天一大联考高中毕业班阶段性测试(三)数学试题(解析版)

天一大联考高中毕业班阶段性测试（三）数学试题一、单选题1．设集合，，则下列结论正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求得集合,即可得出集合与集合的关系，从而可得出结论.【详解】，，，故选B.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．2．复数的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果. 【详解】，的共轭复数为，对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．函数的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】利用，排除选项；利用排除选项，从而可得结果.【详解】，，排除选项；，排除选项，故选A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．若非零向量,a b rr 满足3a b =r ，且()()2a b a b -⊥+r r r r ，则a r 与b r 的夹角的余弦值为( ) A ．6 B ．33C ．6-D ．3【答案】D【解析】根据()()2a b a b -⊥+r r r r 可得()()20a b a b -⋅+=r r r r ,代入3a =r 化简求解夹角余弦值即可. 【详解】设a r 与b r的夹角为θ,()()2a b a b -⊥+r r r r Q ,()()2a b a b ∴-⋅+r r r r 222cos 0ab a b θ=-+=r r r r.3a b =r r Q ,222223cos 3b a b a b bθ-∴=-=-=-r r r r r r , 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用数量积的公式与模长求解夹角的问题.属于中档题. 5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值. 【详解】 第一次循环，； 第二次循环，；第三次循环，，退出循环，输出，故选B. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．已知等差数列的前项和为，，为整数，且最大，则公差A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5【答案】B【解析】利用排除法，令，分别判断出前项和的最大值，即可得结果. 【详解】时，，或最大，故不合题意；时，，最大，故合题意；时，，最大，故不合题意；时，， 或最大，故不合题意，故选B. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前项和公式，以及排除法的应用，属于基础题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.7．已知直线y=2b 与双曲线22x a -22y b=1（a ＞0，b ＞0）的斜率为正的渐近线交于点A ，曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，若21tan AF F 15∠=，则双曲线的离心率为（ ） A ．4或1611B ．1611C ．2D ．4【答案】D【解析】由题意表示出点A 的坐标，又21tan 15AF F ∠=求出结果 【详解】 由渐近线方程y bx a=与直线2y b =求出点A 的坐标为()2,2a b ,过A 点作AB x ⊥轴于点B ，则22,2AB b BF c a ==-由已知可得212tan 152bAF F c a∠==-22264a 60110116064016411ac c e e e e ∴-+=∴-+=∴==或当1611e =时，1611c a =则20c a -<故舍去，综上4e = 故选D 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率问题，在求解过程中一定依据题目已知条件，将其转化为关于离心率的方程，继而求出结果，本题属于中档题 8．如图放置的边长为1的正方形沿轴顺时针滚动一周，设顶点的运动轨迹与轴所围区域为，若在平面区域内任意取一点，则所取的点恰好落在区域内部的概率为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】顶点的运动轨迹，分三部分：前一部分的图象为四分之一圆周，后一部分的图象为四分之一圆周，且半径都是1,中间部分的轨迹为以为半径的四分之一圆周，分别求出与轴围成的面积，求和后利用几何概型概率公式求解即可. 【详解】正方形沿轴顺时针滚动一周，顶点的运动轨迹，分三部分：前一部分的图象为四分之一圆周，后一部分的图象为四分之一圆周，且半径都是1,此时两部分扇形所占面积为,中间部分的轨迹为以为四分之一圆周，与围成的面积为,顶点的运动轨迹与轴所围区域的面积为，平面区域的面积为，所以在平面区域内任意取一点，则所取的点恰好落在区域内部的概率为故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.9．一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点在正视图上的对应点为，点，，在俯视图上的对应点为，，，过直线作一平面与直线平行，则该平面截几何体所得截面多边形的周长为A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体是如图所示的四棱锥，设中点为，连接，由线面平行的判定定理可得为所求截面，利用三视图所给数据求出三角形各边长即可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥，其中平面，底面是直角梯形，，高，设中点为，连接，则是平行四边形，所以平面，平面，所以平面是所求截面，由勾股定理可得，的周长为，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10．已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象的相邻最高点间的距离为π，设()f x 的图象向左平移4π个单位后得到()g x 的图象，则函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ．2,2⎡⎤⎣⎦B ．2,2⎡⎤-⎣⎦C ．[]2,2-D ．2,2⎡⎤-⎣⎦【答案】D【解析】由图象的相邻最高点间的距离为π，可求得函数周期，从而确定2ω=，利用三角函数的平移法则可得()g x 的解析式，求得52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的单调性可得结果. 【详解】Q 函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象的相邻最高点间的距离为π，2T ππω∴==，得2ω=，()224f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移4π可得，()2222444g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，50,,2,2444x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Q ，22,142sin x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()2,2g x ⎡⎤∈-⎣⎦，即()g x 的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、以及三角函数图象的平移法则，属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度. 11．已知函数的图象的对称中心为，且的图象在点处的切线过点，则A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】由函数的图象的对称中心为，可得，求得的值后，利用解方程即可得结果.【详解】 函数的图象的对称中心为，所以， ，即，得，，又的图象在点处的切线过点， ，即，解得，故选A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及函数的对称性的应用，属于难题. 函数的对称的性质：（1）若，则的图象关于对称；（2）若，则的图象关于对称.12．已知抛物线2:4C y x =，斜率为k 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆22:(5)9E x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，则弦长||AB =A ．2B ．4C ．37D ．6【答案】C【解析】首先利用点差法求出02ky =，结合圆心和切点的连线与切线垂直可得03x =，通过切点在圆上求出切点坐标，进而可求出直线方程，联立直线与抛物线将韦达定理与弦长公式相结合可得弦长. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ， 则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，相减得()()()1212124y y y y x x +-=-，利用点差法可得02ky =，因为直线与圆相切，所以001 5y x k=--，所以03x =，将0x代入圆的方程可得0y =， 不失一般性可取M点坐标为(，则5k =， 故直线l的方程为)3y x =-，即55y x =-，联立24y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩242410x x -+=，所以126x x +=，1214x x =，由弦长公式得AB == C. 【点睛】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，直线与抛物线的相交时弦长问题，属于中档题．二、填空题13．已知随机变量2(1,)X N σ:，若(01)0.3P X <<=，则(2)P X >=__________． 【答案】0.2【解析】随机变量()21,X N σ~，得到曲线关于1x =称，根据曲线的对称性得到200.501P X P X P X >=<=-<<（）（）（） ，根据概率的性质得到结果． 【详解】随机变量()21,X N σ~，∴曲线关于1x =对称，∴200.5010.2P X P X P X >=<=-<<=（）（）（），故答案为0.2. 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题14．已知x ，y 满足约束条件220,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =-的最大值为__________．【答案】2【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求解即可. 【详解】画出220,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如图，由220,20,x y x y --=⎧⎪⎨⎪+-=⎩可得20x y =⎧⎪⎨⎪=⎩， 将z x y =-变形为y x z =-， 平移直线y x z =-，由图可知当直y x z =-经过点()2,0时， 直线在y 轴上的截距z -最小，z 最大， 最大值为202z =-=，故答案为2. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2n n S a λ=-，其中λ为常数，若13n n a b n =-，则数列{}n b 中的项的最小值为__________．【答案】1412-【解析】由12a =求得2,λ=再利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出()12132nnn n a b n ⎛⎫=⇒=- ⎪⎝⎭，根据11n n n n b b b b +-≤⎧⎨≤⎩求得1415n ≤≤从而可得结果. 【详解】12,2n n a S a λ==-Q ,1112S a a λ∴==-, 222,2,22n n S a λλ=-==-,①2n ≥时，1122n n S a --=-，②②-①化为()122n n a a n -=≥， 所以{}n a 是公比为2的等比数列，()11222,132nn nn n a b n -⎛⎫∴=⨯==-⨯ ⎪⎝⎭，由11n n n n b b b b +-≤⎧⎨≤⎩，可得()()()()111113122211131422n n n n n n n n +-⎧⎛⎫⎛⎫-⨯≤-⨯⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-⨯≤-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 解得()()()21312141513214n nn n n ⎧-≤-⎪⇒≤≤⎨-≤-⎪⎩， 即{}n b 中的项的最小值为14151412b b ==-，故答案为1412-. 