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误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
第一章实验基础知识——误差和有效数字在关于最新必修加选修教材的教学大纲中，对误差和有效数宁作出了明确的规定。
1．关于误差认识误差问题在实验中的重要性，了解误差的概念，知道系统误差和偶然误差，知道用多次测量求平均值的方法减小偶然误差，能在某些实验中分析误差的主要来源，不要求计算误差。
2．关于有效数字了解有效数字的概念，会用有效数字表达直接测量的结果。
间接测量的有效数字运算不作要求，运算结果一般可用2—3位有效数字表示。
一、误差做物理实验，离不开对物理量的测量，而测量值和真实值总有差异。
这种差异就叫做误差。
从来源看，误差分成系统误差和偶然误差两种，从数值看，误差又分为绝对误差和相对误差两种。
1．系统误差和偶然误差①系统误差：系统误差是由于仪器本身不精确，或实验方法粗略，或实验原理不完善而产生的。
其特点是，在多次重做同—实验时，其结果总是同样地偏大或偏小，不会出现有几次偏大而另外几次偏小的情况。
要减小系统误差，必须校准仪器、改进实验方法、设计原理更完善的实验。
②偶然误差：是由于各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。
偶然误差的特点是，多次重做同—实验时，结果有时偏大，有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同。
减小偶然误差的一般方法是多次测量，取其平均值。
[例题1] 指出以下误差是系统误差还是偶然误差A．测量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的误差。
B．用有毫米刻度的尺测量物体长度，豪米以下的数值只能用眼睛估计而产生的误差C．用安培表内接法测电阻时，测量值比真实值大[)．在验证共点力合成的平行四边形法则实验中，在画出两分力方向及合力方向时，画线不准所致误差[解析] A是选项是实验仪器不精确所致，是系统误差；B选项是由于测量者在估计时由于视线方向不准造成的，是偶然误差；C选项是实验原理不完善、忽略电流表内阻影响所致，是系统误差；D选项是画力方向时描点不准、直尺略有移动，或画线时铅笔倾斜程度不一致所致，是偶然误差。
高中物理实验偏差和有效数字一、考试纲领中实验能力的要求能独立的达成知识列表中的实验，能明的确验目的，能理解实验原理和方法，能控制实验条件，会使用仪器，会察看、剖析实验现象，会记录、办理实验数据，并得出结论，对结论进行剖析和评论；能发现问题、提出问题，并拟订解决方案；能运用已学过的物理理论、实验方法和实验仪器去办理问题，包含简单的设计性实验．二、考试纲领对实验的说明1．要求会正确使用的仪器主要有：刻度尺、游标卡尺、螺旋测微器、天平、秒表、电火花计时器或电磁打点计时器、弹簧秤、电流表、电压表、多用电表、滑动变阻器、电阻箱等．2．要求认识偏差问题在实验中的重要性，认识偏差的观点，知道系统偏差和有时偏差；知道用多次丈量求均匀值的方法减少偶然偏差；能在某些实验中剖析偏差的主要根源；不要求计算偏差．3．要求知道有效数字的观点，会用有效数字表达直接丈量的结果．间接丈量的有效数字运算不做要求．三、有效数字1．带有一位不行靠数字的近似数字叫做有效数字．2．有效数字的位数：从左边第一个不为零的数字起到最末一位数字止，共有几个数字，就是几位有效数字．例： 0.092 3 、0.092 30 、2.014 0 有效数字的位数挨次为 3 位、4位和 5位．3．科学记数法：大的数字，如36 500 ，假如第 3 位数 5 已不行靠时，应记作 3.65 ×104；假如是在第 4 位数不行靠时，应记作3.650 ×104．四、偏差1．系统偏差产生的原由及特色(1)根源：一是实验原理不够完美；二是实验仪器不够精准；三是实验方法大略．比如，在考证力的平行四边形定章实验中，弹簧测力计的零点未校准；在考证牛顿第二定律的实验中，用砂和砂桶的重力取代对小车的拉力等．(2)基本特色：实验结果与真切值的偏差老是偏大或偏小．(3)减小方法：改良实验原理；提升实验仪器的丈量精准度；设计更精良的实验方法．2．有时偏差产生的原由及特色(1)根源：有时偏差是因为各样有时要素对实验者和实验仪器的影响而产生的．比如，用刻度尺多次丈量长度时估读值的差别；电源电压的颠簸惹起的丈量值细小变化．(2)基本特色：多次重复同一丈量时，有时偏差有时偏大，有时偏小，且偏大和偏小的时机比较凑近．(3)减小方法：多次丈量取均匀值能够减小有时偏差．【例 1】指出以下偏差是系统偏差仍是有时偏差A．丈量小车质量时天平不等臂、或砝码不标准，天平底盘未调平所致的偏差。
