2016年高考新课标丙卷全国Ⅲ理科数学试题(附答案)

2016年北京市高考数学试卷(理科)(含详细答案解析)2016年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.（5分）已知集合A={x||x|＜2}，集合B={﹣1.1，2，3}，则A∩B=（）A。

{﹣1.1}B。

{，1}C。

{，1，2}D。

{﹣1.1，2}2.（5分）若x，y满足x+y=4且x2+y2的最小值为2，则2x+y的最大值为（）A。

2B。

3C。

4D。

53.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A。

1B。

2C。

3D。

44.（5分）设a、b为向量，则||a+b||=||a-b||的充分必要条件是（）A。

a·b=0B。

a=bC。

||a||=||b||D。

a·b=||a||·||b||5.（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A。

x-y＞0B。

sinx-siny＞0C。

（x+y）/（x-y）＜2D。

XXX＞06.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A。

8/3B。

10/3C。

12/5D。

14/57.（5分）将函数y=sin（2x-π/2）图象上的点P（π/6，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A。

t=1，s的最小值为π/6B。

t=1/2，s的最小值为π/6C。

t=1，s的最小值为π/3D。

t=1/2，s的最小值为π/38.（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半。

甲、乙、丙是三个空盒。

每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒。

重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A。

乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B。

乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C。

乙盒中红球不多于丙盒中红球D。

乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

考纲解读明方向分析解读 本节内容是高考的重点考查内容之一,最近几年的高考有以下特点:1.古典概型主要考查等可能性事件发生的概率,也常与对立事件、互斥事件的概率及统计知识综合起来考查;2.几何概型试题也有所体现,可能考查会有所增加,以选择题、填空题为主.本节内容在高考中分值为5分左右,属容易题.分析解读从近几年的高考试题来看,本部分在高考中的考查点如下:1.主要考查分层抽样的定义,频率分布直方图,平均数、方差的计算,识图能力及借助概率知识分析、解决问题的能力;2.在频率分布直方图中,注意小矩形的高=频率/组距,小矩形的面积为频率,所有小矩形的面积之和为1;3.分析两个变量间的相关关系,通过独立性检验判断两个变量是否相关.本节内容在高考中分值为17分左右,属中档题.1．【2018年浙江卷】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.点睛：2．【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【答案】B【解析】分析：由公式计算可得详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则，因为，所以，故选B.点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。

3．【2018年全国卷II文】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4．【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.5．【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.6．【2018年全国卷Ⅲ文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样。

启封前★绝密试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（试题及答案详解）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1（B ）2（C ）3（D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31（B ）21（C ）32（D ）43（5）已知方程132222=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足 （A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB|=2，|DE|=25则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A ，a//平面CB1D1，a ⋂平面ABCD=m ，a ⋂平面ABA1B1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为 (A)3 (B)2 (C)3(D)1312.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a=(m ，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=__________. (14)5(2)x x +的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an 的最大值为____________。

2017年普通高等学校统一招生考试·丙卷(新课标Ⅲ)理科数学1．B 【解析】集合A 、B 为点集，易知圆221x y +=与直线y x =有两个交点，所以AB 中元素的个数为2．选B ．2．C 【解析】由(1i)2z i +=，得2i1i 1iz ==++，所以||z ==C ． 3．A 【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A 错误；选A ．4．C 【解析】5(2)x y -的展开式的通项公式为：515C (2)()r r r r T x y -+=-，当3r =时，5(2)x x y -展开式中33x y 的系数为3235C 2(1)40⨯⨯-=-， 当2r =时，5(2)y x y -展开式中33x y 的系数为2325C 2(1)80⨯⨯-=，所以33x y 的系数为804040-=．选C ．5．B 【解析】由题意可得：b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =， 则C 的方程为2145x y 2-=．选B ． 6．D 【解析】∵()cos()3f x x π=+的周期为2k π，k ∈Z ，所以A 正确；∵8()cos313f ππ==-，所以B 正确； 设4()()cos()3g x f x x ππ=+=+，而3()cos 062g ππ==，C 正确；选D ．7．D 【解析】若2N =，第一次循环，12≤成立，100S =，10M =-，22i =≤成立，第二次循环，此时90S =，1M =，32i =≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D ．8．B 【解析】圆柱的轴截面如图，1AC =，12AB =，所以圆柱底面半径r BC ==，那么圆柱的体积是22314V r h πππ==⨯⨯=，故选B ． 9．A 【解析】设{}n a 的公差为d （0d ≠），由2326a a a =，得2(12)(1)(15)d d d +=++，所以2d =-，66561(2)242S ⨯=⨯+⨯-=-．选A ． 10．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a ==，故选A ．11．C 【解析】令()0f x =，则方程112()2x x a ee x x --++=-+有唯一解，设2()2h x x x =-+，11()x x g x e e --+=+，则()h x 与()g x 有唯一交点，又11111()2x x x x g x ee e e --+--=+=+≥，当且仅当1x =时取得最小值2．而2()(1)11h x x =--+≤，此时1x =时取得最大值1，()()ag x h x =有唯一的交点，则12a =．选C ． 12．A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=， 所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 即λμ+的最大值为3，选A ．13．1-【解析】不等式组的可行域如图阴影部分．x目标函数34z x y =-在点(1,1)A 取得最小值31411z =⨯-⨯=-．14．8-【解析】设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以1121113a a q a a q +=-⎧⎨-=-⎩， 解得112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3418a a q ==-．15．1(,)4-+∞【解析】当12x >时，不等式为12221x x-+>恒成立；当102x <≤，不等式12112xx +-+>恒成立； 当0x ≤时，不等式为11112x x ++-+>，解得14x >-，即104x -<≤；综上，x 的取值范围为1(,)4-+∞．16．②③【解析】如图BDEF 为底面圆的内接正方形，设1AC BC ==，则AB AD AE AF FB FE ED BD ========，即侧面均为等边三角形，∵AC ⊥底面BDEF ，FEDCBA假设a FB ∥，由题意b BD ∥，当直线AB 与a 成60°角时，由图可知AB 与b 成60°角，所以①错，②正确；假设a EB ∥，可知③正确，④错．所以正确为②③． 17．【解析】（1）由已知得tan A =，所以23A π=． 在ABC ∆中，由余弦定理得222844cos 3c c π=+-，即2+224=0c c -．解得6c =-（舍去），4c = （2）有题设可得2CAD π∠=，所以6BAD BAC CAD π∠=∠-∠=．故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为1sin26112AB AD AC AD π⋅⋅=⋅． 又ABC ∆的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=ABD ∆18．【解析】（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===． 因此X 的分布列为（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20,25)，则63002(200)412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-；因此20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-． 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-； 因此2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+． 所以300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元． 19．【解析】（1）由题设可得，ABD CBD ∆≅∆，从而AD DC =．又ACD ∆是直角三角形，所以0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO AC ⊥，DO AO =． 又由于ABC ∆是正三角形，故BO AC ⊥． 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角． 在Rt AOB ∆中，222BO AO AB +=．又AB BD =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=． 所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)A，B ，(1,0,0)C -，(0,0,1)D ．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB的中点，得1)2E ．故 (1,0,1)AD =-，(2,0,0)AC =-，1()2AE =- 设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则AD AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩0，0，n n即x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩01022可取=n 设m 是平面AEC 的法向量，则0，0，AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m同理可得(0,=-m则cos ,==77n m n m n m 所以二面角D AE C --的余弦值为7． 20．【解析】（1）设()A x ,y 11，()B x ,y 22，l ：2x ym =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得y my --=2240，则y y =-124 又y x 211=2，y x 222=2，故()y y x x 21212=4=4 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y y x x ⋅1212-4==-14，所以OA OB ⊥． 故坐标原点O 在圆M 上．（2）由（1）可得y y m 12+=2，()x x m y y m +21212+=++4=24故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点(4,2)P -，因此0AP BP =， 故()()()()121244++2+2=0x x y y --即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得y y 12=-4，x x 12=4． 所以2m m --=210，解得m =1或m =-12． 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=． 21．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．①若a 0≤，因为11()ln 2022f a =-+<，所以不满足题意； ②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，故x a =是()f x 在(0,)+∞的唯一最小值点．由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥． 故a =1．（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而 221111111ln(1)ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．22．【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12；消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212． 设(,)P x y ，由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠． 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠ （2）C 的极坐标方程为()cos sin -=2224rq q (),≠0＜＜2q p q p 联立()()cos sin cossin ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+r q q r q q 得()cos sin cos sin -=2+q q q q ．故tan=-13q ，从而cos sin 2291=，=1010q q 代入()cos sin 222-=4rq q 得2=5r，所以交点M23．【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤ 当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ． 所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+． 故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．。

