控制系统的频域分析与设计65奈氏图分析

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控制系统的频域

一、奈氏图MATLAB 软件在控制系统工具箱中提供了nyquist ( )函数，nyquist ( )函数可以用来直接求解nyquist 阵列，或者绘制nyquist 曲线图。

函数命令的调用格式为：[rx ，ry ，w ] = nyquist ( G )nyquist ( )带有输出引用函数时，可得到系统的奈氏曲线数据，不带有输出引用函数时，会在当前窗口直接绘制出奈氏曲线。

某单位反馈系统的开环传递函数为：绘制奈氏曲线，并判别闭环系统的稳定性，最后求闭环系统的单位脉冲响应。

程序:k=50;z=[ ];p=[-5,2];G=zpk(z,p,k);Gb=feedback(G ,1);figure(1); nyquist(G);figure(2); step(Gb)系统的开环传递函数为：试绘制系统的奈氏曲线，并判别闭环系统的稳定性。

程序:k=1000;z=[ ];p=[-1,-2,-5];G=zpk(z,p,k); nyquist(G )二、伯德图MATLAB 软件控制系统工具箱中提供了bode ( )函数，bode ( )函数可以用来计算系统的幅频特性和相频特性，或者绘制系统的bode 图。

控制系统工具箱还提供了margin ( )函数来计算系统的相角裕度、幅值裕度。

命令的调用格式为：[mag ，pha ，w ] = bode (G )bode (G )[h ，r ，wg ，wc ] = margin (G )系统的开环传递函数为：绘制系统的伯德图，并判别闭环系统的稳定性。

程序：k=100;z=[-4];p=[0,-0.5,-50,-50];G=zpk(z,p,k); bode(G)系统的开环传递函数为：)2)(5(50)(-+=s s s G )5)(2)(1(1000)(+++=s s s s G 2)50)(5.0()4(100)(+++=s s s s s G 2325.3)(23+++s s s s G试绘制奈氏曲线并求系统的幅值裕度和相角裕度。

控制工程技术基础第4章控制系统的频域分析

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4.3典型环节的频率特性
4.3.3惯性环节的频率特性
惯性环节的传递函数为惯性环节的频率特性为其幅频特性为其相频特性为
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4.3典型环节的频率特性
4.3.4振荡环节的频率特性
振荡环节的传递函数为频率特性为幅频特性为相频特性为对数幅频特性为
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4.3典型环节的频率特性
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4.3典型环节的频率特性
4.3.1比例环节的频率特性
图4-8（a）所示为比例环节的奈魁斯特图，图4-8（b）为其对应的伯德图。从伯德图可知，比例环节的对数幅频特性为一条幅值等于 20lgK（dB）的水平线。当K＞1时，其分贝数为正；0＜K＜1时，其分贝数为负。改变传递函数中的比例系数，将导致伯德图的幅值曲线升高或降低20lgK（dB）；比例环节的相频特性始终为0°，与频率无关，因而对伯德图的相角曲线没有影响。
这就是说，只要求出系统的幅频特性和相频特性，根据频率响应的特性，就可以直接求得系统在正弦输入下的稳态响应。
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4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和伯德图
4.2.1奈魁斯特图
奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在数学上，频率特性可以用直角坐标式表示，如式（4-16）；也可以用幅相式（指数式）表示，即
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4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和伯德图
4.2.2伯德图
伯德（Bode）图，亦称对数坐标图。对数坐标图由对数幅频特性和对数相频特性两幅图组成。对数幅频特性是幅频特性A(ω)的对数值 L (ω)=20lgA(ω)和频率ω的关系曲线。为了作图方便，通常将它画在半对数坐标纸上。图4-6所示为半对数坐标纸的坐标系。在对数幅频特性图中，纵坐标标记为L(ω)，称为增益，单位为 dB（分贝），采用线性刻度。幅频特性A(ω)每增大10倍，对数幅频特性L(ω)就增加20 dB；横坐标为角频率ω，单位为rad/s，采用对数刻度。也就是说，横坐标频率ω轴上标明的是ω值，但坐标轴上的实际距离却是按对数lgω的大小刻度的。