【点睛】本题主要考查递推关系求通项公式，以及等比数列的定义，数列的最小项，属于难题. 已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.16．已知六棱锥P ABCDEF -，底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面的射影为其中心.将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形ABCDEF 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为__________．【解析】设六边形的边长为()0x x >，，进而可将体积表示为关于自变量x 的函数，利用导数判断函数的单调性得其最大值即可. 【详解】如图所示，设六边形的边长为()0x x >，故3OG =， 又∵展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，∴352PG x =-，故22335255322PO x x x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴六棱锥的体积2451131562553533222V x x x x =⨯⨯⨯-=- 令()()455530f x x xx =->，∴()()3432053543f x x x xx -='=，当43x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当43x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，故当43x =()f x 取得最大值，即体积最大， 815815. 【点睛】本题考查六棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差不为零，EF CE AC AB=，且211113a a a =⋅. （1）求使不等式0n a ≥成立的最大自然数n ；（2）求数列11{}n n a a +的前n 项和. 【答案】（1）13；（2）62550nn-.【解析】（1）由125a =，且211113a a a =⋅，列方程求出{}n a 的公差为d ，从而求出{}n a 的通项公式，然后列不等式求解即可；（2）由()()111227225n n a a n n +=-+-+ 1112227225n n ⎛⎫=-- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项相消法可求得数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d .由题意，可得()()21111012a d a a d +=+，于是()12250d a d +=.又125a =，0d ≠，所以2d =-. 故227n a n =-+.由2270n -+≥，可得13.5n ≤，所以满足题意的最大自然数n 为13.（2）因为()()111227225n n a a n n +=-+-+ 1112227225n n ⎛⎫=-- ⎪-+-+⎝⎭. 故前n 项和为12231111n n a a a a a a ++++L 1111111225232321227225n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L111225225n ⎛⎫=-- ⎪-+⎝⎭1150504n =-+- 62550n n =-. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及裂项法求前n 项和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a C c AB b+=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BC =3BD =. （1）求角B 的大小； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3B π=；（2【解析】（1）根据cos cos 2cos a C c AB b+=，利用正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，由两角和的正弦公式结合诱导公式可得sin 2sin cos B B B =，从而得1cos 2B =，进而可得结果；（2）设AB x =，3(0,0)AC z x z =>>，在ABD ∆中，在CBD ∆中，在ABC ∆中，结合cos cos BDA BDC ∠=-∠，利用余弦定理列方程组求得x =面积公式可得结果. 【详解】 （1）根据cos cos 2cos a C c AB b+=可得cos cos 2cos a C c A b B +=，∴sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，∴()sin 2sin cos A C B B +=，∴()sin 2sin cos B B B π-=， 即sin 2sin cos B B B =，∴1cos 2B =. 又∵0B π<<，∴3B π=.（2）设AB x =，3(0,0)AC z x z =>>.在ABD ∆中，由余弦定理可得()2292cos 232z x BDA z+-∠=⨯⨯.在CBD ∆中，由余弦定理可得2912cos 23z BDC z+-∠=⨯⨯. 由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠， 即()2229291223223z x z cz+-+-=-⨯⨯⨯⨯， 整理可得22360z x +-=.①在ABC ∆中，由余弦定理可知2212239x x z +-=. 代入①式整理可得243330x x +-=.所以3523x =-. 据此可知ABC ∆的面积()1352323sin 2S B =-⨯ ()39535233322=-=-. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积的应用，属于中档题. 本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，2EA ED AB ===，EF AC P 且12EF AC =.（Ⅰ）求证：AD BE ⊥；（Ⅱ）若平面AED ⊥平面ABCD ，求平面BCF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ5. 【解析】（Ⅰ）取AD 的中点M ，连接EM ，BM ，易得EM AD ⊥，接着通过证明BM AD ⊥来得到AD ⊥平面EMB ，进而可得结论；（Ⅱ）通过面面垂直可得EM ⊥平面ABCD ，进而可建立如图所示的坐标系，求出平面BCF 的法向量，结合平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =v，进而可求得最后结果.【详解】（Ⅰ）取AD 的中点M ，连接EM ，BM .∵EA ED =，∴EM AD ⊥. ∵底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，∴AB AD BD ==，∴BM AD ⊥，∵EM BM M ⋂=，∴AD ⊥平面EMB .∵BE ⊂平面EMB ，∴AD BE ⊥.（Ⅱ）∵EM AD ⊥，平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ⋂平面ABCD AD =，∴EM ⊥平面ABCD .∴可以M 为原点，MA ，MB ，ME 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0M ，()1,0,0A ，()3,0C -，(3E ，()3,0B .∴(3ME =u u u v ，()2,0,0BC =-u u u v，()3,0AC =-u u u v ，∴13322EF AC u u u v u u u v ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴3332MF ME EF ⎛=+=- ⎝u u u v u u u v u u u v ，即3332F ⎛- ⎝，∴33,32BF ⎛=- ⎝u u u v .设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z =v ，则3330,220,n BF x y z n BC x ⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩u u u v v u u u v v 令1z =，则()0,2,1n =v .易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =v.设平面BCF 与平面ABCD 所成的锐二面角为θ，∴5cos 51m n m n v vv vθ⋅===⋅⨯. ∴平面BCF 与平面ABCD 5【点睛】本题主要考查线线垂直的判定，核心内容为“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，空间向量在求二面角中的应用，即二面角的大小与平面的法向量所成角之间相等或互补，主要通过题意或图形确定最后结果，属于中档题.20．为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取100名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：（Ⅰ）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（Ⅱ）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X，试求X的分布列与数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）根据题意即可将列联表完成，通过计算2K的值即可得最后结论；（Ⅱ）“学习成绩优秀”的有4人，“学习成绩一般”的有2人，X的所有可能取值为1，2，3，计算出其概率得到分布列，计算出期望.【详解】（Ⅰ）填表如下：由上表得()221001020403040605050K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 16.66710.828≈>.故有99.9%的把握认为学生的学习成绩与是否使用手机有关. （Ⅱ）由题意得，所抽取的6位不使用手机的学生中， “学习成绩优秀”的有406460⨯=人，“学习成绩一般”的有206260⨯=人. X 的所有可能取值为1，2，3.()124236411205C C P X C ====，()2142361232205C C P X C ====，()304236413205C C P X C ====. 所以X 的分布列为：故数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列及其期望，考查了学生的计算能力，属于中档题.21．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为y x =截圆222:O x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为2，圆O 、椭圆E 与y 轴正半轴的交点分别为P ，A .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点00(,)B x y （00y ≠且01y ≠±）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB ，AC 分别交x 轴于点M ，N ，证明：tan tan OPM ONP ∠=∠. 【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析. 【解析】（1）根据焦距为y x =截圆222:O x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为2，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）由（1）可知，点A 的坐标为()0,1，点P 的坐标为()0,2，由直线AB的方程与直线AC 的方程令0y =，分别求得00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，00,01x N y ⎛⎫⎪+⎝⎭，可证明24||OM ON OP ⋅==，即OM OP OPON=，从而可得结论.