2016年云南省高考理科数学试题及答案2016年云南省高考理科数学试题及答案。

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知 $Z=(m+3)+(m-1)i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是（）A。

$(-3,1)$B。

$(-1,3)$C。

$(1,+\infty)$D。

$(-\infty,-3)$2.已知集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{x|(x+1)(x-2)<0,x\in Z\}$，则 $A\cup B=$（）A。

$\{1\}$B。

$\{1,2\}$C。

$\{0,1,2,3\}$D。

$\{-1,0,1,2,3\}$3.已知向量 $a=(1,m)$，$b=(3,-2)$，且 $(a+b)\perp b$，则$m=$（）A。

$-8$B。

$-6$C。

$6$D。

$8$4.圆 $x+y-2x-8y+13=0$ 的圆心到直线 $ax+y-1=0$ 的距离为1，则 $a=$（）A。

$-\frac{22}{43}$B。

$-\frac{3}{4}$C。

$3$D。

$\frac{2}{3}$5.如图，XXX从街道的 $E$ 处出发，先到 $F$ 处与XXX 会合，再一起到位于 $G$ 处的老年公寓参加志愿者活动，则XXX到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A。

$24$B。

$18$XXXD。

$9$6.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A。

$20\pi$B。

$24\pi$C。

$28\pi$D。

$32\pi$7.若将函数 $y=2\sin^2 x$ 的图像向左平移 $\pi$ 个单位长度，则平移后的图像对称轴为（）A。

$x=-\frac{1}{2}+\frac{k\pi}{6}$，$k\in Z$B。

1.【答案】A【解析】本题主要考查复数的几何意义及解不等式组,考查考生的运算求解能力.由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m+3,m-1),所以,解得-3<m<1,故选A.【备注】无2.【答案】C【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的并运算,属于基础题.由已知可得B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},∴A∪B={0,1,2,3},故选C.【备注】容易遗忘代表元素x的限制条件“x∈Z”.3.【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的坐标运算、数量积和向量垂直的条件,考查考生的运算求解能力.由向量的坐标运算得a+b=(4,m-2),由(a+b)⊥b,得(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8,故选D.【备注】无4.【答案】A【解析】本题主要考查圆的标准方程、点到直线的距离公式等,考查考生的运算求解能力. 由已知可得圆的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,故该圆的圆心为(1,4),由点到直线的距离公式得d==1,解得a=-,故选A.【备注】无5.【答案】B【解析】本题以实际生活为背景,考查乘法计数原理.由题意可知E→F共有6种走法,F→G共有3种走法,由乘法计数原理知,共有6×3=18种走法,故选B.【备注】无6.【答案】C【解析】本题主要考查三视图、组合体的表面积计算,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.该几何体是圆锥与圆柱的组合体,由三视图可知圆柱底面圆的半径r=2,底面圆的周长c=2πr=4π,圆锥的母线长l==4,圆柱的高h=4,r2+ch+cl=4π+16π+8π=28π,故选C.所以该几何体的表面积S表=π【备注】无7.【答案】B【解析】本题主要考查三角函数的图像变换和三角函数的性质,考查考生对基础知识的掌握情况.函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,得到的图像对应的函数表达式为y=2sin 2(x+),令2(x+)=kπ+(k∈Z),解得x=+(k∈Z),所以所求对称轴的方程为x=+(k∈Z),故选B.【备注】无8.【答案】C【解析】本题考查程序框图的相关知识及考生的识图能力.由程序框图知,第一次循环:x=2,n=2,a=2,s=0×2+2=2,k=1;第二次循环:a=2,s=2×2+2=6,k=2;第三次循环:a=5,s=6×2+5=17,k=3.结束循环,输出s的值为17,故选C.【备注】无9.【答案】D【解析】本题考查了两角差的三角函数公式、二倍角公式以及同角三角函数的关系.因为cos(-α)=cos cosα+sin sinα=(sinα+cosα)=,所以sinα+cosα=,所以1+sin 2α=,所以sin 2α=-,故选D.【备注】无10.【答案】C【解析】本题考查几何概型的知识,考查利用随机模拟法计算圆周率的方法.设由构成的正方形的面积为S,+<1构成的图形的面积为S',所以,所以π=,故选C.【备注】无11.【答案】A【解析】本题考查双曲线的方程、几何性质及同角三角函数的关系,考查考生综合运用相关知识解决问题的能力及考生的运算求解能力.设F1(-c,0),将x=-c代入双曲线方程,得-=1,所以-1=,所以y=±.因为sin∠MF2F1=,所以tan∠MF2F1=--,所以e2-e-1=0,所以e=.故选A.【备注】无12.【答案】B【解析】本题考查了函数的对称性以及借助图像解决问题的能力.因为f (x )+f (-x )=2,y ==1+ ,所以函数y =f (x )与y =的图像都关于点(0,1)对称,所以x i =0,y i =×2=m ,故选B.【备注】无 13.【答案】【解析】本题考查同角三角函数的关系、正(余)弦定理的应用,对考生的基本运算能力有一定的要求,需要考生能根据条件灵活选择相关公式进行解题.解法一 因为cos A =,cos C =,所以sin A =,sin C =,从而sin B =sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C =+.由正弦定理,得b =.解法二 因为cos A =,cos C =,所以sin A =,sin C =,从而cos B =-cos(A+C )=-cos A cos C+sin A sin C =-+.由正弦定理,得c =.由余弦定理b 2=a 2+c 2- 2ac cos B ,得b = .解法三 因为cos A =,cos C =,所以sin A =,sin C =, 由正弦定理,得c =. 从而b =a cos C+c cos A =. 解法四 如图,作BD ⊥AC 于点D ,由cos C = ,a =BC =1,知CD = ,BD =. 又cos A =,所以tan A =,从而AD =.故b=AD+DC=.【备注】正、余弦定理在解三角形中的基本应用主要体现在以下三种常见问题中:(1)已知两角和其中一个角的对边,求解三角形;(2)已知两边及其中一边所对的角,求解三角形;(3)已知三边求解三角形.本题属于第(1)种,求解时应充分考虑条件的内在联系,直观运用图形,合理选择公式.14.【答案】②③④【解析】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,主要涉及判定定理和性质定理,考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力.对于命题①,可运用长方体举反例证明其错误:如图,不妨设AA'为直线m,CD为直线n,ABCD所在的平面为α,ABC'D'所在的平面为β,显然这些直线和平面满足题目条件,但α⊥β不成立.命题②正确,证明如下:设过直线n的某平面与平面α相交于直线l,则l∥n,由m⊥α知m⊥l,从而m⊥n,结论正确.由平面与平面平行的定义知命题③正确.由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确.【备注】空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是空间立体几何的基石,是进行有关逻辑推理和论证的基础,在学习过程中要认真梳理直线与直线、直线与平面、平面与平面之间平行、垂直的相互转化,会运用长方体模型进行直观观察和判断.15.【答案】1和3【解析】本题考查推理与证明的有关知识,考查考生的推理论证能力.为方便说明,不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A,B,C.从丙出发,由于丙的卡片上的数字之和不是5,则丙只可能是卡片A或B,无论是哪一张,均含有数字1,再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知,乙所拿的卡片必然是C,最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2,知甲所拿的卡片为B,此时丙所拿的卡片为A.【备注】在这类问题中,要善于从所给的诸多信息中抓住问题的关键信息,以此为起点逐一推理分析,直到获得结论.16.【答案】1-ln 2【解析】本题考查导数在研究函数图像(曲线)的切线中的应用及方程思想,对考生的基本运算能力有较高要求.设y=kx+b与y=ln x+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x1,ln x1+2)和(x2,ln(x2+1)).则切线分别为y-ln x1-2=(x-x1),y-ln(x2+1)=(x-x2),化简得y=x+ln x1+1,y=x-+ln(x2+1),依题意,,解得x1=,从而b=ln x1+1=1-ln 2.