累积梳状(CIC)滤波器分析与设计

累积梳状（CIC ）滤波器分析与设计1、累积梳状（CIC ）滤波器的分析所谓累积梳状滤波器，是指该滤波器的冲激响应具有如下形式：⎩⎨⎧-≤≤=其它,010,1)(N n n h （1）式中N 为梳状滤波器的系数长度（后面将会看到这里的N 也就是抽取因子）。

根据Z 变换的定义，滤波器的Z 变换为： ∑-=-⋅=10)()(N n n z n h z H111----=zz N )1(111N z z---⋅-=)()(21z H z H ⋅= （2） 式中，1111)(--=z z H （3） N z z H --=1)(2 （4） 其实现框图如图1所示：可见，CIC 滤波器是由两部分组成：累积器)(1z H 和梳状滤波器)(2z H 的级联，这就是为什么称之为累积梳状滤波器的原因。

下面分析一下梳状滤波器的幅频特性。

把ωj e z =代入可得)(2z H 的频率响应为： N j j e e H ωω--=1)(2 ]2[22/2/2/N j N j N j e e eωωω-⋅⋅--⋅=)(2z H)(1z H图1、累积梳状滤波器的实现框图)2/sin(22/N e N j ωω⋅=⋅- （5） 其幅频特性为：)2/sin(2)(2N e H j ωω⋅= （6） 若设N ＝7，就可以得到如图2所示的相应的频谱特性曲线：由图2可以清楚地看到：)(2ωj e H 的形状犹如一把梳子，故把其形象地称之为梳状滤波器。

同样可以求得累积器)(1z H 的频率响应为： ωj ez H --=11)(1 12/2/2/]2[2---=ωωωj j j e e e 12/)2(sin 2-⋅=ωωj e （7） 故CIC 滤波器的总频率响应为：)()()(21ωωωj j j e H e H e H ⋅= )2/sin(/)2/sin(ωωN = )2()2(1ωω-⋅⋅=Sa NSa N （8）式中，x x x Sa /)sin()(=为抽样函数，且1)0(=Sa ，所以CIC 滤波器在0=ω处的幅度值为N ，即： N e H j =)(0 （9） CIC 滤波器的幅频特性如图3所示：图2、N=7的梳状滤波器幅频特性曲线图3、CIC 滤波器的幅频特性曲线在)~0(π区间上称)/2~0(N π的区间为CIC 滤波器的主瓣，而其它区间称为旁瓣。

由图3可知，在)~0(π区间上随着频率的增大，旁瓣电平不断减小，其中第一旁瓣电平为：)2/3sin(1)2/3sin(/)2/3sin()(25.1N N e H Nj ππππωω==⋅= （10）比如N ＝7，则第一旁瓣与主瓣的电平差值为：16.9dB 。

不过，当1>>N 的时候，有N N 2/3)2/3sin(ππ≈，所以第一旁瓣电平1A 为：π3/21N A = （11） 因此，旁瓣与主瓣的差值s α（用dB 数表示）为： dB A N s 46.1323lg 20lg201===πα （12） 可见，单级CIC 滤波器的旁瓣电平是比较大的，只比主瓣低13.46dB ，这也就意味着阻带衰减差，一般很难直接满足实用要求。

为了减低旁瓣电平，自然会想到的方法是采用多级CIC 滤波器级联的办法。

设用Q 级CIC 级联，那么总的频率响应为：)2()2()2/sin()2/sin()(ωωωωωQ Q Q Qj Q Sa N Sa N N e H -⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= （13） 同理可求得Q 级CIC 滤波器的旁瓣抑制为：dB Q Q A N Q Qs )46.13(23lg 20)lg(201⨯=⋅==πα （14） 比如当5=Q 时，主瓣与旁瓣的差值为：67.3dB ，这样的阻带衰减基本上能满足实际要求。

但在实际的抽样率变换系统中，CIC 滤波器旁瓣区域往往作为不确定φ带来处理，也就是说在这些旁瓣区域不会有信号频谱（镜像或混叠频谱），因此在CIC 滤波器设计中所要考虑的重要指标是抗混叠问题。

这个问题放在具体的抽取率变换滤波器的分析中加以讨论。

2、累积梳状（CIC ）抽样率变换滤波器的分析抽样率变换滤波器包括抽取滤波器和内插滤波器。

根据多采样率数字信号处理理论，内插滤波器和抽取滤波器是对偶关系，也就是说抽取滤波器通过转置可以得到内插滤波器，反之亦然。

因此，这里主要针对抽取滤波器展开分析，其结果也同样适用于内插滤波器。

根据多采样率数字信号处理理论，抽取滤波器的结构框图如下：M抽样率压缩器图4、抽取滤波器的结构框图现若假设用N 级CIC 滤波器来代替][n h ，每一级的滤波器系数长度为R ，每一级的差分延迟为M ，抽取数为R ，那么可以得到如图5所示的CIC 抽取滤波器结构图：据CIC 滤波器的传递函数，图5所示的抽取滤波器结构图和图6所示的抽取滤波器结构图是等价的。

根据分支运算的换位和电路的恒等关系（具体见附录1），可以得到如图7所示的CIC 抽取滤波器结构图：据图6、图7可以得到相对于高采样率s f 的系统函数为：NRM k k NN RM z z z z H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--=∑-=---101)1()1()( （15） 从式（15）可以看到，N 级CIC 滤波器在功能上相当于N 级完全相同的FIR 滤波器的级联。