华理大物实验报告示范报告1实验名称电桥法测中、低值电阻一.目的和建议1.掌握用平衡电桥法测量电阻的原理和方法;2.学会自乘电桥，且用交换法测量电阻去增大和修正系统误差;3.学会采用qj-23型惠斯登电桥测量中值电阻的方法;4.学会采用qj-42型凯尔文双臂电桥测量低值电阻的方法;二.实验原理直流均衡电桥的基本电路如下图右图。
图中ra,rb称为比率臂，rs为可调的标准电阻，称为比较臂，rx为待测电阻。
在电路的对角线（称为桥路）接点bc之间接入直流检流计，作为平衡指示器，用以比较这两点的电位。
调节rs的大小，当检流计指零时，b，c两点电位相等uac?uab；ucd?ubd，即iara?ibrb；ixrx?isrs。
因为检流计中无电流，所以ia?ix，ib?is，得到电桥平衡条件rx?三.实验仪器直流电源，检流计，可变电阻箱，待测电阻，元器件插座板，qj24a型惠斯登直流电桥，qj42型凯尔文双臂电桥，四端接线箱，螺旋测微计四.实验方法1.按实验原理图接好电路；2.根据先粗调后细调的原则，用逆向逐次迫近法调节，并使电桥逐步趋向均衡。
在调节过程中，先接通高值电阻rm，避免过小电流损毁检流计。
当电桥吻合均衡时，要关kg 以提升桥路的灵敏度，进一步细调；3.用箱式惠斯登电桥测量电阻时，所选取的比例臂应使有效数字最多。
rars。
rb1示范报告五.数据记录与分析1.交换法研究自搭电桥的系统误差-rx2rx3ra/rb=100/100rb/r a=100/100rs(ω)294.71976.0r’s(ω)300.92021.0δrs仪(ω)0.32σrs(ω)0.21δr’s仪(ω)0.32σrs’(ω)0.21?rs仪＝?(0.001rs?0.002m)，其中rs是电阻箱示值，m是所用转盘个数，rs2rs2rs仪rs?rs1rs?，?rx?，rx?rsrs?rs??rs2rsrs?2rsrs3所以rx2?297.8?0.1?，rx3?1995.4?0.8?2.不同比例臂对测量结果的影响ra/rb100/100100/1000100/100003.用箱式惠斯登电桥测量电阻rxrx1rx2rx34.用开尔文电桥测量低值电阻铜棒平均直径d＝3.975mm（多次测量取平均）（末读数－初读数）铜棒长度/mm电阻值/10ω电阻r?-3rs(ω)51.0500.65125.6rx1(ω)51.050.0651.256结论比例臂越大，有效数字位数越多，测量结果越准确。
大学物理实验练习题误差答案课后习题答案1．指出下列各量有效数字的位数。
U?1.000kV 有效位数：L?0.000123mm 有效位数：m?10.010kg 有效位数：5自然数有效位数：无限位2．判断下列写法是否正确，并加以改正。
I?0.0350A?35mA错，0.0350A有效位数为3位，而35mA有效位数为2位，二者物理意义不同，不可等同，应改为I?0.0350A?3.50?101mA。
m??53.270?0.3?kg错，测量结果有效数字的最后一位应与不确定度的末位对齐。
测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍六入五凑偶”的原则；而且，不确定度应记为“?”的形式。
故应将上式改成m??53.3?0.3?kg。
h?27.3?104?2000km错，当采用科学计数法表示测量结果时，最佳估计值与不确定度应同时用科学计数法表示，并且10的指数应取一致，还要保证最佳估计值的最后一位与不确定度的末位对齐。
因此，上式应改为h??27.3?0.2??104km。
x??4.325?0.004?A正确。
3．试按有效数字修约规则，将下列各数据保留三位有效数字。
.8547，2.3429，1.5451，3.8750，5.4349，7.6850，3.6612，6.26384．按有效数字的确定规则，计算下列各式。
343.37?75.8?0.6386??解：原式?343.37?75.8?0.64?419.81?419.88.45?8.180?76.543??解：原式?88.45?8.180?76.543?3.727?3.730.0725?2.5??解：原式?0.0725?2.5?0.1?8.42?0.052?0.47??2.001??解：原式??8.42?0.052?0.47??2.001?8.00?2.001?4.005．分别写出下列各式的不确定度传播公式。