控制系统频域分析共13页

③纵坐标的对数幅值表达式为20lg│G(jω)│,用L(ω)表示。采用线性分度。
④纵坐标的相角值∠G(jω)用度来表示，采用线性分度。
MATLAB中用来绘制连续系统Bode图的指令为bode( )，它的调用格式为：
bode (sys) ——绘制系统sys的Bode图，sys为由tf、zpk建立起来的控制系统数学模型。 bode (sys,{wmin,wmax})——绘制频率范围在wmin和wmax 之间的bode曲线。 bode (sys,w) ——w为频率点构成的向量，可由logspace( ) 函数生成。 [mag,phase]=bode(sys,w)——计算频率点w处的幅值mag和相角phase值。
系统的频域性能指标为：
Gm =2.2000；Pm =13.5709；Wg =3.1623；Wc = 2.1020 即：系统的剪切频率ωc=2.1020rad/s；相位裕度 =13.5709°，
相位穿越频率ωg=3.1623rad/s；幅值裕量kg=20*log10(2.2)=6.8485dB。
第七章控制系统频域分析
频域分析法在经典控制理论中占有重要的地位，它是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法。在MATLAB中针对频域分析法也有一系列的指令和仿真方法。
G (j) G (j) ( G (j) ) X () j( Y )
其G 中 (j) ： X2()Y2()
nyquist (sys)——sys为由tf、zpk建立起来的控制系统数学模型。此时绘制出来的极坐标图的默认角频率w是从 -∞~ +∞。这点与自动控制原理略有不同。
nyquist (sys,{wmin,wmax})——绘制m]=nyquist (sys,w)——计算频率点w处的实部re和虚部im值。

第6章控制系统的频域分析与设计65 奈氏图分析PPT课件

P i I ， I i P 1 ，， n Z i I ， I i Z 1 ，， m
对于任一点s有F平面映射
Z
m
K (sZiI ) (sZiII)
F(s)
i1 P
iZ1 n
(sPiI ) (sPiII)
i1
iP1
Z
m
F(s) (sZiI) (sZiII)
i1
iZ1
：上半虚轴映射为：下半虚轴映射为
右半圈映射为,，因为当 nm
F (s) 1 G (s)H (s) 1 s
回忆幅角原理 N=PZ，F的零点即闭环极点。
若要稳定，闭环极点应不在s右半平面。若以奈氏轨迹为封闭曲线C，则它所包围的s右半平面零点数Z=0，才有系统稳定，据幅角原理有Z=PN=0 （N为奈氏曲线包围坐标原点的次数， P为奈氏轨迹包围的开环极点数）
P
n
(sPiI) (sPiII)
当变点s沿Ci1顺时针移动一i圈P1，则有
Z
m
F (s)
(
s
Z
I i
)
(s
Z
II i
)
i 1
iZ 1
P
n
(s PiI ) (s PiII )
i 1
i P1
Z (360 ) 0 P(360 ) 0
(360 )(Z P) 这表明F(s)端点沿C‘逆时针
若考虑G(j)H(j)平面，则相当于F( j)曲线左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面原点对应于GH平面, j0点
G (j )H (j ) F (j ) 1
若要系统稳定，则Z=PN=0，N为GH 映射曲线绕 ,j0点次数
二. 奈氏稳定性判据一

控制系统频域课件-奈氏判据

第4章
控制系统频域分析法
1
第4章频域分析法
基本要求
4－1 频率特性 4－2 典型环节的频率特性 4－3 系统的开环频率特性 4－4 频率稳定判据 4－5 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 4－6 开环频率特性与系统阶跃响应的关系
2
系统的开环频率特性-Nyquist图