【备注】无17.【答案】(Ⅰ)设{a n}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{a n}的通项公式为a n=n.b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.(Ⅱ)因为b n=所以数列{b n}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.【解析】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和的求解,考查考生对新定义的理解以及运用能力. (Ⅰ)根据已知条件求出a n,从而可求出b1,b11,b101的值;(Ⅱ)根据b n的特征分类求和.【备注】正确求出{a n}的通项公式是关键,结合取整函数的特点求和是难点,需要考生有较强的运算能力.18.【答案】(Ⅰ)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55. (Ⅱ)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.10+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=.因此所求概率为.(Ⅲ)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.【解析】本题是与现实生活密切联系的实际问题,考查了考生利用概率与统计知识解决实际问题的能力. (Ⅰ)利用互斥事件的概率计算公式求解;(Ⅱ)利用条件概率的计算公式进行求解;(Ⅲ)列出续保人本年度的保费的分布列,求出平均保费,即可得平均保费与基本保费的比值.【备注】概率与统计知识相交汇是高考中比较常见的考查方式,通过对数据的分析与处理,综合考查统计中的相关知识,并设置相应的问题求解对应的概率,是命题者比较青睐的命题方向之一.此类问题的难度不大,但知识点比较多,要注意问题间的联系与区别.19.【答案】(Ⅰ)由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得,故AC∥EF.因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.由AB=5,AC=6得DO=BO==4.由EF∥AC得.所以OH=1,D'H=DH=3.于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D'H⊥平面ABCD.(Ⅱ)如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,则即所以可取m=(4,3,-5).设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,则即所以可取n=(0,-3,1).于是cos<=-,sin<,>=.因此二面角B-D'A-C的正弦值是.【解析】本题是一道图形的翻折试题,考查线面垂直的证明以及二面角的求解,考查考生的空间想象能力以及推理论证能力.(Ⅰ)利用线面垂直的判定定理进行证明;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用向量法求解.【备注】立体几何解答题一般设置两问,第(Ⅰ)问是空间线面位置关系的证明,主要是证明平行和垂直关系,求解这类问题的主要依据是相关的判定定理和性质定理;第(Ⅱ)问是空间角的计算,求解这类问题有两种方法,一种是依据公理、定理以及性质等进行推理论证,作出所求几何量并求解,另一种是建立空间直角坐标系,借助点的坐标求出平面的法向量和直线的方向向量,利用向量知识求解.20.【答案】(Ⅰ)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×.(Ⅱ)由题意知t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2 ·tk2x+t2k2-3t=0.由x1·(-)=得x1=,故|AM|=|x1+|.由题设知,直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立,因此t=.t>3等价于<0,即<0.由此得或解得<k<2.因此k的取值范围是(,2).【解析】本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系,考查考生综合分析、解决问题的能力.(Ⅰ)根据|AM|=|AN|和椭圆的对称性求出k的值,进而可得△AMN的面积;(Ⅱ)根据已知条件求出t和k之间的关系,利用t>3求k的取值范围. 【备注】圆锥曲线试题的计算量较大,对考生的运算能力要求较高,寻求简捷、合理的运算途径显得尤为重要.因此,在解答圆锥曲线的综合问题时应根据圆锥曲线的几何特征,将所求问题代数化,再结合其他知识解答.解题时,要充分利用设而不求法、弦长公式及根与系数的关系等知识,重视函数与方程思想、数形结合思想、对称思想、等价转化思想等的应用.21.【答案】(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞).f'(x)=≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0,所以f (x)在(-∞,-2),(-2,+∞)上单调递增.因此当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=-1.所以(x-2)e x>-(x+2),(x-2)e x+x+2>0.(Ⅱ)g'(x)=(f(x)+a).由(Ⅰ)知,f(x)+a单调递增.对任意的a∈[0,1), f(0)+a=a-1<0, f(2)+a=a≥0.因此,存在唯一x a∈(0,2],使得f(x a)+a=0,即g'(x a)=0.当0<x<x a时, f(x)+a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>x a时,f(x)+a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.因此g(x)在x=x a处取得最小值,最小值为g(x a)=.于是h(a)=,由()'=>0,得单调递增.所以,由x a∈(0,2],得<h(a)=≤.因为单调递增,对任意的λ∈(,],存在唯一的x a∈(0,2],a=-f(x a)∈[0,1),使得h(a)=λ,所以h(a)的值域是(,].综上,当a∈[0,1)时,g(x)有最小值h(a),h(a)的值域是(,].【解析】本题考查了利用导数判断函数的单调性、证明不等式、求函数的最值等,考查考生的计算能力以及借助导数解决问题的能力. (Ⅰ)先求f'(x),然后求f(x)的单调性,从而证明不等式;(Ⅱ)先根据题意求出函数g(x)的最小值h(a),再利用导数求解函数h(a)的值域.【备注】导数作为一种工具,可以处理与函数有关的很多问题,如确定函数的单调性、极值与最值等,往往会和函数的相关知识、不等式的证明等综合,其实质是利用导数判断函数的单调性,再转化为相应的问题进行求解.22.【答案】(Ⅰ)因为DF⊥EC,所以△DEF∽△CDF,则有∠GDF=∠DEF=∠FCB,,所以△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=∠CBF.因此∠CGF+∠CBF=180°,所以B,C,G,F四点共圆.(Ⅱ)由B,C,G,F四点共圆,CG⊥CB知FG⊥FB,连接GB.由G为Rt△DFC斜边CD的中点,知GF=GC,故Rt△BCG≌Rt△BFG,因此,四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍, 即S=2S△GCB=2××1=.【解析】本题考查了四点共圆的条件以及四边形面积的计算,考查考生的推理论证能力和运算求解能力.(Ⅰ)根据四点共圆的判定进行证明;(Ⅱ)利用已知条件将四边形BCGF的面积转化为△BCG面积的2倍即可求解.【备注】解决有关三角形与圆的试题,关键是正确处理角与边之间的关系,通过相应的条件与定理建立有关角之间或边之间的关系式,进而达到求解的目的.解题时要注意深入分析已知条件和待证结论之间的关系,寻找合理的解题思路.23.【答案】(Ⅰ)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0. (Ⅱ)在(Ⅰ)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=.由|AB|=得cos2α=,tan α=±.所以l的斜率为或-.【解析】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化等,考查考生分析问题与解决问题的能力. (Ⅰ)根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,将圆C的直角坐标方程转化为极坐标方程;(Ⅱ)将直线l的参数方程转化为极坐标方程,利用已知条件求解l的斜率.【备注】考生由于对极坐标方程与参数方程比较陌生,因此对极坐标方程与参数方程下的有关问题的解决,通常是转化为直角坐标方程与普通方程进行的24.【答案】(Ⅰ)f(x)=当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;当-<x<时,f(x)<2;当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.【解析】本题考查了绝对值不等式的求解、绝对值不等式的证明及分类讨论的数学思想. (Ⅰ)去绝对值符号,通过解不等式得到不等式的解集;(Ⅱ)结合(Ⅰ),将要证明的不等式两边同时平方并作差,化简即可证明.【备注】理解与掌握绝对值的几何意义、求解绝对值不等式的方法及分段函数的特征是解决此类问题的关键.特别在含有绝对值的函数中,往往通过函数、方程的相关知识,把问题转化为分段函数形式,利用函数的图象,通过数形结合来解决问题.。

