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北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在》优质课教案_7

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4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在

一、教材分析

本节课是北师版高中数学教材必修一第四章函数应用第一节函数与方程第一课时

利用函数性质判定方程解的存在，函数作为高中的重点知识有着广泛的应用，与其他数学内容有着有机联系。课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与横轴的焦点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律，本节体现的数学思想是“数形结合”思想和“转化”思想，本节充分体现了函数图象和性质的应用。

二、教学目标

①正确认识函数与方程的关系，求方程()0fx的实数解就是求函数()fx的零点

②能够利用函数的性质判定方程解的存在性．

③体会数学不同内容之间的联系．

三、过程与方法

结合二次函数图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

四、教学重点、难点

重点：利用函数性质判断方程解的存在

难点：零点的确定。

五、教学设计

(一)创设情景，揭示课题

我们在初中学过一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，并掌握了一些方程的求解公式。实际上，绝大部分方程没有求解公式，比如你能说出方程3x=x2解的情况吗?这一节，我们就讨论如何利用函数性质判定方程解的存在。

（二） 互动交流 研讨新知

判断方程x2-x-6=0解的存在

分析：考察函数f(x)= x2-x-6, 其

图像为抛物线容易看出，f(0)=-6<0,

f(4)>0,f(-4)>0由于函数f(x)的图像是连续曲线，

因此，点B (0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线

必然穿过x轴,即在区间(0,4)内至少有点X1，

使f(X1)=0;同样,在区间(-4,0) 内也至少有点X2,

使f( X2)=0,而方程至多有两个解，所以在(-4,0),(0,4)内各有一解.

师：引导画函数图象，判断此方程存在解，师生共同分析方程的根与相应函数图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

1.函数零点的概念：

我们把函数()yfx的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。 f(x)=x2-x-6 8642-2-4-6-8-10-5510fx = x2-x-6A

B 函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数解，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标．

即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点 ，函数的零点个数就决定了相应方程解的个数

练习：1.观察下面的四个函数图像,指出在区间

(-∞,0)内,方程0ifx(i=1,2,3,4)哪个有解?说明理由.

O12xy12f1(x)O12xy12f2(x)f3(x)O12xy12f4(x)O12xy12

再次让学生结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析，得出

2.零点存在性的判断方法：

若yfx的图像在闭区间,ab上是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即0fafb，则在,ab内至少有一个零点，即0fx在 ,ab内至少有一个实数解。

师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．得出同时满足这两个条件一定存在零点，只满足一个有可能存在，也有可能不存在，举例说明，如21(),()fxfxxx

六、知识应用w w w .x k b 1.c o m

例2:已知23xfxx ,问方程0fx在区间[-1,0]内没有实数解?为什么?

解：23xfxx的图像是连续曲线, 因为

12(1)3(1)2/30f, 02(0)3010f

所以(1)(0)0ff,在区间[-1,0]内有零点,即0fx在区间[-1,0]内有实数解

练习：1.判定函数3()415fxxx在区间[1,2]内实数解的存在性，并说明理由？

例3 判定251xx有两个相异的实数解，且有一个大于5，一个小于2。

解：考虑函数251fxxx,有

 5525511f

 2222511f

又因为fx的图像是开口向上的抛物线，所以抛物线在) ,2（内存在一点1，使(1)0f，在(5,)内存在一点6，(6)0f。所以抛物线与横轴在(5,6)有一个交点，在(1,2)内也有一个交点，所以方程式251xx有两个相异数解，且一个大于5，一个小于2。

师:指出“若0fafb，则在区间(,)ab内，方程()0fx至少有一个实数解”，指出了方程()0fx实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。

练习2. 指出下列方程存在实数解,并给出一个实数解的存在区

⑴10xx ⑵lg0xx

思考：若方程270xxt有两个相异的实数解，且一个大于5小于6，一个大于1小于2，求t的取值范围

七、课后作业

P119 A组 第1,2题

八、课后小结

(1)函数零点的定义；

(2)函数的零点与方程的根的关系；

(3)确定函数的零点的方法。

九、板书设计

利用函数性质判定方程解的存在

1.零点的定义 例2 练习

2.判定零点存在的方法 例3

十、教学反思

合集下载

[推荐学习]高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点教学设计

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[k12]

最新K12 3.1.1 方程的根与函数的零点

整体设计

教学目标

知识与技能

1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；

2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．

过程与方法

1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；

2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；

3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；

4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．

情感、态度与价值观

1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；

2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；

3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．

教学重点与难点

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．

教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．

教学的方法与手段

授课类型 新授课 教学方法 启发式教学、探究式学习

教学课件 自制Powerpoint课件 多媒体设备 计算机

教学过程

【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标

教师活动：用屏幕显示

第三章 函数的应用

3.1.1 方程的根与函数的零点

教师活动：这节课我们来学习第三章 函数的应用．通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题．为此，我们还要做一些基本的知识储备．方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧[k12]

最新K12 重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”．

高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数教案北师大版4解析

高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数教案北师大版4解析

1 1.1 周期现象

整体设计

教学分析

本节是三角函数内容的开篇第一节，主要解决为什么要学习三角函数的问题.因为自然界中存在着大量的周期现象，为了研究周期现象中蕴含的数学规律，我们才来学习三角函数.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，有着广泛的实践意义和理论价值，是高考的重点考查内容，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.函数周期性是函数的三大基本性质之一,经常在考试和练习中出现.利用周期性可以求函数值、函数的解析式,判断函数的奇偶性、单调性等，对于学生学习函数的性质有着承上启下的作用.