一、开环幅相特性曲线设系统开环传递函数由若干典型环节串联
对数图上 ( ) 180 时的 L ( g )
K g ( dB ) 0 系统稳定（对最小相位系统）
180 G ( j c ) H ( j c )
25
相稳定裕度和模稳定裕度
26
一般要求
pm 4 0

h 2
2 0 lo g h 6 d B
6
（3）当
G s K s Ts 1

时，
开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。
含有积分环节时的开环幅相特性曲线
7
2.系统开环幅相的特点
①
当频率 ω → 0 时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。当频率ω→∞ 时，若n>m，G(j ω)|=0 相角为(m-n)π/2。若G(s) 中分子含有s因子环节，其G(jω) 曲线随 ω变化时发生弯曲。 G(jω) 曲线与负实轴的交点，是一个关键点。 8
幅相曲线（a)及对应的对数频率特性曲线(b)
17
系统闭环稳定的条件是：
在开环对数幅频 2 0 lg G ( j ) 0 的频段内，对应的开环对数相频特性曲线对线的正、负穿越次数之差为 P / 2 。即
N N P / 2

第5章-控制系统的频域分析

1 jT 1 T 22
P()
jQ ( )
jQ( )
幅频特性
1
2 0
A()
1
1 T 2 2
1
0
P() 相频特性
惯性环节的幅相频率特性
() arctanT
21
第5章控制系统的频域分析
p2 () Q2 () ( 1 )2 ( T )2 A2 () 1
1 2T 2
1 2T 2
O
ωt
结论：
对于稳定的线性定常系统，由谐波输入产生的稳态输出分量仍然是与输入同频率的谐波函数有关，而幅值与相角的变化是频率的函数，且与数学模型有关。
5
第5章控制系统的频域分析
频率特性（频率响应）的定义式：
稳态输出量的复数形式频率特性＝正弦输入量的复数形式
F( j) C( j) F( j) e jF( j) A()e j R( j)
2. 对数频率特性曲线（Bode图） ——对数频率特性曲线是将频率特性表示
在半对数坐标中。特点： ➢对数频率特性由对数幅频和对数相频两条曲线组成。 ➢对数频率特性曲线：横坐标是频率 () ，并按对数分度，单位为弧度/秒 [rad / s] 。
13
第5章控制系统的频域分析
➢对数幅频曲线：纵坐标按 L() 20lg | G( j) | 20lg A() 线性分度，单位为分贝（db）。
频率特性 F( j) ：在正弦信号作用下，系统的输出稳态分量与输入量复数之比。表征输入输出幅值、相位上的差异。
6
第5章控制系统的频域分析
幅频特性 A()：谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与输入谐波分量的幅值之比。
A() F( j)

控制系统的频域分析方法-Nyquist

交界频率ωg：即φ(ωg)=-180 时的角频率，亦即 Nyquist 曲线穿越负实轴时的频率。相角裕量γ： γ= 180°+ φ（ωc）
o
γ 的含义：如果系统对频率 ωC 的信号的相角滞后再增大γ度，则系统处于临界稳定状态。结论：开环稳定系统，若γ>0，系统稳定，表示 G(jω)H(jω)曲线不包围（-1，j0）点；γ<0，系统不稳定。
例：一单位反馈系统，其开环传函 G(s)=
2 ， s −1
解：S 右半平面的开环极点数 P=1，而奈氏曲线如图，反时针包围(-1,j0)点一圈， R=1，所以系统稳定. 即 Z=P- R=0
（二）第二种情况当 G(s)H(s)在 s 平面的虚轴或原点处有极点时，需修正 Nyquist 轨线无限小半圆上的动点 s 可表示为：
系统稳定系统不稳定
工程上要求:
γ= 30°- 60°, Kg>6db 。也可只对γ提要求。
as + 1 例 1：单位反馈控制系统开环传递函数 G ( s ) = 2 ，试确定使相位 s
裕度γ = 45°的 a 值。解
L(ω ) = 20 lg (aω c ) 2 + 1
ωc2ຫໍສະໝຸດ =0ωc4 = a2 ωc 2 + 1
γ = 180 ° + arctan( aω c ) − 180 ° = 45 °
aωc = 1 联立求解得
ωc = 4 2
a = 1 / 4 2 = 0.84
二、系统的 Nyquist 图和 Bode 图的对应关系
Nyquist 图单位圆实轴负方向系统稳定的条件对于最小相角系统：当γ>0 时，Kg >1 或 20lgKg >0 定程度越好。当γ<0 时， Kg <1 或 20lgKg <0 ，系统不稳定。当 γ=0，Kg =1 或 20lgKg =0 时，系统临界稳定。系统稳定，γ和 Kg 越大，系统稳 Bode 图 0db 线 -180°线

