人教版九年级数学下册第28.2： 解直角三角形及应用讲义

讲义主题：解直角三角形一：课前纠错与课前回顾1、作业检查与知识回顾2、错题分析讲解（1）（2）（3）二、课程内容讲解与课堂练习【题模1】：解直角三角形1.如图，在四边形ABCD中，90BC=，4AB=，2B D∠=∠=︒，3A=，tan3则CD=__________．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm3.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）C+1DA．2B．4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanC=，AC=3，AB=4，求△ABC的周长．5.将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB 与∠DCE 完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，，DE=6，则EB=____．【讲透例题】 1.【答案】65【解析】解：延长AD 和BC 交于点E ．Rt ABE ∆在中，4tan 3A =，3AB =， 4BE ∴=，422EC BE BC ∴=-=-=，ABE ∆和CDE ∆中，90B EDC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，DCE A ∴∠=∠，Rt CDE ∴∆中，4tan tan 3DE DCE A DC ∠===，∴设4DE x =，则3DC x =，在Rt CDE ∆中，222EC DE DC =+，224169x x ∴=+， 解得：25x =，则65CD =．2.【答案】C【解析】∵sinA==，∴设BC=4x ，AB=5x ， 又∵AC 2+BC 2=AB 2，∴62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），则BC=4x=8cm，3.【答案】D【解析】在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=1，则AD=CD=1，在Rt△CDB中，∠B=30°，CD=1，则．故故选D．4.【答案】10+3+．【解析】在Rt△ADC中，tanC==，设AD=k，CD=2k，AC==k，∵AC=3，∴k=3，解得k=3，∴AD=3，CD=6，在Rt△ABD中，BD===，∴△ABC的周长=AB+AC+BD+CD=4+3++6=10+3+．5.【答案】【解析】 在Rt △ABC 中， ∵，∠A=45°， ∴×2=4 在Rt △EDC 中， ∵∠EDC=60°，DE=6，∴CE=DE•sin ∠EDC=6×2∴．故填空答案：． 【讲透考点】一．解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形． 二．解直角三角形要用到的关系1．三边之间的关系222a b c +=2．两锐角之间关系90A B ∠+∠=︒3．边角之间的关系sin =A a A c ∠=的对边斜边， sin =B bB c ∠=的对边斜边； cos =A b A c ∠=的邻边斜边， cos =B aB c ∠=的邻边斜边； tan =A a A b ∠=的对边邻边， tan =B bB a∠=的对边邻边．三．圆中的相关计算1．利用勾股定理和锐角三角函数求解圆中有关直角三角形的边长问题；2．利用直径所对圆周角为90︒，构造直角三角形； 3．利用切线的性质求解线段长度．【相似题练习】1.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若1BC =，2AC =，则sin A 的值为（ ）ABC ．12D ．22.如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sinA=35，则下列结论正确的个数有（ ）①DE=3cm ；②BE=1cm ；③菱形的面积为15cm 2；④． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3.已知：如图，线段AB 、DE 表示一个斜靠在墙上的梯子的两个不同的位置，若CB ＝3m ，∠ABC ＝45°，要使∠EDC ＝60°，则需BD ＝__________m ．4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线交BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，点F 恰好是AB 的一个三等分点（AF ＞BF ）．（1）求证：△ACE ≌△AFE ；（2）求tan ∠CAE 的值．【题模2】：锐角三角函数的实际应用1.如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离8CE =m ，测得旗杆的顶部A 的仰角30ECA ∠=︒，旗杆底部B 的俯角45ECB ∠=︒，那么，旗杆AB 的高度是（ ）A ．(mB ．(8m +C ．m ⎛⎝⎭D ．8m ⎛+ ⎝⎭2.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i=1：5，则AC 的长度是____cm ．3.有一轮船在A 处测得南偏东30°方向上有一小岛P ，轮船沿正南方向航行至B 处，测得小岛P 在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C 处，测得小岛P 在正东方向上，则A ，B 之间的距离是（ ）海里．A ．10B ．10 C ．10 D ．10﹣104.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ）A ．8.1米B ．17.2米C ．19.7米D ．25.5米 5.如图，在一条笔直的东西向海岸线l 上有一长为1.5km 的码头MN 和灯塔C ，灯塔C 距码头的东端N 有20km ．以轮船以36km/h 的速度航行，上午10：00在A 处测得灯塔C 位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B 处测得灯塔C 位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C 相距12km ．（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）【讲透例题】 1.【答案】D【解析】∵30ECA ∠=︒，8CE =m ，∴tan 8tan30AE CE ECA =⋅∠=⨯︒=m ）．∵45ECB ∠=︒，8CE =m ，∴tan 818BE CE ECB =⋅∠=⨯=（m ）．∴8AB AE BE ⎫=+=⎪⎪⎝⎭m ． 2.【答案】210 【解析】过点B 作BD ⊥AC 于D ，根据题意得：AD=2×30=60（cm ），BD=18×3=54（cm ）， ∵斜坡BC 的坡度i=1：5， ∴BD ：CD=1：5，∴CD=5BD=5×54=270（cm ）， ∴AC=CD-AD=270-60=210（cm ）． ∴AC 的长度是210cm ． 故答案为：210． 3.【答案】D【解析】由题意得：∠CAP=30°，∠CBP=45°，BC=10海里， 在Rt △BCP 中， ∵∠CBP=45°， ∴CP=BC=10海里， 在Rt △APC 中，AC=tan PC CAP =∠海里，∴AB=AC ﹣BC=（10）海里，4.【答案】A【解析】作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AE•tan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；5.【答案】（1）轮船照此速度与航向航向，上午11：：00到达海岸线；（2）轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．【解析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，∴∠BCA=90°，∵BC=12，AB=36×=24，∴AB=2BC，∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，∴∠BDC=∠BCD=30°，∴BD=BC=12，∴时间t==小时=20分钟，∴轮船照此速度与航向航向，上午11：：00到达海岸线．（2）∵BD=BC，BE⊥CD，∴DE=EC，在RT△BEC中，∵BC=12，∠BCE=30°，∴BE=6，EC=6≈10.2，∴CD=20.4，∵20＜20.4＜21.5，∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．【讲透考点】一．仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上方是仰角；视线在水平线的下方是俯角，如图一所示．（上仰下俯）二．坡度与坡角坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度．用字母i 表示，tan h i l α== 坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角．用字母α表示．三．方位角指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90︒的角叫做方位角．四．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：说明：解直角三角形的方法：有斜则弦，无斜则切，宁乘毋除，取原避中．五．用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：1. 审题；通过图形，弄清已知和未知．2. 找出相关的直角三角形（或通过辅助线作出）；把问题转化为解直角三角形问题．3. 根据直角三角形边、角关系解直角三角形．【相似题练习】lh1.如图，已知楼高AB 为50m ，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD 为50m ，塔高DC，下列结论中，正确的是（ ） A ．由楼顶望塔顶仰角为60︒ B ．由楼顶望塔基俯角为60︒C ．由楼顶望塔顶仰角为30︒D ．由楼顶望塔基俯角为30︒2.如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为1：，点P ，H ，B ，C ，A 在同一个平面上，点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH 丄HC ．（1）山坡坡角（即∠ABC ）的度数等于 度；（2）求A 、B 两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）． 3.如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B 、C 之间的距离为（ ）A ．20海里B ．C ．海里 D ．30海里4.如图，活动课上，小王想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE 的高度，她先在山脚下的点E 处测得山顶A 的仰角是30°，DCB A然后，她沿着坡度i=1：1的斜坡步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15°．已知小王的步行速度是20米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41）．5.南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，=1.732，=1.414）。