华理大物实验答案误差与有效数字,基本测量

误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。

这节课我们学习误差及数据处理的知识。

数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。

一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。

测量值：数值+单位。

分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。

直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。

间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。

例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。

等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。

非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。

2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。

一般来说，真值仅是一个理想的概念。

实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。

误差ε：测量值与真值之间的差异。

误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。

绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。

为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。

绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。

相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。

（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。

第一章实验基础知识——误差和有效数字在关于最新必修加选修教材的教学大纲中，对误差和有效数宁作出了明确的规定。

1．关于误差认识误差问题在实验中的重要性，了解误差的概念，知道系统误差和偶然误差，知道用多次测量求平均值的方法减小偶然误差，能在某些实验中分析误差的主要来源，不要求计算误差。

2．关于有效数字了解有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果。

间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2—3位有效数字表示。

一、误差做物理实验，离不开对物理量的测量，而测量值和真实值总有差异。

这种差异就叫做误差。

从来源看，误差分成系统误差和偶然误差两种，从数值看，误差又分为绝对误差和相对误差两种。

1．系统误差和偶然误差①系统误差：系统误差是由于仪器本身不精确，或实验方法粗略，或实验原理不完善而产生的。

其特点是，在多次重做同—实验时，其结果总是同样地偏大或偏小，不会出现有几次偏大而另外几次偏小的情况。

要减小系统误差，必须校准仪器、改进实验方法、设计原理更完善的实验。

②偶然误差：是由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。

偶然误差的特点是，多次重做同—实验时，结果有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。

减小偶然误差的一般方法是多次测量，取其平均值。

[例题1] 指出以下误差是系统误差还是偶然误差A．测量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差。

B．用有毫米刻度的尺测量物体长度，豪米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差C．用安培表内接法测电阻时，测量值比真实值大[)．在验证共点力合成的平行四边形法则实验中，在画出两分力方向及合力方向时，画线不准所致误差[解析] A是选项是实验仪器不精确所致，是系统误差；B选项是由于测量者在估计时由于视线方向不准造成的，是偶然误差；C选项是实验原理不完善、忽略电流表内阻影响所致，是系统误差；D选项是画力方向时描点不准、直尺略有移动，或画线时铅笔倾斜程度不一致所致，是偶然误差。

高中物理实验偏差和有效数字一、考试纲领中实验能力的要求能独立的达成知识列表中的实验，能明的确验目的，能理解实验原理和方法，能控制实验条件，会使用仪器，会察看、剖析实验现象，会记录、办理实验数据，并得出结论，对结论进行剖析和评论；能发现问题、提出问题，并拟订解决方案；能运用已学过的物理理论、实验方法和实验仪器去办理问题，包含简单的设计性实验．二、考试纲领对实验的说明1．要求会正确使用的仪器主要有：刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器、天平、秒表、电火花计时器或电磁打点计时器、弹簧秤、电流表、电压表、多用电表、滑动变阻器、电阻箱等．2．要求认识偏差问题在实验中的重要性，认识偏差的观点，知道系统偏差和有时偏差；知道用多次丈量求均匀值的方法减少偶然偏差；能在某些实验中剖析偏差的主要根源；不要求计算偏差．3．要求知道有效数字的观点，会用有效数字表达直接丈量的结果．间接丈量的有效数字运算不做要求．三、有效数字1．带有一位不行靠数字的近似数字叫做有效数字．2．有效数字的位数：从左边第一个不为零的数字起到最末一位数字止，共有几个数字，就是几位有效数字．例： 0.092 3 、0.092 30 、2.014 0 有效数字的位数挨次为 3 位、4位和 5位．3．科学记数法：大的数字，如36 500 ，假如第 3 位数 5 已不行靠时，应记作 3.65 ×104；假如是在第 4 位数不行靠时，应记作3.650 ×104．四、偏差1．系统偏差产生的原由及特色(1)根源：一是实验原理不够完美；二是实验仪器不够精准；三是实验方法大略．比如，在考证力的平行四边形定章实验中，弹簧测力计的零点未校准；在考证牛顿第二定律的实验中，用砂和砂桶的重力取代对小车的拉力等．(2)基本特色：实验结果与真切值的偏差老是偏大或偏小．(3)减小方法：改良实验原理；提升实验仪器的丈量精准度；设计更精良的实验方法．2．有时偏差产生的原由及特色(1)根源：有时偏差是因为各样有时要素对实验者和实验仪器的影响而产生的．比如，用刻度尺多次丈量长度时估读值的差别；电源电压的颠簸惹起的丈量值细小变化．(2)基本特色：多次重复同一丈量时，有时偏差有时偏大，有时偏小，且偏大和偏小的时机比较凑近．(3)减小方法：多次丈量取均匀值能够减小有时偏差．【例 1】指出以下偏差是系统偏差仍是有时偏差A．丈量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的偏差。

华理大物实验报告示范报告1实验名称电桥法测中、低值电阻一.目的和建议1.掌握用平衡电桥法测量电阻的原理和方法;2.学会自乘电桥，且用交换法测量电阻去增大和修正系统误差;3.学会采用qj-23型惠斯登电桥测量中值电阻的方法;4.学会采用qj-42型凯尔文双臂电桥测量低值电阻的方法;二.实验原理直流均衡电桥的基本电路如下图右图。

图中ra,rb称为比率臂，rs为可调的标准电阻，称为比较臂，rx为待测电阻。

在电路的对角线（称为桥路）接点bc之间接入直流检流计，作为平衡指示器，用以比较这两点的电位。

调节rs的大小，当检流计指零时，b，c两点电位相等uac?uab；ucd?ubd，即iara?ibrb；ixrx?isrs。

因为检流计中无电流，所以ia?ix，ib?is，得到电桥平衡条件rx?三.实验仪器直流电源，检流计，可变电阻箱，待测电阻，元器件插座板，qj24a型惠斯登直流电桥，qj42型凯尔文双臂电桥，四端接线箱，螺旋测微计四.实验方法1.按实验原理图接好电路；2.根据先粗调后细调的原则，用逆向逐次迫近法调节，并使电桥逐步趋向均衡。