控制系统的频域分析法

(5-
53)
(554)
图5－9不稳定惯性环节的频率特性
图5-4 惯性环节的频率响应
不稳定环节的频率特性如图5-9。比较图5-4可知，它与惯性环节的频率特性相比，是以平面的虚轴为对称的。
26
（八）滞后环节的传递函数
滞后环节的传递函数为: 其对应的频率特性是:
幅频特性和相频特性分别为:
如图5-10所示，滞后环节的频率特性在平面上是一个顺时针旋转的单位圆。
频率ω无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。
当有n个放大环节串联时，即:
(5-62)
幅值的总分贝数为:
(5-63)
放大环节的相频特性是:
(5-64)
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无关且与ω轴重合的直线。
34
（二）积分环节积分环节的频率特性是: 其幅频特性为:
对数幅频特性是:
(5-65) (5-66)
(547) (548)
(549) (550)
24
二阶微分环节频率特性曲线如图5-8所示，它是一个相位超前环节，最大超前相角为。
图5-8 二阶微分环节频率特性
（七）不稳定图环节
不稳定环节的传递函数为:
不稳定环节有一个正实极点，对应的频率特性是:
(551)
(5-
52)
25
幅频特性和相频特性分别为:
(5-67)
35
设
，则有:
可见，其对数幅频特性是一条
在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝线（ω轴），且以每增加十倍频率
降低20分贝的速度（-20dB/dec）变化的直线。
积分环节的相频特性是:
(5-69)
是一条与ω无关，值为-900 且平行于ω轴的直线。积分环

控制系统的奈氏图分析——自动控制原理

若N为正，则表示闭曲线C‘逆时针包围原点
的周数。
若N为负，则表示闭曲线C‘顺时针包围原点
的周数。
若N为零，则表示闭曲线C‘不包围原点Fs的零
点数
P——s平面上被封闭曲线C包围的Fs的极
点数
N ——F平面中封闭曲线C’包围原点的次数
j
C
s
(s+ZiII)
b）线的映射
2）映射定理奈氏判据的理论基础是复变函数的映射定理。定理：设F（S）：复变量S的单值解析函数， S平面 F（S）平面，它在S平面某一闭曲线C的内部共有P个极点和Z个零点，且闭曲线C不通过F（S）的任一极点和零点。当S顺时针方向沿闭曲线变化一周时，函数F（S）所取值一随之连续变化而在F平面上描出一个闭曲线C‘，曲线C‘称为C 的映射。在上述情形下闭曲线C‘包围原点的周数N为
若增补奈氏曲线D
，当:逆时针包围, j0点的次数N等于
位于右半平面上开环极点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。
增补奈氏轨迹映射出的奈氏轨迹分析*：
可见增补奈氏轨迹映射为半径的圆曲线变点相角变化从M90 M90 如 M=1， -M：90090
M=2时， -M：180 0 180
一型系统的奈氏曲线
二型系统的奈氏曲线
（-M：900 -90）
（-M：1800 -180）
=0-
=
=0+
=
=0+
GH平面
=0GH平面
例：设开环传函数
试用奈氏判据判定系统稳定性解：作奈氏曲线考虑增补当:顺时针包围,j0点2次， N=2 P=0 Z=2 不稳定
=0-
= •
(-1,j0)
=0+

