高中数学人教A版高一必修2模块综合测评(五)(Word版,含解析)
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1 综合测试
(时间120分，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.空间4点A，B，C，D共面但不共线，下列结论中正确的是( )
A.4点中必有3点共线
B.4点中必有3点不共线
C.AB，BC，CD，DA中必有两条平行
D.AB与CD必相交
解析：A显然不正确，对于B，若每三点都共线，则A，B，C和B，C，D都在直线BC上，与条件矛盾.作图可知C，D不正确，故选B.
答案：B
2.水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A1B1C1，则△ABC为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都可能
解析：设AB在水平线上，在斜二测图中，作C1D1交A1B1于D1，使∠B1D1C1=45°.∵∠C1A1B1延长线上，从而△ABC是钝角三角形.
答案：C
3.互不重合的三个平面将空间分成n个部分，则n的可能值是( )
A.4，6，8 B.4，7，8 C.4，5，7，8 D.4，6，7，8
解析：当三个平面互相平行时，n=4；当两平面平行，另一平面与其相交时，n=6；当三平面交于一条直线时，n=6，当三个平面两两相交于三条直线时，若三交线平行，则n=7，若三交线共点，n=8.故选D.
答案：D
4.(2006广东高考，5) 给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行. ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.
其中真命题的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析：①②正确，③中这两条直线没有任何关系，可平行、相交、异面，所以不正确，④正确.故选B.
答案：B
5.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后，下列结论不成立的是( )
A.AC⊥BD B.△ADC为正三角形
C.AB、CD所成角为60° D.AB与面BCD所成角为60°
解析：∠ABD即为AB与面BCD所成角为45°.
答案：D
6.已知空间两个动点A(m,1+m,2+m)、B(1-m,3-2m,3m)，则|AB|的最小值是( )
A.179 B.173 C.17173 D.17179
解析：92417)22()32()21(||2222mmmmmAB配方得|AB|的最小
1 值为17173.
答案：C
7.已知平行四边形ABCD的顶点A(3，-1)、C(2，-3)，点D在直线3x-y+1=0上移动，则点B的轨迹方程为( )
A.3x-y-20=0(x≠3) B.3x-y-10=0(x≠3)
C.3x-y-9=0(x≠2)
D.3x-y-12=0(x≠5)
答案：A
8.与圆(x-8)2+(y-7)2=1相切且在x轴与y轴上的截距相等的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析：先画出圆的图，根据图象可知，与圆相切且在x轴、y轴上截距相等的直线有4条，所以答案为D.
答案：D
9.已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x+4y+4=0相切，则圆的方程是( )
A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0
解析：设圆心坐标为(a,0)(a>0)，由直线3x+4y+4=0与圆相切，可得圆心得直线3x+4y+4=0的距离25|43|43|43|22aad.解得a=2或a=314 (舍去)，
故所求的圆的方程为(x-2)2+y2=4，即x2+y2-4x=0.故应选D.
答案：D
10.过圆x2+y2=4外一点P(-4，-2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆的方程为( )
A.(x-4)2+(y-2)2=1 B.(x+2)2+(y+1)2=5
C.x2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y-1)2=5
解析：OP就是△ABP的外接圆O1的直径，所以O1坐标为(-2，-1).故选B.
答案：B
11.如图所示，扇形所含中心角为90°，弦AB将扇形分成两个部分.这两部分各以AO为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体积V1和V2之比为( )
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶2 D.1∶3
解析：△ABO旋转成圆锥，扇形OAB旋转成半球，设AB=R.
V半球=32πR3,V锥=3·R·R2=3R3，
∴(V半球-V锥)∶V锥=1∶1.
答案：A
12.如图所示，密闭圆锥内水深为圆锥高的一半，若将其倒放，圆锥内水深应为高的( )
1
A.21(372) B.)17(313 C.31
D.41
解析：利用锥体平行底的截面性质及相关的比例关系.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在横线上.)
13.在经过点A(-3，1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是__________.