如果按传统的FIR 滤波器方式实现，那么N 级FIR 滤波器的每一级都需要RM 个存储单元和一个累加器，但如果用CIC 方式实现，那么N 级CICf R 图5、CIC 抽取滤波器结构图R 图6、CIC 抽取滤波器结构图图7、CIC 抽取滤波器结构图滤波器的每一级只需要M 个存储单元。

CIC 滤波器幅频特性具有带φ带的低通特性，这可以从图3中看出来，下面具体来分析CIC 抽取滤波器的幅频特性。

设：)/2(R f j e z π= （16） 其中f 是相对于低采样率R f s /的归一化频率，把（16）式代入（15）式得到CIC 滤波器的幅频特性为：NR f Mf f H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)/sin(sin )(ππ （17） 如果抽取率R 足够大，那么有R f R f /)/sin(ππ≈，从而有：NNMf Mf RM R f Mf f H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππππsin /sin )()10(M f <≤ （18） 从上式可以看到，CIC 的增益可达（RM ）N , 差分延迟M 影响着零点分布，也就是说差分延迟M 可以影响幅频特性，一般M ＝1或2。

若设N ＝5、M ＝1及R ＝4，那么可以得到如图8所示的幅频特性曲线：对于CIC 抽取滤波器来说，那些零点附近的区域将会被折叠到通带而引起混叠误差，具体而言这些混叠带为：c c f i f f i +≤≤- （18） 其中2/1≤c f ，而=i 1，2，┅，⎣⎦2/R ，这里⎣⎦x 是指不大于x 的最大整数。

在实际设计时，混叠误差是以所有混叠带中的最大混叠误差来衡量的。

如设在图8中的c f 为通带截止频率，那么最大的混叠误差的位置为：c AI f f -=1 （19） 而在任意频率点f （2/0R f ≤≤），相对于最大值的衰减（以dB 表示）为：NMf Mf f H H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==ππβsin log 10)()0(log 20 （20） 对于通带截止频率点的衰减，不一定需要知道M 和c f ，其实只要知道c Mf 即可，但对于阻带截止频率点的衰减，如果只知道c Mf 的条件是不够的，应该同时需要图8 N ＝5、M ＝1及R ＝4的CIC 幅频特性曲线f cf AI知道M和c f的值。

据上述分析，就可以得到如表1所示的不同通带截止频率点的衰减值和如表2所示的不同通带截止频率下的阻带截止频率点衰减值。

表1：大抽取因子下的通带衰减表2：大抽取因子下的阻带衰减3、CIC抽样率变换滤波器的设计上面已经提到过，根据多采样率数字信号处理理论，内插滤波器和抽取滤波器是对偶关系。

所以不管是内插滤波器还是抽取滤波器，只要设计了一种滤波器，那么另一种滤波器也相当于得到了设计。

因此，这里只研究抽取滤波器的设计问题。

根据第2部分中对抽取滤波器的分析及自己的具体设计要求，我们可以确定所要选用的CIC滤波器类型。

比如：我们要求把带宽为30kHz、采样率为6MHz 的信号降低为采样率为240kHz的信号，而要求通带衰减最大不得超过3dB，阻带衰减不得低于60dB。

据此条件参考表1和2可知，用级数N＝4、差分延迟M＝1的CIC 滤波器可以满足要求。

但对于CIC 滤波器的设计来说，那是远远不够的，这是因为CIC 是数字滤波器，所以必须考虑在滤波过程中为了不产生溢出而需要的最大位数和每级可以舍去的位数。

下面就来分析这两个问题。

在图7中从第j 级开始到最后一级的总的系统函数为：=)(z H j ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--+-=-+=-∑∑Nj z k h NN j z k h k j N RM k j jN k kRM j ,,2,1)(2,,1)(1)1(0120（21）其中，=)(k h j ⎣⎦⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+-∑=N j RMl k RMl k j N l N NN j k j N RM k l l k ,,2,1)1(2,,112)1(/0 （22）这组公式的获得参见附录2。

现把滤波器滤波过程中可能增加的最大值定义为最大幅度输入信号情况下最大的输出幅度。

若假设信号输入位数为Bin(满刻度输入)，即输入信号为2Bin ，那么根据：∑-=⋅-=NRM k k h k n x n y )1(01][][][][21)1(0k h NRM k B in⋅=∑-=][2)1(01k h NRM k B in∑-=⋅= （23）故增加的值为：∑-==NRM k k h G )1(01max ][ （24）由（15）式和（21）式得到：∑∑-=-=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡==NRM k NRM k k kz z k h z H )1(01011)()( （25）因正系数的多项式乘积的展开式依然是正系数的多项式，因此有)()(11k h k h =，这样（24）式变为：∑-==NRM k k h G )1(01m ax )( （26）另外，由（25）式，令1=z 得到：∑-===NRM k NRM k h H )1(011)()()1( （27）故有：∑-===NRM k NRM k h G )1(01max )()( （28）从而在输入信号位数为in B 的情况下，滤波输出的最大可能位数为：⎡⎤1)(log 2max -+=in B RM N B （29）这里之所以需要减1，那是因为那个符号数相乘结果中会有两位相同的符号位，所以需要去掉一位。