数系的扩充和复数概念和公式总结
1.虚数单位i:
它的平方等于-1，即21
i=-
2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i
3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1
4.复数的定义：形如(,)
+∈的数叫复数，a叫复数的
a bi a
b R
实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,)
=+∈
z a bi a b R
5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
对于复数(,)
+∈，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b
a bi a
b R
∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d ∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 即使是3,62
++也没有大小。
i i
如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小
7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数
（1）实轴上的点都表示实数
（2）虚轴上的点都表示纯虚数
（3）原点对应的有序实数对为(0，0)
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，8．复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
9.复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
复数的加法运算满足交换律和结合律
10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .
幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅
11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i d
c a
d bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，
通常记复数z 的共轭复数为z 。例如z =3＋5i 与z =3－5i 互为共轭复数
13. 共轭复数的性质
（1）实数的共轭复数仍然是它本身 （2）2
2Z Z Z Z ==⋅ （3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称
14.复数的两种几何意义：
15几个常用结论
（1）()
i i 212=+， （2）()i i 212-=- 点),(b a Z 向量OZ
一一对应 一一对应 一一对应 复数()R b a bi a Z ∈+=,
（3）i i -=1， （4）
i i i =-+11 （5）
i i
i -=+-11 （6）()()22b a bi a bi a +=-+ 16.复数的模：若向量OZ 表示复数z ，则称OZ 的模r 为复数z 的模， 复数bi a Z +=的模22b a Z +=
17、复数的化简
c di z a bi +=+（,a b
是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：
()()22
ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 18、B A AB z AB z z ==-为两点间的距离。
