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第十一章立体几何初步11.1 空间几何体1．1.1空间几何体与斜二测画法必备知识基础练进阶训练第一层知识点一平面图形的直观图.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于()．45°B．135°．90°D．45°或135°．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的()．下列命题中正确的个数是()水平放置的角的直观图一定是角；相等的角在直观图中仍然相等；相等的线段在直观图中仍然相等；若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．．1B．2．3D．4知识点二空间几何体的直观图.用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图．．用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)知识点三直观图的有关计算．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是().12B.22.2D．2 2．已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为().34a2B.38a2.68a2D.616a2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm，则原图形是()．正方形B．矩形．菱形D．一般的平行四边形关键能力综合练进阶训练第二层、选择题．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形．正方形的直观图为平行四边形．梯形的直观图不是梯形．正三角形的直观图一定为等腰三角形．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为()．16B．64．16或64D．无法确定．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD 中，最长的线段是()．AB B．AD．BC D．AC．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()．(易错题)水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝3 2，那么原△ABC是一个()．等边三角形．直角三角形．三边中只有两边相等的等腰三角形．三边互不相等的三角形．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为()．2B．4．22D．4 2、填空题．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．．如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为________(填具体形状)，其面积为________cm2.、解答题0．(探究题)一个机器部件，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为3cm，圆锥的高为3cm，画出此机器部件的直观图．学科素养升级练进阶训练第三层．(多选)如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中()．AB与AC相等．AD的长度大于AC的长度．AB的长度大于AD的长度．BC的长度大于AD的长度．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．．(学科素养——直观想象)如图，在斜二测画法下，四边形A′B′C′D′是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是多少？第十一章立体几何初步11.1空间几何体11．1.1空间几何体与斜二测画法必备知识基础练．答案：D析：因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，所以∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.．答案：C析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2：1.．答案：B析：水平放置的平面图形不会改变形状，①正确；不一定，正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，②错；因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以③错；平行性不会改变，所以④正确．．解析：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝32cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．．解析：画法：1)画出六棱锥P-ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)；画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O ′为中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ，以点N ′为中点，画出B ′C ′平行于x ′轴，并且长度等于BC ，再以M ′为中点，画出E ′F ′平行于x ′轴，并且长度等于EF ；③连接A ′B ′，C ′D ′，D ′E ′，F ′A ′得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.2)画出正六棱锥P -ABCDEF 的顶点，在z ′轴正半轴上截取点P ′，点P ′异于点O ′.3)成图．连接P ′A ′，P ′B ′，P ′C ′，P ′D ′，P ′E ′，P ′F ′，并擦去x ′轴、y ′轴和z ′轴，便可得到六棱锥P -ABCDEF 的直观图P ′-A ′B ′C ′D ′E ′F ′，如图(3)． ．答案：C析：直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为12，又直观图与原平面图形面积比为2：4，所以原图形的面积为2，故选C.．答案：D析：法一 建立如图①所示的平面直角坐标系xOy .图②所示，建立坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，由直观图画法，知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .过点C ′作C ′D ′⊥O ′x ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以△A ′B ′C ′的面积是S ＝12·A ′B ′·C ′D ′＝12·a ·68a ＝616a 2. 