在调节过程中，先接通高值电阻rm，避免过小电流损毁检流计。

当电桥吻合均衡时，要关kg 以提升桥路的灵敏度，进一步细调；3.用箱式惠斯登电桥测量电阻时，所选取的比例臂应使有效数字最多。

rars。

rb1示范报告五.数据记录与分析1.交换法研究自搭电桥的系统误差-rx2rx3ra/rb=100/100rb/r a=100/100rs(ω)294.71976.0r’s(ω)300.92021.0δrs仪(ω)0.32σrs(ω)0.21δr’s仪(ω)0.32σrs’(ω)0.21?rs仪＝?(0.001rs?0.002m)，其中rs是电阻箱示值，m是所用转盘个数，rs2rs2rs仪rs?rs1rs?，?rx?，rx?rsrs?rs??rs2rsrs?2rsrs3所以rx2?297.8?0.1?，rx3?1995.4?0.8?2.不同比例臂对测量结果的影响ra/rb100/100100/1000100/100003.用箱式惠斯登电桥测量电阻rxrx1rx2rx34.用开尔文电桥测量低值电阻铜棒平均直径d＝3.975mm（多次测量取平均）（末读数－初读数）铜棒长度/mm电阻值/10ω电阻r?-3rs(ω)51.0500.65125.6rx1(ω)51.050.0651.256结论比例臂越大，有效数字位数越多，测量结果越准确。

大学物理实验练习题误差答案课后习题答案1．指出下列各量有效数字的位数。

U?1.000kV 有效位数：L?0.000123mm 有效位数：m?10.010kg 有效位数：5自然数有效位数：无限位2．判断下列写法是否正确，并加以改正。

I?0.0350A?35mA错，0.0350A有效位数为3位，而35mA有效位数为2位，二者物理意义不同，不可等同，应改为I?0.0350A?3.50?101mA。

m??53.270?0.3?kg错，测量结果有效数字的最后一位应与不确定度的末位对齐。

测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍六入五凑偶”的原则；而且，不确定度应记为“?”的形式。

故应将上式改成m??53.3?0.3?kg。

h?27.3?104?2000km错，当采用科学计数法表示测量结果时，最佳估计值与不确定度应同时用科学计数法表示，并且10的指数应取一致，还要保证最佳估计值的最后一位与不确定度的末位对齐。

因此，上式应改为h??27.3?0.2??104km。

x??4.325?0.004?A正确。

3．试按有效数字修约规则，将下列各数据保留三位有效数字。

.8547，2.3429，1.5451，3.8750，5.4349，7.6850，3.6612，6.26384．按有效数字的确定规则，计算下列各式。

343.37?75.8?0.6386??解：原式?343.37?75.8?0.64?419.81?419.88.45?8.180?76.543??解：原式?88.45?8.180?76.543?3.727?3.730.0725?2.5??解：原式?0.0725?2.5?0.1?8.42?0.052?0.47??2.001??解：原式??8.42?0.052?0.47??2.001?8.00?2.001?4.005．分别写出下列各式的不确定度传播公式。

Q?解：绝对不确定度：221KA2?B22?2?2?2?Q?Q?1uC?Q?uA?uBK?u?uA BABAB212222K2uA2uBKuAB2相对不确定度：22u?Q?KuA?ub2uA?ub E?CK2?22其中，uA、uB分别表示A、B量的合成不确定度。

此文档下载后即可编辑误差与有效数字练习题答案1.有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微计测量一个铜球的直径，各人所得的结果表达如下：d 甲 =（1.2832±0.0003）cm ，d 乙 =（1.283±0.0003）cm ，d 丙 =（1.28±0.0003）cm ，d 丁 =（1.3±0.0003）cm ，问哪个人表达得正确？其他人错在哪里？ 答：甲对。

其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。

2.一学生用精密天平称一物体的质量m ，数据如下表所示 ： Δ=0.0002g结果表达式。

3.61232im m g n∑==A 类分量： (0.6831 1.110.0001080.000120S t n g =-=⨯=B 类分量： 0.6830.6830.00020.000137u g =∆=⨯=仪合成不确定度：0.000182U g ==0.00018g 取0.00018g ，测量结果为：(3.612320.00018)m U g ±=± ( P=0.683 )相对误差:0.000180.005%3.61232U E m === 3.用米尺测量一物体的长度，测得的数值为度及相对误差，写出结果表达式。

cm nL L i965.98=∑=， A 类分量:(0.6831S t n =-=1.06⨯0.006=0.0064cmB 类分量: 0.6830.6830.050.034u cm =∆=⨯=仪合成不确定度: 0.035U cm ====0.04cm相对误差:%04.096.9804.0===L U E ( P=0.683 )结果: cm U L )04.096.98(±=±4.在测量固体比热实验中，放入量热器的固体的起始温度为t 1 ±S t 1= 99.5 ± 0.3℃，固体放入水中后，温度逐渐下降，当达到平衡时，t 2 ±S t 2= 26.2 ± 0.3℃，试求温度降低值t =t 2 – t 1的表示式及相对误差。