自动控制原理--控制系统的频域稳定判据

n
F ( s)
1
G(s)H(s)
1
Q(s) P(s)
P(s) Q(s) P(s)
K*
n
s
i 1
s
ri pi
i1
➢F(s)的零点就是系统的闭环极点； ➢F(s)的极点就是系统的开环极点.
Y s
Rs
Gs
Y s
H s
利用图解的方法来确定F(s)位于s右半平面的零点，从而得到判别系统稳定性与否的奈氏判据。
那些零点和极点相应的向量的净相角变化等于零，
j
s 平面
s p1
s• s r1
r1
p1
p3
p2
r3
s r2
r2
被包围的零点，
其相角变化了 2。
故顺时针绕坐标原点一圈。
若顺时针包围F(s)的1个零点，则顺时'针包围F(s)的
原点1圈。
j
s 平面
s p1 s• s r1 r1
p1
例4 绘制如下系统的奈氏曲线，并分析其闭环系统的稳定
性。
K
G(s)H(s) sT1s 1T2s 1
解:（1）奈氏曲线的起点和终点
G( j0 )H j0 ,G( j0 )H j0 90
G( j)H j 0,G( j)H j 270
（2）与负实轴的交点
2
arctanT1
arctanT2
-0.6
-0.8
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
可见，乃氏图不包围（Re-al 1Axis，j0）点，系统稳定
例2 试绘制如下四阶0型系统的奈氏图，判别其闭环系统的稳定

