2020_2021学年新教材高中数学立体几何初步11.1空间几何体11.1.3多面体与棱柱学案

第十一章立体几何初步11.1 空间几何体1．1.1空间几何体与斜二测画法必备知识基础练进阶训练第一层知识点一平面图形的直观图.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于()．45°B．135°．90°D．45°或135°．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的()．下列命题中正确的个数是()水平放置的角的直观图一定是角；相等的角在直观图中仍然相等；相等的线段在直观图中仍然相等；若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．．1B．2．3D．4知识点二空间几何体的直观图.用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图．．用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)知识点三直观图的有关计算．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是().12B.22.2D．2 2．已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为().34a2B.38a2.68a2D.616a2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm，则原图形是()．正方形B．矩形．菱形D．一般的平行四边形关键能力综合练进阶训练第二层、选择题．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形．正方形的直观图为平行四边形．梯形的直观图不是梯形．正三角形的直观图一定为等腰三角形．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为()．16B．64．16或64D．无法确定．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD 中，最长的线段是()．AB B．AD．BC D．AC．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()．(易错题)水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝3 2，那么原△ABC是一个()．等边三角形．直角三角形．三边中只有两边相等的等腰三角形．三边互不相等的三角形．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()．2B．4．22D．4 2、填空题．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．．如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为________(填具体形状)，其面积为________cm2.、解答题0．(探究题)一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为3cm，圆锥的高为3cm，画出此机器部件的直观图．学科素养升级练进阶训练第三层．(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中()．AB与AC相等．AD的长度大于AC的长度．AB的长度大于AD的长度．BC的长度大于AD的长度．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．．(学科素养——直观想象)如图，在斜二测画法下，四边形A′B′C′D′是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是多少？第十一章立体几何初步11.1空间几何体11．1.1空间几何体与斜二测画法必备知识基础练．答案：D析：因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，所以∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.．答案：C析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2：1.．答案：B析：水平放置的平面图形不会改变形状，①正确；不一定，正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，②错；因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以③错；平行性不会改变，所以④正确．．解析：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝32cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．．解析：画法：1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ，以点N ′为中点，画出B ′C ′平行于x ′轴，并且长度等于BC ，再以M ′为中点，画出E ′F ′平行于x ′轴，并且长度等于EF ；③连接A ′B ′，C ′D ′，D ′E ′，F ′A ′得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.2)画出正六棱锥P -ABCDEF 的顶点，在z ′轴正半轴上截取点P ′，点P ′异于点O ′.3)成图．连接P ′A ′，P ′B ′，P ′C ′，P ′D ′，P ′E ′，P ′F ′，并擦去x ′轴、y ′轴和z ′轴，便可得到六棱锥P -ABCDEF 的直观图P ′-A ′B ′C ′D ′E ′F ′，如图(3)． ．答案：C析：直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为12，又直观图与原平面图形面积比为2：4，所以原图形的面积为2，故选C.．答案：D析：法一 建立如图①所示的平面直角坐标系xOy .图②所示，建立坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，由直观图画法，知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .过点C ′作C ′D ′⊥O ′x ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以△A ′B ′C ′的面积是S ＝12·A ′B ′·C ′D ′＝12·a ·68a ＝616a 2. 二 S △ABC ＝34a 2，而S △A ′B ′C ′S △ABC ＝24，所以S △A ′B ′C ′＝24S △ABC ＝24×34a 2＝616a 2. ．答案：C析：如图，在原图形OABC中，有OD＝2O′D′＝2×2 242(cm)，D＝C′D′＝2 cm，以OC＝OD2＋CD2(42)2＋22＝6(cm)，以OA＝OC＝BC＝AB，四边形OABC是菱形．关键能力综合练．答案：B析：由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，因此答案为B.．答案：C析：等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.．答案：D析：还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．．答案：C析：可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．．答案：A析：由△ABC的直观图，知在原△ABC中，AO⊥BC.A′O′＝32，∴AO＝ 3.B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，△ABC为等边三角形．．答案：D析：设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝22S直观图，所以12×OB×h＝22×12×2×O′B′.又OB＝O′B′，所以h＝4 2.．答案：2.5析：由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.．答案：2 2析：画出直观图，则B′到x′轴的距离为22·12OA＝24OA＝22.．答案：矩形8析：由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2)．0．解析：(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.2)画圆柱的两底面．在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3 cm.3)画圆锥的顶点．在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.4)成图．连接A′A，B′B，P A′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.学科素养升级练．答案：AC析：由直观图易知A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在△ABC中有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则AB与AC相等，且长度都大于AD的长度，但BC与AD的长度大小不确定，故选A，C.．答案：8 cm析：由题意正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O′B′＝ 2 cm，对应原图形平行四边形OABC的高为2 2 cm，以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝(22)2＋12＝3 cm，原图形的周长为：2×(1＋3)＝8(cm)．．解析：如图(1)作D′E′⊥A′B′于E′，′F′⊥A′B′于F′，则A′E′＝B′F′＝A′D′·cos 45°＝1，C′D′＝E′F′＝3.原图复原如图(2)，则原四边形应为直角梯形，A＝90°，AB＝5，CD＝3，AD＝22，S四边形ABCD＝12×(5＋3)×22＝8 2.- 11 -。

新教材高中数学：11.1.4 棱锥与棱台学习目标核心素养1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点) 2．掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．(难点)3．知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题．(重点、难点)1.通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算的核心素养.我们见到的很多建筑物呈棱锥形状．思考：观察棱锥的结构，你能给出一个几何体是棱锥的充要条件吗？1．棱锥(1)棱锥的定义、分类、图形及表示棱锥图形及表示定义如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥相关概念底面(底)：是多边形的那个面；侧面：有公共顶点的各三角形；侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点；高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)；侧面积：所有侧面的面积之和如图棱锥可记作：棱锥S­ABCD或棱锥S­AC分类①依据：底面多边形的边数；②举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……(2)正棱锥的有关概念及其特征如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高．2．棱台(1)棱台的定义、分类、图形及表示棱台图形及表示定义一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台如图棱台可记作：棱台ABCD­A′B′C′D′相关概念上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点；高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)；侧面积：所有侧面的面积之和分类①依据：由几棱锥截得；②举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……(2)正棱台的有关概念及其特征由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥．( ) (2)棱台的侧棱长都相等．( ) (3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．下面四个几何体中，是棱台的是( )A B C DC [棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C 正确．] 3．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为( ) A ．三棱锥的四个面是三角形B ．棱锥都是有两个面互相平行的多边形C ．