第一部分：基本实验基础1．（直、圆）游标尺、千分尺的读数方法。

答：P462．物理天平1．感量与天平灵敏度关系。

天平感量或灵敏度与负载的关系。

答：感量的倒数称为天平的灵敏度。

负载越大，灵敏度越低。

2．物理天平在称衡中，为什么要把横梁放下后才可以增减砝码或移动游码。

答：保护天平的刀口。

3．检流计1．哪些用途？使用时的注意点？如何使检流计很快停止振荡？答：用途：用于判别电路中两点是否相等或检查电路中有无微弱电流通过。

注意事项：要加限流保护电阻要保护检流计，随时准备松开按键。

很快停止振荡：短路检流计。

4．电表量程如何选取？量程与内阻大小关系？答：先估计待测量的大小，选稍大量程试测，再选用合适的量程。

电流表：量程越大，内阻越小。

电压表：内阻=量程×每伏欧姆数5．万用表不同欧姆档测同一只二极管正向电阻时，读测值差异的原因？答：不同欧姆档，内阻不同，输出电压随负载不同而不同。

二极管是非线性器件，不同欧姆档测，加在二极管上电压不同，读测值有很大差异。

6．信号发生器功率输出与电压输出的区别？答：功率输出：能带负载，比如可以给扬声器加信号而发声音。

电压输出：实现电压输出，接上的负载电阻一般要大于50Ω。

比如不可以从此输出口给扬声器加信号，即带不动负载。

7．光学元件光学表面有灰尘，可否用手帕擦试？答：不可以8．箱式电桥倍率的选择方法。

答：尽量使读数的有效数字位数最大的原则选择合适的倍率。

9．逐差法什么是逐差法，其优点？答：把测量数据分成两组，每组相应的数据分别相减，然后取差值的平均值。

优点：每个数据都起作用，体现多次测量的优点。

10．杨氏模量实验1．为何各长度量用不同的量具测？答：遵守误差均分原理。

2．测钢丝直径时，为何在钢丝上、中、下三部位的相互垂直的方向上各测一次直径，而不是在同一部位采样数据？答：钢丝不可能处处均匀。

3．钢丝长度是杨氏模量仪上下两个螺丝夹之间的长度还是上端螺丝夹到挂砝码的砝码钩之间的长度？答：前者4．采用光放大办法测钢丝的微小伸长量时要测望远镜到标尺之间的距离L，请问，L 是指平面镜镜面到望远镜旁标尺的距离还是指平面镜镜面到望远镜物镜之间的距离？答：前者5．必须预加砝码使钢丝拉直，你能用什么办法判断需预加几个砝码？答：用图示法。

习 题(参考答案)2．指出下列测量值为几位有效数字，哪些数字是可疑数字，并计算相对不确定度。

(1) g ＝(9.794±0.003)m ·s 2-答：四位有效数字，最后一位“4”是可疑数字，%031.0%100794.9003.0≈⨯=gr U ； (2) e ＝(1.61210±0.00007)⨯1019- C答：六位有效数字，最后一位“0”是可疑数字，%0043.0%10061210.100007.0≈⨯=er U ；(3) m ＝(9.10091±0.00004) ⨯1031-kg答：六位有效数字，最后一位“1”是可疑数字，%00044.0%10010091.900004.0≈⨯=mr U ；(4) C ＝(2.9979245±0.0000003)810⨯m/s答：八位有效数字，最后一位“5”是可疑数字1．仪器误差为0.005mm 的螺旋测微计测量一根直径为D 的钢丝，直径的10次测量值如下表：试计算直径的平均值、不确定度(用D 表示)和相对不确定度(用Dr 表示)，并用标准形式表示测量结果。

解： 平均值 mm D D i i 054.2101101==∑=标准偏差：mm D Di iD 0029.0110)(1012≈--=∑=σ算术平均误差： mm DDi iD 0024.010101≈-=∑=δ不确定度A 类分量mm U D A 0029.0==σ， 不确定度B 类分量mm U B 005.0=∆=仪∴ 不确定度mm U U UB A D006.0005.00029.02222≈+=+=相对不确定度%29.0%100054.2006.0%100≈⨯=⨯=D U U D Dr 钢丝的直径为：%29.0)006.0054.2(=±=Dr D mmD或 不确定度A 类分量mm U D A 0024.0==δ ， 不确定度B 类分量mm U B 005.0=∆=仪∴ 不确定度mm U U UB A D006.0005.00024.02222≈+=+=相对不确定度%29.0%100054.2006.0%100≈⨯=⨯=D U U D Dr 钢丝的直径为： %29.0)006.0054.2(=±=Dr D mmD，%00001.0%1009979245.20000003.0≈⨯=Cr U 。

误差与有效数字练习题答案1.有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微计测量一个铜球的直径，各人所得的结果表达如下：d 甲 =（1.2832±0.0003）cm ，d 乙 =（1.283±0.0003）cm ，d 丙 =（1.28±0.0003）cm ，d 丁 =（1.3±0.0003）cm ，问哪个人表达得正确？其他人错在哪里？ 答：甲对。

其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。

2.一学生用精密天平称一物体的质量m ，数据如下表所示 ： Δ仪 =0.0002g请计算这一测量的算术平均值，测量标准误差及相对误差，写出结果表达式。

A 类分量： (0.6831 1.110.0001080.000120S t n g =-=⨯=B 类分量： 0.6830.6830.00020.00u g =∆=⨯=仪合成不确定度：0.000182U g ====0.00018g 取0.00018g ，测量结果为：(3.612320.00018)m U g ±=± ( P=0.683 )相对误差: 0.000180.005%3.61232U E m=== 3.用米尺测量一物体的长度，测得的数值为试求其算术平均值，A 类不确定度、B 类不确定度、合成不确定度及相对误差，写出结果表达式。

cm nL L i965.98=∑=， A 类分量: (0.6831S t n =-⨯0.006=0.0064cmB 类分量: 0.6830.6830.050.034u cm =∆=⨯=仪合成不确定度: 0.035U cm ===0.04cm 相对误差: %04.096.9804.0===L U E ( P=0.683 ) 结果: cm U L )04.096.98(±=±4.在测量固体比热实验中，放入量热器的固体的起始温度为t 1 ±S t 1= 99.5 ± 0.3℃，固体放入水中后，温度逐渐下降，当达到平衡时，t 2 ±S t 2= 26.2 ± 0.3℃，试求温度降低值t =t 2 – t 1的表示式及相对误差。

1实验名称 电桥法测中、低值电阻一.目的和要求1.掌握用平衡电桥法测量电阻的原理和方法;2.学会自搭电桥，且用交换法测量电阻来减小和修正系统误差;3.学会使用QJ-23型惠斯登电桥测量中值电阻的方法;4.学会使用QJ-42型凯尔文双臂电桥测量低值电阻的方法;二.实验原理直流平衡电桥的基本电路如下图所示。