Q?解：绝对不确定度：221KA2?B22?2?2?2?Q?Q?1uC?Q?uA?uBK?u?uA BABAB212222K2uA2uBKuAB2相对不确定度：22u?Q?KuA?ub2uA?ub E?CK2?22其中，uA、uB分别表示A、B量的合成不确定度。
此文档下载后即可编辑误差与有效数字练习题答案1.有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微计测量一个铜球的直径，各人所得的结果表达如下：d 甲 =（1.2832±0.0003）cm ，d 乙 =（1.283±0.0003）cm ，d 丙 =（1.28±0.0003）cm ，d 丁 =（1.3±0.0003）cm ，问哪个人表达得正确？其他人错在哪里？ 答：甲对。
其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。
2.一学生用精密天平称一物体的质量m ，数据如下表所示 ： Δ=0.0002g结果表达式。
3.61232im m g n∑==A 类分量： (0.6831 1.110.0001080.000120S t n g =-=⨯=B 类分量： 0.6830.6830.00020.000137u g =∆=⨯=仪合成不确定度：0.000182U g ==0.00018g 取0.00018g ，测量结果为：(3.612320.00018)m U g ±=± ( P=0.683 )相对误差:0.000180.005%3.61232U E m === 3.用米尺测量一物体的长度，测得的数值为度及相对误差，写出结果表达式。
cm nL L i965.98=∑=， A 类分量:(0.6831S t n =-=1.06⨯0.006=0.0064cmB 类分量: 0.6830.6830.050.034u cm =∆=⨯=仪合成不确定度: 0.035U cm ====0.04cm相对误差:%04.096.9804.0===L U E ( P=0.683 )结果: cm U L )04.096.98(±=±4.在测量固体比热实验中，放入量热器的固体的起始温度为t 1 ±S t 1= 99.5 ± 0.3℃，固体放入水中后，温度逐渐下降，当达到平衡时，t 2 ±S t 2= 26.2 ± 0.3℃，试求温度降低值t =t 2 – t 1的表示式及相对误差。
第一部分：基本实验基础1．（直、圆）游标尺、千分尺的读数方法。
答：P462．物理天平1．感量与天平灵敏度关系。
天平感量或灵敏度与负载的关系。
答：感量的倒数称为天平的灵敏度。
负载越大，灵敏度越低。
2．物理天平在称衡中，为什么要把横梁放下后才可以增减砝码或移动游码。
答：保护天平的刀口。
3．检流计1．哪些用途？使用时的注意点？如何使检流计很快停止振荡？答：用途：用于判别电路中两点是否相等或检查电路中有无微弱电流通过。
注意事项：要加限流保护电阻要保护检流计，随时准备松开按键。
很快停止振荡：短路检流计。
4．电表量程如何选取？量程与内阻大小关系？答：先估计待测量的大小，选稍大量程试测，再选用合适的量程。
电流表：量程越大，内阻越小。
电压表：内阻=量程×每伏欧姆数5．万用表不同欧姆档测同一只二极管正向电阻时，读测值差异的原因？答：不同欧姆档，内阻不同，输出电压随负载不同而不同。
二极管是非线性器件，不同欧姆档测，加在二极管上电压不同，读测值有很大差异。
6．信号发生器功率输出与电压输出的区别？答：功率输出：能带负载，比如可以给扬声器加信号而发声音。
电压输出：实现电压输出，接上的负载电阻一般要大于50Ω。
比如不可以从此输出口给扬声器加信号，即带不动负载。
7．光学元件光学表面有灰尘，可否用手帕擦试？答：不可以8．箱式电桥倍率的选择方法。
答：尽量使读数的有效数字位数最大的原则选择合适的倍率。
9．逐差法什么是逐差法，其优点？答：把测量数据分成两组，每组相应的数据分别相减，然后取差值的平均值。
优点：每个数据都起作用，体现多次测量的优点。
10．杨氏模量实验1．为何各长度量用不同的量具测？答：遵守误差均分原理。
2．测钢丝直径时，为何在钢丝上、中、下三部位的相互垂直的方向上各测一次直径，而不是在同一部位采样数据？答：钢丝不可能处处均匀。