棱锥的侧面都是三角形D ．棱锥的侧棱相交于一点B [根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B 错．]4．已知正四棱锥的底面边长是2，高为7，则这个正四棱锥的全面积是________． 82＋4 [如图所示，由题意，得AO ＝7，OB ＝1，则AB ＝AO 2＋OB 2＝22，又QR ＝2，所以S △AQR ＝22×2×12＝22，则这个正四棱锥的全面积为22×4＋2×2＝82＋4.]棱锥的结构特征【例1】[解]不一定．如图①所示，将正方体ABCD­A1B1C1D1截去两个三棱锥A­A1B1D1和C­B1C1D1，得如图②所示的几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．棱锥的三个本质特征(1)有一个面是多边形．(2)其余各面是三角形．(3)这些三角形有一个公共顶点．[跟进训练]1．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台B[②显然是棱锥．]棱台的结构特征【例2(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱台的各侧棱延长后必交于一点；(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．(2)(3)[(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；(4)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．]棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[跟进训练]2．判断图中的几何体是不是棱台？并说明为什么？[解]对于(1)(3)，几何体的“侧棱”不相交于一点，不是棱台；对于(4)，几何体不是由平行于棱锥底面的平面截得的几何体，从而(4)不是棱台；对于(2)，符合棱台的定义．几何体的计算问题[探究问题]1．计算正三棱锥中底面边长、斜高、高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？[提示] 常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形；②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？ [提示] 是．3．正棱台中的计算呢？[提示] 根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解． 【例3】 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为23，求正三棱锥的高．[思路探究] 正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解．[解] 作出正三棱锥如图，SO 为其高，连接AO ，作OD ⊥AB 于点D ，则点D 为AB 的中点．在Rt△ADO 中，AD ＝32，∠OAD ＝30°， 故AO ＝32cos∠OAD＝ 3.在Rt△SAO 中，SA ＝23，AO ＝3， 故SO ＝SA 2－AO 2＝3，其高为3.1．将本例中“侧棱长为23”，改为“斜高为23”，则结论如何？[解] 连接SD (图略)，在Rt△SDO 中，SD ＝23，DO ＝12AO ＝32，故SO ＝SD 2－DO 2＝12－34＝352.2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？[解] 如图正四棱锥S ­ABCD 中，SO 为高，连接OC ．则△SOC 是直角三角形，由题意BC＝3，则OC ＝322，又因为SC ＝23，则SO ＝SC 2－OC 2＝12－92＝152＝302.故其高为302.正棱锥、正棱台中的计算技巧(1)正棱锥中的直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO ，底面为正方形，作PE ⊥CD 于E ，则PE 为斜高．①斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC ． ②斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE . ③侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC ． (2)正棱台中的直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O 1，O 分别为上、下底面中心，作O 1E 1⊥B 1C 1于E 1，OE ⊥BC 于E ，则E 1E 为斜高，①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E 1ECC 1. ②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O 1E 1EO . ③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O 1OCC 1.知识：1．棱柱、棱台、棱锥关系图2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较几何体结构棱柱棱锥棱台底面全等的多边形多边形相似的多边形侧面平行四边形三角形梯形侧棱平行且相等相交于顶点延长线交于一点平行于底面的截面与两个底面全等的多边形与底面相似的多边形与两个底面相似的多边形过不相邻两侧棱的截面平行四边形三角形梯形方法：棱锥、棱台中的计算问题的处理方法(1)求解此类问题的关键有两点：一是转化思想的应用；二是构造直角三角形、直角梯形．立体几何问题的求解一般都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法进行求解．(2)正棱锥、正棱台的侧面积和表面积问题，经常涉及侧棱、高、斜高、底面边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系，即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形、直角梯形或由高、斜高、底面边心距所组成的直角三角形、直角梯形求出所需要的量，从而使问题得以解决.1．在三棱锥A­BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D[在三棱锥A­BCD中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个．]2．下列说法正确的是( )A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥D．底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥D[对于A，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故A说法错误；对于B ，不能保证底面为正多边形，故B 说法错误；对于C ，不能保证这些全等的等腰三角形的腰都作为侧棱，故C 说法错误．只有D 说法正确．]3．如图，在三棱台A ′B ′C ′­ABC 中，截去三棱锥A ′­ABC ，则剩余部分是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台B [剩余几何体为四棱锥A ′­BCC ′B ′.]4．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________． 48 [正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48.]5．画一个三棱台，再把它分成： (1)一个三棱柱和另一个多面体； (2)三个三棱锥，并用字母表示． [解] 画三棱台一定要利用三棱锥．① ②(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A ′B ′C ′­AB ″C ″，另一个多面体是C ′B ′BCC ″B ″. (2)如图②所示，三个三棱锥分别是A ′­ABC ，B ′­A ′BC ，C ′­A ′B ′C ．。

1.1.2 构成空间几何体的基本元素.若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系用符号可以记作________．．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α..若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()．平行B．异面．相交D．平行、相交或异面．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；.下列命题中正确的个数是()如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.．0B．1．2D．3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是()．平行B．相交．平行或相交D．垂直知识点四直线与平面垂直.下列说法中，正确的有()如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．．0个B．1个．2个D．3个．以下四个命题中，正确的命题有()在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交．．③④B．②③④．②④D．①④．如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，则直线MA与平面ABC的关系为________；点M到平面ABC的距离为________．关键能力综合练进阶训练第二层、选择题．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是()．l⊂αB．l∉α．l∩α＝A D．l∩α＝B．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()．2对B．3对．6对D．12对．两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点．中正确的个数是()．1B．2．3D．4．直线c、d与异面直线a、b都相交，则c、d的位置关系是()．平行B．相交．异面D．相交于一点或异面．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()．α内的所有直线均与a异面．α内不存在与a平行的直线．α内的直线均与a相交．直线a与平面α有公共点．(易错题)与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是() ．都平行．都相交．在两个平面内．至少与其中一个平面平行、填空题．若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．．在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．．如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号)．不可能只有两条交线；必相交于一点；必相交于一条直线；必相交于三条平行线．、解答题0．(探究题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系；2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；4)平面ABCD与平面CDD1C1的位置关系．学科素养升级练进阶训练第三层．(多选)若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线可能的位置关系为()．平行B．异面．相交D．垂直．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，且AD＝2，则直线AB到平面A1B1C1的距离是________．．(学科素养——直观想象)如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是C1D1，BB1的中点，画出图1，图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．1图211．1.2构成空间几何体的基本元素必备知识基础练．答案：A∈b，b⊂β，A∈β．解析：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①；2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②；3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.．答案：D析：可借助长方体来判断．图，在长方体ABCD -A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．．答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面析：(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，A1B∥D1C.2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．．