图中B A R R ,称为比率臂，Rs 为可调的标准电阻，称为比较臂，Rx 为待测电阻。

在电路的对角线（称为桥路）接点BC 之间接入直流检流计，作为平衡指示器，用以比较这两点的电位。

调节Rs 的大小，当检流计指零时，B ，C 两点电位相等AB AC U U =；BD CD U U = ，即B B A A R I R I =；S S X X R I R I =。

因为检流计中无电流，所以X A I I =，S B I I =，得到电桥平衡条件 Rs R R Rx BA=。

三.实验仪器直流电源，检流计，可变电阻箱，待测电阻，元器件插座板，QJ24a 型惠斯登直流电桥，QJ42型凯尔文双臂电桥，四端接线箱，螺旋测微计四.实验方法1.按实验原理图接好电路；2.根据先粗调后细调的原则，用反向逐次逼近法调节，使电桥逐步趋向平衡。

在调节过程中，先接上高值电阻R m ，防止过大电流损坏检流计。

当电桥接近平衡时，合上K G 以提高桥路的灵敏度，进一步细调；3.用箱式惠斯登电桥测量电阻时，所选取的比例臂应使有效数字最多。

五.数据记录与分析(0.0010.002)SRSR m∆±+仪＝，其中SR是电阻箱示值，m是所用转盘个数，RSσ∆'=XR=XRσ=所以2297.80.1XR=±Ω，31995.40.8XR=±Ω2.不同比例臂对测量结果的影响3.用箱式惠斯登电桥测量电阻4.用开尔文电桥测量低值电阻铜棒平均直径d＝3.975mm（多次测量取平均）（末读数－初读数）电阻24R L LS dρρπ==，由下图中的拟合直线得出斜率00609.042==dkπρ，则电阻率()mkd⋅Ω⨯=⨯⨯⨯==--82321056.7410975.300609.0142.34πρ六.分析讨论题当惠斯登电桥平衡后，若互换电源与检流计位置，电桥是否仍保持平衡？试说明之。

⼤学物理实验第⼆版课后作业参考答案清华⼤学出版社《误差理论》作业参考答案1、（1）74.63±0.05cm 或 746.3±0.5mm （2） 7.25±0.01cm 或 72.5±0.1mm （3）42.6 ±0.2s （4）27.6±0.2℃（5）2.734±0.001v2、（1）2位（2）7位（3）5位（4）6位（5）5位（6）2位3、(1) 299300=2.99300510?；983±4=()21004.083.9?±；0.00400=4.00310-?0.004521±0.000001=()310001.0521.4-?±；32476510?=3.2476910?； (2) 15.48g =1.548mg 410?=1.548Kg 210-? (3) m =312.670±0.002Kg =(3.1267±0.00002)510?g =(3.12670±0.00002)mg 810? (4) =t 17.9±0.1S =0.298±0.002min = (2.98±0.02)×10-1 min 4、（1）N=10.8±0.2cm（2）⾸位数码“0”不是有效数字，未位数码“0”是有效数字，正确答案是四位有效数字。

（3）28cm =2.8mm 210? 280mm =28.0cm （4）L=（3.8±0.2）mm 410?（5）0.0221?0.0221=“0.00048841”≈0.000488（6）31010.460.1160.121500400?≈??5、（1）X =81(4.113+4.198+4.152+4.147+4.166+4.154+4.132+4.170)=8133.232=4.154cm X ?={()1881-? [(4.154-4.113)2+ (4.154-4.198)2+ (4.154-4.152)2+(4.154-4.147)2+ (4.154-4.166)2+ (4.154-4.154)2 +(4.154-4.132)2+ (4.154-4.170)2]}21 ≈0.00904～０.009cmX =X ±x ?=4.154±0.009cm 或 X =X ±x ?=4.15±0.01cm E =154.4009.0?100%=0.22% 或 E =15.401.0?100% =0.23%注：使⽤计算器时计算过程中有效数字的位数可以不考虑，最后结果应按照教材P6的“不确定度取位规则”和“测量有效数字取位规则”。

华东理工大学物理答案【篇一：华东理工期末考试试题】华东理工大学2006–2007学年第一学期《物理化学》(下册)期末考试试卷(b卷)2007.1.9开课学院：化学与分子工程学院专业：04级大面积考试形式：闭卷所需时间 120 分钟考生姓名：学号：班级：任课教师一、概念题（共20分，每小题1分）1．对于的分解反应，可分别用、、表示反应速率，它们之间的关系为。

2．反应，在条件下a的消耗速率可以表示为。

3．反应的速率常数，反应物a的初始浓度为，则a的半衰期为4．阿仑尼乌斯方程适用于各种类型的化学反应。

（对，错）5．在边长为a的立方箱中运动的理想气体分子其质量为m，平动能为，则它所处平动能级的简并度为。

6．写出麦克斯韦-玻尔兹曼(mb)分布公式。

7．粒子因受激发而离开基态能级的数目越多，值愈大，可见的物理意义是。

8．相空间中的每一个点，代表 9．当系统的温度时，能量标度的零点设在基态能级上的配分函数。

10．铺展系数的物理意义可用式表示，其中为粘附功、为。

11．某固体颗粒与液体的接触角，则这种液体能）12．根据表面相的热力学基本方程，写出一个表面张力的热力学表示式。

13．将a、b、c三根玻璃毛细管的一端分别浸入水中，已知它们的半径，设它14．将少量肥皂加入水中，则水的表面张力。

（增大，减小，不变）15．过饱和蒸气的存在可用公式解释。

（拉普拉斯，开尔文，兰缪尔） 16．使用盐桥的目的是。

17．电解质溶液是第二类导体，它的导电是依靠。

18．无论是强电解质还是弱电解质，其摩尔电导率均随溶液浓度增大出现极值。

(对，错）19．摩尔电导率与间的关系为。

20．电化学反应的热力学特征是。

二、(14分)纯物质a在高温下的气相分解是一级反应，反应式为。

在一定温度下，将一定量的纯a(g) 迅速放入一恒容反应器中，然后用实验测量t 时刻容器内的总压p及a完全反应后的总压。

做了两个温度下的实验，数据列于下表中，假设气体是理想气体，反应的活化能ea不随温度而变化，试求此活化能。

华理大物实验答案（误差与有效数字,基本测量）误差与有效数字练习题答案1.有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微计测量一个铜球的直径，各人所得的结果表达如下：d 甲=（1.2832±0.0003）cm ，d 乙=（1.283±0.0003）cm ，d 丙=（1.28±0.0003）cm ，d 丁=（1.3±0.0003）cm ，问哪个人表达得正确？其他人错在哪里？答：甲对。