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-1，3）C.（1，+∞）D.（-∞，-3）2.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{-1，0，1，2，3}3.已知向量=（1，m），=（3，-2），且（+）⊥，则m=（）A.-8B.-6C.6D.84.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（）A.-B.-C.D.25.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A.24B.18C.12D.96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20πB.24πC.28πD.32π7.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A.x=-（k∈Z）B.x=+（k∈Z）C.x=-（k∈Z）D.x=+（k∈Z）8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A.7B.12C.17D.349.若cos（-α）=，则sin2α=（）A. B. C.- D.-10.从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A. B. C. D.11.已知F1，F2是双曲线E：-=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A. B. C. D.212.已知函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）=（）A.0B.mC.2mD.4m二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ______ ．14.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是 ______ （填序号）15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ______ ．16.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= ______ ．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1000项和．18.某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险0 1 2 3 4 ≥5次数保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险0 1 2 3 4 ≥5次数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点M，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B-D′A-C的正弦值．20.已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．21.（Ⅰ）讨论函数f（x）=e x的单调性，并证明当x＞0时，（x-2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．22.如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．23.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．24.已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）答案和解析【答案】1.A2.C3.D4.A5.B6.C7.B8.C9.D 10.C 11.A 12.B13.14.②③④15.1和316.1-ln217.解：（Ⅰ）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．18.解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元），上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：p1=1-0.30-0.15=0.55．（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率：p2=P（B|A）===．（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：=1.23，∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．19.（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，-3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=-4，z=5．∴．同理可求得平面A D′C的一个法向量，设二面角二面角B-D′A-C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B-D′A-C的正弦值为sinθ=．20.解：（Ⅰ）t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（-2，0），直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，解得x=-2或x=-，则|AM|=•|2-|=•，由AN⊥AM，可得|AN|=•=•，由|AM|=|AN|，k＞0，可得•=•，整理可得（k-1）（4k2-k+4）=0，由4k2-k+4=0无实根，可得k=1，即有△AMN的面积为|AM|2=（•）2=；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，可得（3+tk2）x2+2t k2x+t2k2-3t=0，解得x=-或x=-，即有|AM|=•|-|=•，|AN|═•=•，由2|AM|=|AN|，可得2•=•，整理得t=，由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．21.解：（1）证明：f（x）=f'（x）=e x（）=∵当x∈（-∞，-2）∪（-2，+∞）时，f'（x）＞0∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增∴x＞0时，＞f（0）=-1即（x-2）e x+x+2＞0（2）g'（x）==a∈[0，1]由（1）知，当x＞0时，f（x）=的值域为（-1，+∞），只有一解使得，t∈[0，2]当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；h（a）===记k（t）=，在t∈（0，2]时，k'（t）=＞0，故k（t）单调递增，所以h（a）=k（t）∈（，]．22.（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DFC∽Rt△EDC，∴=，∵DE=DG，CD=BC，∴=，又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG，∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°，∴B，C，G，F四点共圆．（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=．23.解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（-6，0），半径r=5，∴圆心C（-6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．24.解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：-x-x-＜2，解得：x＞-1，∴-1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：-x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：-+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（-1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．【解析】1. 解：z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得-3＜m＜1．故选：A．利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．本题考查复数的几何意义，考查计算能力．2. 解：∵集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：C．先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．3. 解：∵向量=（1，m），=（3，-2），∴+=（4，m-2），又∵（+）⊥，∴12-2（m-2）=0，解得：m=8，故选：D．求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．4. 解：圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y-1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．5. 解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42=6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．故选：B．从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法，利用乘法原理可得结论．本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题6. 解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．7. 解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．利用函数y= A sin（ωx+ φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．本题考查函数yy= A sin（ωx+ φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．8. 解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．9. 解：∵cos（-α）=，∴sin2α=cos（-2α）=cos2（-α）=2cos2（-α）-1=2×-1=-，故选：D．利用诱导公式化sin2α=cos（-2α），再利用二倍角的余弦可得答案．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．10. 解：由题意，，∴π=．故选：C．以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．11.解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论．本题考查双曲线的定义与方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12. 解：函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），即为f（x）+f（-x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（-x2，2-y2）也为交点，…则有（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=[（x1+y1）+（-x1+2-y1）+（x2+y2）+（-x2+2-y2）+…+（x m+y m）+（-x m+2-y m）]=m．故选B．由条件可得f（x）+f（-x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，计算即可得到所求和．本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．13. 解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．14. 解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．15. 解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．16. 解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k==，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b=lnx1+2得出b=1-ln2．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题17.（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b n}的前1000项和．本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．18.（Ⅰ）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率．（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率．（Ⅲ）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、条件概率计算公式的合理运用．19.（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得E F⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B-D′A-C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B-D′A-C的正弦值可求．本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．20.（Ⅰ）求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复合函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，中档题．22.（Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S四边形BCGF=2S△BCG，据此解答．本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．23.（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C 的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．24.（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = （ ）（A ）[]2,3 （B ）(][),23,-∞+∞ （C ）[)3,+∞ （D ）(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由()()230x x --≥解得3x ≥或2x ≤，{}23S x x ∴=≤≥或，所以{}023S T x x x =<≤≥ 或，故选D ． 【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】C【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成1-．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒ 【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC+⋅∠===⨯ ，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 【点评】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有|a ·cos a ba b θ=，·0a b a b ⇔⊥ ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个 【答案】D【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20C ︒的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） （A ）6425（B ）4825（C ）1 （D ）1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． （6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】第一循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二循环，得2,6,4,10,2a b a s n =-====；第三循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=； 退出循环，输出4n =，故选B ．