答案：B析：如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确．故选B.．答案：C析：根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系．如图所示．．答案：B析：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条；而④，也有可能相交，所以错误．．答案：A析：当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．．答案：垂直 3析：由射影的定义知，MA⊥平面ABC，由勾股定理，得MA＝3，所以点M到平面ABC的距离为MA＝3.关键能力综合练．答案：A析：∵l∩a＝A又a⊂α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l⊂α.．答案：C析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.．答案：B析：①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确．．答案：D析：已知直线a与b是异面直线，设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A，B，C，D，点B与点C重合时，两条直线c与d相交，当点B与点D不重合时，两条直线c与d异面．．答案：D析：若直线a不平行于平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确．．答案：D析：一条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与其中一个平面平行．．答案：相交析：∵点A∈α，B∉α，C∉α，平面ABC与平面α有公共点，且不重合，平面ABC与平面α的位置关系是相交．．答案：8析：以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．．答案：①析：空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点．0．解析：(1)AM所在的直线与CN所在的直线异面；2)CN所在的直线与平面ABCD相交；3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；4)平面ABCD与平面CDD1C1相交．学科素养升级练．答案：ABCD析：平面α、β相交于直线l，如图所示，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，此时a∥b；a⊂α，c⊂β，a、c异面；c⊂β，d⊂α，c、d相交；a⊂α，c⊂β，c⊥α，a与c垂直．以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交，也可能垂直．．答案：2析：如图，取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC.各棱长为a，则AE＝32a，DE＝12a.侧棱垂直于底面，∴DE⊥平面ABC, DE⊥AE，AE2＋DE2＝AD2＝22，∴a＝2.BB1⊥平面A1B1C1，直线AB到平面A1B1C1的距离是BB1＝2DE＝a＝2.．解析：在图1中，设N为CD的中点，连接NE，NB，则EN∥BF，∴B，N，E，F四点共面．∴EF与NB的延长线相交，设交点为M，连接AM.∵M∈EF，且M∈NB，EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，∴M是平面ABCD与平面AEF的公共点，又∵点A是平面ABCD和平面AEF的公共点，∴AM为两平面的交线．图2中，延长DC到点M，使CM＝DC，连接BM，C1M，则C1M∥D1C∥A1B，∴M在平面A1BC1内．∵M在平面ABCD内，∴M是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，又B是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，∴BM是平面A1BC1与平面ABCD的交线．1图2。

单元综合测试三（第十一章)时间：120分钟分值:150分第Ⅰ卷(选择题,共60分）一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．垂直于同一条直线的两条直线一定( D ）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能解析：两条直线同时垂直于同一条直线,这两条直线可能平行、相交、异面．2．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB ＝BC＝2BB1＝2，AC＝2错误!，则异面直线BD与AC所成的角为（ C )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：如图,取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝错误!，所以∠BDE＝60°。

3．下列说法正确的是( D ）①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内．A．①③B．②③C．②③④D．④解析:过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β,a⊥α，则a⊂β或a∥β，所以②不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个，所以③也不对．4．如图，在斜三棱柱ABC。

A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ A ）A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵BC1⊥AC，BA⊥AC,BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．5．已知PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是( C ）A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD解析：如图所示，由于PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥BD（即D正确）,BC⊥PA，BC⊥BA，而PA∩AB ＝A，所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB(即A正确)．同理PD⊥CD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确．6．三个球的半径之比为123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( C )A．1倍B．2倍C.错误!倍D。

多面体与棱柱1.四棱柱有几条侧棱,几个顶点()A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点2.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个3.如图所示是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为()A.6B.7C.8D.94.如图是一个正方体的表面展开图,若图中“努”在正方体的后面,那么这个正方体的前面是()A.定B.有C.收D.获5.用一个平面去截一个正方体,截面边数最多是 .6.现有两个完全相同的长方体,它们的长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm,现将它们组合成一个新的长方体,这个新长方体的体对角线的长是多少?能力提升1.如图正方体的棱长为1,在面对角线A 1B 上存在一点P 使得|AP|+|D 1P|取得最小值,则最小值为( )A.2B.√2+√62C.2+√2D.√2+√22.设M 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角面BDD 1B 1(含边界)内的点,若点M 到平面ABC 、平面ABA 1、平面ADA 1的距离都相等,则符合条件的点M ( )A.仅有一个B.有两个C.有无限多个D.不存在3.如图所示,正方体棱长为3 cm,在每个面正中央有个入口为正方形的孔道通到对面,孔的入口正方形边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体各棱.则所得几何体的总表面积为( )A.54 cm 2B.76 cm 2C.72 cm 2D.84 cm 24.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=BC=√2,BB 1=2,∠ABC=90°,E,F 分别为AA 1,C 1B 1的中点,沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为( )A.√22B.√2C.3√22D.2√2 5.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的四面体)的展开图的是( )6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,已知平面α⊥AC1,则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是()A.截面形状可能为正三角形B.截面形状可能为正方形C.截面形状可能为正六边形D.截面面积最大值为3√37.侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱.侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.底面是矩形的直平行六面体称为长方体.棱长都相等的长方体称为正方体.请根据上述定义,回答下面的问题:(1)直四棱柱是长方体.(2)正四棱柱是正方体.(填“一定”“不一定”或“一定不”)8.正方体的棱长为a,且正方体各面的中心是一个几何体的顶点,这个几何体的棱长为.9.已知正六棱柱的一条最长的体对角线长是13,侧面积为180,求正六棱柱的全面积.10.直四棱柱的底面是矩形,且底面对角线的夹角为60°,对角面的面积为S,求此直四棱柱的侧面积.答案1.四棱柱有几条侧棱,几个顶点()A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点分析：选C.由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱,八个顶点.2.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个分析：选D.共有3个:棱柱AA1P-DD1Q,棱柱ABEP-DCFQ,棱柱BEB1-CFC1.3.如图所示是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为()A.6B.7C.8D.9分析：选B.还原几何体,如图所示.由图观察知,该几何体有7个顶点.4.如图是一个正方体的表面展开图,若图中“努”在正方体的后面,那么这个正方体的前面是()A.定B.有C.收D.获分析：选B.这是一个正方体的表面展开图,共有六个面,其中面“努”与面“有”相对,所以图中“努”在正方体的后面,则这个正方体的前面是“有”.5.用一个平面去截一个正方体,截面边数最多是.分析：因为用平面去截正方体时,最多与六个面相交得六边形,即截面的边数最多为6.答案:66.现有两个完全相同的长方体,它们的长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm,现将它们组合成一个新的长方体,这个新长方体的体对角线的长是多少?分析：将两个完全相同的长方体组合成新长方体,其情形有以下几种:将面积为5×3=15(cm2)的面重叠到一起,将面积为5×4=20(cm2)的面重叠到一起,将面积为4×3=12(cm2)的面重叠到一起.三种情形下的体对角线分别为:l1=2+82+32=7√2(cm),l2=√52+42+62=√77(cm),l3=√102+42+32=5√5 (cm).能力提升1.如图正方体的棱长为1,在面对角线A1B上存在一点P使得|AP|+|D1P|取得最小值,则最小值为()A.2B.√2+√62C.2+√D.√2+√2分析：选D.如图所示,将平面A1BCD1绕A1B旋转至A1ABB1,连接AD1交A1B于P,则|AD1|=√1+1+2×1×1cos135°=√2+√22.设M是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点M到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离都相等,则符合条件的点M () A.仅有一个 B.有两个C.有无限多个D.不存在分析：选A.由点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点M到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离都相等,则符合条件的点M只能为正方体ABCD-A1B1C1D1的中心.3.