江西省白鹭洲中学2014-2015学年高二上学期第三次月考 数学理 Word版含答案

白鹭洲中学2014年高二年级12月月考数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ） 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ）A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α2．设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件 3．若点A(x 2+4，4－y ，1＋2z)关于y 轴的对称点是B(－4x ，9，7－z)，则x ，y ，z 的值依次为（ ）A ．1，－4，9B ．2，－5，－8C ．2，5，8D ．－2，－5，8 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是323π，则这个三棱柱的体积是( )A ．B ．．．6．已知m ,n 为两个不相等的非零实数，则方程0=+-n y mx 与mn my nx =+22所表示 的曲线可能是（ ）7．已知点M 是抛物线x y 42=上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为( )A.3B.4C.5D.68．正三棱锥P —ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=PB=PC=a ，AB 的中点M ，一小蜜蜂沿锥体侧面由M 爬到C 点，最短路程是（ ）图2俯视图侧视图正视图4A ．a 210 B ．a23C ．)22(21a +D ．a )51(21+9．已知点M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程是（ ）A.)1(1822>=-x y x B.)1(1822-<=-x y x C.)0(1822>=+x y x D. )1(11022>=-x y x 10．已知抛物线222222(0)1x y y px p a b=>-=与双曲线)0,0(>>b a 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ） A ．215+ B ．12+ C ．13+ D ．2122+ 11．已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点, 则实数t 的取值范围是（ ） A ．()()+∞-∞-,11,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C ．()()+∞-∞-,,2222D ．()()+∞-∞-,,2212．已知圆锥曲线m y mx 4422=+的离心率e 为方程02522=+-x x 的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上的相应位置）13．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 .14．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为____________.15．已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=)0,0(>>b a 的两个焦点，以线段1F 2F 为边作正△21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e = .16．以下四个命题中：①命题“0,2≥∈∀x R x ”的否定是“2,0x R x ∃∈<”；②与两定点(－1,0)、(1,0)距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线； ③“1=a 是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件；④曲线192522=+y x 与曲线221(09)925x y k k k+=<<--有相同的焦点； ⑤设A ，B 为两个定点，若动点P 满足PB PA -=10，且6=AB ，则PA 的最大值为8；其中真命题的序号是 .（填上所有真命题的序号）三、 解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17．（本题满分10分）命题p ：关于x 的不等式0)1(22≤+-+a x a x 的解集为φ； 命题q ：函数xa a y )2(2-=错误！未找到引用源。

为增函数． 分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．（1）p 、q 至少有一个是真命题；（2）p 或q 是真命题且p 且q 是假命题． 18．（本题满分12分）已知点)5,0(P 及圆C ：02412422=+-++y x y x . （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.19．（本题满分12分）如图,在长方体1111ABCD A BC D -中11==AD AA ,E 为CD 中点.(1)求证:11B E AD ⊥；(2)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由； (3)若二面角11A B E A --的大小为30︒,求AB 的长.20．（本题满分12分）设点)0)(,(≥y y x P 为平面直角坐标系xOy 中的一个动点（其中O 为坐标原点），点P 到定点)21,0(M 的距离比点P 到x 轴的距离大21.(1) 求点P 的轨迹方程；（2）若直线1:+=kx y l 与点P 的轨迹相交于A 、B 两点，且62||=AB ，求k 的值； （3）设点P 的轨迹是曲线C ，点),1(0y Q 是曲线C 上的一点，求以Q 为切点的曲线C 的切线方程.21.（本题满分12分）直线l :1+=kx y 与双曲线C :1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、B .（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.22．（本题满分12分）椭圆C )0,(),0,(21c F c F -,M 是椭圆上一点，且满足021=∙F F .（1）求离心率e 的取值范围；（2）当离心率e 取得最小值时，点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为(i)求此时椭圆C 的方程；(ii)设斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B两点能否关于过点P （0，3-、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由.白鹭洲中学2014年高二年级12月月考数学答案（理）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AABDDCBAABD C13、 24 14、1,0x ey e-= 15、1 16、①②⑤17、故p ∨q 是真命题且p ∧q 是假命题时，a 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤≤<211131a a a-或18、解 如图所示，AB=43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD=23，圆x 2+y 2+4x-12y+24=0可化为（x+2）2+（y-6）2=16，圆心C （-2，6），半径r=4，故AC=4， 在Rt △ACD 中，可得CD=2.设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0. 由点C 到直线AB 的距离公式：22)1(562-++--k k =2，得k=43.此时直线l 的方程为3x-4y+20=0.又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x=0.则y 2-12y+24=0,∴y 1=6+23,y 2=6-23,∴y 2-y 1=43,故x=0满足题意. ∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.（2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x,y ）, 则CD ⊥PD ，即CD ²PD =0，（x+2,y-6）²(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x 2+y 2+2x-11y+30=0.19、解:(1)以点A 为原点建立空间直角坐标系,设AB a =,11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(,1,0),(,0,1)2aA D D EB a111(0,1,1),(,1,1),(,0,1),(,1,0)22a aAD B E AB a AE ∴==--==11011(1)102aAD B E ⋅=-⨯+⨯+-⨯=,故11B E AD ⊥(2)假设在棱上存在一点(0,0,)P t ,使得//DP 平面1B AE ,则(0,1,)DP t =-设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =,则有100002a x z n A B ax y n AE +=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪⋅=⎩⎩,取1x =,可得(1,,)2an a =--,要使//DP 平面1B AE ,只要DP n ⊥ 1022a at t ∴-=⇒=,又DP ⊄平面1B AE ,∴存在点P 使//DP 平面1B AE ,此时12AP =.(3)连接11,A D B C ,由长方体11AA AD ==,得11A D AD ⊥11//B C A D ,11AD B C ∴⊥,由(1)知11B E AD ⊥,故1AD ⊥平面11DCB A .1AD 是平面11DCB A 的法向量,而1(0,1,1)AD =,则111cos ,||||aaAD n AD n AD n --⋅<>==二面角是30︒,所以,即2AB =20、解：（1）过P 作x 轴的垂线且垂足为N ，由题意可知21||||=-PN PM , 而0≥y ，y PN =∴||，21)21(22+=-+∴y y x .化简得)0(22≥=y y x 为所求的方程。

（2）设),(),(2211y x ，B y x A ，联立⎩⎨⎧=+=yx kx y 212得0222=--kx x ,2,22121-==+∴x x k x x628414)(1||22212212=++=-++=k k x x x x k AB04324=-+∴k k 而02≥k ，12=∴k 1±=∴k（3）因为),1(0y Q 是曲线C 上一点，21,20020=∴=∴y y x ∴切点为)21,1(，由221x y =求导得x y ='∴当1=x 时1=k则直线方程为)1(21-=-x y 即0122=--y x 是所求切线方程.21、解 （1）将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0 ①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-0220220)2(8)2(0222222k k k k k k 解得k 的取值范围为-2＜k ＜-2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∙-=+2222221221k x x k k x x ②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0），则由FA ⊥FB得（x 1-c ）(x 2-c)+y 1y 2=0.即(x 1-c)(x 2-c)+(kx 1+1)(kx 2+1)=0. 整理得： (k 2+1)x 1x 2+(k-c)(x 1+x 2)+c 2+1=0 ③ 把②式及c=26代入③式化简得 5k 2+26k-6=0. 解得k=-566+或k=566-∉(-2,-2)（舍去）. 可知k=-566+使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 22、解：(1)、由几何性质知的取值范围为：22≤e ＜1 (2)、(i) 当离心率e 取最小值时，椭圆方程可表示为122222=+by b x 。