【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在ABC D 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )（A （B （C ）- （D ）-【答案】C【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3B C A D =，所以AC ，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅C ．【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）81 【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+B ．【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立 未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点()FM k a c =-，OE ka =，由~OB E ∆ CBM ∆，得12OE OB FM BC=，即()2ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为1e 3=，故选A ． 【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．（12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有0a =，1a =，则具体的排法列表如下：，故选C ．往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． （1）【2016年上海，理1，4分】设x R ∈,则不等式31x -<的解集为 ． 【答案】()2,4【解析】由题意得:131x -<-<，解得24x <<．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．（2）【2016年上海，理2，4分】设32iiZ +=，期中i 为虚数单位，则Im z = ．【答案】3-【解析】32i23i,Imz 3iz +==-=-．【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用． (3）【2016年上海,理3，4分】已知平行直线12:210,:210l x y l x y +-=++=，则12,l l 的距离 ． 【答案】255【解析】利用两平行线间距离公式得122222|||11|25521c c d a b ---===++． 【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．（4)【2016年上海，理4,4分】某次体检，6位同学的身高（单位：米)分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69,1.77则这组数据的中位数是 （米)． 【答案】1.76【解析】将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69，1.72，1.75，1.77,1.78,1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76．【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意中位数的定义的合理运用． (5）【2016年上海，理5，4分】已知点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数()1f x -= ．【答案】()()2log 11x x ->【解析】将点()3,9带入函数()1x f x a =+的解析式得2a =，所以()12x f x =+，用y 表示x 得()2log 1x y =-，所以()()12log 1f x x -=-．【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （6)【2016年上海，理6，4分】如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于 ． 【答案】22【解析】由题意得111122tan 223332DD DD DBD DD BD ∠==⇒=⇒=． 【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角．（7）【2016年上海，理7,4分】方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为 ． 【答案】566ππ或【解析】化简3sin 1cos2x x =+得：23sin 22sin x x =-，所以22sin 3sin 20x x +-=,解得1sin 2x =或sin 2x =-（舍 去)，所以在区间[]0,2π上的解为566ππ或．【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．(8）【2016年上海,理8，4分】在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于 ．【答案】112【解析】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为2n ，由题意得2256n =，所以8n =，二项式的通项为848331882()(2)r r rr r r r T C C x x --+=-=-，求常数项则令84033r -=，所以2r =，所以3112T =．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质,属于中档题．（9）【2016年上海，理9，4分】已知ABC ∆的三边长分别为3,5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ．【解析】利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为22235712352+-=-⨯⨯，由正弦定理得2R =，所以R ．【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．（10)【2016年上海,理10，4分】设0,0a b >>,若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解,则a b +的取值范围是 ．【答案】()2,+∞【解析】解法1：将方程组中的（1)式化简得1y ax =-，代入（2)式整理得(1)1ab x b -=-,方程组无解应该满足10ab -=且10b -≠，所以1ab =且1b ≠，所以由基本不等式得2a b +>．解法2:∵关于x ，y 的方程11ax y x by +=⎧⎨+=⎩组无解，∴直线1ax y +=与1x by +=平行，∵0a >，0b >，∴1111a b =≠，即1a ≠，1b ≠，且1ab =,则1b a=，则1a b a a +=+,则设()()101f a a a a a =+>≠且， 则函数的导数()222111a f a a a -'=-=，当01a <<时，()2210a f a a-'=<，此时函数为减函数，此时()()12f a f >=，当1a >时，()2210a f a a-'=>,此时函数为增函数，()()12f a f >=，综上()2f a >，即a b +的取值范围是()2,+∞．【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数,求函数的导数,利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．（11）【2016年上海,理11，4分】无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意n N *∈，{}2,3n S ∈，则k 的最大值为 ．【答案】4【解析】解法1：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅，所以最多由4个不同的数组成．解法2：对任意*n N ∈，{}23n S ∈，，可得当1n =时,112a S ==或3；若2n =，由{}223S ∈，，可得数 列的前两项为2，0；或2，1；或3,0;或3，1-；若3n =，由{}323S ∈，，可得数列的前三项为2,0， 0;或2，0，1;或2，1,0；或2，1，1-；或3，0，0；或3，0，1-；或3,1,0;或3，1，1-；若4n =，由{}423S ∈，，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2,0，0，1；或2，0,1，0;或2，0，1,1-；或2，1，0,0;或2，1，0,1-；或2，1，1-，0;或2，1，1-，1；或3，0，0，0；或3， 0，0，1-；或3，0，1-，0；或3，0，1-，1；或3，1-，0,0；或3，1-，0，1；或3，1-，1， 0；或3,1-，1,1-；…即有4n >后一项都为0或1或1-,则k 的最大个数为4，不同的四个数均为 2,0，1，1-,或3，0，1，1-．故答案为:4．【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想,属于中档题．（12）【2016年上海，理12,4分】在平面直角坐标系中,已知()1,0A ，()0,1B -，P 是曲线21y x =-上一个动点,则BP BA ⋅的取值范围是 ． 【答案】0,12⎡⎤+⎣⎦【解析】由题意得知21y x =-表示以原点为圆心，半径为1的上半圆．设()cos ,sin P αα，[]0,α∈π，()1,1BA =，()cos ,sin 1BP =αα+，所以cos sin 12sin 10,124BP BA π⎛⎫⎡⎤⋅=α+α+=α++∈+ ⎪⎣⎦⎝⎭． 【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用．(13)【2016年上海，理13,4分】设[),,0,2a b R c ∈∈π，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,则满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为 ． 【答案】4【解析】解法1：2,3a b =±=±,当,a b 确定时,c 唯一，故有4种组合．解法2：∵对于任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,∴必有2a =,若2a =,则方程等价为()sin 3sin 3x bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数的周期相同，若3b =，此时53C π=,若3b =-，则43C π=，若2a =-，则方程等价为()()sin 3sin sin 3x bx c bx c π⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭，若3b =-，则3C π=,若3b =,则23C π=，综上满足条件的有序实数组(),,a b c 为52,3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，42,3,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,3,3π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，22,3,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭，共有4组．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．（14）【2016年上海，理14，4分】如图,在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心,()11,0A ．任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=,则点P 落在第一象限的概率是 ．【答案】528【解析】共有2828C =种基本事件，其中使点P 落在第一象限共有2325C +=种基本事件,故概率为528．【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键,是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．(15)【2016年上海,理15，5分】设a R ∈，则“1a >”是“21a >"的（ ）（A ）充分非必要条件 (B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，故选A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．(16）【2016年上海，理16，5分】下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（ ）（A ）65cos ρθ=+ （B ）65sin ρθ=+ (C)65cos ρθ=- （D ）65sin ρθ=- 【答案】D【解析】依次取30,,,22ππθπ=，结合图形可知只有65sin ρθ=-满足，故选D ．【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （17）【2016年上海，理17,5分】已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ,且lim n n S S →∞=．下列条件中，使得()2n S S n N *<∈恒成立的是（ ）(A ）10,0.60.7a q ><< (B ）10,0.70.6a q <-<<- （C)10,0.70.6a q <-<<- （D ）10,0.80.7a q <-<<- 【答案】B【解析】解法1：由题意得:11112,(0|q |1)11n q a a q q -<<<--对一切正整数恒成立，当10a >时12n q >不恒成立，舍去；当10a <时21122n q q <⇒<，故选B ．解法2：∵()111n n a q S q -=-，1lim 1n n aS S q→∞==-，11q -<<，2n S S <，∴()1210n a q ->，若10a >,则12n q >,故A 与C 不可能成立;若10a <，则12n q <，故B 成立，D 不成立．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． (18）【2016年上海，理18,5分】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ )（A ）①和②均为真命题 (B ）①和②均为假命题（C ）①为真命题，②为假命题 （D ）①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】解法1：因为[()g(x)][()(x)][g()(x)]()2f x f x h x h f x +++-+=必为周期为π的函数，所以②正确；增函数减增函数不一定为增函数，因此①不一定,故选D ．解法2：①不成立．可举反例：()2,13,1x x f x x x ≤⎧=⎨-+>⎩．()23,03,012,1x x g x x x x x +≤⎧⎪=-+<<⎨⎪≥⎩，(),02,0x x h x x x -≤⎧=⎨>⎩．②∵()()()()f x g x f x T g x T +=+++，()()()()f x h x f x T h x T +=+++()()()()h x g x h x T g x T +=+++，前两式作差可得：()()()()g x h x g x T h x T -=+-+，结合第三式可得:()()g x g x T =+，()()h x h x T =+,同理可得:()()f x f x T =+，因此②正确．【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． （19）【2016年上海，理19，12分】将边长为1的正方形11AA O O （及其内部)绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π,11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧．（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2)求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．解：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．由11A B 的长为3π，可知1113AO B π∠=． 111111111113sin 24A O B S O A O B AO B ∆=⋅⋅∠=，111111C 13V 312O A B O A B S h -∆=⋅=． （2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ,则11//BB AA ,所以1CB B ∠或其补角为直线1B C 与1AA 所成的角．由AC 长为23π,可知23AOC π∠=，又1113AOB AO B π∠=∠=，所以3COB π∠=, 从而COB ∆为等边三角形，得1CB =．因为1B B ⊥平面AOC ，所以1B B CB ⊥．在1CB B ∆中，因为12B BC π∠=，1CB =，11B B =，所以14CB B π∠=，从而直线1B C 与1AA 所成的角的大小为4π． 【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．