【详解】（1）根据题意可知c =223a b -=.因为直线y x =截椭圆E，2=，化简得224a b =. 所以21b =，24a =.故椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（2）由（1）可知，点A 的坐标为()0,1，点P 的坐标为()0,2. 直线AB 的方程为0011y y x x -=+，令0y =，得00,01x M y ⎛⎫⎪-⎝⎭. 因为点B 关于x 轴的对称点为C ，所以()00,C x y -. 所以直线AC 的方程为011y y x x +=-+. 令0y =，得00,01x N y ⎛⎫⎪+⎝⎭.因为20002000111x x x OM ON y y y ⋅=⋅=-+-， 而点()00,B x y 在椭圆2214x y +=上，所以220014x y +=.即20241x y --，所以24||OM ON OP ⋅==，即OM OP OPON=，所以tan tan OPM ONP ∠=∠.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于难题. 本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+= ()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 22．已知函数()ln f x x x =，()1g x x =-. （Ⅰ）求函数()()()f x G xg x =的单调区间； （Ⅱ）设441()()()4H x f x ag x =-的极小值为()a ϕ，当0a >时，求证：114141()()04a a e e a ϕ---≤≤. 【答案】（Ⅰ）()G x 的单调递增区间为(0,1)和(1,)+∞，无单调递减区间；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）对()G x 求导可得()()21ln 1x xG x x ---'=，设()1ln h x x x =--，对()h x 求导，判断()h x 的符号，进而可得()G x 的单调性；（Ⅱ）对()H x 进行求导，可得()H x 的极小值()4114a a a e ϕ-=-，对()a ϕ求导，易证()104a ϕϕ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，在将114104aa e --≥等价转化为()1ln 4104a a +-≥，令()()1ln 414r a a a =+-，对其求导求其最值即可.【详解】（Ⅰ）因为()ln 1x x G x x =-（0x >且1x ≠），所以()()21ln 1x x G x x ---'=. 设()1ln h x x x =--，则()11h x x'=-. 当1x >时，()110h x x=->'，()h x 是增函数，()()10h x h >=，所以()()21ln 01x xG x x --=>-'.故()G x 在()1,∞上为增函数； 当01x <<时，()110h x x=-<'，()h x 是减函数，()()10h x h >=，所以()()21ln 01x xG x x --=>-'，所以()G x 在()0,1上为增函数.故()G x 的单调递增区间为()0,1和()1,+∞，无单调递减区间. （Ⅱ）由已知可得()()44ln 1H x x x a x =--，则()()34ln 14H x xx a =+-'.令()0H x '=，得1ln 4x a =-，14a x e -=.当140,a x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x '<，()H x 为减函数；当14,a x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0H x '>，()H x 为增函数，所以()H x 的极小值()()414114a a a H e a e ϕ--==-.由()4110a a e ϕ-'=-=，得14a =. 当10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0a ϕ'>，()a ϕ为增函数； 当1,4a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0a ϕ'<，()a ϕ为减函数. 所以()104a ϕϕ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.而()1141414a a a ee ϕ--⎛⎫-- ⎪⎝⎭11414141144a a a a e e e ---⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 11414aa e -=-.下证：0a >时，114104aa e --≥.()111144104ln 44aa a e a e a ---≥⇔≥⇔ ()111ln 41044a a a ≥-⇔+-≥. 令()()1ln 414r a a a =+-，则()22114144a r a a a a -='=-. 当10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0r a '<，()r a 为减函数； 当1,4a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0r a '>，()r a 为增函数. 所以()104r a r ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，即()1ln 4104a a +-≥. 所以114104aa e --≥，即()11414104a a a ee ϕ--⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭.所以()1141414a a a e e ϕ--⎛⎫≥- ⎪⎝⎭. 综上所述，要证的不等式成立. 【点睛】本题主要考查了导数与单调性的关系，导数在证明不等式中的应用，解题的关键在于构造函数，属于难题.。