二 S △ABC ＝34a 2，而S △A ′B ′C ′S △ABC ＝24，所以S △A ′B ′C ′＝24S △ABC ＝24×34a 2＝616a 2. ．答案：C析：如图，在原图形OABC中，有OD＝2O′D′＝2×2 242(cm)，D＝C′D′＝2 cm，以OC＝OD2＋CD2(42)2＋22＝6(cm)，以OA＝OC＝BC＝AB，四边形OABC是菱形．关键能力综合练．答案：B析：由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，因此答案为B.．答案：C析：等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.．答案：D析：还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．．答案：C析：可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．．答案：A析：由△ABC的直观图，知在原△ABC中，AO⊥BC.A′O′＝32，∴AO＝ 3.B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，△ABC为等边三角形．．答案：D析：设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝22S直观图，所以12×OB×h＝22×12×2×O′B′.又OB＝O′B′，所以h＝4 2.．答案：2.5析：由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.．答案：2 2析：画出直观图，则B′到x′轴的距离为22·12OA＝24OA＝22.．答案：矩形8析：由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2)．0．解析：(1)如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.2)画圆柱的两底面．在xOy平面上画出底面圆O，使直径为3 cm，在z轴上截取OO′，使OO′＝3 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′，使其直径为3 cm.3)画圆锥的顶点．在z轴上画出点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.4)成图．连接A′A，B′B，P A′，PB′，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到此几何体(机器部件)的直观图，如图②.学科素养升级练．答案：AC析：由直观图易知A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在△ABC中有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则AB与AC相等，且长度都大于AD的长度，但BC与AD的长度大小不确定，故选A，C.．答案：8 cm析：由题意正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O′B′＝ 2 cm，对应原图形平行四边形OABC的高为2 2 cm，以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝(22)2＋12＝3 cm，原图形的周长为：2×(1＋3)＝8(cm)．．解析：如图(1)作D′E′⊥A′B′于E′，′F′⊥A′B′于F′，则A′E′＝B′F′＝A′D′·cos 45°＝1，C′D′＝E′F′＝3.原图复原如图(2)，则原四边形应为直角梯形，A＝90°，AB＝5，CD＝3，AD＝22，S四边形ABCD＝12×(5＋3)×22＝8 2.- 11 -。
新教材高中数学：11.1.4 棱锥与棱台学习目标核心素养1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点) 2．掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．(难点)3．知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题．(重点、难点)1.通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算的核心素养.我们见到的很多建筑物呈棱锥形状．思考：观察棱锥的结构，你能给出一个几何体是棱锥的充要条件吗？1．棱锥(1)棱锥的定义、分类、图形及表示棱锥图形及表示定义如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥相关概念底面(底)：是多边形的那个面；侧面：有公共顶点的各三角形；侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点；高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)；侧面积：所有侧面的面积之和如图棱锥可记作：棱锥SABCD或棱锥SAC分类①依据：底面多边形的边数；②举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……(2)正棱锥的有关概念及其特征如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高．2．棱台(1)棱台的定义、分类、图形及表示棱台图形及表示定义一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台如图棱台可记作：棱台ABCDA′B′C′D′相关概念上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点；高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)；侧面积：所有侧面的面积之和分类①依据：由几棱锥截得；②举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……(2)正棱台的有关概念及其特征由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥．( ) (2)棱台的侧棱长都相等．( ) (3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．下面四个几何体中，是棱台的是( )A B C DC [棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C 正确．] 3．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为( ) A ．三棱锥的四个面是三角形B ．棱锥都是有两个面互相平行的多边形C ．棱锥的侧面都是三角形D ．棱锥的侧棱相交于一点B [根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B 错．]