高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4-4数系的扩充与复数的引入学案理含解析北师大

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- 1 - 第四节 数系的扩充与复数的引入

命题分析预测

学科核心素养

本节是高考的热点，主要考查复数的有关概念和复数的四则运算，一般出现在选择题的较靠前位置，比较简单，属于送分题． 本节通过复数的有关概念和四则运算考查考生的数学运算核心素养和等价转化思想的应用．

授课提示：对应学生用书第96页

知识点一 复数的有关概念及意义

1．复数的有关概念

（1）复数的概念：

形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部Ｗ．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

（2）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）．

（3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）．

（4）复数的模：

向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2Ｗ．

2．复数的几何意义

（1）复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）．

（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量OZ→．

• 温馨提醒 •

利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R是前提条件．

1．若复数（a2－3a＋2）＋（a－1）i是纯虚数，则实数a的值为（ ）

A．1 B．2

C．1或2 D．－1

〖解 析〗由a2－3a＋2＝0，a－1≠0，得a＝2．

〖答 案〗B

2．（2021·合肥市高三二检）已知复数z满足z·（1－2i）＝i（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 高中数学教学、学习精品资料

- 2 - C．第三象限 D．第四象限

〖解 析〗由z·（1－2i）＝i可得z＝i1－2i＝i（1＋2i）1＋4＝－25＋15i，则复数z在复平面内对应的点在第二象限．

〖答 案〗B

3．（易错题）若a为实数，且2＋ai1＋i＝3＋i，则a＝_________．

〖解 析〗由2＋ai1＋i＝3＋i，得2＋ai＝（3＋i）（1＋i）＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4．

〖答 案〗4

知识点二 复数的代数运算

1．复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则

（1）加法：z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i；

（2）减法：z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i；

（3）乘法：z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i；

（4）除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i（c＋di≠0）．

2．复数加法的运算定律

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：

（1）交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

（2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）Ｗ．

• 温馨提醒 •

（1）（1±i）2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i．

（2）－b＋ai＝i（a＋bi）．

（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i（n∈N＋）．

（4）i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N＋）．

（5）|z|2＝|z－|2＝z·z－，|z2|＝|z－|2．

（6）|z1z2|＝|z1||z2|，z1z2＝|z1||z2|（z2≠0），|zn|＝|z|n． 高中数学教学、学习精品资料

- 3 -

1．（2020·高考全国卷Ⅰ）若z＝1＋i，则|z2－2z|＝（ ）

A．0 B．1

C．2

D．2 〖解 析〗法一：z2－2z＝（1＋i）2－2（1＋i）＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2．

法二：|z2－2z|＝|（1＋i）2－2（1＋i）|＝|（1＋i）（－1＋i）|＝|1＋i||－1＋i|＝2．

〖答 案〗D

2．（2020·新高考全国卷Ⅰ）2－i1＋2i＝（ ）

A．1 B．－1

C．i D．－i

〖解 析〗2－i1＋2i＝（2－i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝－5i5＝－i．

〖答 案〗D

3．已知（1＋2i）z－＝4＋3i，则z＝_________．

〖解 析〗因为z－＝4＋3i1＋2i＝（4＋3i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝10－5i5＝2－i，所以z＝2＋i．

〖答 案〗2＋i

授课提示：对应学生用书第97页

题型一 复数的有关概念

1．（2021·湘潭模拟）若复数z满足（1＋i）z＝2i，z－是z的共轭复数，则z－的虚部为（ ）

A．－i B．1

C．－1 D．i

〖解 析〗由题意可知，z＝2i1＋i＝1＋i，故z－＝1－i，所以其虚部为－1．

〖答 案〗C

2．（2020·高考全国卷Ⅰ）若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝（ ）

A．0 B．1

C．2 D．2

〖解 析〗∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，∴|z|＝12＋12＝2． 高中数学教学、学习精品资料

- 4 - 〖答 案〗C

3．（2021·衡水中学大联考）已知复数z＝5i2i－1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

〖解 析〗z＝5i2i－1＝－5i（1＋2i）（1－2i）（1＋2i）＝－i（1＋2i）＝2－i，

即复数z在复平面内对应的点（2，－1）位于第四象限．

〖答 案〗D

1．求解复数概念相关问题的技巧

复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数有关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi（a，b∈R）的形式，再根据题意求解．

