高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

一、选择题

1. 已知△ABC中，a＝c＝2，A＝30°，则b＝()

A. 3

B. 2 3

C. 3 3

D. 3＋1

答案：B

解析：∵a＝c＝2，∴A＝C＝30°，∴B＝120°.

由余弦定理可得b＝2 3.

2. △ABC中，a＝5，b＝3，sin B＝

2

2，则符合条件的三角形有()

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 0个答案：B

解析：∵a sin B＝10 2，

∴a sin B

∴符合条件的三角形有2个．

3．(2010·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A ＝()

A．30°B．60°

C．120°D．150°

答案：A

解析：利用正弦定理，sin C＝23sin B可化为c＝23b.

又∵a2－b2＝3bc，

∴a2－b2＝3b×23b＝6b2，即a2＝7b2，a＝7b.

在△ABC中，cos A＝b2＋c2－a2

2bc

＝b2＋?23b?2－?7b?2

2b×23b

＝

3

2，

∴A＝30°.

4．(2010·湖南卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则() A．a>b B．a

C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定

答案：A

解析：由正弦定理，得

c

sin120°＝

a

sin A，

∴sin A ＝a ·322a ＝64>1

2.

∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b .

5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )

A. 5

18 B. 3

4

C. 3

2 D. 7

8

答案：D

解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，

∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝?2a ?2

＋?2a ?2－a 22×2a ×2a ＝7

8.

方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，

则AC ＝2a ，CD ＝a 2，∴sin α2＝1

4，

∴cos α＝1－2sin 2α

2

＝1－2×116＝78.

6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于(

) A. 3

2 B. 3

4

C. 3

2或 3 D. 32或34

答案：D 解析：∵sin C

3＝sin B

1，

∴sin C ＝3·sin30°＝3

2.

∴C ＝60°或C ＝120°.

当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12×1×3＝3

2，

当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×1×3sin30°＝3

4.

即△ABC 的面积为3

2或3

4.

二、填空题

7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________. 答案：1

解析：由正弦定理b sin B ＝c

sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3，sin B ＝1

2.

又b

6，∴A＝

π

6.∴a＝1.

8．(2010·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．

答案：π6

解析：∵sin B＋cos B＝2，

∴sin(B＋π

4)＝1.

又0

由正弦定理，知2

sin A＝

2

sin B，∴sin A＝

1

2.

又a

9. (2010·课标全国卷)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝1

2DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为

3－3，则∠BAC＝________.

答案：60°

解析：S△ADC＝1

2×2×DC×

3

2＝3－3，

解得DC＝2(3－1)，

∴BD＝3－1，BC＝3(3－1)．

在△ABD中，AB2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos120°＝6，

∴AB＝ 6.

在△ACD中，AC2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos60°＝24－123，∴AC＝6(3－1)，

则cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC2

2AB·AC

＝6＋24－123－9?4－23?

2×6×6×?3－1?

＝

1

2，

∴∠BAC＝60°.

三、解答题

10. 如图，△OAB是等边三角形，∠AOC＝45°，OC＝2，A、B、C三点共线．

(1)求sin∠BOC的值；

(2)求线段BC的长．

解：(1)∵△AOB是等边三角形，∠AOC＝45°，

∴∠BOC＝45°＋60°，

∴sin∠BOC＝sin(45°＋60°)

＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°