4．已知正四棱锥的底面边长是2，高为7，则这个正四棱锥的全面积是________． 82＋4 [如图所示，由题意，得AO ＝7，OB ＝1，则AB ＝AO 2＋OB 2＝22，又QR ＝2，所以S △AQR ＝22×2×12＝22，则这个正四棱锥的全面积为22×4＋2×2＝82＋4.]棱锥的结构特征【例1】[解]不一定．如图①所示，将正方体ABCDA1B1C1D1截去两个三棱锥AA1B1D1和CB1C1D1，得如图②所示的几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．棱锥的三个本质特征(1)有一个面是多边形．(2)其余各面是三角形．(3)这些三角形有一个公共顶点．[跟进训练]1．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台B[②显然是棱锥．]棱台的结构特征【例2(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱台的各侧棱延长后必交于一点；(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．(2)(3)[(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；(4)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．]棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[跟进训练]2．判断图中的几何体是不是棱台？并说明为什么？[解]对于(1)(3)，几何体的“侧棱”不相交于一点，不是棱台；对于(4)，几何体不是由平行于棱锥底面的平面截得的几何体，从而(4)不是棱台；对于(2)，符合棱台的定义．几何体的计算问题[探究问题]1．计算正三棱锥中底面边长、斜高、高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？[提示] 常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形；②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？ [提示] 是．3．正棱台中的计算呢？[提示] 根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解． 【例3】 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为23，求正三棱锥的高．[思路探究] 正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解．[解] 作出正三棱锥如图，SO 为其高，连接AO ，作OD ⊥AB 于点D ，则点D 为AB 的中点．在Rt△ADO 中，AD ＝32，∠OAD ＝30°， 故AO ＝32cos∠OAD＝ 3.在Rt△SAO 中，SA ＝23，AO ＝3， 故SO ＝SA 2－AO 2＝3，其高为3.1．将本例中“侧棱长为23”，改为“斜高为23”，则结论如何？[解] 连接SD (图略)，在Rt△SDO 中，SD ＝23，DO ＝12AO ＝32，故SO ＝SD 2－DO 2＝12－34＝352.2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？[解] 如图正四棱锥S ABCD 中，SO 为高，连接OC ．则△SOC 是直角三角形，由题意BC＝3，则OC ＝322，又因为SC ＝23，则SO ＝SC 2－OC 2＝12－92＝152＝302.故其高为302.正棱锥、正棱台中的计算技巧(1)正棱锥中的直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO ，底面为正方形，作PE ⊥CD 于E ，则PE 为斜高．①斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC ． ②斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE . ③侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC ． (2)正棱台中的直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O 1，O 分别为上、下底面中心，作O 1E 1⊥B 1C 1于E 1，OE ⊥BC 于E ，则E 1E 为斜高，①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E 1ECC 1. ②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O 1E 1EO . ③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O 1OCC 1.知识：1．棱柱、棱台、棱锥关系图2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较几何体结构棱柱棱锥棱台底面全等的多边形多边形相似的多边形侧面平行四边形三角形梯形侧棱平行且相等相交于顶点延长线交于一点平行于底面的截面与两个底面全等的多边形与底面相似的多边形与两个底面相似的多边形过不相邻两侧棱的截面平行四边形三角形梯形方法：棱锥、棱台中的计算问题的处理方法(1)求解此类问题的关键有两点：一是转化思想的应用；二是构造直角三角形、直角梯形．立体几何问题的求解一般都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法进行求解．(2)正棱锥、正棱台的侧面积和表面积问题，经常涉及侧棱、高、斜高、底面边心距和底面外接圆半径五个量之间的关系，即由侧棱、高、底面外接圆半径所组成的直角三角形、直角梯形或由高、斜高、底面边心距所组成的直角三角形、直角梯形求出所需要的量，从而使问题得以解决.1．在三棱锥ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D[在三棱锥ABCD中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个．]2．下列说法正确的是( )A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥D．底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥D[对于A，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故A说法错误；对于B ，不能保证底面为正多边形，故B 说法错误；对于C ，不能保证这些全等的等腰三角形的腰都作为侧棱，故C 说法错误．只有D 说法正确．]3．如图，在三棱台A ′B ′C ′ABC 中，截去三棱锥A ′ABC ，则剩余部分是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台B [剩余几何体为四棱锥A ′BCC ′B ′.]4．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________． 48 [正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48.]5．画一个三棱台，再把它分成： (1)一个三棱柱和另一个多面体； (2)三个三棱锥，并用字母表示． [解] 画三棱台一定要利用三棱锥．① ②(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A ′B ′C ′AB ″C ″，另一个多面体是C ′B ′BCC ″B ″. (2)如图②所示，三个三棱锥分别是A ′ABC ，B ′A ′BC ，C ′A ′B ′C ．。
