第五章 气体动理论

第四章气体动理论1、本章学习目标（1）理解气体的平衡状态、状态参量等概念，掌握理想气体物态方程及其应用。

（2）理解理想气体微观模型的概念和意义，了解理想气体压强公式和温度公式，理解压强和温度的微观实质和统计意义。

（3）了解能量按自由度均分定理的内容和意义，掌握理想气体的内能公式，理解理想气体内能只是温度的函数。

2、本章教学内容§4-1、宏观与微观统计规律§4-2、理想气体的压强与温度§4-3、能量均分定理理想气体的内能§4-4、麦克斯韦速率分布4-1 宏观与微观统计理论热学是研究与热现象有关的规律的科学。

热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。

大量分子的无规则运动称为热运动。

一、宏观与微观系统：热学研究的对象是大量粒子（如原子、分子）组成的物质体系，称为热力学系统或简称系统。

宏观状态：用一组宏观量描述的系统状态，称为宏观态。

微观状态：用系统中各粒子的微观量描述的系统状态，称为微观态。

平衡态：在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间改变的状态，称为平衡态。

宏观量：描述系统整体特性的可观测物理量称为宏观量，如温度、压强、热容等。

微观量：通常我们把描述单个粒子运动状态的物理量称为微观量，如粒子的质量、位置、动量、能量等。

二、理想气体的物态方程1、物态参量：当系统处于平衡态时，系统的宏观性质将不再随时间变化，因此可以使用相应的物理量来具体描述系统的状态。

这些物理量通称为状态参量，或简称态参量。

在这里我们将给大家介绍体积V、压强P和温度T这三个状态参量。

在实际问题中，用那些参量才能对系统的状态描述完全，是由系统本身的性质和所研究的问题决定。

（1）体积：气体的体积，通常是指组成系统的分子的活动范围。

由于分子的热运动，容器中的气体总是分散在容器中的各个空间部分，因此气体的体积，也就是盛气体容器的容积，在国际单位制中，体积的单位是米3，用符号m3表示，常用单位还有升，用符号L表示。

（2）压强：气体的压强，表现为气体对容器壁单位面积上产生的压力，是大量气体分子频繁碰撞容器壁产生的平均冲力的宏观表现，显然与分子无规则热运动的频繁程度和剧烈程度有关。

在国际单位制中，压强的单位是帕斯卡，用符号Pa 表示，常用的压强单位还有：厘米汞高、标准大气压等，它们与帕斯卡的关系是：1cmHg （厘米汞高）＝1.333×103Pa1atm （标准大气压）＝76cmHg ＝1.013×105Pa（3）温度体积V 和压强P 都不是热学所特有的，体积属于几何参量，压强属于力学参量，而且它们都不能直接表征系统的“冷热”程度。

因此，在热学中还必须引进一个新的物理量——温度来描述状态的热学性质。

气体的温度，宏观上表现为气体的冷热程度，而微观上看它表示的是分子热运动的剧烈程度。

2、热力学第零定律如果有A 、B 、C 三个热力学系统，当系统A 和系统B 都分别与系统C 处于热平衡，那么系统A 和系统B 此时也必然处于热平衡。

这个实验结果通常称为热力学第零定律。

这个定律为温度概念的建立提供了可靠的实验基础。

根据这个定律，我们有理由相信，处于同一热平衡状态的所有热力学系统都具有某种共同的宏观性质，描述这个宏观性质的物理量就是温度。

也就是说，一切互为热平衡的系统都具有相同的温度，这为我们用温度计测量物体或系统的温度提供了依据。

温度的数值表示法称为温标，常用的有热力学温标T ，摄氏温标t 等等。

国际单位制中采用热力学温标，温度的单位是开尔文，用符号K 表示。

摄氏温标与热力学温标的关系是t ＝T －273.15在大学物理中我们规定使用热力学温标。

三、统计规律性1、统计规律在一定条件下，大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性，这种规律称为统计规律。

2、概率：定义: 某一事件i 发生的概率为i ω，i N ---- 事件i 发生的数，N ----各种事件发生的总次数limi i N N Nω→∞=当小球数 N 足够大时小球的分布具有统计规律。

小球分布在各处的几率采用如下公式计算，i N 为在第i 格中发现的小球数目。

limi i N N Nω→∞=：概率：粒子在第i 格中出现的可能性大小 .1i i iiN Nω==∑∑3、分子热运动的无序性及统计规律性热运动：大量实验事实表明分子都在作永不停止的无规运动。

例 : 常温和常压下的氧分子450m /s ≅v ；710~10m ;~10/sz λ-次统计规律性：对大量分子而言，在偶然、无序的分子运动中，包含着一种规律性。

对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法。

4-2 理想气体的压强与温度一、与理想气体相关的实验现象1、理想气体状态变化的三个定律理想气体是一个抽象的物理模型。

实际气体在密度不太高、温度不太低，压强不太大的时候，相当好地遵从气体的三个实验定律即玻意耳定律、盖-吕萨克定律和查理定律。

理想气体定义为在任何情况下都严格地遵从这三个定律的气体。

玻意耳定律：一定质量的理想气体，在温度不变的情况下，它的压强跟体积成反比，即1122P P V V =。

盖吕萨克定律：压强不变时，一定质量气体的体积跟热力学温度成正比，1212//V V T T =。

查理定律：体积不变时，一定质量气体的压强跟热力学温度成正比，1212//P P T T =。

2、理想气体物态方程理想气体物态方程是理想气体在平衡态时状态参量所满足的方程，可以由上述三个实验定律推出，可表示为式中R 为普适气体常量，在国际单位制中，R ＝8.31J·mol －1·K －1式中ν为气体的摩尔数，可表示为其中m 为气体质量，M 为气体的摩尔质量，N 为气体的分子数，N A 是阿伏加德罗常量，在国际单位制中N A =6.02×1023mol -1。

