高中数学人教A版必修五 模块综合测评2 Word版含答案

模块综合测评(二)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．数列1,3,7,15，…的通项an可能是( )

A．2n B．2n＋1

C．2n－1 D．2n－1

【解析】 取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.

【答案】 C

2．不等式x2－2x－5>2x的解集是( )

A．{x|x≤－1或x≥5}

B．{x|x<－1或x>5}

C．{x|1

D．{x|－1≤x≤5}

【解析】 不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5.

【答案】 B

3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )

A．16 B．32

C．64 D．256

【解析】 ∵{an}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a210(an>0)，∴a8·a10·a12＝a310＝64.

【答案】 C

4．下列不等式一定成立的是( )

A．lgx2＋14>lg x(x>0)

B．sin x＋1sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.1x2＋1>1(x∈R)

【解析】

选项 具体分析 结论

A lgx2＋14≥lg2x2·14＝lg x，当且仅当x2＝14时，即x＝12 不正确

B 当sin x<0时，不可能有sin x＋1sin x≥2 不正确

C 由基本不等式x2＋1＝|x|2＋1≥2|x| 正确

D 因为x2＋1≥1，所以1x2＋1≤1 不正确

【答案】 C

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac＝3，且a＝3bsin A，则△ABC的面积等于( )

A.12 B.32

C．1 D.34

【解析】 ∵a＝3bsin A，

∴由正弦定理得sin A＝3sin Bsin A，

∴sin B＝13.

∵ac＝3，∴△ABC的面积S＝12acsin B＝12×3×13＝12，故选 A.

【答案】 A

6．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是( )

A．T10 B．T13

C．T17 D．T25

【解析】 由等比数列的性质得

a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a39，而T17＝a179，故T17为常数．

【答案】 C

7．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )

A．－3 B．1

C．－1 D．3

【解析】 由题意：A＝{x|－1

∴a＋b＝－3.

【答案】 A

8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )

A．2 B．3

C．4 D．5

【解析】 远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S7＝381.

请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a1.

代入公式Sn＝a11－qn1－q，

即381＝a11－271－2，

∴a1＝381127＝3.

∴此塔顶有3盏灯．

【答案】 B

9．若实数x，y满足 x－y＋1≤0，x>0，则yx的取值范围是( )

A．(0,1) B．(0,1]

C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

【解析】 实数x，y满足  x－y＋1≤0，x>0的相关区域如图中的阴影部分所示．

yx表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，yx的取值范围为(1，＋∞)．

【答案】 C

10．在△ABC中，若c＝2bcos A，则此三角形必是( )

A．等腰三角形

B．正三角形

C．直角三角形

D．有一角为30°的直角三角形

【解析】 由正弦定理得sin C＝2cos Asin B，

∴sin (A＋B)＝2cos Asin B，

即sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B，

即sin Acos B－cos Asin B＝0，

所以sin (A－B)＝0.

又因为－π

所以A－B＝0，

即A＝B.

【答案】 A

11．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是( )

A．23＋2 B．23－2

C．23 D．2

【解析】 ∵x>1，

∴x－1>0.

∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1

＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1 ＝x－12＋2x－1＋3x－1

＝x－1＋3x－1＋2

≥23＋2.

【答案】 A

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝2－3a2－b2＋c2，BC→·BA→＝12，则tan B等于( )

A.32

B.3－1

C．2 D．2－3

【解析】 由BC→·BA→＝12，得accos B＝12，

∴2accos B＝1.

又由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－1，

∴a2－b2＋c2＝1，

∴tan B＝2－31＝2－3.

【答案】 D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式

2x＋by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是______. 【导学号：05920089】

【解析】 点P(1，－2)关于原点的对称点为点P′(－1，2)．

由题意知 2×1－2b＋1>0，－2＋2b＋1>0，

解得12

【答案】 12，32 14．(2015·江苏高考)设数列{}an满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列1an前10项的和为________．

【解析】 由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝n－12＋n2＝n2＋n－22.

又∵a1＝1，

∴an＝n2＋n2(n≥2)．

∵当n＝1时也满足此式，

∴an＝n2＋n2(n∈N*)．

∴1an＝2n2＋n＝21n－1n＋1.

∴S10＝2×11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×1－111＝2011.

【答案】 2011

15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin

A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．

【解析】 ∵asin A＝bsin B＝csin C＝2R，a＝2，

又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C

可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，

∴a2－b2＝c2－bc，

∴b2＋c2－a2＝bc.

∴b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12＝cos A，

∴A＝60°.

∵在△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°

＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，

∴S△ABC＝12·bc·sin A≤12×4×32＝3. 【答案】 3

16．若1a<1b<0，已知下列不等式：

①a＋b|b|；③a2；

⑤a2>b2；⑥2a>2b.

其中正确的不等式的序号为______．

【解析】 ∵1a<1b<0，

∴b

又b

故②⑤错，可证①④⑥正确．

【答案】 ①④⑥

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.

(1)求公差d的取值范围；

(2)问前几项的和最大，并说明理由．

【解】 (1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，

∵S12>0，S13<0，

∴ 12a1＋66d>0，13a1＋78d<0，

即 24＋7d>0，3＋d<0，

∴－247

(2)∵S12>0，S13<0，

∴ a1＋a12>0，a1＋a13<0，

∴ a6＋a7>0，a7<0， ∴a6>0，

又由(1)知d<0.

∴数列前6项为正，从第7项起为负．

∴数列前6项和最大．

18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求b－3a－1的最大值和最小值．

【解】 ∵ α＋β＝－a，αβ＝2b，

∴ a＝－α＋β，b＝αβ2，

∵0≤α≤1,1≤β≤2，

∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.

∴ －3≤a≤－1，0≤b≤1，

建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．

令k＝b－3a－1，可以看成动点P(a，b)与定点A(1,3)的连线的斜率．

取B(－1,0)，C(－3,1)，

则kAB＝32，kAC＝12，

∴12≤b－3a－1≤32.

故b－3a－1的最大值是32，最小值是12.

19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2b－c)cos A－acos C＝0.