1.1.2 构成空间几何体的基本元素.若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系用符号可以记作________．．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α..若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()．平行B．异面．相交D．平行、相交或异面．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；.下列命题中正确的个数是()如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.．0B．1．2D．3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是()．平行B．相交．平行或相交D．垂直知识点四直线与平面垂直.下列说法中，正确的有()如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．．0个B．1个．2个D．3个．以下四个命题中，正确的命题有()在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交．．③④B．②③④．②④D．①④．如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，则直线MA与平面ABC的关系为________；点M到平面ABC的距离为________．关键能力综合练进阶训练第二层、选择题．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是()．l⊂αB．l∉α．l∩α＝A D．l∩α＝B．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()．2对B．3对．6对D．12对．两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点．中正确的个数是()．1B．2．3D．4．直线c、d与异面直线a、b都相交，则c、d的位置关系是()．平行B．相交．异面D．相交于一点或异面．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()．α内的所有直线均与a异面．α内不存在与a平行的直线．α内的直线均与a相交．直线a与平面α有公共点．(易错题)与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是() ．都平行．都相交．在两个平面内．至少与其中一个平面平行、填空题．若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．．在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．．如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号)．不可能只有两条交线；必相交于一点；必相交于一条直线；必相交于三条平行线．、解答题0．(探究题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系；2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；4)平面ABCD与平面CDD1C1的位置关系．学科素养升级练进阶训练第三层．(多选)若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线可能的位置关系为()．平行B．异面．相交D．垂直．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，且AD＝2，则直线AB到平面A1B1C1的距离是________．．(学科素养——直观想象)如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，在图1中，E，F分别是C1D1，BB1的中点，画出图1，图2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．1图211．1.2构成空间几何体的基本元素必备知识基础练．答案：A∈b，b⊂β，A∈β．解析：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①；2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②；3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.．答案：D析：可借助长方体来判断．图，在长方体ABCD -A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．．答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面析：(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，A1B∥D1C.2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．．答案：B析：如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确．故选B.．答案：C析：根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系．如图所示．．答案：B析：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条；而④，也有可能相交，所以错误．．答案：A析：当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．．答案：垂直 3析：由射影的定义知，MA⊥平面ABC，由勾股定理，得MA＝3，所以点M到平面ABC的距离为MA＝3.关键能力综合练．