解析：过A(-3，1)的所有直线中，与原点距离最远的是与OA垂直的直线.kOA=31,
∴k=3,∴所求直线方程为y-1=3(x+3),
即 3x-y+10=0.
答案：3x-y+10=0
14.若方程036kyxyx仅表示一条直线.则k的范围_____________.
解析：设yxt，则t2-6t+3k=0仅有相等正根或有一正解与一负
①Δ=0时k=3,这时t=3>0
②0.03.00602121ttkkktt或故
答案：k=3或k<0
15.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为_________.
解析：如图所示∠PPO=30°，设P(x,y)，∵sin∠APO=22121||||yxPOAO,∴x2+y2=4.
答案：x2+y2=4
16.将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点D(m,n)重合，则m+n的值是_____________.
解析：折叠线为A(0，2)、B(4，0)的垂直平分线y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
由kCD=kAB,且CD的中点)23,27(nm在对称轴y-1=2(x-2)上，可得
1 ).227(2123,042073mnmn解得.531,53nm所以m+n=534.
答案：534
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)李林发现家庭作业中的几何体图形不清楚，他打电话给同学张明请求帮助，张明面对如本题图的几何体应如何描述.
解析：本题需要对上述几何体作出语言上的描述，有一个语言组织的问题，这里给出如下两种描述：
(1)有一个长方体，它的底面为8×8的正方形，高为4，以上底面的对角线交点为圆心，2为半径画一个圆.这个圆的上面有一个高为8的圆柱.也就是说，这个圆柱的下底面恰好与所画的圆重合.
(2)这个几何体由两部分组成，上面为圆柱体，下面为长方体.长方体的大小为4×8×8,8×8的那一面水平放置.圆柱下底面的圆心与8×8那一面的正方形中心重合.圆柱底面圆的直径为4，圆柱的高为8.
说明：对几何体的语言描述的次序可以不一致，繁简也不同，但一定要根据对方的理解水平作出合理的描述.
18.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点.
(1)求证：平面EDB⊥平面ABCD；
(2)求点E到平面PBC的距离.
解析：(1)设AC∩BD=0，连结EO，则
∵PC⊥平面ABCD
∴EO⊥平面ABCD
1 又EO平面EDB
故有平面EDB⊥平面ABCD
(2)在底面作OH⊥BC，垂足为H，
∵平面PCB⊥平面ABCD，
∴OH⊥平面PBC
又∵OE∥PC，∴OE∥平面PBC，
∴点E到平面PBC的距离就是点O到平面PBC的距离OH，如图所示，易得OH=a43.
19.(本小题满分12分)设P在正三角形ABC所在平面外，且AP，BP，CP两两垂直；又G是△PBO的重心；E为BC上一点，BE=31BC；F为PB上一点，PF=31PB；AP=BP=CP(如图)
(1)求证：GF⊥平面PBC；
(2)求证：EF⊥BC.
解析：(1)连结BG并延长交PA于M，G为△ABP的重心
.//3131PBCGFPBCAPPCAPBPAPAPGFPBPFBMMG平面平面
(2)取CQ=31BC，又已知PF=31PB，
故FQ∥PCPBFQPBPCPCPQ3232
BCEFBCEQBEFBFQ31.
20.(本小题满分12分)已知圆x2+y2+4x+10y+4=0.求证：
(1)点A(1，-2)在圆内.若过A作直线l，并且被圆所截得的弦被点A平分，求此直线的方程.
(2)点B(1，-1)在圆上，并求出过点B的圆的切线方程.
(3)点C(1，0)在圆外，并求出过点C的圆的切线方程.
解析：圆心M(-2，-5)，半径r=5.
1
(1)∵rAM533)52()21(||22，
∴点A在圆内.
若直线l垂直于x轴，弦不被点A平分，不合题意，故直线l的斜率存在.设其方程为:y+2=k(x-1)，交点P(x1,y1),Q(x2,y2)，则
,04104)1(222yxyxxky
∴(1+k2)x2-2(k2-3k-2)x+k2-6k-12=0,
∴x1+x2=221)23(2kkk,