如图所示,正方体棱长为3 cm,在每个面正中央有个入口为正方形的孔道通到对面,孔的入口正方形边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体各棱.则所得几何体的总表面积为()A.54 cm2B.76 cm2C.72 cm2D.84 cm2分析：选C.由题意知该几何体的总表面积包含外部表面积与内部表面积.S 外=6×32-6×12=48(cm 2),S 内=4×6=24(cm 2). 所以S 总=48+24=72(cm 2).4.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=BC=√2,BB 1=2,∠ABC=90°,E,F 分别为AA 1,C 1B 1的中点,沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为( )A.√22B.√2C.3√22D.2√2分析：选C.由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形.①若把平面ABB 1A 1和平面B 1C 1CB 展开在同一个平面内,则线段EF 在直角三角形A 1EF 中,由勾股定理得EF=√A 1E 2+A 1F 2=√12+(3√22)2=√222. ②若把平面ABB 1A 1和平面A 1B 1C 1展开在同一个平面内,设BB 1的中点为G,在直角三角形EFG 中,由勾股定理得EF=√EG 2+GF 2=√(√)2+(1+√22)2=√72+√2.③若把平面ACC 1A 1和平面A 1B 1C 1展开在同一个平面内,过F 作与CC 1平行的直线,过E 作与AC 平行的直线,所作两线交于点H,则EF 在直角三角形EFH 中,由勾股定理得EF=2+FH 2=√(2-12)2+(1+12)2=3√22. 综上可得从E 到F 两点的最短路径的长度为3√22. 5.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的四面体)的展开图的是( )分析：选CD.可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现A,B 可折成正四面体,C,D 不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.6.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,已知平面α⊥AC 1,则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是 ( )A.截面形状可能为正三角形B.截面形状可能为正方形C.截面形状可能为正六边形D.截面面积最大值为3√3分析：选ACD.如图,显然A,C 成立,下面说明D 成立,如图设截面为多边形GMEFNH,设A 1G=x,则0≤x≤1,则GH=ME=NF=√2x,MG=HN=EF=√2(2-x),MN=2√2, 所以多边形GMEFNH 的面积为两个等腰梯形的面积和,所以S=12·(GH+MN)·h 1+12·(MN+EF)·h 2,因为h 1=√[√2(2-x )]2-(2√2-√2x2)2=√32(2-x )2,h 2=√(√2x )2-[2√2-√2(2-x )2]2=√3x 22,所以S=12(√2x+2√2)·√32(2-x )2+12[2√2+√2(2-x)]·√32x 2=-√3x 2+2√3x+2√3.当x=1时,S max =3√3,故D 成立. 7.侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱. 侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱. 底面是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体. 底面是矩形的直平行六面体称为长方体. 棱长都相等的长方体称为正方体. 请根据上述定义,回答下面的问题: (1)直四棱柱 是长方体.(2)正四棱柱 是正方体.(填“一定”“不一定”或“一定不”)分析：由直四棱柱的定义可知,直四棱柱不一定是长方体;长方体一定是直四棱柱;由正四棱柱的定义可知,正四棱柱不一定是正方体;正方体一定是正四棱柱. 答案:(1)不一定 (2)不一定8.正方体的棱长为a,且正方体各面的中心是一个几何体的顶点,这个几何体的棱长为 .分析：如图所示,取棱中点O,连接OD,OE,由正方体的性质可得OD ⊥OE,OD=OE=12a,则DE=√OD 2+OE 2=√22a,即几何体的棱长为√22a.答案:√22a 9.已知正六棱柱的一条最长的体对角线长是13,侧面积为180,求正六棱柱的全面积.分析：如图所示,设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长为h,易知CF′是正六棱柱的一条最长的体对角线,即CF′=13.因为CF=2a,FF′=h,所以CF′=√CF 2+FF '2=2+ℎ2=13.①因为正六棱柱的侧面积为180, 所以S 侧=6a·h=180.②联立①②解得{a =6ℎ=5,或{a =52ℎ=12. 当a=6,h=5时,2S 底=6×√34a 2×2=108√3.所以S 全=180+108√3.当a=52,h=12时,2S 底=6×√34a 2×2=75√34,所以S 全=180+75√34.10.直四棱柱的底面是矩形,且底面对角线的夹角为60°,对角面的面积为S,求此直四棱柱的侧面积.分析：如图所示,设侧棱长为l,底面对角线长为t,则AC=BD=t,设AC 与BD 相交于O 点,则∠AOD=60°,∠AOB=120°,所以△AOD 是等边三角形.所以AD=OA=12AC=12t.所以△AOB 是顶角为120°的等腰三角形,AB=√3OA=√32t.又因为对角面的面积为S,S=t·l,所以t=S l .所以AD=12t=S 2l ,AB=√32t=√3S2l.所以S 侧=2(AD+AB)l=(S l +√3S l )l=(√3+1)S.。

11.3 空间中的平行关系11.3.1 平行直线与异面直线必备知识·自主学习一、平行直线如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.(1)在等角定理中如果去掉方向相同,这两个角还相等吗?提示:可能相等,也可能互补,只有这两种情况.(2)等角定理有什么作用?提示:可以证明两个角相等.二、异面直线空间中既不平行也不相交的直线.与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.(1)空间中两条不相交的直线是异面直线吗?提示:不一定.空间中不相交的直线可能是异面直线,也可能是平行直线.(2)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?提示:不一定. 可能平行、相交或异面.三、空间四边形顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形.其中4个点都是空间四边形的顶点. 连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线.(1)空间四边形与四面体是一回事吗?提示:不是一回事.空间四边形可以看成由一个四面体的四条棱构成的图形,空间四边形不是四面体.(2)梯形是空间四边形吗?提示:不是.因为梯形是一个平面图形,它的四个顶点在一个平面上,所以它不是空间四边形.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.( )(3)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.( )提示:(1)×.没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线.(2)×.在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,例如在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB,AD都与棱AA′垂直,但是这两条直线相交.(3)×.若a,b是异面直线,a,c是异面直线,那么b,c可以平行,可以相交,可以异面.2.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,则∠PQR等于( )A.30°B.30°或150°C.150°【解析】选B.因为AB∥PQ,BC∥QR,所以∠PQR与∠ABC相等或互补.因为∠ABC=30°,所以∠PQR=30°或150°.3.(教材二次开发:例题改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是( )A.正方形B.菱形C.矩形【解析】选B.设正方体的棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形.1B1C1D1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是_______.【解析】直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.答案:相交关键能力·合作学习类型一两直线的平行(逻辑推理、直观想象)【典例】1.在如图所示三棱台中,平行的直线有几对?2.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC AD,BE FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)判断C,D,F,E四点是否共面?为什么?【思路导引】1.平行直线是在一个平面内没有公共点的直线,可在三个侧面中寻找.2. (1)证明四边形BCHG的一组对边平行且相等.(2)只需证明C,H,F,E四点共面,即可推出C,D,F,E四点共面.【解析】1.由题知三棱台中平行的直线:AB∥A1B1,BC∥B1C1,AC∥A1C1,共有三对.2.(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得GH AD,所以GH BC,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)共面.理由:由BE AF,G为FA的中点知,BE FG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由(1)知BG CH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法.三角形中位线、平行四边形的性质等.(2)定义法.用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.(3)空间平行线的传递性.用空间平行线的传递性证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由空间平行线的传递性即可得到a∥c.1.(2020·佛山高一检测)已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,D为CC1的中点.(1)求多面体ABD-A1B1C1的体积;(2)设A1C与AD的交点为E,B1C与BD的交点为F,求证:A1B1∥EF.【解析】(1)多面体ABD-A1B1C1的体积等于三棱柱ABC-A1B1C1的体积减去三棱锥D-ABC的体积,即×22×2-××22×1=2-=.(2)在正方形ACC1A1中,==,在正方形BCC1B1中,==.所以==,所以在三角形DAB中,有EF∥AB,由于AB∥A1B1,所以A1B1∥EF.2.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C′D′的位置,G,H分别为AD′和BC′的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.【证明】因为在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,所以EF∥AB且EF=(AB+CD),又C′D′∥EF,EF∥AB,所以C′D′∥AB.因为G,H分别为AD′,BC′的中点,所以GH∥AB且GH=(AB+C′D′)=(AB+CD),所以GH EF,所以四边形EFGH为平行四边形.类型二异面直线的定义及应用(逻辑推理、直观想象)【典例】1.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②EF与MN是异面直线;③MN∥CD.其中,正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③2.已知a,b,c是三条直线,且a与b异面,b与c异面,试判断a与c的位置关系,并画图说明. 【思路导引】1.将正方体表面的展开图还原成正方体,在正方体中可以直观作出判断.2.选择恰当的平面作为衬托,画出可能出现的情况.【解析】1.选A.把正方体的平面展开图还原到原来的正方体如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,MN⊥CD,只有①②正确.2.直线a与c的位置关系有三种,如图所示.直线a与c可能平行(如图①所示),也可能相交(如图②所示),还可能异面(如图③所示).(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.(1)证明两条直线既不平行又不相交.(2)利用结论:与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.1.