怎样研究现实中的周期现象呢？本节给出了一个完整的例子——潮汐现象.其思考分析过程为：观察图片，感受周期现象→构造一个函数→收集相关数据→在坐标纸上画出散点图→观察散点图的特征→判断实例是否周期性变化.根据这个实例，在教学中要体现三个层次，第一个层次是感知，在问题提出前首先观察钱塘江潮的图片，使学生感受周期现象的存在.第二个层次是领悟、思考，在活动中发现水深和时间的函数，并在坐标纸上画出水深和时间的散点图.第三个层次观察散点图，从图中可以看出，每经过相同的时间间隔水深就重复出现相同的数值，因此水深是周期性变化的.

在教材处理上让学生多举生活中的实例，数学来源于生活，又指导生活.大千世界有很多的周期现象，让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在.教科书中的三个例题使学生进一步认识到自然界存在着丰富的周期现象，目的是让学生初步探寻领悟周期现象中蕴含的数学方法，感受身边存在的大量周期现象的实例.

三维目标

通过阅读教材，联想生活中的一些实例，如单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象.通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受到生活中处处有数学，从而激发学生用数学的观点方法来研究这些现象的欲望，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物.

北师大版(2019)高一数学必修第一册第五章第一节方程解的存在性及方程的近似解 教案

北师大版(2019)高一数学必修第一册第五章第一节方程解的存在性及方程的近似解 教案

第1节 方程解的存在性及方程的近似解

5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性

本部分内容是在学生学习了函数的定义、性质、图像、性质都已经熟悉的基础上，进一步研究函数与其他数学知识的有机联系，这里结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理(逻辑推理)，集中研究的是判定方程实数解的存在性，运用函数来解决实际问题。

(1)知识目标：

理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。

(2)核心素养目标：

通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神。

重点：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。

难点：方程实数解的存在区间的求解。

多媒体课件

一、知识引入

函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。函数y=f(x)的零点可以理解成方程f(x)=0的解。 你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？

依据定义找到函数零点： -1,1,3。

1、观察上述三个函数图像中零点附近的图像你能得什么结论吗？

零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x轴。（零点即交点）

2、零点两侧的附近区间内自变量x对应的函数值一正一负。（即f(a)f(b)﹤0）

3、此类零点称为变号零点。

作出函数xy1图像确定函数有没有零点？

能否用上述结论中f(a)f(b)﹤0来判断函数有零点？

得出结果：函数没有零点，用f(a)f(b)﹤0判断零点必须是在连续区间（a,b）上。

零点的判断方法：

（1）几何法：函数y=f(x)图像与x轴交点横坐标，即有几个交点就有几个零点。

（2）代数法：零点存在定理

函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。

满足f(a)f(b)﹤0

则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。

如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？引导学生在上述基础上加入单调性，来确定唯一零点。

二、例题解析

例1 方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？ 解 设函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上连续，

北师大版高中数学必修第一册《利用函数性质判定方程解的存在性》评课稿

北师大版高中数学必修第一册《利用函数性质判定方程解的存在性》评课稿

北师大版高中数学必修第一册《利用函数性质判定方程解的存在性》评课稿

介绍

本文是对北师大版高中数学必修第一册中《利用函数性质判定方程解的存在性》这一章节的评课稿。本章主要讲解了如何通过利用函数性质来判定方程解的存在性。通过学习本章，学生将能够掌握判断一元二次方程、绝对值方程和分式方程解的存在性的方法和技巧。本评课稿将从教材内容的组织、教学目标的达成度、教学方法的灵活性以及学生对知识的掌握程度等方面进行评价和总结。

教材内容的组织

本章的教材内容组织合理，层次清晰，基本符合学生的认知规律。从解一元二次方程开始，逐渐引入绝对值方程和分式方程的求解，形成了一个由易到难、由简单到复杂的教学过程。在每一小节中，教材都以实际问题为例子，具体说明了如何利用函数性质来判定方程解的存在性。通过实际问题的引入，不仅提高了学生的学习兴趣，还帮助学生更好地理解和应用知识。

教学目标的达成度

学生在学习本章后应能够： - 理解并应用一元二次方程的解的性质，判断方程解的存在性。 - 掌握绝对值方程的解的性质，准确判定方程解的存在性。 - 理解并运用分式方程解的性质，判定方程解的存在性。

通过对学生的学习情况的观察和测试，大部分学生能够达到上述学习目标。他们能够准确地判断方程解的存在性，并能够应用所学知识解决实际问题。然而，在对一些复杂问题的应用上，仍有部分学生存在困难，部分学生对分式方程解的判断仍存在不确定性。因此，在教学过程中，可以适当增加一些练习和巩固的环节，帮助所有学生更好地掌握这些知识和技巧。

教学方法的灵活性

教学过程中教师采用了多种灵活的教学方法，如讲解、示范、讨论和练习等。教师在引入新知识时，注重通过简单明了的语言和具体的例子来解释概念和原理，使学生易于理解。在讲解过程中，教师积极与学生互动，鼓励学生提问、思考和讨论，促进学生的主动学习。同时，教师还设计了一些小组活动和练习，让学生在合作中巩固所学内容，提高解题能力。

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