人教版 九年级下册数学解直角三角形及其应用学案

人教版九年级下册28.2解直角三角形及其应用1. 知识点概述在九年级数学中，直角三角形是一个重要的知识点。

直角三角形的三条边中，有一条是直角边，另外两条是斜边。

根据直角三角形的定义可以引出勾股定理，即直角三角形的直角边被平分时，两个形成的直角三角形的面积之和等于原来直角三角形的面积。

直角三角形的解法，主要包括正弦、余弦、正切定理，以及各种简化公式。

直角三角形的应用范围广泛，既可以运用到实际场景中，也可以用于其他数学知识点的证明。

2.教学目标通过本节课的学习，让学生理解和掌握：1.直角三角形的定义，以及勾股定理的表达式和证明过程；2.正弦、余弦、正切定理的概念及其应用场景；3.课程设计的实际应用，培养学生的实际运用能力。

3.教学重难点本课的教学重点主要为：1.掌握直角三角形的定义和勾股定理表达式、证明过程；2.熟练掌握正弦、余弦、正切定理，能够熟练运用到实际问题中。

本课的教学难点主要在于：1.证明勾股定理的过程需要运用到平方、倍数等知识点；2.能够将正弦、余弦、正切定理运用到实际问题中。

4.1 教学内容本课程主要内容涵盖：1.直角三角形的定义；2.勾股定理之证明；3.正弦、余弦、正切定理的概念及其应用场景。

4.2 教学方法本课程采取互动教学的方式，通过讲授、练习、游戏等多种形式的互动，提高学生的学习积极性和课堂互动性。

4.3 思考题以下是三个用勾股定理解决的问题，请尝试并思考解决方法：问题1：一个三角形的两条边长分别为3、4，且夹角为90度，求第三条边长。

问题2：一个房子和树之间有一个湖，某人想测出湖的宽度，他呢利用何种工具和方法，能够在不跨过湖和房子、树之间的情况下，测出湖面宽度。

问题3：一个手表的表盘半径为3.5cm，计时者与表对面相距30cm，则计时者所能看到的表盘面积是多少？4.4 作业布置根据上课内容，完成以下作业：1.认真学习和掌握本节课的知识点，并背诵正弦、余弦、正切定理；2.完成作业册中的相关题目。

人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》教学设计1一. 教材分析人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》是本节课的主要内容。

这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行学习的。

本节课的主要内容有：了解解直角三角形的定义，掌握解直角三角形的方法，以及解直角三角形在实际生活中的应用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质，对于这部分内容的理解和掌握程度参差不齐。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，对于理解程度较好的学生，可以适当提高教学难度，对于理解程度较差的学生，需要进行个别辅导，帮助其理解和掌握本节课的内容。

三. 教学目标1.了解解直角三角形的定义，掌握解直角三角形的方法。

2.能够运用解直角三角形的方法解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.解直角三角形的定义和方法的掌握。

2.解直角三角形在实际生活中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生发现问题，解决问题，从而掌握解直角三角形的方法和应用。

同时，采用案例分析法，通过分析实际生活中的案例，让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用。

六. 教学准备1.PPT课件2.实际案例资料七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾锐角三角函数和直角三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）讲解解直角三角形的定义和 methods，结合PPT课件，让学生直观地了解解直角三角形的过程。

3.操练（15分钟）让学生通过实际案例，运用解直角三角形的方法进行计算，巩固所学知识。

教师在此过程中进行个别辅导，帮助学生解决问题。

4.巩固（10分钟）让学生完成练习题，检查学生对解直角三角形方法的掌握程度。

教师对学生的答案进行讲解，纠正错误，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）分析实际生活中的案例，让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用。

课题 28.2 解直角三角形（一）一、教学目标1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．三、教学步骤(一)复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.(2)三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）教学过程1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题例 1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．解 ∵tanA=a b ∴ 60B ∠=∴ 9030A B ∠=-∠=∴C=2b=例 2在Rt △ABC 中， ∠B =35，b=20，解这个三角形． 引导学生思考分析完成后，让学生独立完成 在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．35B ∠-∠=-=解:A=909055tan b B a=2028.6tan tan 35b a B ∴==≈n 2035.1sin sin 35b si B cb c b =∴==≈完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底注意：例1中的b 和例2中的c 都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。