答案：A析：∵l∩a＝A又a⊂α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l⊂α.．答案：C析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.．答案：B析：①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确．．答案：D析：已知直线a与b是异面直线，设直线c与直线d分别与两条异面直线a与直线b相交于点A，B，C，D，点B与点C重合时，两条直线c与d相交，当点B与点D不重合时，两条直线c与d异面．．答案：D析：若直线a不平行于平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确．．答案：D析：一条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与其中一个平面平行．．答案：相交析：∵点A∈α，B∉α，C∉α，平面ABC与平面α有公共点，且不重合，平面ABC与平面α的位置关系是相交．．答案：8析：以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．．答案：①析：空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点．0．解析：(1)AM所在的直线与CN所在的直线异面；2)CN所在的直线与平面ABCD相交；3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；4)平面ABCD与平面CDD1C1相交．学科素养升级练．答案：ABCD析：平面α、β相交于直线l，如图所示，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，此时a∥b；a⊂α，c⊂β，a、c异面；c⊂β，d⊂α，c、d相交；a⊂α，c⊂β，c⊥α，a与c垂直．以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交，也可能垂直．．答案：2析：如图，取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC.各棱长为a，则AE＝32a，DE＝12a.侧棱垂直于底面，∴DE⊥平面ABC, DE⊥AE，AE2＋DE2＝AD2＝22，∴a＝2.BB1⊥平面A1B1C1，直线AB到平面A1B1C1的距离是BB1＝2DE＝a＝2.．解析：在图1中，设N为CD的中点，连接NE，NB，则EN∥BF，∴B，N，E，F四点共面．∴EF与NB的延长线相交，设交点为M，连接AM.∵M∈EF，且M∈NB，EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，∴M是平面ABCD与平面AEF的公共点，又∵点A是平面ABCD和平面AEF的公共点，∴AM为两平面的交线．图2中，延长DC到点M，使CM＝DC，连接BM，C1M，则C1M∥D1C∥A1B，∴M在平面A1BC1内．∵M在平面ABCD内，∴M是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，又B是平面A1BC1与平面ABCD的公共点，∴BM是平面A1BC1与平面ABCD的交线．1图2。
单元综合测试三（第十一章)时间：120分钟分值:150分第Ⅰ卷(选择题,共60分）一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．垂直于同一条直线的两条直线一定( D ）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能解析：两条直线同时垂直于同一条直线,这两条直线可能平行、相交、异面．2．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，AB ＝BC＝2BB1＝2，AC＝2错误!，则异面直线BD与AC所成的角为（ C )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：如图,取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝错误!，所以∠BDE＝60°。
3．下列说法正确的是( D ）①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内．A．①③B．②③C．②③④D．④解析:过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β,a⊥α，则a⊂β或a∥β，所以②不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个，所以③也不对．4．如图，在斜三棱柱ABC。
A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ A ）A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵BC1⊥AC，BA⊥AC,BA∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．5．已知PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是( C ）A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD解析：如图所示，由于PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥BD（即D正确）,BC⊥PA，BC⊥BA，而PA∩AB ＝A，所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB(即A正确)．同理PD⊥CD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确．6．三个球的半径之比为123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( C )A．1倍B．2倍C.错误!倍D。
