高等数学教案-定积分及其应用

教 案

课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日

第 次 第5－1页 授课章节 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质

目的要求 掌握定积分的概念、性质、几何意义。

重点难点 定积分的概念、性质、几何意义

复习………………………………………………………………………………………3分钟

第一节 定积分的概念与性质

一、定积分的问题举例

１．曲边梯形面积：

２．变速直线运动的路程：

二、定积分定义

１．定积分定义：设函数)(xf在［a，b］上有界。

①分割：在［a，b］上中任意插入若干个分点，bxxxxan210，把［a，b］分成若干个小区间，],[,],,[],,[13210nnxxxxxx，并设nixxxiii,,2,1,1。

②求乘积：iixf)(，其中],[1iiixx。

③求和：iinixf)(1。

④求极限：iinixf)(lim10，其中}max{ix

若极限iinixf)(lim10存在，则称此极限值为函数)(xf在［a，b］上的定积分，或函数)(xf在［a，b］上可积，记iinibaxfdxxf)(lim)(10

注：①区间分割是任意的；

②i的取法是任意的；

③iinixf)(lim10极限值是唯一的；

④积分变量的记法与积分值无关。

⑤补充定义：0)(aadxxf

abbadxxfdxxf)()(

２．定积分的充分必要条件（了解内容）

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课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日

第 次 第5－2页 定理１：函数)(xf在［a，b］上连续，则)(xf在［a，b］上可积。

高等数学教案 第五章 定积分

1 第五章 定积分

教学目的：

1、 理解定积分的概念。

2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理

2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点：

1、 定积分的概念

2、 积分中值定理

3、 定积分的换元积分法分部积分法。

4、 变上限函数的导数。

§5 1 定积分概念与性质

一、定积分问题举例

1 曲边梯形的面积

曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边

求曲边梯形的面积的近似值

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点

ax0 x1 x2    xn1 xn b

把[a b]分成n个小区间

[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ]

它们的长度依次为x1 x1x0  x2 x2x1      xn  xn xn1 

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间

[xi1 xi ]上任取一点i  以[xi1 xi ]为底、f (i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2    

高等数学教学教案

第4章 不定积分

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题

第4章 第1节 不定积分的概念与性质 课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

原函数与不定积分的概念 教学难点

原函数的概念

参考教材

同济七版《高等数学》 作业布置

课后习题

大纲要求

1．理解原函数概念，理解不定积分的概念。

2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质

教 学 基 本 内 容

一．原函数

1.定义：设是定义在区间上的函数，若对任意的，都有，或

，则称是在区间上的一个原函数．

2.定理：（原函数存在定理）若函数在区间上连续，则在该区间上一定存在可导函数，使得

对任意都有，即区间上的连续函数一定有原函数．

3.若是在区间上的一个原函数，即=，则也是在区间上的原函

数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.

4.定理：设函数是在区间上的一个原函数，那么在区间上的任意一个原函数可以表示

为，其中是任意常数．

二．不定积分的概念

定义：如果是在区间上的一个原函数，则在区间上带有任意常数的原函数

称为在区间上的不定积分，记作，即=，其中，称为积分号，

称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，任意常数称为积分常数．

三．不定积分的几何意义

对于确定的常数，表示坐标平面上一条确定的曲线；当取不同的值时，表示一簇)(),(xfxF

IIx)()(xfxF

xxfxFd)()(d)(xF)(xf

I

()fxI()Fx

xI

()()Fxfx



)(xF)(xfI)('xF)(xfCxF)()(xfI

()Fx()fxI()fxI

()FxCC

)(xF)(xf

I()fxICxF)(

)(xfI()dfxx

()dfxx

CxF)(

)(xf

()dfxxx

C

C

()FxCCCxF)(

曲线．由可知，的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平

第五、六章 定积分及其应用

（１）

一．判断题

（ ）1．函数)(xf在区间],[ba上有界，则)(xf在],[ba上可积．

（ ）2．若)(xf在[ba,]上可积，则)(xf在[ba,]上连续.

（ ）3．设)(xf在),(内连续，则xadttfxG)()(是)(xf的一个原函数.

（ ）4．babadxxfkdxxkf)()(,dxxfkdxxkf)()(都对.

（ ）5．函数)(xf在],[ba上有定义，则存在一点],[ba，使

)()()(abfdxxfba． ( ).

二．填空题

1．设xxtdtxf2ln)(，则)21(f .

2．xtdtdxd1sin , dxdbax2sindx = .

3．若),1(2)(02xxdttxf 则)2(f .

4．11xdx＝ .

5．2142)1(dxxx＝ , 10241dxx＝ .

三．计算题

1．eedxx1ln 2．dxxx053sinsin

3．设1,11,)(2xxxxxf，求20)(dxxf．

4．dttdxdxx32411 5．200arctanlimxtdtxx

四．对任意x，试求使xaxxdttf352)(2成立的连续函数)(xf和常数a．

五．证明题：设)(xf在闭区间],[ba上连续，在开区间),(ba内可导，且0)('xf，证明 函数xadttfaxxF)(1)(在),(ba内单调递减．