3．钢丝长度是杨氏模量仪上下两个螺丝夹之间的长度还是上端螺丝夹到挂砝码的砝码钩之间的长度？答：前者4．采用光放大办法测钢丝的微小伸长量时要测望远镜到标尺之间的距离L，请问，L 是指平面镜镜面到望远镜旁标尺的距离还是指平面镜镜面到望远镜物镜之间的距离？答：前者5．必须预加砝码使钢丝拉直，你能用什么办法判断需预加几个砝码？答：用图示法。
误差与有效数字练习题答案1.有甲、乙、丙、丁四人，用螺旋测微计测量一个铜球的直径，各人所得的结果表达如下：d 甲 =（1.2832±0.0003）cm ，d 乙 =（1.283±0.0003）cm ，d 丙 =（1.28±0.0003）cm ，d 丁 =（1.3±0.0003）cm ，问哪个人表达得正确？其他人错在哪里？答：甲对。
其他人测量结果的最后位未与不确定度所在位对齐。
2.一学生用精密天平称一物体的质量m ，数据如下表所示 ： Δ仪 =0.0002g请计算这一测量的算术平均值，测量标准误差及相对误差，写出结果表达式。
3.61232im m g n∑== A 类分量： (0.6831 1.110.0001080.000120S t n g =-=⨯=B 类分量： 0.6830.6830.00020.000137u g =∆=⨯=仪合成不确定度：0.000182U g ==0.00018g 取0.00018g ，测量结果为：(3.612320.00018)m U g ±=± ( P=0.683 ) 相对误差: 0.000180.005%3.61232U E m === 3.用米尺测量一物体的长度，测得的数值为试求其算术平均值，A 类不确定度、B 类不确定度、合成不确定度及相对误差，写出结果表达式。
cm nL L i965.98=∑=， A 类分量: (0.6831S t n =-⨯0.006=0.0064cmB 类分量: 0.6830.6830.050.034u cm =∆=⨯=仪合成不确定度: 0.035U cm ===0.04cm 相对误差: %04.096.9804.0===L U E ( P=0.683 )结果: cm U L )04.096.98(±=±4.在测量固体比热实验中，放入量热器的固体的起始温度为t 1 ±S t 1= 99.5 ± 0.3℃，固体放入水中后，温度逐渐下降，当达到平衡时，t 2 ±S t 2= 26.2 ± 0.3℃，试求温度降低值t =t 2 – t 1的表示式及相对误差。
处理：t =t 2 – t 1=26.2-99.5=-73.3℃, U ==+=+2222t 21t 3.03.0S S 0.5℃ ,%7.03.735.0===t U E （ 或 -0.7℅）t =( -73.3 ± 0.5)℃ ( P=0.683 )5.一个铅质圆柱体，测得其直径为d ±U d =（2.040±0.003） cm ，高度为 h ±U h =（4.120 ± 0.003）cm ， 质量为m ±U m =（149.10 ± 0.05）g 。
试求：（1）计算铅的密度ρ；（2）计算铅的密度ρ的相对误差和不确定度；（3）表示ρ的测量结果。
处理：（1）072.11120.4040.214159.310.1494422=⨯⨯⨯===h d m V m πρg/㎝3 （2）%3.00030.0120.4003.0040.2003.0410.14905.0222==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==ρρU E3cm g04.0033.0003.0072.11U ==⨯=⨯=E ρρ（3） )04.007.11(±=±ρρUg/㎝3 ( P=0.683 )6.按照误差理论和有效数字运算规则改正以下错误： （1）N =10.8000±0.3cm正：N =（10.8±0.3）cm ，测量误差决定测量值的位数（测量结果存疑数所在位与误差对齐） （2）有人说0.2870有五位有效数字，有人说只有三位，请纠正，并说明其原因。
答：有效数字的位数应从该数左侧第一个非零数开始计算，0.2870应有四位有效数字。
其左端的“0”为定位用，不是有效数字。
右端的“0”为有效数字。
（3）L =28cm =280mm正：L =2.8×102mm ，改变单位时，其有效数字位数不变。
（4）L =（28000±8000）mm正：L =（2.8±0.8）×104mm ，误差约定取一位有效数字。