（20）【2016年上海，理20，14分】有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P=，Q=，则P=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则A. B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是.10.已知，则A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.12.已知，若，则a=，b=.13.设数列的前n，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.15.已知向量a，b，|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e，均有|a·e|+|b·e|，则a·b的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B += （Ⅰ）证明：2A B =（Ⅱ）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小.17.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，已知平面BCFE 平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF EC ===，2BC =，3AC =，（Ⅰ）求证：ACFD BF ⊥平面 （Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.18. （本题满分15分）设3a ≥，函数2()min{2|1|,242}F x x x ax a =--+-,其中（Ⅰ）求使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围 （Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a（ii ）求()F x 在[0,6]上的最大值()M a19.（本题满分15分）如图，设椭圆C:2221(1)x y a a+=>（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a,k 表示） （Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.20、（本题满分15分）设数列满足1||12n n a a +-≤，（Ⅰ）求证：11||2(||2)(*)n n a a n N -≥-∈（Ⅱ）若3||()2n n a ≤，*n N ∈，证明：||2n a ≤，*n N ∈.2016年高考浙江卷数学（理）试题答案及解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}213,4,P x x Q x x=∈≤≤=∈≥R R则()P Q⋃=RA．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】根据补集的运算得{}[](]24(2,2),()(2,2)1,32,3=<=-∴=-=-R RQ x x P Q．故选B．2. 已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m，n满足,m nαβ∥⊥，则A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【答案】C3. 在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域20340xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=A．22B．4 C．32D．6【答案】C【解析】如图∆PQR为线性区域，区域内的点在直线20x y+-=上的投影构成了线段''R Q，即AB，而''=R Q PQ，由340-+=⎧⎨+=⎩x yx y得(1,1)-Q，由2=⎧⎨+=⎩xx y得(2,2)-R，22(12)(12)32==--++=AB QR．故选C．4. 命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的定义形式是A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 5. 设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B6. 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．2{}nS 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}nd 是等差数列 【答案】A【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．7. 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【解析】由题意知2211-=+m n ，即222=+m n ，2221222221111()(1)(1)-+=⋅=-+m n e e m n m n，代入222=+m n ，得212,()1>>m n e e ．故选A ． 8. 已知实数a ，b ，cA ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 【答案】D二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. 若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=10. 已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________． 【答案】2 1【解析】22cos sin 22sin(2)14x x x π+=++，所以2, 1.A b == 11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯= 12. 已知a >b >1.若log a b +log b a =52，a b =b a ，则a = ，b = .【答案】4 2【解析】设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==13.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= . 【答案】1 12114. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】12【解析】ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=， 所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以3AC =设AD x =，则023t <<23DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅2234x x =-+.故2234BD x x =-+在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅，所以30BPD ∠=.EDCBAP过P 作直线BD的垂线，垂足为O .设PO d =则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 即2112342sin 3022x x d x -+⨯=⋅， 解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 30(23)222S CD BC BCD x x =⋅∠=-⋅=-. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-⋅-+ 21(23)6234x x x x -=-+.设22234(3)1t x x x =-+=-+，因为023x ≤≤，所以12t ≤≤.则2|3|1x t -=-.（2323x <≤2|331x x t ==- 故231x t =-此时，221(31)[23(31)]6t t V t+--+-=21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 15. 已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤6 ,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B. （I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.【试题分析】（I ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得()sin sin B =A-B ，再判断A-B 的取值范围，进而可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得sinC cos =B ，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．（II ）由24a S =得21sin C 24a ab =，故有1sin sin C sin 2sin cos 2B =B =B B ，因sin 0B ≠，得sinC cos =B ．又B ，()C 0,π∈，所以C 2π=±B ．当C 2πB +=时，2πA =； 当C 2π-B =时，4πA =．综上，2πA =或4πA =．17. (本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【试题分析】（I ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（II ）方法一：先找二面角D F B-A -的平面角，再在Rt QF ∆B 中计算，即可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值．（II ）方法一：过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ． 所以，QF ∠B 是二面角D F B-A -的平面角．在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得313FQ =． 在Rt QF ∆B 中，313FQ =，F 3B =，得3cos QF ∠B =． 所以，二面角D F B-A -的平面角的余弦值为34．18. （本小题15分）已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，其中min{p，q}=,>p p qq p q.≤⎧⎨⎩，，（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.【试题分析】（I）分别对1x≤和1x>两种情况讨论()F x，进而可得使得等式()2F242x x ax a=-+-成立的x的取值范围；（II）（i）先求函数()21f x x=-，()2242g x x ax a=-+-的最小值，再根据()F x的定义可得()F x的最小值()m a；（ii）分别对02x≤≤和26x≤≤两种情况讨论()F x的最大值，进而可得()F x在区间[]0,6上的最大值()aM．（II）（i）设函数()21f x x=-，()2242g x x ax a=-+-，则()()min10f x f==，()()2min42g x g a a a==-+-，所以，由()F x的定义知()()(){}min1,m a f g a=，即()20,32242,22am aa a a⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩（ii）当02x≤≤时，()()()(){}()F max0,22F2x f x f f≤≤==，当26x≤≤时，()()()(){}{}()(){}F max2,6max2,348max F2,F6x g x g g a≤≤=-=．所以，()348,342,4a aaa-≤<⎧M=⎨≥⎩．19. （本题满分15分）如图，设椭圆2221xya+=（a＞1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【试题解析】（I）设直线1y kx=+被椭圆截得的线段为AP，由22211y kxxya=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k x a kx++=，故1x=，222221a kxa k=-+．因此22212222111a kk x ka kAP=+-=++（II）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足QAP=A．记直线AP，QA的斜率分别为1k，2k，且1k，2k>，12k k≠．20.（本题满分15分）设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【试题分析】（I ）先利用三角形不等式得1112n n a a +-≤，变形为111222n n n n n a a ++-≤，再用累加法可得1122n n a a -<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）可得11222n m n m n a a --<，进而可得3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭，再利用m 的任意性可证2n a ≤．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，1121112122222222n m n n n n m m n m n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<， 故11222m nn n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭ 11132222m n n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3224mn ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．从而对于任意m n >，均有。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅲ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x ＞0}，则S∩T ＝A.[2，3]B.(－∞，2]∪[3，＋∞)C.[3，＋∞)D.(0，2]∪[3，＋∞)（2）若z ＝1＋2i ，则4i z ¯z －1＝ A.1 B.－1 C.i D.－i（3）已知向量−→BA ＝(12，22)，−→BC ＝(32，12)，则∠ABC ＝ A.30° B.45° C.60° D.120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平 均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A 点表示十月的平均最高气温约为15°C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5°C ．下面叙述不正确的是A.各月的平均最低气温都在0°C 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均气温高于20°C 的月份有5个（5）若tanα＝34，则cos 2 α＋2sin2α＝A.6425B.4825C.1D.1625（6）已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则A.b ＜a ＜cB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b(7)执行右面的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n ＝A.3B.4C.5D.6（8）在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = A.31010 B.1010 C.－1010 D.－31010（9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A.18＋36 5B.54＋18 5C.90D.81（10）在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是A.4πB.9π2C.6πD.32π3（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C : x 2 a 2＋ y 2 b2＝1(a ＞b ＞0)左焦点，A 、B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A.13B.12C.23D.34（12）定义“规范01数列”{a n }如下，{a n }共有2m 项，其中m 为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有A.18个B.16个C.14个D.12个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x －2y≤0x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____________. （14）函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sinx ＋3cosx 图像至少向右平移_______个单位长度得到。

