华东理工大学继续教育学院《高等数学》(下)练习试卷(1)(答案)
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华东理工大学继续教育学院成人教育
《高等数学》(下)(专升本68学时)练习试卷(1)(答案)
一、单项选择题
1、设xy
e y z 2
=,则=)1,1(dz 答( A ) (A ))3(dy dx e + (B ))3(dy dx e -
(C ))2(dy dx e + (D ))2(dy dx e - 解 (知识点:全微分的概念、全微分的计算方法)
因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+,得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==, 所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+
2、设方程0yz z 3y 2x 22
2
2
=-++确定了函数z=z (x ,y ),则
=∂∂x
z
答( B )
(A )
y z x -64 (B )
z
y x
64- (C )
y z y +64 (D )y
z y
-64
解 (知识点:多元隐函数的概念、隐函数求导法) 将方程两边对x 求导得 460z z
x z y x x
∂∂+-=∂∂,解得
46z x x y z ∂=∂-
3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴,则 答( C ) (A )A=D=0 (B )B=0,0D ≠ (C )0D ,0B == (D )C=D=0 解 (知识点:平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系)
由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ⇒=. 平面过原点 0D ⇒=,所以有 0D ,0B ==, 选(C ).
4、
设u =,则
(0,0)
u x
∂=∂ 答( A )
(A )等于0 (B )不存在 (C )等于1- (D )等于1 解: (知识点:偏导数的定义)
0(0,0)
(0,0)(0,0)0
lim
lim 0x x u f x f x
x
x →→∂+∆-===∂∆∆V V ,所以选(A )
5、极限 00
sin lim
x y xy
x
→→= 答( C )
(A )不存在 (B )1 (C )0 (D )∞ 解: (知识点:二重极限的概念、极限的四则运算性质、重要极限0sin lim
1x x
x
→=的运用)
000
sin sin lim
lim 011x x y y xy xy
y x xy →→→→=⋅=⋅=, 所以选(C )
二、填空题
1、设函数)ln(sin 2
2
y x y z +=,则
=∂∂y
z
解:(知识点:偏导数的概念、偏导数的计算方法)
)ln(cos 2sin 2
22
2y x y y x y y y z +++⋅=∂∂ 2、改变积分⎰⎰e
x dy y x f dx
1ln 0
),(的积分次序,⎰⎰e x dy y x f dx 1
ln 0
),( =
解:(知识点:化二重积分为二次积分、交换二次积分积分次序的方法)
因为 ln 10
(,)(,)e
x D
dx
f x y dy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰,其中 {(,)1,0ln }D x y x e y x =≤≤≤≤,
所以有 ln 1
(,)(,)e
x D
dx
f x y dy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰=10
(,)y
e
e dy
f x y dx ⎰⎰
3、设{2,1,3},{2,1,3}a b =-=-r r ,则25a b +=r r
解:(知识点:向量的坐标运算方法)
252{2,1,3}5{2,1,3}{4,2,6}{10,5,15}{6,3,21}a b +=-+-=-+-=-r r
4、函数ln()arcsin
y
z y x x
=-+ 的定义域为 解:(知识点:函数的定义域的概念及确定方法)
为使表达式x
y
arcsin
)x y ln(z +-=有意义 0,
1,y
y x y x y x x
⇒->≤⇒>≤, 所以函数的定义域为 x y x <≤-
5、 设 (,^),3,43
a b a b π=
==r
r r
r
,则 (2)a b -⨯=r
r
解:(知识点:外积的概念及运算性质)
(2)22sin(,^)234sin 3
a b a b a b a b π-⨯=⨯==⋅⋅⋅=r r r r
r r r r
三、解答下列各题 1、求微分方程 y y dx
dy
x
ln = 的通解。 解:(知识点:通解得概念、求解一阶可分离变量方程的方法)
分离变量得
dx x
y y dy 1
ln =, 两边积分有 c x y ln ln )ln(ln +=, 所以方程的通解为: cx
e y =。
2、计算二重积分:⎰⎰+D
d y x σ)23(, 其中D 是由曲线2
x y =及直线y=1所围成的区域。
解:(知识点:二重积分对称性、奇偶性性质在计算二重积分中的应用,直角坐标系下化二
重积分为二次积分的计算方法)
58)51(2)1(2422)23(12
1011
01054
=-=-===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D x D x x dx x ydy dx yd d y x σσ