7.试计算下列各式（在书写计算过程中须逐步写出每步的计算结果）： （1）已知y = lg x ，x ±σx =1220 ± 4 ，求y ： 处理：y = lg x = lg 1220 =3.086410ln 1220410ln ==x Ux Uy =0.0014 0014.00864.3±=±Uy y ( P=0.683 )（2）已知y = sin θ ，θ±S θ=45°30´±0°04´ ，求y ： 处理： y = sin45°30´=0.7133U y =∣cos θ∣U θ =∣cos45°30´∣601804⨯⨯⨯π=0.0008 ,0008.07133.0±=±Y U y ( P=0.683 )8.某同学在弹簧倔强系数的测量中得到如下数据：其中F 为弹簧所受的作用力，y 为弹簧的长度，已知y -y 0 =（k）F ，用图解法处理数据（必须用直角坐标纸，不允许用代数方格纸或自行画格作图），从图中求出弹簧的倔强系数k ，及弹簧的原长y 0 。
处理：按要求作图（见作图示意，注意注解方框里内容的正确表达，正确取轴和分度，正确画实验点和直线拟合，正确取计算斜率的两点），计算斜率 508.100.300.1350.858.23F F y y t 1212g =--=--=θcm/g 计算倔强系数 6631.0508.11t 1k g ===θg/cm 通过截距得到弹簧原长为4.00cm 。
实验名称基本测量—长度和体积的测量姓名学号专业班实验班组号教师阅读材料：p.38§2.2.1.1“游标与螺旋测微原理”。
一.预习思考题1、游标卡尺的精度值是指：主尺最小分度值与游标分度格数之比。
根据左图游标卡尺的结构，请字母表示：游标卡尺的主尺是：D；游标部分是：E；测量物体外径用：A、B ；测量内径用：A’、B’；测量深度用：C。
下图游标卡尺的读数为：12.64mm(1.264cm)。
2、左图螺旋测微器（a ）和（b ）的读数分别为：5.155mm 和 5.655mm 。
螺旋测微器测量前要检查并记下零点读数，即所谓的 初始读数；测量最终测量结果为 末读数 减去初始读数。
下图的两个初始读数分别为（左） 0.005mm 和（右）-0.011mm 。
3、在检查零点读数和测量长度时，切忌直接转动测微螺杆和微分筒，而应轻轻转动 棘轮 。
4、螺旋测微器测量完毕,应使 螺杆 与 砧台 之间留有空隙，以免因热胀而损坏螺纹。
基本测量数据处理参考（原始数据均为参考值）1. 圆筒的测量 测量量具： 游标卡尺 ； Δ仪 = 0.02mm ； 次 数 外径D / cm 内径d / cm 深度h / cm1 3.202 2.478 4.440 测量结果：D ±S D =（3.206± 0.004） cmd ± S d = （2.477 ± 0.016） cm h ± S h = （4.435 ± 0.007）cm 2 3.212 2.484 4.424 3 3.202 2.456 4.438 4 3.204 2.462 4.442 5 3.206 2.480 4.430 6 3.2102.502 4.436 平均值3.2062.4774.435S 0.0040.0160.007圆筒容积的计算： V =41π2d h =41×3.1416×2.4772×4.435 = 21.37 cm 3 E V =222220.0160.00724 2.477 4.435d h S S d h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1.3%U V = V E V = 21.37*0.013 = 0.28 cm 3, V ±S V = (21.37 ± 0.28) cm 3 ( P=0.683 )2.钢珠的测量 测量量具： 螺旋测微计 ；Δ仪 = 0.004mm ； 初读数= -0.002mm 次 数123456平均值'D S（钢珠测量部分练习不确定度）'D =()m m 988.5002.0986.5D D =--=-初‘末 ，A 分量S =t 0.683（n-1）'DS =1.11×0.0012=0.0013mmB 分量u =0.683Δ仪=0.683×0.004=0.0027mm ，U 'D 0.003mm ='D ±U'D =（5.988±0.003）mm钢珠体积的计算：'V =613'D π=61×3.1416×5.9883 =112.42mm 3 'VE ===⨯=002.0988.5003.03D U 3'D '0.2％ )23.0(22.042.112002.033'''mm mm V E UV V或者=⨯== ， 'V ±'V U =(112.42±0.22)mm 3。