2016全国高考数学试题及答案【篇一：2016年高考全国卷(一)理科数学试题及答案】>试题类型：a2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合a?{x|x?4x?3?0}，b?{x|2x?3?0}，则a?b? 23333(?3,?)(1,)(,3)(?3,)2（b）2（c）2（d）2（a）（2）设(1?i)x?1?yi，其中x，y是实数，则x?yi=（a）1（bcd）2（3）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（a）100（b）99（c）98（d）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（a）1123（b）（c）（d） 3234x2y2??1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（5）已知方程22m?n3m?n（a）(–1,3) （b）(–3) （c）(0,3) （d）3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（a）（b）（c）（d）0?c?1，则（8）若a?b?1，（a）ac?bc（b）abc?bac（c）alogbc?blogac（d）logac?logbc（9）执行右面的程序图，如果输入的x?0，y?1，n?1，则输出x，y的值满足（a）y?2x（b）y?3x（c）y?4x（d）y?5x(10)以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a、b两点，交c的标准线于d、e两点.已知|ab|=|de|=则c的焦点到准线的距离为(a)2(b)4(c)6(d)8(11)平面a过正方体abcd-a1b1c1d1的顶点a，a//平面cb1d1，a?平面abcd=m，a?平面aba1b1=n，则m、n所成角的正弦值为1b)(d) 32?12.已知函数f(x)?sin(?x+?)(??0?2),x???4为f(x)的零点，x??4为y?f(x)图像的对称轴，且f(x)在???5???单调，则?的最大值为 1836??（a）11 （b）9 （c）7 （d）5第ii卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=__________.(14)(2x5的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案）满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为____________。