2．复数z、复平面上的点Z及向量OZ→相互联系，即z＝a＋bi（a，b∈R）⇔Z（a，b）⇔OZ→．

3．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

题型二 复数的代数运算

〖例〗 （1）已知复数z＝1＋2i1－i，则1＋z＋z2＋…＋z2 018＝（ ）

A．1＋i B．1－i

C．i D．0

（2）（2021·兰州质检）已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝（ ）

A．－2i B．2i

C．－2 D．2

〖解析〗 （1）法一：因为z＝1＋2i1－i＝1＋2i（1＋i）2＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2 018＝高中数学教学、学习精品资料

- 5 - 1×（1－z2 019）1－z＝1－i2 0191－i＝1－i4×504·i31－i＝i．

法二：因为z＝1＋2i1－i＝1＋2i（1＋i）2＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2 018＝1＋i＋i2＋…＋i2 018＝504×（1＋i－1－i）＋1＋i－1＝i．

（2）法一：由z＝1＋ii＝1－i，得z2＝（1－i）2＝－2i．

法二：由zi＝1＋i，得（zi）2＝（1＋i）2，则－z2＝2i，即z2＝－2i．

〖答案〗 （1）C （2）A

复数代数形式运算问题的解题策略

〖题组突破〗

1．（2020·高考全国卷Ⅲ）若z－ （1＋i）＝1－i，则z＝（ ）

A．1－i B．1＋i

C．－i D．i

〖解 析〗因为z－＝1－i1＋i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＝－i，所以z＝i．

〖答 案〗D

2．若z＝1＋2i，则4izz－－1＝（ ）

A．1 B．－1

C．i D．－i 高中数学教学、学习精品资料

- 6 - 〖解 析〗由z＝1＋2i，得zz－＝5，∴4izz－－1＝4i4＝i．

〖答 案〗C

3．（2021·烟台高三下学期诊断）已知复数z＝31＋2i（i为虚数单位），则z的共轭复数z－等于（ ）

A．15－25i

B．15＋25i

C．35－65i D．35＋65i

〖解 析〗z＝31＋2i＝3（1－2i）5＝35－65i，z－＝35＋65i．

〖答 案〗D

复数运算应用中的核心素养

创新应用——复数的交汇应用问题

〖例〗 （1）（2021·益阳、湘潭调研）已知命题p：若复数z满足（z－i）（－i）＝5，则z＝6i，命题q：复数1＋i1＋2i的虚部为－15i，则下面为真命题的是（ ）

A．（非p）且（非q） B．（非p）且q

C．p且（非q） D．p且q

（2）（2021·天津实验中学期中测试）已知复数z＝cos

θ－45＋sin θ－35i是纯虚数（i为虚数单位），则tanθ－π4＝_________．

〖解析〗 （1）由已知可得，复数z满足（z－i）（－i）＝5，

所以z＝5－i＋i＝6i，

所以命题p为真命题；

复数1＋i1＋2i＝（1＋i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝3－i5，

其虚部为－15，故命题q为假命题，

所以命题p且（非q）为真命题．

（2）因为cos θ－45＝0，sin θ－35≠0⇒cos θ＝45，sin θ＝－35⇒tan θ＝－34，所以tan（θ－π4）高中数学教学、学习精品资料

- 7 - ＝－34－11－34＝－7．

〖答案〗 （1）C （2）－7

求解复数与其他知识的交汇问题，一定要仔细运算，提升自身的数学运算素养．

〖题组突破〗

1．已知复数z＝x＋yi（x，y∈R）满足|z－|≤1，则y≥x＋1的概率为（ ）

A．34－12π B．14－12π

C．34＋12π D．14＋12π

〖解 析〗复数z＝x＋yi（x，y∈R），|z－|≤1，它的几何意义是以O（0，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．满足y≥x＋1的图像如图中圆内阴影部分所示，则概率P＝π4－12×1×1π＝14－12π．

〖答 案〗B

2．在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是（ ）

A．1－2i B．－1＋2i

C．3＋4i D．－3－4i

〖答 案〗D