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的次数N等于位于右半平面上开环极点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不能穿过零极点。讨论：当奈氏曲线通过,j0点，则表示闭环系统临界稳定，也归为不稳定。
第9页/共79页
应用奈氏稳定性判据一的步骤：
绘G( j)H ( j) 的奈氏图，可先绘 :一段，
=0
-1
=-
=+
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三. 奈氏稳定性判据二
若增补奈氏曲线 G( j)H ( j)当:逆时针
包围, j0点的次数N等于位于右半平面上开环极点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。
所谓增补就是使奈氏轨迹绕开位于原点和虚轴上的开环零极点。
增补奈氏轨迹：
第12页/共79页
增补奈氏轨迹映射出的奈氏轨迹分析：
解：作奈氏曲线考虑增补
当:顺时针包围,j0点2次， N=2 P=0 Z=2 不稳定
=- =
• (-1,j0)
=
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GH平面
例：G(s)H (s) (s 0.2)(s 0.3) s2 (s 0.1)(s 1)(s 2)
试判定闭环系统稳定性
解：作增补奈氏曲线
N=0，不包围, j0点
PiII，i P 1，，n ZiII，i Z 1，，m
对于任一点s有F平面映射
Z
m
K
(s
Z
I i
)
(sΒιβλιοθήκη ZII i)
F(s)
i 1 P
iZ 1 n
(s PiI ) (s PiII )
i 1
i P 1
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Z
m
F(s)
(s
Z
I i
)
(s ZiII )
若考虑G( j)H ( j) 平面，则相当于F ( j) 曲线左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面原点对应于GH平面, j0点
G( j)H ( j) F( j) 1
若要系统稳定，则Z=PN=0，N为GH 映射曲线绕 ,j0点次数
第8页/共79页
二. 奈氏稳定性判据一若奈氏曲线 G( j)H ( j)逆时针包围, j0点
i 1
iZ 1
P
n
(s PiI ) (s PiII )
当变点s沿Ci1顺时针移动一i圈P1，则有
Z
m
F(s)
(s
Z
I i
)
(s
Z
II i
)
i 1
iZ 1
P
n
(s PiI ) (s PiII )
i 1
i P 1
Z (360) 0 P(360) 0
(360)(Z P) 这表明F(s)端点沿C‘逆时针
再以实轴对称的方法添上:的一段；计算奈氏曲线包围,j0点的次数N 由给定的Gss确定右半平面上开环极点数 P 计算 PN ，若 PN =0 则闭环稳定
第10页/共79页
例：G(s)H (s)
K (Tas 1)
(T1s 1)(T2s 1)(T3s 1)
解：作奈氏轨迹如下图示:
N=1， P=1 有Z=NP=0 故系统稳定
i
1 2
N
i
1
N
i
1
-1
统计： N Ni Ni
第18页/共79页
第6页/共79页
奈氏轨迹在平面的映射也为一个封闭曲线，称为奈氏曲线, 例如
：上半虚轴映射为：下半虚轴映射为
右半圈映射为,，因为当 n m
F(s) 1 G(s)H(s) 1 s
回忆幅角原理 N=PZ，F的零点即闭环极点。
第7页/共79页
若要稳定，闭环极点应不在s右半平面。若以奈氏轨迹为封闭曲线C，则它所包围的s右半平面零点数Z=0，才有系统稳定，据幅角原理有Z=PN=0 （N为奈氏曲线包围坐标原点的次数， P为奈氏轨迹包围的开环极点数）
360(P Z ) 包围原点的次数为P-Z=N。
第5页/共79页
3. 奈氏轨迹及其映射
若选取适当的封闭曲线将s平面右半平面包围起来，
则变点s顺时针方向沿虚轴和半径为的右半圈绕一周
形成的封闭曲线称为Nyquist轨迹，简称奈氏轨迹。
j
jI()
=±
•
=0 R()
S平面的奈氏轨迹
F(j)平面的奈氏曲线
-M：90090
M=2时， -M：180 0 180
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一型系统的奈氏曲线
二型系统的奈氏曲线
（-M：900 -90）（-M：1800 -180）
=-
=
= =
=-
=
GH平面
第15页/共79页
GH平面
例：设开环传函 G(s)H (s)
10
s(s 1)(s 2)
试用奈氏判据判定系统稳定性
=
P=0，Z=N-P=0
闭环稳定
=-
= • (-1,j0)
第17页/共79页
GH平面
补充：实用奈氏判据
若开环系统有q个极点位于s右半平面，则当
:0时，穿越[段的次数N q，则闭环稳定，否则不稳定。（化数包围圈数为穿越2 次数）
穿越次数的计算按下定义：
半穿越
正穿越负穿越
记法：
N
i
1 2
N
第2页/共79页
j
C
s
(s+ZiII)
-ZiII -PiII
(s+ZiI)
-PiI -ZiI
jIm C’
F(s)
Re
s平面
第3页/共79页
F平面
证：设封闭曲线C不通过s平面上任一零极点，且包围 Z个零点P个极点，记为
PiI，i 1，2，，P ZiI，i 1，2，，Z
未被包围的零极点记为
m
K ( i s 1)
G(s)H (s)
i 1 nM
sM (Ti s 1)
i 1
当s e j ( : 90 0 90)
m
K (0 1)
G(s)H (s)
i 1
nM
M e jM
(0 1)
K
M e jM
e jM
i 1
第13页/共79页
可见增补奈氏轨迹映射为半径的圆曲线变点相角变化从M90 M90 如 M=1，
环传函极点，若要闭环稳定，则Fs的全部零
点必须位于s左半平面。
第1页/共79页
2. 幅角原理奈氏判据的理论基础是复变函数的幅角原理。应
用幅角原理可导出奈氏判据的重要公式：
N PZ
式中 Z——s平面上被封闭曲线C包围的Fs的零点数 P——s平面上被封闭曲线C包围的Fs的极点数 N ——F平面中封闭曲线C’包围原点的次数
1. 特征函数的零点和极点
特征函数—— F(s) 1 G(s)H (s)
对应的闭环系统 C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
F (s) 0 即为闭环系统的特征方程。 n
若GH B(s) A(s)
则F (s)
1
B(s) A(s)
K (s zi )
i 1 n
(s pi )
推论： Fs的极点是开环传函极点；iF1 s的零点是闭

控制系统的频域分析与设计65奈氏图分析

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