11.1.3 多面体与棱柱必备知识·自主学习导思1.什么是多面体?多面体由哪些基本元素构成?2.什么是棱柱?如何表示?如何分类?3.各种棱柱之间有何关系?4.棱柱有哪些主要性质?一、多面体 定义由若干个平面多边形所围成的封闭几何体图及 相关 概念面:围成多面体的各个多边形 棱:相邻两个面的公共边 顶点:棱与棱的公共点面对角线:一个多面体中,连接同一面上两个顶点的线段,但不是多面体的棱体对角线:一个多面体中,连接不在同一面上两个顶点的线段 截面:一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)表面积:多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)命名多面体可以按照围成它的面的个数来命名,如五面体、八面体、十面体、十二面体等把多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则称这样的多面体为凸多面体.特别说明:我们所说的多面体,如果没有特别说明,指的都是凸多面体.(1)围成几何体的面是否都是平面?提示:不都是.通过观察圆柱、圆锥、圆台、球等可知:围成几何体的面并不都是平面.(2)多面体最少有几个面,几个顶点,几条棱?提示:多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱.二、棱柱定义有两个面互相平行,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体称为棱柱.图及相关概念底面:两个互相平行的面侧面:底面以外的其他各面侧棱:相邻两个侧面的公共边顶点:侧面与底面的公共顶点高:过棱柱一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度) 侧面积:棱柱的所有侧面的面积之和(1)依据侧棱与底面的关系分类①直棱柱(侧棱与底面垂直),特别地,底面是正多边形的直棱柱为正棱柱.②斜棱柱(侧棱与底面不垂直).(2)依据底面的形状分类三棱柱、四棱柱、五棱柱…(1)棱柱的底面是固定不变的吗?提示:不一定.例如:正方体、长方体都是棱柱,它们的任何一对对面都可以作为其底面.(2)平行六面体是棱柱吗?写出{四棱柱}、{平行六面体}、{直平行六面体}之间的包含关系? 提示:依据棱柱的定义可知,平行六面体是棱柱.{四棱柱}、{平行六面体}、{直平行六面体}之间的包含关系为:{四棱柱}⊇{平行六面体}⊇{直平行六面体}.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)棱柱可以看作由平面图形平移得到. ((2)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形. ((3)棱柱的两底面是全等的正多边形. ((4)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. ( 提示:(1)√.棱柱可以看作由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体.(2)×.棱柱的侧面都是平行四边形,底面也有可能是平行四边形.(3)×.棱柱两底面全等,但不一定是正多边形.(4)×.有一个侧面是矩形的棱柱不能保证侧棱与底面垂直.2.(教材二次开发:例题改编)已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为( A.4 B.【解析】选B.设长方体的三条棱的长分别为x,y,z,则,可得体对角线的长为===.个面;面数最少的棱柱有个顶点,有条棱.【解析】面数最少的棱柱是三棱柱,有5个面,6个顶点,9条棱.答案:569关键能力·合作学习类型一与多面体有关的概念(数学抽象、直观想象)1.如图所示的几何体,关于其结构特征,下列叙述错误的是(B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形2.下列说法:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.其中正确的个数是( A.1 B.2【解析】1.选D.该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥,因此它是这两个四棱锥的组合体,故四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面.2.选A.①不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;④正确,因为对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推断此时的平行六面体是直平行六面体.多面体的识别方法认识、判断一个多面体的结构特征,主要从侧面、侧棱、底面等角度描述,因此只有理解并掌握好各几何体的概念,才能认清其特征.类型二棱柱的结构特征(直观想象)【典例】1.下列关于棱柱的说法:(1)所有的面都是平行四边形.(2)四棱柱是平行六面体.(3)两底面平行,并且各侧棱也平行.(4)有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱.(5)底面是正多边形的棱柱是正棱柱.其中正确的序号是.2.判断下列四个多面体是否为棱柱?若是棱柱,如何用符号表示?【思路导引】1.依据棱柱及其有关的概念逐个进行判断.2.利用棱柱定义逐个判断,若是棱柱根据底面多边形的边数用恰当的符号表示.【解析】1.(1)错误.棱柱的底面不一定是平行四边形.(2)错误.四棱柱的底面可以是任意四边形,而平行六面体的底面必须是平行四边形.(3)正确.由棱柱的定义可知.(4)正确.依据定义直接判断为正确.(5)错误.底面是正多边形的直棱柱是正棱柱.答案:(3)(4)2.(1)是棱柱,可记为五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1.(2)不是棱柱,不满足棱柱的定义.(3)是棱柱,可记为三棱柱ABC-A1B1C1.(4)是棱柱,可记为四棱柱ABCD-A1B1C1D1.棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义:判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义.①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是平行四边形;②看“线”,即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.(2)举反例:通过举反例,如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合,给予排除.1.下列关于棱柱的叙述,错误的是(B.所有的棱柱一定有两个面互相平行,其余各面每相邻面的公共边互相平行C.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱【解析】选C.对于A,B,D,显然是正确的;对于C,与棱柱的定义比,没有说明各顶点都在平行的这两个面上这一条件,因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.所以C错误.2.一个棱柱是正四棱柱需满足的条件是(A.底面是正方形,有两个侧面是矩形B.底面是正方形,两个侧面垂直于底面C.底面是菱形,有一个顶点处的两条棱互相垂直D.底面是正方形,每个侧面都是全等矩形【解析】选D.对于A,满足了底面是正方形,但当侧面中的两个对面是矩形时并不能保证另两个侧面也是矩形;对于B,垂直于底面的侧面不能保证侧棱垂直于底面;对于C,底面是菱形但不一定是正方形,同时侧棱也不一定和底面垂直;对于D,侧面全等且为矩形,保证了侧棱与底面垂直,底面是正方形,保证了底面是正多边形,因而符合正棱柱的定义和基本特征.类型三多面体的展开图问题(直观想象、数学运算)角度1 由展开图复原多面体【典例】如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,有下列命题:①点H与点C重合;②点D与点M、点R重合;③点B与点Q重合;④点A与点S重合.