如图,a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,E,F分别是线段AC和BD的中点,判断EF和a,EF和b 的位置关系,并证明你的结论.【解析】假设EF和a共面,设这个平面为α,则EF⊂α,a⊂α.所以A,B,E,F∈α,所以BF⊂α,AE⊂α.又因为C∈AE,D∈BF,所以C,D∈α.于是b⊂α.从而a,b共面于α,这与题设条件a,b是异面直线相矛盾.所以EF和a共面的假设不成立,所以EF和a是异面直线.同理可得EF和b也是异面直线.2.如图所示,已知α∩β=a,b⊂β,a∩b=A,且c⊂α,c∥a.求证:b,c为异面直线.【证明】假设b,c不是异面直线,则b,c一定相交或平行.若b,c相交于一点P,b⊂β,c⊂α,又α∩β=a,则P∈b⊂β,且P∈c⊂α,所以交点P一定在α,β的交线上,即P∈a,所以a∩c=P,这与已知a∥c矛盾,故b,c不可能相交.若b∥c,又已知a∥c,则a∥b,这与已知条件a∩b=A矛盾,故b,c不可能平行.综上可知b,c为异面直线.类型三等角定理的应用(逻辑推理、直观想象)【典例】在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.求证:(1)四边形EFF1E1为平行四边形.(2)∠EA1F=∠E1CF1.【思路导引】(1)欲证四边形EFF1E1为平行四边形可证其一组对边平行且相等.(2)可结合(1)利用等角定理证明.【证明】(1)连接BD,B1D1,在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF BD,同理E1F1B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1DD1,AA1BB1,所以B1B DD1,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD B1D1,所以EF E1F1.所以四边形EFF1E1为平行四边形.(2)取A1B1的中点M,连接BM,F1M,因为MF1B1C1,B1C1BC,所以MF1BC,所以四边形BCF1M是平行四边形,所以MB∥CF1,因为A1M EB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,同理可证:A1F∥E1C,又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.证明角相等的方法一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形.(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.【证明】(1)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体.所以AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,所以AM=A1M1且AM∥A1M1,所以四边形AMM1A1为平行四边形,所以MM1=AA1且MM1∥AA1.又AA1=BB1且AA1∥BB1,所以MM1=BB1且MM1∥BB1,所以四边形BB1M1M为平行四边形.(2)方法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1∥1M1M为平行四边形,所以C1M1∥∠BMC和∠B1M1C1方向相同,所以∠BMC=∠B1M1C1. 方法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M11M1M为平行四边形,所以C1M11C1=BC,所以△BCM≌△B1C1M1,所以∠BMC=∠B1M1C1.课堂检测·素养达标1.如果两条异面直线称为“一对”,那么正方体的12条棱中,异面直线共有( )B.24对C.36对【解析】选B.如图所示,正方体中与AB异面的棱有CC1,DD1,B1C1,A1D1.因为各棱具有相同的位置,且正方体有12条棱,排除两棱的重复计算,所以异面直线共有=24对.2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )A.平行或异面C.异面【解析】选B.假设a与b是异面直线,而c∥a,则c显然与b不平行(否则c∥b,则有a∥b,矛盾),因此c与b可能相交或异面.3.(多选题)(教材二次开发:练习改编)下列结论中,错误的是( )A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D.如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线互相垂直【解析】选AD.A中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项A错误;B中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等,故选项B正确;C中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,两角相等或互补,故选项C正确;D中,如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线可能为异面直线,故选项D错误.4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是_______.【解析】在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥1B1C1中,BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.答案:平行1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点,求证:∠DNM=∠D1A1C1.【证明】如图,连接AC,在△ACD中,因为M,N分别是CD,AD的中点,所以MN是△ACD的中位线,所以MN∥AC,MN=AC.由正方体的性质,得AC∥A1C1,AC=A1C1,所以MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1,所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,所以∠DNM=∠D1A1C1.课时素养评价十五平行直线与异面直线(15分钟30分)1.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( )A.全等C.仅有一个角相等【解析】选D.由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,所以这两个三角形相似.2.在三棱锥S-ABC中,与SA是异面直线的是( )【解析】选C.如图所示,SB,SC,AB,AC与SA均是相交直线,BC与SA既不相交,也不平行,是异面直线.3.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有.【解析】题干图①中,GH∥②中,G,H,N三点共面,但M∉③中,连接MG,GM∥④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,所以GH与MN异面.答案:②④4.已知在三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列四个结论:①MN≥(AC+BD);②MN≤(AC+BD);③MN=(AC+BD);④MN<(AC+BD).其中正确的是.【解析】设BC中点为P,连接MP,PN.在△MPN中,MN<MP+PN,所以MN<(AC+BD),故④正确.答案:④5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系.(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是.【解析】(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1 BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.答案:(1)平行(2)异面6.如图,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF是平行四边形.【证明】设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1,因为E是AA1的中点,所以EQ A1D1.又在矩形A1B1C1D1中,A1D1 B1C1,所以EQ B1C1,所以四边形EQC1B1为平行四边形,所以B1E C1Q.又因为Q,F是矩形DD1C1C两边的中点,所以QD C1F,所以四边形DQC1F为平行四边形,所以C1Q DF,又因为B1E C1Q,所以B1E DF,所以四边形B1EDF为平行四边形.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若∠AOB=∠A1O1B1且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B11B1不平行1B1不一定平行【解析】选D.如图①②所示,OB与O1B1不一定平行.2.以下选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是( )【解析】选C.本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断,仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择.A,B中,PQ∥RS,D中,PQ和RS共面.3.如图所示的正方体的平面展开图,在这个正方体中:①MN∥ED;②CN与BE是异面直线;③DM⊥BN.以上四个结论中正确的序号是( )A.①②B.②③C.③D.①②③【解析】选C.如图所示,把正方体的平面展开图还原到原来的正方体,显然MN与ED为异面直线,故①不成立,而CN∥BE,故②不成立,又四个选项中仅有选项C不含①②,故选C.4.已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是( )A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,则a⊥βD.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交【解析】选A.A中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以a∥β,故C错误;D中,直线a与平面β有可能平行,故D错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.a,b,c是空间中的三条直线,下列说法中正确的是( )A.若a∥b,b∥c,则a∥cB.若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交C.若a,b分别在两个相交平面内,则这两条直线可能平行、相交或异面D.若a与c相交,b与c异面,则a与b异面【解析】选AC.由平行线的传递性知A正确;若a与b相交,b与c相交,则a与c可能平行、相交或异面,B错误;易知C正确;若a与c相交,b与c异面,则a与b可能相交、平行或异面,故D错误.6.(多选题)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是( ) A.M,N,P,Q四点共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四边形MNPQ为梯形.【解析】选ABC.由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C说法正确;由三角形的中位线定理,知MQ BD,NP BD,所以MQ NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.【补偿训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是( )1是相交直线1是异面直线1是异面直线【解析】1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故A,B错误,直线BN与MB1是异面直线,直线AM与DD1是异面直线,故C,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线,(1)∠DBC的两边与∠的两边分别平行且方向相同;(2)∠DBC的两边与∠的两边分别平行且方向相反.【解析】(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC并且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同.(2)B1D1∥BD,D1A1∥BC并且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反.答案:(1)D1B1C1(2)B1D1A1【补偿训练】已知角α和角β的两边分别平行且一组边的方向相同,另一组边的方向相反,若α=45°,则β=.【解析】由等角定理可知β=135°.答案:135°8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN,有以下结论:①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN与A1C1是异面直线.