2016年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2016年北京，理1，5分】已知集合{}|2A x x =<<，{}1,0,1,2,3=-，则A B =I （ ）（A ）{}0,1 （B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D ）{}1,0,1,2-【答案】C【解析】集合{}22A x x =-<<，集合{}1,0,1,2,3B x =-，所以{}1,0,1A B =-I ，故选C ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．（2）【2016年北京，理2，5分】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x y +的最大值为（ ）（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5【答案】C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=，故选C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程1,2()2x +y =02x-y=0x =0x +y =3序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =，故选B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．（4）【2016年北京，理4，5分】设a r ，b r 是向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r 表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b-r r r r 不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b r r 不一定成立，从而不是必要条件，故选D ．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“a b =r r ”与“a b a b +=-r r r r ”表示的几何意义，是解答的关键．（5）【2016年北京，理5，5分】已知x y ∈R ，，且0x y >>，则（ ）（A ）110x y -> （B ）sin sin 0x y ->_ （C ）11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （D ）ln ln 0x y +>【答案】C【解析】A ．考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y-<所以A 错； B ．考查的 是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C ．考查的是指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错，故选C ．【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（6）【2016年北京，理6，5分】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）（A ）16 （B ）13（C ）12 （D ）1【答案】A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==，故选A ．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．（7）【2016年北京，理7，5分】将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的点,4P t π⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移()0s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）（A ）12t =，s 的最小值为6π （B ）3t =，s 的最小值为6π （C ）12t =，s 的最小值为3π （D ）3t ，s 的最小值为3π 【答案】A 【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6，故选A ．【点评】本题考查的知识点是函数()()sin 0,0y x A ωϕω=+>>的图象和性质，难度中档．（8）【2016年北京，理8，5分】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故选B ．【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题．二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合 ，则（ ）()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=>S T =（A ） （B ） （C ）（D ）[]2,3(][),23,-∞+∞ [)3,+∞(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由解得或，，所以，故选()()230x x --≥3x ≥2x ≤{}23S x x ∴=≤≥或{}023S T x x x =<≤≥ 或D ．【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若，则（ ）i 12z =+4i1zz =-（A ）1 （B ） （C ） （D ）1-i i -【答案】C【解析】，故选C ．4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多i 项式的乘法相类似，只是在结果中把换成．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减2i 1-法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量，，则（ ）1(2BA =u u v 1)2BC =u u u v ABC ∠=（A ） （B ） （C ） （D ）30︒45︒60︒120︒【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A ．cos BA BC ABC BA BC⋅∠=== 30ABC ∠=︒【点评】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值a b ·cos a b a b θ或θa b 范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，因此，0180θ︒≤≤︒|a ·cos a ba bθ=·0a b a b ⇔⊥ 或利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为A ，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（ ）15C ︒B 5C ︒（A ）各月的平均最低气温都在以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 0C ︒（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于的月份有5个20C ︒【答案】D【解析】由图可知均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在以上，A 正确；由图0C ︒0C ︒可在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均7.5C ︒7.5C ︒温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，5C ︒C 正确；由图可知平均最高气温高于的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．20C ︒【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若，则（）3tan4α=2cos2sin2αα+=（A）（B）（C）1 （D）642548251625【答案】A【解析】由，得或，所以，3tan4α=34sin,cos55αα==34sin,cos55αα=-=-2161264cos2sin24252525αα+=+⨯=故选A．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．（6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知，，，则（）432a=254b=1325c=（A）（B）（C）（D）b a c<<a b c<<b c a<<c a b<<【答案】A【解析】因为，，所以，故选A．422335244a b==>=1223332554c a==>=b a c<<【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的46a b==或（）n=（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B【解析】第一循环，得；第二循环，得；2,4,6,6,1a b a s n=====2,6,4,10,2a b a s n=-====第三循环，得；第四循环，得2,4,6,16,3a b a s n=====；2,6,4,2016,4a b a s n=-===>=退出循环，输出，故选B．4n=【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在中，，边上的高等于，则 ( )ABCDπ4B=BC13BC cos A=（A（B（C）（D）--【答案】C【解析】设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，BC AD3BC AD=AC==AB=知，故选C．222cos2AB AC BCAAB AC+-===⋅【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）（B）（C）90 （D）8118+54+【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积B．2362332354S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，111ABC A B C -V AB BC ⊥，，，则的最大值是（ ）6AB =8BC =13AA =V （A ） （B ） （C ） （D ）4π92π6π323π【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半V R 径取得最大值，此时球的体积为，故选B ．32334439(3322R πππ==【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分O F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A B 别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于C P C PF x ⊥A l PF M y 点．若直线经过的中点，则的离心率为（ ）E BM OE C （A ） （B ） （C ） （D ）13122334【答案】A【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由l ()y k x a =+x c =-0x =()FM k a c =-OE ka=~OBE ∆，得，即，整理得，所以椭圆离心率为，故选A ．CBM ∆12OE OB FM BC=()2ka ak a c a c=-+13c a =1e 3=【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立,a c e 的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．,,a b c ba e e （12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为{}n a {}n a 2m m m 1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“规范01数列”共有（2k m ≤12,,,k a a a 4m =）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：，故选C ．10a =81a =011101101111001101011001110100110101100101010101【点评】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（III卷）2016.6理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合S { x | (x 2)( x 3) 0}，T { x | x 0} ，则S∩T =A. [2,3]B. ( ,2] [3, )C. [3, )D. (0,2] [3, )2. 若z 1 2i，则4i zz1A. 1B. -1C. iD. -i1 3 3 13. 已知向量BA ( , )，BC ( , ) ，则∠ABC =2 2 2 2A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中 A 点表示十月的平均最高气温约15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃。

下面叙述不正确的是A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有 5 个325. cos 2sin 2若tan ，则4A. 6425B.4825C. 1D. 16 254 2 16. 已知 3 5 3a 2 ，b 4 ，c 25 ，则A. b < a < cB. a < b < cC. b < c < aD. c < a < b7. 执行右面的程序框图，如果输入的 a = 4，b = 6，那么输出的n =A. 3B. 4C. 5D. 68. 在△ABC 中， B ，BC 边上的高等于4 13BC，则sinA =A.310B.1010C.55D.31010理科数学第 1 页（共 4 页）9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A. 18 36 5B. 54 18 5C. 90D. 8110. 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若AB⊥BC，AB = 6，BC = 8，AA1 = 3，则V的最大值是A. 4B. 9 2C. 6D. 32 32 2x y11. 已知O为坐标原点， F 是椭圆C：1(a b 1)2 2a b的左焦点，A、B 分别为C 的左、右顶点。