其中正确命题的序号是.【思路导引】固定一个正方形(如FGPN)的位置,将其他正方形折起.先确定各正方形的位置,然后定顶点用什么字母表示.【解析】将其还原成正方体,如图.答案:②④若将一个正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,并沿该正方体的一条棱将正方体剪开,朝上展平得到如图所示的平面图形,试确定标“△”的面的方位.【解析】将三个空白正方形分别标为1,2,3,如图所示,易知1处标下,2处标西,△和3处应标南北,进一步根据“上北下南左西右东”可知,△处标北.角度2 求最大值、最小值问题【典例】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2 cm,BC=3 cm,CC1=4 cm,一只蚂蚁从A点沿着表面爬行到C1点参加某项活动,长方体6个面都可爬行,蚂蚁前进的最短距离是多少?【思路导引】分三种方法计算,比较大小得最短距离.【解析】长方体ABCD-A1B1C1D1的表面如图三种方法展开后,A,C1两点间的距离分别为:=,=3,= ,三者比较得是从点A沿表面到C1的最短距离,所以最短距离是cm.多面体展开图问题的解题策略(1)由展开图复原几何体:首先想象出复原后的几何体,再将展开图中的面、点标注到该几何体上.(2)多面体表面上两点间的最短距离问题常常要归纳为求平面上两点间的最短距离问题.常见的解法是先把多面体的表面展开成平面图形,再用平面几何知识求有关线段的长度.1.(2020·长沙高一检测)在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,过A,E,F三点作该正方体的截面,则截面的周长为( +6+4+3 D.6+3【解析】选D.如图,延长EF与A1B1的延长线相交于M,连接AM交BB1于H,延长FE与A1D1的延长线相交于N,连接AN交DD1于G,可得截面五边形AHFEG.因为ABCD-A1B1C1D1是边长为6的正方体,且E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,所以EF=3,AG=AH==2,GE=FH==.所以截面的周长为6+3.2.如图都是正方体的表面展开图,还原成正方体后,其中两个完全一样的是.【解析】(1)图还原后,①⑤对面,②④对面,③⑥对面;(2)图还原后,①④对面,②⑤对面,③⑥对面;(3)图还原后,①④对面,②⑤对面,③⑥对面;(4)图还原后,①⑥对面,②⑤对面,③④对面;综上,可得还原成正方体后,其中两个完全一样的是(2)(3).答案:(2)(3)3.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=2,由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1,与AA1的交点记作M.求:(1)三棱柱侧面展开图的对角线长;(2)从B经M到C1的最短路线长及此时的值.【解析】将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形BB1B1′B′(如图).(1)因为矩形BB1B1′B′的长BB′=6,宽BB1=2,所以三棱柱侧面展开图的对角线长为=2.(2)由侧面展开图可知:当B,M,C1三点共线时,由B经M到C1的路线最短,所以最短路线长为BC1==2,显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M,所以A1M=AM,即=1.课堂检测·素养达标1.下图中属于棱柱的有( )A.2个C.4个【解析】选C.根据棱柱的定义,第一行中前两个和第二行中后两个为棱柱.2.下列说法中正确的是(【解析】选C.直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故A错;直平行六面体的底面不一定是矩形,故B错;C正确;底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱,故D错.3.(教材二次开发:练习改编)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是.【解析】如图,截面与平面ABB1A1的交线MN是三角形AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,又MN=,CD1=2,CN=,MD1=,故梯形的高为=,则截面的面积为(+2)×=.答案:4.下面是关于四棱柱的几个说法:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱.其中,说法正确的序号是.【解析】因为必须是相邻的两个侧面垂直于底面,则四棱柱为直四棱柱,因此①错误;③中,也不符合直四棱柱的定义,排除;只有②符合定义.答案:②1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱对应边上的中点,过此四点作截面EFGH,把三棱柱分成两部分,各部分形成的几何体是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.【解析】截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.十多面体与棱柱(15分钟30分)1.四棱柱有几条侧棱,几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱,八个顶点.2.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是( )【解析】选D.共有3个:棱柱AA1P-DD1Q,棱柱ABEP-DCFQ,棱柱BEB1-CFC1.3.如图所示是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为( )A.6B.7C.8【解析】选B.还原几何体,如图所示.由图观察知,该几何体有7个顶点.4.(2020·昭通高一检测)如图是一个正方体的表面展开图,若图中“努”在正方体的后面,那么这个正方体的前面是( )A.定B.有C.收【解析】选B.这是一个正方体的表面展开图,共有六个面,其中面“努”与面“有”相对,所以图中“努”在正方体的后面,则这个正方体的前面是“有”.5.用一个平面去截一个正方体,截面边数最多是.【解析】因为用平面去截正方体时,最多与六个面相交得六边形,即截面的边数最多为6.答案:66.现有两个完全相同的长方体,它们的长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm,现将它们组合成一个新的长方体,这个新长方体的体对角线的长是多少?【解析】将两个完全相同的长方体组合成新长方体,其情形有以下几种:将面积为5×3=15(cm2)的面重叠到一起,将面积为5×4=20(cm2)的面重叠到一起,将面积为4×3=12(cm2)的面重叠到一起.三种情形下的体对角线分别为:l1==7(cm),l2==(cm),l3==5(cm).