其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。

2.一学生用精密天平称一物体的质量m ，数据如下表所示：Δ仪=0.0002g请计算这一测量的算术平均值，测量标准误差及相对误差，写出结果表达式。

3.61232im m g n∑== A类分量： (0.6831 1.110.0001080.000120S t n g =-=?=B 类分量： 0.6830.6830.00020.00u g =?=?=仪合成不确定度：0.000182U g ==0.00018g 取0.00018g ，测量结果为：(3.612320.00018)m U g ±=± ( P=0.683 )相对误差: 0.000180.005%3.61232U E m === 3.用米尺测量一物体的长度，测得的数值为试求其算术平均值，A 类不确定度、B 类不确定度、合成不确定度及相对误差，写出结果表达式。

cm nL L i965.98=∑=， A 类分量: (0.6831S t n =-?0.006=0.0064cmB 类分量: 0.6830.6830.050.034u cm =?=?=仪合成不确定度: 0.035U cm ====0.04cm 相对误差: %04.096.9804.0===L U E ( P=0.683 )结果: cm U L )04.096.98(±=±4.在测量固体比热实验中，放入量热器的固体的起始温度为t 1 ±S t 1= 99.5 ± 0.3℃，固体放入水中后，温度逐渐下降，当达到平衡时，t 2 ±S t 2= 26.2 ± 0.3℃，试求温度降低值t =t 2 – t 1的表示式及相对误差。