人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》教学设计2一. 教材分析人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》是本节课的教学内容。

这部分内容主要包括直角三角形的性质、锐角三角函数的概念及应用。

通过这部分内容的学习，学生能够理解和掌握直角三角形的性质，熟练运用锐角三角函数解决实际问题。

教材通过丰富的案例和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了锐角三角函数的概念和直角三角形的性质。

但部分学生在应用锐角三角函数解决实际问题时，仍存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，针对性地进行辅导，帮助学生提高解题能力。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念及应用。

2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念及应用。

2.教学难点：运用锐角三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入锐角三角函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.案例教学法：分析实际问题，引导学生运用锐角三角函数解决问题。

3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。

4.启发式教学法：引导学生主动思考，提高学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示教学内容。

2.练习题：准备相关练习题，巩固所学知识。

3.教学工具：准备三角板、直尺等教学工具，便于直观展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如测量楼高、电视塔高度等，引导学生思考如何利用数学知识解决实际问题。

激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）讲解直角三角形的性质，引导学生掌握锐角三角函数的概念。

通过示例，演示如何运用锐角三角函数解决实际问题。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，分析练习题。

师：尝试写出∠A 的三角函数。

生：∠A 的正弦值：sin A=∠A 所对的边斜边= ac∠A 的余弦值：cos A= ∠A 所邻的边斜边= bc∠A 的正切值：tan A=∠A 所对的边邻边= ab师：将 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：生：变式1-1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a = 30， b = 20，根据条件解直角三角形.变式1-2 在△ABC 中，∠C =90∘, AB =6, cosA =13，则AC 等于（ ）A ．18B ．2C ．12D ．118变式1-3在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．msin35° B ．mcos35° C ．m sin35°D ．mcos35°变式1-4 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35° ，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 变式1-5 如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB ＝2米， 要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC ，使光线不 能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（ ） A ．2tan70°米 B ．2sin70°米 C ．2.2tan70°米 D ．2.2cos70°米平线下方的叫做俯角。

指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 师：尝试说出A,B关于坐标原点O的位置？生：点A位于点O北偏东30°位置，点B位于点O南偏西45°位置[多媒体展示]热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。

人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》教学设计3一. 教材分析《人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》》这一章节是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行学习的，目的是让学生能够运用解直角三角形的知识解决实际问题。

本章节主要包括解直角三角形的概念、方法及其应用。

通过本章节的学习，学生能够进一步理解和掌握解直角三角形的方法，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本章节之前，已经掌握了锐角三角函数的知识，具备了一定的几何基础。

但是，对于解直角三角形的应用，学生可能还不够熟悉，需要通过实例讲解和练习来提高理解。

同时，学生可能对于实际问题的解决还缺乏一定的思路和方法，需要教师进行引导和指导。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握解直角三角形的概念、方法及其应用。

2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的概念、方法及其应用。

2.难点：如何运用解直角三角形的知识解决实际问题。

五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法。

通过实例讲解和练习，引导学生掌握解直角三角形的方法，并通过讨论和探究，提高学生解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、课件等。

2.学具准备：练习本、直尺、三角板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习锐角三角函数的知识，引导学生回顾已学的三角函数概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）（1）讲解解直角三角形的概念，介绍解直角三角形的定义及其性质。

（2）讲解解直角三角形的方法，包括勾股定理、三角函数的定义等。

（3）通过示例，演示解直角三角形的具体步骤和应用。

3.操练（10分钟）学生独立完成练习题，巩固所学知识。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）学生分组讨论，总结解直角三角形的方法和技巧。