(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如图正方体的棱长为1,在面对角线A1B上存在一点P使得|AP|+|D1P|取得最小值,则最小值为( )A.2B.C.2+D.【解析】选D.如图所示,将平面A1BCD1绕A1B旋转至A1ABB1,连接AD1交A1B于P,则|AD1|==.2.(2020·厦门高一检测)设M是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点M到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离都相等,则符合条件的点M ( ) A.仅有一个C.有无限多个【解析】1B1C1D1的对角面BDD1B1(含边界)内的点,若点M到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离都相等,则符合条件的点M只能为正方体ABCD-A1B1C1D1的中心.3.如图所示,正方体棱长为3 cm,在每个面正中央有个入口为正方形的孔道通到对面,孔的入口正方形边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体各棱.则所得几何体的总表面积为( )A.54 cm2B.76 cm2C.72 cm2D.84 cm2【解析】选C.由题意知该几何体的总表面积包含外部表面积与内部表面积.S外=6×32-6×12=48(cm2),S内=4×6=24(cm2).所以S总=48+24=72(cm2).1B1C1中,AB=BC=,BB1=2,∠ABC=90°,E,F分别为AA1,C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为( ) A. B. C.【解析】选C.由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形.①若把平面ABB1A1和平面B1C1CB展开在同一个平面内,则线段EF在直角三角形A1EF中,由勾股定理得EF===.②若把平面ABB1A1和平面A1B1C1展开在同一个平面内,设BB1的中点为G,在直角三角形EFG中,由勾股定理得EF===.③若把平面ACC1A1和平面A1B1C1展开在同一个平面内,过F作与CC1平行的直线,过E作与AC平行的直线,所作两线交于点H,则EF在直角三角形EFH中,由勾股定理得EF===.综上可得从E到F两点的最短路径的长度为.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的四面体)的展开图的是( )【解析】选CD.可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现A,B可折成正四面体,C,D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.6.(2020·滨州高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,已知平面α⊥AC1,则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( ) 【解析】选ACD.如图,显然A,C成立,下面说明D成立,如图设截面为多边形GMEFNH,设A1G=x,则0≤x≤1,则GH=ME=NF=x,MG=HN=EF=(2-x),MN=2,所以多边形GMEFNH的面积为两个等腰梯形的面积和,所以S=·(GH+MN)·h1+·(MN+EF)·h2,因为h1==,h2==,所以S=(x+2)·+[2+(2-x)]·=-x2+2x+2. 当x=1时,S max=3,故D成立.三、填空题(每小题5分,共10分)7.侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱.侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.底面是矩形的直平行六面体称为长方体.棱长都相等的长方体称为正方体.请根据上述定义,回答下面的问题:(1)直四棱柱是长方体.(2)正四棱柱是正方体.(填“一定”“不一定”或“一定不”)【解析】由直四棱柱的定义可知,直四棱柱不一定是长方体;长方体一定是直四棱柱;由正四棱柱的定义可知,正四棱柱不一定是正方体;正方体一定是正四棱柱.答案:(1)不一定(2)不一定8.正方体的棱长为a,且正方体各面的中心是一个几何体的顶点,这个几何体的棱长为.【解析】如图所示,取棱中点O,连接OD,OE,由正方体的性质可得OD⊥OE,OD=OE=a,则DE==a,即几何体的棱长为 a.答案: a四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知正六棱柱的一条最长的体对角线长是13,侧面积为180,求正六棱柱的全面积.【解析】如图所示,设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长为h,易知CF′是正六棱柱的一条最长的体对角线,即CF′=13.因为CF=2a,FF′=h,所以CF′===13.①因为正六棱柱的侧面积为180,所以S侧=6a·h=180.②联立①②解得,或.当a=6,h=5时,2S底=6×a2×2=108.所以S全=180+108.当a=,h=12时,2S底=6×a2×2=,所以S全=180+.10.直四棱柱的底面是矩形,且底面对角线的夹角为60°,对角面的面积为S,求此直四棱柱的侧面积.【解析】如图所示,设侧棱长为l,底面对角线长为t,则AC=BD=t,设AC与BD相交于O点,则∠AOD=60°,∠AOB=120°,所以△AOD是等边三角形.所以AD=OA=AC=t.所以△AOB是顶角为120°的等腰三角形,AB=OA=t.又因为对角面的面积为S,S=t·l,所以t=.所以AD=t=,AB=t=.所以S侧=2(AD+AB)l=l=(+1)S.瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体(即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中,直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体)的顶点数V、棱数E及面数F满足等式V-E+F=2,这个等式称为欧拉多面体公式,被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一,现实生活中存在很多奇妙的几何体,现代足球的外观即取自一种不完全正多面体,它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正六边形面料构成的.20世纪80年代,化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构,排列出全世界最小的一颗“足球”,称为“巴克球”.则“巴克球”的顶点个数为( )A.180B.120C.60【解析】选C.依题意,设巴克球顶点数V、棱数E及面数F,则F=20+12=32,每条棱被两个面共用,故棱数E==90,所以由V-E+F=2得:V-90+32=2,解得V=60.。