其中正确结论的序号是.【解析】考虑极端:M为A,N为B,排除②;M为B1,N为C1,排除③.故填①.答案:①四、解答题(每小题10分,共20分)1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D.【证明】如图,连接CB1,CD1,因为CD A1B1,所以四边形A1B1CD是平行四边形,所以A1D∥B1C.因为M,N分别是CC1,B1C1的中点,所以MN∥B1C,所以MN∥A1 A1D1,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1.因为M,P分别是CC1,C1D1的中点,所以MP∥CD1,所以MP∥A1B,所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反,所以∠NMP=∠BA1D.10.如图,ABCD-A′B′C′D′为长方体,底面是边长为a的正方形,高为2a,M,N分别是CD和AD 的中点.(1)判断四边形MNA′C′的形状.(2)求四边形MNA′C′的面积.【解析】(1)连接AC.因为M,N分别是CD和AD的中点,所以MNA′B′C′D′′A′′C′ AC,所以MN A′C′,所以四边形MNA′C′△A′AN和△C′CM中,因为∠A′AN=∠C′CM=90°,A′A=C′C=2a,AN=CM=a,所以△A′AN≌△C′CM.所以A′N=C′M.所以四边形MNA′C′是等腰梯形.(2)由A′C′=a,MN=a,A′N=C′M=a,得梯形高h=a,所以四边形MNA′C′的面积S=a2.1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是棱AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是( )A.直线GH和MN平行,GH和EF相交B.直线GH和MN平行,MN和EF相交C.直线GH和MN相交,MN和EF异面D.直线GH和EF异面,MN和EF异面【解析】选B.易知GH∥MN,又因为E,F,M,N分别为所在棱的中点,所以FN EM,所以EF与MN相交.2.如图所示,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且有AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.(1)证明:E,F,G,H四点共面;(2)m,n满足什么条件时EFGH是平行四边形;(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD,试证明EG=FH.【解析】(1)因为AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD,又CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥BD,所以EH∥FG,所以E,F,G,H四点共面. (2)当且仅当EH FG时,四边形EFGH为平行四边形. 因为==,所以EH=BD,同理FG=BD,由EH=FG得m=n.故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.(3)当m=n时,AE∶EB=CF∶FB,所以EF∥AC,又因为AC⊥BD,所以∠FEH是AC与BD所成的角,所以∠FEH=90°,从而EFGH为矩形,所以EG=FH.。

11.1空间几何体11.1.1空间几何体与斜二测画法1．空间几何体如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体．2．直观图立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图，为了使直观图具有立体感，经常使用斜二测画法来作直观图．3．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°)．(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半．(3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线．4．用斜二测画法作立体图形直观图的步骤(1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴)．(2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴．图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．连接有关线段．(3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除)．注意：水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆．1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y 轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°C[在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.]2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点B[根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．]3．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()C[正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y 轴的边长为1.5 cm.]4．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形C[如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．]为线段AB，DC的中点)[解](1)画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图．(变条件)若将本例中的等腰梯形ABCD改为正五边形ABCDE，如图所示，那么其直观图如何画出？[解]画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝12OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝12GA，H′D′＝12HD.(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．画平面图形的直观图的技巧1．在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，且与x′轴平行的线段长度不变，与y′轴平行的线段长度减半．2．原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线．画端点时，过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．3．原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．直观图．[思路探究]画轴→画底面→画侧棱→成图[解](1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱：过A、B、C、D、E、F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．(4)成图：顺次连线A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示．简单几何体直观图的画法步骤1．画轴：通常以高所在直线为z轴建系．2．画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．3．确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．4．连线成图．2．画出正四棱锥(底面是正方形，侧面是有一个公共顶点且全等的等腰三角形的棱锥)的直观图．[解](1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如左图所示．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接P A，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到此四棱锥的直观图.1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC 的形状？[提示]根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？[提示]由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝AC2＋BC2＝10.3．若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？[提示]原三角形面积为S＝12a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝12h·sin 45°＝24h，S′＝12a′·h′＝12a·24h＝24×12a·h＝24S.【例3】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．[思路探究]由直观图还原平面图形的关键：(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．[解]①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________．菱形[如图所示，在原图形OABC中，应有OA BC，OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]1．直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．2．直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝24S或S＝22S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．1．斜二测画法中的“斜”和“二测”(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°.(2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．2．斜二测画法中的建系原则在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称轴所在直线为坐标轴、图形的对称中心为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等，即使尽量多的点或线落在坐标轴上．3．直观图中“变”与“不变”(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变．(2)点的共性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)．(3)有些线段的度量关系也发生变化．因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是使图形富有立体感．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．()(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．()(4)斜二测坐标系取的角可能是135°. ()[详细分析]平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A．直角三角形的直观图仍是直角三角形B．梯形的直观图是平行四边形C．正方形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图仍是平行四边形D[由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]3.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形B[由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.]4.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．22 [画出直观图，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为22.]5．画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图．[解] (1)如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34 cm ，连接A ′B ′，A ′C ′，则△A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图．。