5第一章 测量、误差和数据处理1．测量与误差1.1 测量在科学实验中，一切物理量都是通过测量得到的．所谓测量，就是用一定的工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地与被测对象进行比较．著名物理学家伽利略有一句名言：“凡是可能测量的，都要进行测量，并且要把目前无法度量的东西变成可以测量的”．物理测量的内容很多，大至日、月、星辰，小到原子、分子．现在人们能观察和测量到的范围，在空间方面已小到10-14～10-15 cm ，大到百亿光年，大小相差在1040倍以上．在时间方面已短到10-23 ～10-24 s 的瞬间，长达百亿年，两者相差也在1040倍以上．在定量地验证理论方面，也需要进行大量的测量工作．因此可以说，测量是进行科学实验必不可少的极其重要的一环．测量分直接测量和间接测量．直接测量是指把待测物理量直接与认定为标准的物理量相比较，例如用直尺测量长度和用天平测物体的质量．间接测量是指按一定的函数关系，由一个或多个直接测量量计算出另一个物理量，例如测物体密度时，先测出该物体的体积和质量，再用公式算出物体的密度．在物理实验中进行的测量，大多属于间接测量．一个测量数据不同于一个数值，它是由数值和单位两部分组成的．一个数值有了单位，才具有特定的物理意义，这时它才可以称之为一个物理量．因此测量所得的值（数据）应包括数值（大小）和单位，两者缺一不可．1.2 误差从测量的要求来说，人们总希望测量的结果能很好地符合客观实际．但在实际测量过程中，由于测量仪器、测量方法、测量条件和测量人员的水平以及种种因素的局限，不可能使测量结果与客观存在的实际值（真值）完全相同，我们所测得的只能是某物理量的近似值．也就是说，任何一种测量结果的量值与真值之间总会或多或少地存在一定的差值，将其称为该测量值的测量误差，简称“误差”，误差的大小反映了测量的准确程度．测量误差的大小可以用绝对误差表示，也可用相对误差表示 绝对误差 ＝ 测量值－真值，100%真值绝对误差相对误差⨯=E ．测量总是存在着一定的误差，但实验者应该根据要求和误差限度来制订或选择合理的测量方案和仪器．不能不切合实际地要求实验仪器的精度越高越好；环境条件总是恒温、恒湿、越稳定越好；测量次数总是越多越好．一个优秀的实验工作者，应该是在一定的要求下，以最低的代价来取得最佳的实验结果．要做到既保证必要的实验精度，又合理地节省人力与物力．误差自始至终贯穿于整个测量过程之中，为此必须分析测量中可能产生各种误差的因素，尽可能消除其影响，并对测量结果中未能消除的误差做出评价．1.3 误差的分类6误差的产生有多方面的原因，从误差的来源和性质上可分为“偶然误差”和“系统误差”两大类．1.3.1 系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，测量值对真值的偏离（包括大小和方向）总是相同的，这类误差称为系统误差．系统误差的来源大致有以下几种：（1）理论公式的近似性：例如单摆的周期公式g l T π2 成立的条件之一是摆角趋于零，而在实验中，摆角为零的条件是不现实的．（2）仪器结构不完善：例如温度计的刻度不准，天平的两臂不等长，示零仪表存在灵敏阈等．（3）环境条件的改变：例如在20℃条件下校准的仪器拿到－20℃环境中使用．（4）测量者生理心理因素的影响：例如记录某一信号时有滞后或超前的倾向，对准标志线读数时总是偏左或偏右、偏上或偏下等．系统误差的特点是恒定性，不能用增加测量次数的方法使它减小．在实验中发现和消除系统误差是很重要的，因为它常常是影响实验结果准确程度的主要因素．能否用恰当的方法发现和消除系统误差，是测量者实验水平高低的反映，但是又没有一种普遍适用的方法去消除误差，主要靠对具体问题作具体的分析与处理，要靠实验经验的积累．1.3.2 偶然误差 偶然误差是指在相同条件下，多次测量同一物理量，其测量误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化．这种误差是由实验中多种因素的微小变动而引起的，例如实验装置和测量机构在各次调整操作上的变动，测量仪器指示数值的变动，以及观测者本人在判断和估计读数上的变动等等．这些因素的共同影响就使测量值围绕着测量的平均值发生涨落，这变化量就是各次测量的偶然误差．偶然误差的出现，就某一测量值来说是没有规律的，其大小和方向都是不能预知的，但对一个量进行足够多次的测量，则会发现它们的偶然误差是按一定的统计规律分布的，常见的分布有正态分布、均匀分布、t 分布等． 常见的一种情况是：正方向误差和负方向误差出现的次数大体相等，数值较小的误差出现的次数较多，数值很大的误差在没有错误的情况下通常不出现．这一规律在测量次数越多时表现得越明显，它就是一种最典型的分布规律——正态分布规律．1.3.3 系统误差和偶然误差的关系 系统误差和偶然误差的区别不是绝对的，在一定条件下，它们可以相互转化．比如称量的砝码误差，对于制造厂家来说，它是偶然误差，对于使用者来说，它又是系统误差．又如测量对象的不均匀性（如小球直径、金属丝的直径等），既可以当作系统误差，又可以当作偶然误差．有时系统误差和偶然误差混在一起，也难于严格加以区分．例如测量者使用仪器时的估读误差往往既包含有系统误差，又包含有偶然误差．这里的系统误差是指他读数时总是有偏大或偏小的倾向，偶然误差是指他每次读数时偏大或偏小的程度又是互不相同的．2．测量的不确定度和测量结果的表示2.1 测量的不确定度 测量误差存在于一切测量中，由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度即为测量的不确定度，它给出测量结果不能确定的误差范围．一个完整的测量结果不仅要标明7其量值大小，还要标出测量的不确定度，以表明该测量结果的可信赖程度． 目前世界上已普遍采用不确定度来表示测量结果的误差．我国从1992年10月开始实施的《测量误差和数据处理技术规范》中，也规定了使用不确定度评定测量结果的误差． 通常不确定度按计算方法分为两类，即用统计方法对具有随机误差性质的测量值计算获得的A 类分量∆A ，以及用非统计方法计算获得的B 类分量∆B ． 2.2 偶然误差与不确定度的A 类分量 2.2.1 偶然误差的分布与标准偏差 偶然性是偶然误差的特点．但是，在测量次数相当多的情况下，偶然误差仍服从一定的统计规律．在物理实验中，多次独立测量得到的数据一般可近似看作为正态分布，正态分布的特征可以用正态分布曲线形象地表示出来，如图1所示．当测量次数n 趋于∞时，测量值x 将成为连续型随机变量，其概率密度分布为正态函数，形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221exp 21)(σμπσx x f （1）其中，µ 表示x 出现概率最大的值，在消除系统误差后，µ为真值．σ 称为标准偏差，它反映了测量值的离散程度．定义21()d xx f x x ξ=⎰，表示变量x 在(x 1，x 2)区间出现的概率，称为置信概率．x 出现在（µ－σ，µ＋σ）之间的概率为()d 0.683f x x μσμσξ+-==⎰（2）说明对任一次测量，其测量值出现在（µ－σ，µ＋σ）区间的可能性为0.683．为了给出更高的置信水平，置信区间可扩展为（µ－2σ，µ＋2σ）和（µ－3σ，µ＋3σ），其置信概率分别为22()d 0.954f x x μσμσξ+-==⎰和 33()d 0.997f x x μσμσξ+-==⎰（3）2.2.2 多次测量平均值的标准偏差和算术平均值标准误差尽管一个物理量的真值µ是客观存在的，但由于随机误差的存在，企图得到真值的愿望仍不现实，我们只能估算µ值．根据偶然误差的特点，可以证明如果对一个物理量测量了相当多次后，分布曲线趋于对称分布，其算术平均值就是接近真值µ的最佳值．如对物8理量x 测量n 次，每一次测量值为x i ，则算术平均值x 为nxx ni i∑==1（4）x 的标准偏差（Standard Deviation)可用贝塞尔公式估算为1)(12--=∑=n x xni ix σ （5）其意义为任一次测量的结果落在)(x x σ-到)(x x σ+区间的概率为0.683．由于算术平均值是测量结果的最佳值，最接近真值，因此我们更希望知道x 对真值的离散程度．误差理论可以证明x 的标准误差（Standard Error)为()()nn n x x xix σσ=--=∑12（6）上式说明，平均值的标准差是n 次测量中任意一次测量值标准差的n /1，显然x σ小于x σ．x σ的意义是待测物理量处于x x σ±区间内的概率为0.683．从上式中可以看出，当n为无穷大时，0=x σ，即测量次数无穷多时，平均值就是真值．2.2.3 有限次测量的情况和t 因子值得注意的是测量次数相当多时，测量值才近似为正态分布，上述结果才成立．在测量次数较少的情况下，测量值的概率密度曲线将呈t 分布（图2）．测量次数较少时，t 分布相比正态分布变得平坦，当测量次数较多时（例如多于10次）t 分布趋于正态分布，当测量次数趋于无限时，t 分布过渡到正态分布．对有限次测量的结果，要保持与正态分布同样的置信概率，显然要扩大置信区间，将置信区间乘以一个大于1的t 因子，则)/(n t x t x x x x σσξξ±=±=的置信概率与正态分布的置信概率ξ相同．在物理实验中，我们建议置信概率采用0.95，因子95.0t 和n t /95.0的值见表1．表1 95.0t 和n t /95.0与n 的关系92.2.4 不确定度的A 类分量不确定度的A 类分量∆A 是重复测量时用统计学方法计算的分量，当重复测量次数为n 时, n t t x x A /Δξξσσ⋅==．当实验中取置信概率为0.95，且n ＝6时，有x A σ05.1=∆．通常在大学物理实验中，当n ＝6时，由于有1/95.0≈n t ，取∆A = σx ，即在置信概率为0.95的前提下，A 类不确定度∆A 可用测量值的标准偏差σx 估算．