C 2：(x －4)2＋y 2＝4，设动圆圆心为P ，半径为r ，因为动圆与两定圆都外切，所以|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝r ＋2，所以|PC 2|－|PC 1|＝1，故P 点轨迹为以C 1、C 2为焦点的双曲线的一支．专题二 圆锥曲线的方程与性质的应用圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，已知圆锥曲线的性质求其方程．重在考查基础知识、基本思想方法，属于低中挡题目，其中对离心率的考查是重点．例3 (2013·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞c )的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13C.12D.33解析：因为PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 2|＝2c tan 30°＝233c ，|PF 1|＝433c .又|PF 1|＋|PF 2|＝633c ＝2a ，所以c a ＝13＝33，即椭圆的离心率为33，选D. 答案：D变式迁移3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是(D)A.32B.22C.13D.12解析：如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B ＝b 2a，设P (0，t )，∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a －t ， ∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.专题三 直线与圆锥曲线的位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法．直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合； (2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算． 特别提醒：涉及直线的斜率不确定时，要讨论斜率不存在的情况，消元后一元二次方程二次项有字母，则要讨论系数为零的情况．例4 如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．分析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0，①因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程①即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2，1)，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.变式迁移4．(2015·东北三校联考)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围；解析：由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋ 2代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0. 由Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22. 即k 得取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 专题四 圆锥曲线的综合应用 例5 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．解析：(1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0，直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －2），x 2a2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.∴y 1＋y 2＝－43b23a 2＋b 2，①y 1y 2＝－3b43a 2＋b 2.②∵AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.代入①②可得－y 2＝－43b23a 2＋b2，③－2y 22＝－3b 43a 2＋b 2.④③2÷④可得3a 2＋b 2＝32.又a 2－b 2＝4，得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.变式迁移5．已知点M (－2，0)，N (2，0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝2 2.记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解析：(1)依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A (x 0，x 20－2)，B (x 0，－x 20－2)，OA →·OB →＝2.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程x 22－y 22＝1中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0，①依题意可知方程①有两个不相等的正数根， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2b 2－4（1－k 2）·（－b 2－2）＞0，x 1＋x 2＝2kb 1－k2＞0，x 1x 2＝b 2＋2k 2－1＞0，解得|k |＞1，又OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1＞2.②综上可知，OA →·OB →的最小值为2. 专题五 求轨迹方程 求轨迹方程的常用方法：(1)直接法．直接利用条件建立x 、y 之间的关系f (x ，y )＝0.(2)待定系数法．已知所求曲线的类型，求曲线方程．先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．(3)定义法．先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接定出动点的轨迹方程．(4)代入转移法．动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x 、y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0、y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程．例6 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程．分析：问题中的几何性质十分突出，如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键，动圆圆心满足的条件是关注的焦点．解析：如图，设动圆圆心为M (x ，y )，⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系．则|MA |＝|MC |.∵AB 为⊙O 的直径， ∴MO 垂直平分AB 于O .由勾股定理得|MA |2＝|MO |2＋|AO |2＝x 2＋y 2＋9， 而|MC |＝|y ＋3|，∴x 2＋y 2＋9＝|y ＋3|.化简得x 2＝6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程．方法总结：直接法求轨迹方程的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系．例7 一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．分析：运用圆锥曲线的定义和圆的几何性质判断轨迹形状后，再根据已知求解． 解析：两定圆的圆心和半径分别为O 1(－3，0)，r 1＝1； O 2(3，0)，r ＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ， 则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10.由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上， 且a ＝5，c ＝3. ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.方法总结：若根据条件得出动点的轨迹特征符合某一基本轨迹的定义，可由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．例8 设双曲线y 2a 2－x 23＝1的焦点分别为F 1、F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)若A 、B 分别为l 1、l 2上的动点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线．分析：(1)双曲线方程易得a 、c 的关系，再代入离心率．(2)设出A 、B 坐标，再代入2|AB |＝5|F 1F 2|，再由M 为AB 的中心求得轨迹方程。

第二章 圆锥曲线与方程《重点与难点》圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的知识结构具有相似性，因此要把它们作为一个有机整体，学习时对于知识和解题方法要相互联系和类比，彼此借鉴，综合起来分析问题。

一、曲线与方程1、曲线与方程的实质：曲线与方程的实质是曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系，即曲线上所有点的坐标都满足方程，以方程解为坐标的点全部在曲线上，这是解决点、曲线、方程问题的根本依据。

解题时，要根据图形几何意义，检验特殊点或特殊值是否满足一一对应关系，由此判断曲线与方程的关系。

2、辨析“曲线与方程”和“曲线与函数”的区别与联系3、辨析点、线、面、体与方程（元）的关系4、求曲线的方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、检验；5、求曲线的方程（轨迹方程）的常用方法 ⑴直接法；⑵定义法；⑶代换法（或相关点法）； 特别要注意变量取值范围的验证和取舍。

二、圆锥曲线的方程及几何性质1、定义及方程中的限制条件：主要包括各参数的数量关系、位置关系，焦半径的取值范围，焦半径与a （或）之间数量关系及相互代换（距离关系及代换），变量的取值范围（图形区域）。

⑴标准方程，根据焦点的位置确定标准方程的具体形式，椭圆焦点在分母较大变量的坐标轴上，双曲线焦点在系数为正的变量的坐标轴上，抛物线焦点在一次项的变量的坐标轴上。

⑵一般形式，椭圆221Ax By +=（其中0,0,A B A B >>≠），双曲线221(0)Ax By AB +=<，抛物线22(0)y mx m =≠或22(0)x my m =≠3、方程的求解：先定位（确定焦点位置），后定量（确定有关参数）。

⑴定义法。

⑵待定系数法，①设标准方程，有时需要讨论焦点位置；②设一般方程，能避免讨论焦点位置。

4、焦点三角形：椭圆、双曲线的1212,,PF PF F F 围成焦点三角形。

除利用12,,2PF PF a 之间的数量关系外，还要注意勾股定理、正弦定理、余弦定理等的应用。

第二章 圆锥曲线与方程小结（2）
【教学目标】
1.知识与技能:
掌握直线与椭圆、抛物线位置关系的判断，熟悉弦长公式、弦中点等问题的应用；
2.过程与方法:
通过典型例题的讲解、归纳，进一步熟悉直线与圆锥曲线位置关系问题的处理思路，熟悉常规问题的处理方法；
3.情感态度价值观:
圆锥曲线综合题是常考点，熟悉做圆锥曲线综合题的基本思路与方法，培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步熟悉坐标法的思想.
【预习任务】
1．直线与椭圆有一个交点、两个交点时，如何思考？直线与抛物线只有一个交点时， 该如何思考，有两个交点呢？
1． 直线与圆锥曲线有两个交点A 、B 时，
(1) 如何计算弦长？如何求涉及三角形的面积？
(2)直线与圆锥曲线有两个交点，涉及弦中点的问题如何处理？
(3)题目中涉及0=⋅OB OA ,该如何处理？
(4)点P 满足PB AP λ=,该如何处理？
【自主检测】
1.已知双曲线的离心率e=2，且与椭圆x 224+y 28=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线的方
程是.
2.如果双曲线x 2a 2－y 2
b 2=1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率是.
3. 椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，焦点在x 轴上，过其右焦点F 作斜率为1的 直线l ,交椭圆与A 、B 两点，若椭圆上存在一点C ，使得OC OB OA =+.
(1) 求椭圆的离心率；（2）若|AB|=15，求椭圆方程.
【组内互检】
1. 弦长的计算
2.0=⋅OB OA 的处理方法。