11．1.4 棱锥与棱台[课程目标] 1.了解棱锥的定义，掌握棱锥的结构特征；2.了解棱台的定义，掌握棱台的结构特征以及棱锥、棱台之间的关系．知识点一棱锥[填一填](1)有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥．(2)棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面，有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面，各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱．(3)棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥．(4)棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示．(5)过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高．棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积．(6)如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高．[答一答]1．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？为什么？提示：不一定，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的三个本质特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是三角形；(3)这些三角形有一个公共顶点．这三个特征缺一不可，显然，这种说法不满足(3). 反例如图．知识点二棱台[填一填](1)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台．(2)原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面与上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱．(3)棱台可用上底面与下底面的顶点表示．(4)过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高．棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积．(5)棱台可以按底面的形状分类．(6)由正棱锥截得的棱台称为正棱台．正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．[答一答]2．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．3．观察下面的几何体，思考问题：图①是棱台吗？用任意一个平面去截棱锥，一定能得到图②中的棱台吗？提示：题图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点，题图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到该棱台．类型一有关概念的考查[例1] 给出下列几个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，假命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[解析] 显然命题①②均是真命题．对于命题③，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故命题③是真命题．对于命题④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，它便是棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故命题④为真命题．[答案] A解答空间几何体概念辨析题的关注点1认清概念的本质及棱柱、棱锥、棱台的结构特征，采用举反例法排除错误的选项.2从底面多边形的形状，侧面形状以及它们之间的位置关系等角度紧扣几何体的结构特征进行判断.[变式训练1] 下列说法中正确的是( D )A．顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C．底面是正三角形，并且有一个侧面与底面全等的三棱锥是正三棱锥D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥解析：对于A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形的外心，该三角形不一定为正三角形，故A错误；对于B，如图所示，△ABC为正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，则△PAB，△PBC，△PAC都为等腰三角形，但它不是正三棱锥，故B错误；对于C，各侧面不一定全等，故C错误；对于D，由于各侧棱相等，故顶点在底面上的射影是底面三角形的外心，又底面三角形为正三角形，因此，外心即中心，选D.类型二多面体中的基本量计算[例2] 正四棱台ABCD­A′B′C′D′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．[解] 设棱台两底面的中心分别是O和O′，B′C′，BC的中点分别是E′，E.连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，四边形OEE′O′都是直角梯形．如图，在正方形ABCD中，∵BC ＝16 cm ，∴OB ＝8 2 cm ，OE ＝8 cm. 在正方形A ′B ′C ′D ′中，∵B ′C ′＝4 cm ，∴O ′B ′＝2 2 cm ，O ′E ′＝2 cm. 在直角梯形O ′OBB ′中，BB ′＝OO ′2＋OB －O ′B ′2＝172＋82－222＝19(cm)．在直角梯形O ′OEE ′中，EE ′＝OO ′2＋OE －O ′E ′2＝172＋8－22＝513(cm)．故这个棱台的侧棱长为19 cm ，斜高为513 cm.根据正棱台的定义、特征性质，通过构造直角梯形建立已知量和未知量之间的关系式. [变式训练2] 一个三棱台的上、下底面面积之比为49，若棱台的高是4 cm ，求截得这个棱台的棱锥的高．解：如图所示，将棱台还原为棱锥，设PO 是原棱锥的高，O 1O 是棱台的高．∵棱台的上、下底面面积之比为49，∴它们的底面对应边之比A 1B 1AB ＝23， ∴PA 1PA ＝23.由于A 1O 1∥AO ，∴PA 1PA ＝PO 1PO， 即PO －O 1O PO ＝PO －4PO ＝23. ∴PO ＝12 cm.即截得这个棱台的棱锥的高是12 cm.类型三 棱锥、棱台中的截面问题[例3] 已知正三棱锥V ­ABC 的底面边长为6，高VO ＝4，D 为AB 的中点，过点V ，C ，D 作截面，试求该截面的周长和面积．[分析] 依据题意画出图形，利用高与侧棱、底面等边三角形相应的外接圆半径，高与斜高、底面等边三角形相应边心距构成的直角三角形进行计算．[解] 由题意画出图形，如图所示，其中VO ＝4，AB ＝BC ＝CA ＝6，∵△ABC 是等边三角形，O 是中心，∴OC ＝23，OD ＝3，CD ＝33，在Rt △VOC 和Rt △VOD 中，由勾股定理，得VC ＝42＋232＝27，VD ＝42＋32＝19，∴截面△VCD 的周长为VC ＋CD ＋VD ＝27＋33＋19，面积为12CD ·VO ＝12×33×4＝6 3.1.如图，在正三棱锥的计算中，常要研究基本量：底面边长AB 、侧棱长PC 、高PO 、斜高PD 、边心距OD 、底面外接圆半径OC 等．2．含有这些基本量的直角三角形有Rt △POD 、Rt △POC 、Rt △PDB 、Rt △AOD 等． 3．通过解这些直角三角形可求出基本量，进而完成解题． 4．记住一些结论可提高解题速度．如若AB ＝a ，则OC ＝33a ，OD ＝36a ，CD ＝32a 等．[变式训练3] 把一个棱台的高分为三等份，过各等分点作平行于底面的截面，已知棱台的两个底面面积分别是P 和Q (Q >P )，求两个截面的面积．解：将棱台补成棱锥，设棱锥顶点为S ，S 到棱台上底面的距离为x ，棱台的高为3h ，截面面积分别为M 、N ，则M P ＝x ＋h2x 2，Q P ＝x ＋3h2x 2⇒M P ＝1＋h x ，Q P＝1＋3h x ，解得M ＝19(4P ＋4PQ ＋Q )．同理可得N ＝19(P ＋4PQ ＋4Q )．类型四 棱锥、棱台的表面展开图[例4] 某城市中心广场主题建筑为一三棱锥，且所有边长均为10 m ，如图所示，其中E ，F 分别为AD ，BC 的中点．(1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母；(2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现预备从底边BC 中点F 处分别过AC ，AB 上某点向AD 中点E 处架设LED 灯管，所用灯管长度最短为多少？[解] (1)该几何体的表面展开图为(2)由该几何体的展开图知，四边形ACBD 为菱形，四边形ABCD 为菱形．若使由F 向E 所架设灯管长度最短，可由其展开图中连接线段EF .这两条线段均为10，故所用灯管最短为20 m.1.解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力.2.若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面.3.若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推.[变式训练4] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解：由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．1．如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是( B )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体解析：剩余部分是四棱锥A′­BB′C′C.2．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是( D )A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥解析：因为棱锥的各条棱都相等，所以侧面都是正三角形，又因为顶点处的各个面上顶角之和小于360°，从而侧面数小于6，故选D.3．下列命题中正确的是( D )A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥D．棱台的侧棱延长后必交于一点解析：A中，要用“平行于底面”的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才叫棱台，如果截棱锥的平面不与底面平行，棱锥底面与截面之间的部分只能叫多面体，故A错误；B中，棱台还要求侧棱的延长线交于一点，故B错误；C中，正棱锥还要求底面是正多边形，故C错误；D中，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D正确．4．棱锥的侧棱都相等，所有的侧面上的高也相等，则这个棱锥的底面是正多边形．解析：由侧棱相等知顶点在底面上的射影为底面多边形的外心，又由侧面上高都相等知顶点在底面上的射影为底面多边形的内心，因此底面为正多边形．。