2.3 不确定度的B 类分量不确定度的B 类分量∆B 是用非统计方法计算的分量，如仪器误差等．一般而言，不确定度的B 类分量∆B 记为仪器标定的最大允差∆仪/C ，其中C 为置信系数，通常情况下C 取1，即∆B = ∆仪．某些常用实验仪器的最大允差∆仪见表2．表2 常用实验仪器的最大允差102.4 测量结果的表示 2.4.1 测量结果的表示若用不确定度表征测量结果的可靠程度，则测量结果需写成下列标准形式⎪⎩⎪⎨⎧⨯=±=%100x u u u x x xx r x （7）式中x 为多次测量的平均值，u 为合成不确定度，u r 为相对不确定度．合成不确定度u 由A 类不确定度∆A 和B 类不确定度∆B 采用均方根合成方式得到22B A x u ∆+∆=（8）若A 类分量有n 个，B 类分量有m 个,那么合成不确定度为∑∑==∆+∆=mi B ni A x i iu 1212（9）2.4.2 直接测量的不确定度计算过程 （1）单次测量时，通常有三种情况：（a ）仪器精度较低，偶然误差很小，多次测量读数相同，不必进行多次测量； （b ）对测量的准确程度要求不高，只测一次就够了； （c ）因测量条件的限制，不可能多次重复测量．单次测量的结果也用（7）式表示测量结果．这时u 常用极限误差∆表示．∆的取法一般有二种：一种是仪器标定的最大允差∆仪；另一种是根据不同仪器、测量对象、环境条件、仪器灵敏阈等估计一个极限误差．两者中取数值较大的作为∆值．（2）多次测量时，不确定度以下面的过程进行计算：（a ）修正已知的系统误差，得到测量值（如螺旋测微器必须消除零误差）；（b ）求测量数据的算术平均值：nxx i∑=；（c ）用贝塞尔公式计算标准偏差：()12--=∑n x x ixσ；（d ）标准偏差乘以一置信参数n t /95.0，求得∆A ； （e ）根据仪器标定的最大允差∆仪 确定∆B ： ∆B = ∆仪； （f ）由∆A 、∆B 计算合成不确定度：22B A x u ∆+∆=；11（g ）计算相对不确定度：%100⨯=xu u xr x ； （h ）给出测量结果:⎪⎩⎪⎨⎧⨯=±=%100x u u u x x xr x x ．例：在室温23℃下，用共振干涉法测量超声波在空气中传播时的波长λ，数据见表：试用不确定度表示测量结果． 解：波长λ的平均值为()mm 64.46161==∑=i i λλ任意一次波长测量值的标准偏差为()()mm)(03.0510109164612≈⨯=--=-∑iλλσλ实验装置的游标示值误差为：∆仪 = 0.02 mm波长不确定度的A 类分量为：∆A =1.05σλ ≈σλ = 0.03mm B 类分量为：∆B = ∆仪 = 0 .02 mm 于是，波长的合成不确定度为()()04.002.003.02222≈+=∆+∆=B A u λ(mm )相对不确定度为 %9.0%100=⨯=λλλu u r测量结果表达为：()⎩⎨⎧=±=%9.004.064.4λλr u cm122.4.3 间接测量不确定度的计算间接测量量是由直接测量量根据一定的数学公式计算出来的．这样一来，直接测量量的不确定度就必然影响到间接测量量，这种影响的大小也可以由相应的数学公式计算出来．设间接测量所用的数学公式可以用如下的函数形式表示),,,( z y x F N = （10）式中的N 是间接测量量，x ，y ，z ，…是直接测量量，它们是互相独立的量．设x ，y ，z ，…的不确定度分别为u x ，u y ，u z ，…，它们必然影响间接测量量，使N 值也有相应的不确定度u ．由于不确定度都是微小的量，相当于数学中的“增量”，因此间接测量的不确定度的计算公式与数学中的全微分公式基本相同．不同之处是：1.要用不确定度u x 等替代微分dx 等；2.要考虑到不确定度合成的统计性质，一般是用“方和根”的方式进行合成．于是，在普通物理实验中用以下两式来简化地计算不确定度+∂∂+∂∂+∂∂=222222)()()()()()(z y x u zFu y F u x F u （11）+∂∂+∂∂+∂∂==222222)()ln ()()ln ()()ln (z y x N r u zF u y F u x F N u u （12）（11）式适用于N 是和差形式的函数，（12）式适用于N 是积商形式的函数．用间接测量不确定度表示结果的计算过程如下： （1）先写出（或求出）各直接测量量的不确定度．（2）依据),,,( z y x F N =的关系求出x F ∂∂，y F ∂∂…，或x F ∂∂ln ，yF ∂∂ln …． （3）用(11)式或(12)式求出u 和u r ，亦可用传递公式直接用各直接测量量不确定度进行计算u 和u r （见表3）．（4）给出实验结果⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+=%100N uu uN N r，其中),,,(⋅⋅⋅=z y x f N ． 例：已知金属环的内径D 1 = 2.880±0.004 cm ，外径D 2 = 3.600±0.004 cm ，高度 H = 2.575±0.004 cm ，求金属环的体积，并用不确定度表示实验结果． 解：求金属的体积()()3222122cm 436.9575.2880.2600.344=⨯-⨯=-=ππH D DV求偏导：13H H V D D D D V D D D D V 1ln ,2ln ,2ln 212211212222=∂∂--=∂∂-=∂∂%8.0008.0)(22222122122122212===⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==代入数据H u D D u D D D u D V u u H D D VrV求3cm 08.0008.0436.9≈⨯==rV V u V u实验结果：⎩⎨⎧=±=%8.0cm 08.044.93rV u V ．表3 常用函数的不确定度传递公式3．有效数字及其运算规则3.1 有效数字的概念 任何一个物理量，其测量结果既然都包含误差，那么该物理量数值的尾数不应该任意取舍．在进行具体的数字运算前，按照一定的规则确定一致的位数，然后舍去某些数字后面多余的尾数的过程被称为数字修约，指导数字修约的具体规则被称为数字修约规则．根据数值修约规则（按国家标准文件：GB8170-87），测量结果只写到开始有误差的那一或两位数，以后的数按“4舍6入5看右，5后有数进上去， 尾数为0向左看，左数奇进偶舍弃”修约．对于“5”后尾数都为0的情况，则看“5”前一位，前一位是奇数，则将5进上，使有误差末位为偶数，若5的前一位是偶数则将5舍去．我们把测量结果中可靠的几位数字加上有误差的一到两位数字称为测量结果的有效数字．或者说，有效数字中最后一到两位数字是不确定的．显然，有效数字是表示不确定度的一种粗略的方法，而不确定度则是对有效数字中最后一到两位数字不确定程度的定量描述，它们都表示含有误差的测量结果．有效数字的位数与小数点的位置无关．如1.23与123都是三位有效数字．关于“0”是不是有效数字的问题，可以这样来判别：从左往右数，以第一个不为零的数字为起点，它左边的“0”不是有效数字，它右边的“0”是有效数字．例如0.0123是三位有效数字，0.01230是四位有效数字．作为有效数字的“0”，不可以省略不写．例如，不能将1.3500 cm 写作1.35 cm，因为它们的准确程度是不同的．有效数字位数的多少，大致反映相对误差的大小．有效数字位数越多，则相对误差越小，测量结果的准确度越高．3.2 数值书写规则测量结果的有效数字位数由不确定度来确定．由于不确定度本身只是一个估计值，一般情况下，不确定度的有效数字位数只取一到两位．测量值的末位须与不确定度的末位取齐．在初学阶段，可以认为有效数字只有最后一位是不确定的，相应地不确定度也只取一位有效数字，例如L =（1.00±0.02）cm．一次直接测量结果的有效数字，由仪器极限误差或估计的不确定度来确定．多次直接测量算术平均值的有效数字，由计算得到平均值的不确定度来确定．间接测量结果的有效数字，也是先算出结果的不确定度，再由不确定度来确定．当数值很大或很小时，用科学计数法来表示．如：某年我国人口为七亿五千万，极限误差为二千万，就应写作：(7.5±0.2)×104万，其中(7.5±0.2)表明有效数字和不确定度，104万表示单位．又如，把(0.000623±0.000003) m写作(6.23±0.03)×10-4 m，看起来就简洁醒目了．3.3 有效数字的运算规则在有效数字运算过程中，为了不致因运算而引进“误差”或损失有效位数，影响测量结果的精度，统一规定有效数字的近似运算规则如下：（1）诸量相加（或相减）时，其和（或差）数在小数点后所应保留的位数与诸数中小数点后位数最少的一个相同；（2）诸量相乘（或除）后保留的有效数字，只须与诸因子中有效数字最少的一个相同．（3）乘方与开方的有效数字与其底的有效数字位数相同．（4）一般来说，函数运算的位数应根据误差分析来确定．在物理实验中，为了简便和统一起见，对常用的对数函数、指数函数和三角函数作如下规定：对数函数运算后的尾数取得与真数的位数相同；指数函数运算后的有效数字的位数可与指数的小数点后的位数相同（包括紧接小数点后的零）；三角函数的取位随弧度的有效数字而定；（5）在运算过程中，我们可能碰到一种特定的数，它们叫作正确数．例如将半径化为直径d = 2r时出现的倍数2，它不是由测量得来的．还有实验测量次数n，它总是正整数，没有可疑部分．正确数不适用有效数字的运算规则，只须由其他测量值的有效数字的多少来决定运算结果的有效数字；（6）在运算过程中，我们还可能碰到一些常数，如π、g之类，一般我们取这些常数与测量的有效数字的位数相同．例如：圆周长l ＝2πR，当R＝2.356 mm时，此时π应取143.142．在实际运算过程中，为减少舍入误差，其数值的修约可以暂时多保留一位，但运算得到最后结果时，再根据有效位数弃去多余的数字。