28．2 解直角三角形及其应用28．2.1 解直角三角形教学目标知识与技能1．使学生理解解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形．2．会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 过程与方法通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯．重点难点重点直角三角形的解法．难点三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程一、创设情境，导入新课在直角三角形中，共有三条边、三个角(六个元素)，你能根据所学谈谈它们之间的关系吗？教师提出问题，引导学生思考，然后小组内讨论、回答．教师根据学生的回答归纳．在直角三角形中：1．三边之间关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)2．锐角之间关系：∠A ＋∠B ＝90°.3．边角之间关系正弦函数：sin A ＝∠A 的对边斜边余弦函数：cos A ＝∠A 的邻边斜边正切函数：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边以上三点是解直角三角形的依据，熟知后运用．教师提出问题，引导提示学生思考总结(引问：边与边、角与角、边与角之间的关系)． 学生尝试总结回答，教师讲评汇总．二、合作交流，探究新知探究：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.(1)若∠A ＝35°，AB ＝10，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？(2)若AB ＝10，BC ＝5，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？(3)若∠A ＝35°，∠B ＝55°，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？(4)在直角三角形中知道几个元素就可以求出其他元素？(只探讨方法，不解出结果)归纳：1.在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道两个元素(其中至少有一条边)，就可以求出其余的三个元素．2．定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．3．解直角三角形，只有下面两种情况：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角．【教学说明】1.教师提出问题引导学生思考分析，并作简要讲评．2．学生思考回答，注意在解题过程中方法的多样性．3．教师根据学生回答汇总归纳．4．学生理解归纳，重点在于理解解直角三角形的方法．三、运用新知，深化理解例1 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；(2)若a ＝6 2，b ＝6 6，求∠A ，∠B 的度数和边c 的长．分析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c，即c ＝a cos B ＝3632＝24 3，∴b ＝sin B ·c ＝12×24 3＝12 3； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝6 2，b ＝6 6，∴tan A ＝a b ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．例2 一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝12 2，试求CD 的长．分析：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝12 2，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝BC sin45°＝12 2×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM tan60°＝4 3，∴CD ＝CM－MD ＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．例3 如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝37，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积．分析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解．解：∵∠C ＝90°，∴在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝37，设BC ＝3k ，则AB ＝7k (k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝3k ＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝142－62＝410，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×410×6＝1210.即△ABC 的面积是1210. 方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．四、课堂练习，巩固提高1．教材P74练习．2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”内容．五、反思小结，梳理新知本节学了哪些内容？你有哪些认识和收获？1．直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系(基础)．2．解直角三角形定义．3．解直角三角形方法(重点)．教师引导学生自我总结，梳理知识结构，结合实例归纳解法，明晰思路．六、布置作业1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．2．教材P77习题28.2第1题．7C 学科网，最大最全的中小学教育资源网站，教学资料详细分类下载！。

人教版九年级下册28.2解直角三角形及其应用教学设计一、教学目标1.知识目标：了解直角三角形的定义及其性质，掌握解直角三角形的方法和应用，学会解决实际问题。

2.能力目标：培养学生分析问题、解决问题的能力和运用理论解决实际问题的能力。

3.情感目标：激发学生对几何的兴趣，以及实践运用数学解决问题的积极性。

二、教学重点和难点1.教学重点：直角三角形及其性质、解直角三角形的方法和实际应用。

2.教学难点：运用解直角三角形的方法解决实际问题。

三、教学内容和学法1.教学内容：人教版九年级下册第28讲第2题，解直角三角形及其应用。

2.学法：激发学生自主学习的兴趣，引导学生通过思维导图、课外阅读等方式探究知识点。

四、课前准备1.教师准备：制定教学计划、备课，准备相关教学工具和素材。

2.学生准备：预习课本相关内容，准备笔记本和作业资料。

1. 导入1.检查学生预习情况，简单回顾上节课的知识点，如直角三角形的定义、性质等。

2.激发学生对本次课的学习兴趣，以适当的方式引入本次课的主题。

2. 学习过程（1）新课呈现1.结合教材，讲解直角三角形及其性质，重点讲解勾股定理以及计算斜边和两直角边之间的关系。

2.演示解直角三角形的方法，如正弦定理、余弦定理等，并重点讲解应用。

3.通过课外阅读等方式，引导学生进一步了解应用，并提高学生解决实际问题的能力。

（2）案例分析1.提供实际问题，引导学生运用学过的知识点进行解决。

2.学生在教师引导下，尝试运用在课上学到的知识点进行分析，解决实际问题。

3.教师在学生解答后，现场指出解决问题的正确与否，鼓励学生分析错误的原因并改正。

3. 总结1.对本节课所学的知识进行一个简单的总结。

2.引导学生回顾课上的收获，思考哪些知识点还需要加强。

3.鼓励学生积极思考，提高自主学习能力。

1.本节课的重点难点和案例分析都能够让学生得到实际应用的训练，让他们体验到数学在实际生活中的应用。

2.学生自主学习的情况较好，但少数学生在解决实际问题时遇到困难，需要进一步指导和帮助。