11.4.2 平面与平面垂直1课时平面与平面垂直的判定必备知识基础练进阶训练第一层知识点一二面角.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角() ．相等B．互补．相等或互补D．关系无法确定．下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．中正确的是()．①③B．②④．③④D．①②．四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.1)求二面角A-PD-C的平面角的度数；2)求二面角B-PA-D的平面角的度数；3)求二面角B-PA-C的平面角的度数；4)求二面角B-PC-D的平面角的度数．知识点二平面与平面垂直的判定定理.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面()．有1个B．有2个．有无数个D．不存在．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.．过点S引三条线段SA，SB，SC，其中∠BSC＝90°，∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a.证：平面ABC⊥平面BSC.关键能力综合练进阶训练第二层、选择题．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()．平行B．可能重合．垂直D．相交不垂直．一个二面角α(0°＜α＜90°)的两个半平面分别垂直于另一个二面角β(0°＜β＜90°)的两个半平面，则这两个二面角的关系是()．相等B．互补．相等或互补D．既不相等也不互补．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下面命题正确的是()．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥m．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E、F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是()．60°B．120°．60°或120°D．不确定．(易错题)如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是()．1B．2．3D．4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于().33B.22.2D. 3、填空题．在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，有下列四个命题：①BC∥平面PDF；②平面PDF⊥平面ABC；③DF⊥平面PAE；④平面PAE⊥平面ABC.其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都填上)．．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.．(探究题)α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(答案不唯一，写出一个即可)．、解答题0．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD.1)求证：平面ABD⊥平面ACD；2)若AB＝BC＝2BD，求二面角B-AC-D的正切值．学科素养升级练进阶训练第三层．(多选)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A′的位置，此时A′C＝3，构成三棱锥A′-BCD，则()．平面A′BD⊥平面BDC．平面A′BD⊥平面A′BC．平面A′DC⊥平面BDC．平面A′DC⊥平面A′BC．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．(学科素养——逻辑推理＋运算能力)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．1)求点C与平面A1ABB1的距离；2)若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值．11．4.2平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定必备知识基础练．答案：D析：如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H-DG-F的大小不确定．．答案：B析：由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选B.．解析：(1)∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，P A⊥CD，又四边形ABCD为正方形，CD⊥AD，又P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，CD⊥平面P AD，又CD⊂平面PCD，平面P AD⊥平面PCD.二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.2)∵P A⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD.∴AB⊥P A，AD⊥P A.∠BAD为二面角B-P A-D的平面角．由题意知∠BAD＝90°，二面角B-P A-D的平面角的度数为90°.3)∵P A⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD.∴AB⊥P A，AC⊥P A.∠BAC为二面角B-P A-C的平面角．四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，二面角B-P A-C的平面角的度数为45°.4)作BE ⊥PC 于E ，连接DE ，BD ，且BD 与AC 交于点O ，连接EO ，如图．题意知△PBC ≌△PDC ，∠BPE ＝∠DPE ，而△PBE ≌△PDE .∠DEP ＝∠BEP ＝90°，BE ＝DE .∠BED 为二面角B -PC -D 的平面角．P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，P A ⊥BC .AB ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，BC ⊥平面P AB ，又PB ⊂平面P AB ，BC ⊥PB .AB ＝a ，则BE ＝PB ·BC PC ＝63a ，BD ＝2a .sin ∠BEO ＝BOBE ＝32.∴∠BEO ＝60°，∠BED ＝120°.∴二面角B -PC -D 的平面角的度数为120°.．答案：C析：由面面垂直的判定定理知，凡过l 的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个． ．证明：∵PC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥BD .四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ，PC ∩AC ＝C ，PC ，AC ⊂平面P AC ，BD ⊥平面P AC .BD ⊂平面PBD ，∴平面PDB ⊥平面P AC .．证明：如图，取BC 的中点D ，连接SD ，AD ，于∠ASC ＝∠BSA ＝60°，且SA ＝SB ＝SC ＝a ，以△SAC ，△SAB 为正三角形，有AB ＝AC ＝a ，又BC ＝2a ，以三角形ABC 为等腰直角三角形，以AD ⊥BC ，又SD ⊥BC ，以∠ADS 恰好为二面角S －BC －A 的平面角．SD ＝AD ＝12BC ＝22a ，而SA ＝a ，以△SAD 为直角三角形，∠SDA 为直角，以，平面ABC ⊥平面BSC .关键能力综合练．答案：C析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.．答案：A析：画出图象易得到α与β相等或互补．而α，β均为锐角，∴α与β相等．．答案：A析：A项，由面面垂直的判定定理可知，若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，故A正确．B项，若α⊥β且l⊂α，m⊂β，则l与m平行，相交，异面都有可能，故B错．C项，若l∥β，且l⊂α.则α∥β和α与β相交都有可能，故C错．D项，若α∥β，且l⊂α，m⊂β，则l∥m或l，m异面．故D错．．答案：C析：∵PE⊥α，PF⊥β，P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面，则∠FOE为二面角的平面角，如图1所示．时，∠FOE＋∠EPF＝180°，以二面角α-l-β的平面角为120°.点P的位置如图2所示时，时∠FOE＝∠EPF，以二面角α-l-β的平面角为60°.．答案：D析：∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC .△ABC 为直角三角形．P A ⊥⊙O 所在平面，AC ，AB ，BC 都在⊙O 所在平面内，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ， △P AC ，△P AB 是直角三角形，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .PC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥PC ，△PBC 是直角三角形，而△P AB ，△P AC ，△ABC ，△PBC 均为直角三角形．．答案：C析：如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接A 1O ，∠A 1OA 为二面角A 1－BD －A 的平面角．设A 1A ＝a ，则AO ＝22a ，所以tan ∠A 1OA ＝a 22a ＝ 2. ．答案：①③④析：因为D ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以DF ∥BC ，又DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，所以BC ∥平面PDF ，故①正确；因为E 是BC 的中点，所以BC ⊥AE ，BC ⊥PE .因为AE ∩PE ＝E ，所以BC ⊥平面P AE .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面P AE ⊥平面ABC ，故④正确；因为DF ∥BC ，所以DF ⊥平面P AE ，故③正确；只有②不正确．故正确的命题为①③④. ．答案：13析：如图，连接CD ，则在Rt △ABC 中，CD ＝12AB .为AC＝6，BC＝8，以AB＝62＋82＝10.以CD＝5.为EC⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以EC⊥CD.以ED＝EC2＋CD2＝122＋52＝13.．答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)析：若①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交，也可能m⊂α，即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，也可能n⊂β，即③n⊥β不一定成立；若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α成立，则②α⊥β一定成立；若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α成立，则①m⊥n一定成立．①③④⇒②(或②③④⇒①)0．解析：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，AB⊥CD.BD⊥CD，且BD∩AB＝B，BD，AB⊂平面ABD，CD⊥平面ABD.CD⊂平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD.2)如图，过D作DE⊥BC于E，AB ⊥DE ，∴DE ⊥平面ABC ，DE ⊥AC .E 作EF ⊥AC 于F ，连接DF ，AC ⊥平面DEF ，则AC ⊥DF ，∠DFE 就是二面角B -AC -D 的平面角．BD ＝x ，则AB ＝BC ＝2x .Rt △BDC 中，CD ＝3x ，BD ·CD ＝BC ·DE ，DE ＝32x ，BE ＝12x ，CE ＝32x . Rt △CEF ∽Rt △CAB 得EF CE ＝AB AC ，∴EF ＝324x ， Rt △DEF 中，tan ∠DFE ＝DE EF ＝32x 324x ＝63. 二面角B -AC -D 的正切值为63. 学科素养升级练．答案：AD析：在三棱锥A ′-BDC 中，A ′D ＝A ′B ＝1，故BD ＝2，DC ＝2，又A ′C ＝3，故A ′C 2＝A ′D 2＋DC 2，则CD ⊥A ′D ，又CD ⊥BD ，A ′D ∩BD ＝D ，所以CD ⊥平面A ′BD ，故平面A ′BD ⊥平面BDC .又CD ⊥平面A ′BD ，所以CD ⊥A ′B .又A ′B ⊥A ′D ，A ′D ∩CD ＝D ，所以A ′B ⊥平面A ′DC ，故平面A ′DC ⊥平面A ′BC .．答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)析：由题意得BD ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BD .P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.．解析：(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面A1ABB1，得CD⊥平面A1ABB1，所以C到平面A1ABB1的距离为CD＝BC2－BD2＝ 5.2)如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，DD1∥AA1∥CC1.由(1)知CD⊥平面A1ABB1，CD⊥A1D，CD⊥DD1，以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角．CD⊥平面A1ABB1，AB1⊂平面A1ABB1，以AB1⊥CD，已知AB1⊥A1C，A1C∩CD＝C，A1C，CD⊂平面A1CD，以AB1⊥平面A1CD，故AB1⊥A1D，从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.此AA1AD＝A1B1AA1，即AA21＝AD·A1B1＝8，A 1A ＝2 2.从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝2 3.以，在Rt △A 1DD 1中， os ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1D ＝63.。