上式还可以进一步写成或式中称为气体的分子数密度，即单位体积内的分子数；称为玻耳兹曼常量，在国际单位制中＝1.38×10－23J·K－1。

理想气体物态方程表明了在平衡态下理想气体的各个状态参量之间的关系。

当系统从一个平衡态变化到另外的平衡态时，各状态参量发生变化，但它们之间仍然要满足物态方程。

二、理想气体的微观模型1、热力学系统研究的困难任何一个热力学系统中原子、分子的数目都非常大，存在的相互作用有原子分子和外界作用、系统内各原子间作用。

要建立运动方程严格求解非常困难。

经过长期研究和总结后，得出统计规律研究热力学问题具有很好的可靠性。

对于我们要求解的物理量采用统计平均办法实现平均值：平均速度、能量、碰撞次数等。

2、理想气体的微观模型我们采用统计办法来讨论理想气体问题：在宏观上我们知道，理想气体是一种在任何情况下都遵守玻意耳定律、盖-吕萨克定律和查理定律的气体。

但从微观上看什么样的分子组成的气体才具有这种宏观特性呢？气体分子的运动是肉眼看不见的，所以理想气体的微观模型是通过对宏观实验结果的分析和综合提出的一个假说。

通过这个假说得到的结论与宏观实验结果进行比较来判断模型的正确性。

通过前人多年的努力，我们现在知道理想气体的微观模型具有以下特征：（1）分子与容器壁和分子与分子之间只有在碰撞的瞬间才由相互作用，其它时候的相互作用可以忽略不计。

（2）分子本身的体积在气体中可以忽略不计，即对分子可采用质点模型。

（3）而分子与容器壁以及分子与分子之间的碰撞属于牛顿力学中的完全弹性碰撞。

实验证明，实际气体中分子本身占的体积约只占气体体积的千分之一，在气体中分子之间的平均距离远大于分子的几何尺寸，所以将分子看成质点是完全合理的。

从另一个方面看，对已达到平衡态的气体如果没有外界影响，其温度、压强等态参量都不会因分子与容器壁以及分子与分子之间的碰撞而发生改变，气体分子的速度分布也保持不变，因而分子与容器壁以及分子与分子之间的碰撞是完全弹性碰撞也是理所当然的。

综上所述，经过抽象与简化，理想气体可以看成是一群彼此间无相互作用的无规运动的弹性质点的集合，这就是理想气体的微观模型。

3、平衡态的统计假设平衡态的统计特性：上述模型主要是针对分子的运动特征而建立起来的一个假设。

为了以此模型为基础，求出平衡态时气体的一些宏观状态参量，还必须知道理想气体在处于平衡态时，分子的群体特征。

这些特征也叫做平衡态的统计特性。

分布空间均匀性：在忽略重力场影响时，从平衡态的定义分析可知，气体分子的数密度总是处处相同的，即气体分子在容器中任何空间位置分布的机会均等，具有分布的空间均匀性，如若不然就会发生扩散，也就不是平衡态。

d d N N n VV==运动的各向同性：另一方面，在平衡态下向各个方向运动的气体的分子数是相同的，即气体分子向各个方向运动的概率是一样的，具有运动的各向同性，显然这一特征不能满足气体就有定向运动，也不是平衡态。

因此，我们将上述分析的结果归纳为平衡态的统计假设：理想气体处于平衡态时气体分子出现在容器内任何空间位置概率相等；气体分子向各个方向运动的概率相等。

平衡态的统计假设的正确性将由应用该统计性假设的理论结果与实验结果进行比对而得到验证。

根据上述假设还可以进一步如下一些结论：1、分子沿各个方向运动的速度分量的各种平均值应该相等。

i ix iy iz i j k =++v v v v221x ixiN=∑v v222213x y z ===v v v v2、速度和它的各个分量的平均值为零。

平衡态理想气体中各个分子朝各个方向运动的概率相等。

因此，分子速度的平均值为零，各种方向的速度矢量相加会相互抵消。

类似地，分子速度的各个分量的平均值也为零。

0x y z ===v v v三、理想气体压强公式在中世纪，气体压强曾经对科学家是一个谜。

直到牛顿力学诞生以后，科学家才对压强有了很清楚的认识。

最早使用力学规律来解释气体压强的科学家是伯努利。

他认为：气体压强是大量气体分子单位时间内给予器壁单位面积上的平均冲力。

1、压强公式的推导思路为了简化讨论，假设有同种理想气体盛于一个长、宽、高分别l 1、l 2、l 3的长方形容器中并处于平衡态，见下图。

设气体共有N 个分子，每个分子的质量均为µ。

我们先考察其中一个面上的压强，如图中的S 面，其面积为l 2l 3。

2、理想气体压强公式的推导设序号为的分子以速度{,,}xi yi zi v v v 运动（0xi v >）并与S 面碰撞，碰撞后速度变为{,,}xi yi zi v v v -。

按理想气体平衡态的统计假设，分子与器壁间的碰撞是完全弹性的，由动量定理可得，一次碰撞中分子给S 面的冲量为2xi m v 。

我们假设此分子不与其它任何分子碰撞，则分子在与S 面以及S 面的对面碰撞时，它在x 方向的速度的大小不变，只是方向发生改变；而且在分子与其余的四个面碰撞时，它在x 方向的速度也不会变，所以分子在x 方向的速度的大小在运动中是一个常量，就以xi v 表示。