单项选择题〔答案仅供参考〕1．两个直接测量值为0．5136mm 和10．0mm ，它们的商是〔 C 〕0.1:D 0.051:C 0.0514:B 05136.0:A 最少为三个有效数字2．在热敏电阻特性测量实验中，QJ23型电桥"B 〞和"G 〞开关的使用规则是：〔 A 〕 A ：测量时先按"B 〞，后按"G 〞，断开时先放"G 〞后放"B 〞B ：测量时先按"G 〞，后按"B 〞，断开时先放"B 〞后放"G 〞C ：测量时要同时按"G 〞和"B 〞，断开时也要同时放"B 〞和"G 〞D ：电桥操作与开关"G 〞和"B 〞的按放次序无关。

3．在观察李萨如图形时，使图形稳定的调节方法有：〔 B 〕A ：通过示波器同步调节，使图形稳定；B ：调节信号发生器的输出频率；C ：改变信号发生器输出幅度；D ：调节示波器时基微调旋扭，改变扫描速度，使图形稳定。

观察丽莎如图时没有用扫描电压，所以ACD 不适用，只能通过调节两个输入信号使之匹配4．QJ36型单双臂电桥设置粗调、细调按扭的主要作用是：〔 A 〕Ａ：保护电桥平衡指示仪〔与检流计相当〕，便于把电桥调到平衡状态；Ｂ：保护电源，以防止电源短路而烧坏；Ｃ：保护标准电阻箱；Ｄ：保护被测的低电阻，以防止过度发热烧坏。

5．选出以下说法中的正确者：〔 A 〕Ａ：QJ36型双臂电桥的特点之一，是它可以大大降低连接导线电阻的影响。

B ：QJ36型双臂电桥连接低电阻的导线用铜片来代替，从而完全消除了导线引入的误差。

C ：QJ36型双臂电桥设置"粗〞、"细〞调按钮，是为了防止电源烧坏。

D ：双桥电路中的换向开关是为了保护被测的低电阻，以防止过度发热而烧坏。

3415678.3cm V =(通过*一关系式计算得到)，不确定度为3064352.0cm V =∆，则应将结果表述为：( D )±3±3±3 ±37．几位同学关于误差作了如下讨论：甲：误差就是出了过失，只不过是误差可以计算，而过失是日常用语，两者没有质的区别。