应用一元一次方程水箱变高了定义

一、概述水箱变高了是一个常见的一元一次方程应用题，它涉及到数学在实际生活中的应用，对于学生来说具有一定的教育意义。

在解决这类问题时，需要运用一元一次方程的知识，通过设立未知数、建立方程式、解方程等步骤来求解问题。

本文将通过具体的例题分析，帮助读者更好地理解并掌握解决这类问题的方法。

二、问题描述某地区的一个水箱的水位原来是30米，后来升高了h米。

经过一段时间，水箱的水位降低到了原来的一半，那么水箱升高了多少米？三、问题分析1. 设定未知数：我们可以设未知数x表示水箱升高的高度。

2. 建立方程式：根据题意，可以列出方程式：30 + x = 2（30 + x - h）。

3. 解方程求解：通过解方程来求解出水箱升高的高度x。

四、具体步骤1. 设定未知数：设水箱升高的高度为x米。

2. 建立方程式：根据题意，可以列出方程式：30 + x = 2（30 + x - h）。

3. 解方程求解：通过解方程求出x的值。

4. 检验答案：将得到的结果代入原方程中进行检验。

五、具体计算1. 设定未知数：设水箱升高的高度为x米。

2. 建立方程式：30 + x = 2(30 + x - h)。

3. 解方程求解：通过解方程30 + x = 60 + 2x - 2h，得到x = 30 - 2h。

4. 检验答案：将x = 30 - 2h代入方程30 + x = 2(30 + x - h)中进行检验：30 + (30 - 2h) = 2 * [30 + (30 - 2h) - h]化简得到：30 + 30 - 2h = 60 + 60 - 4h - 2h化简得到：60 - 2h = 120 - 6h化简得到：4h = 60化简得到：h = 15六、问题解答根据计算，水箱升高了15米。

七、总结通过上述的步骤，我们成功地解决了水箱变高了的一元一次方程应用题。

在解决这类问题时，关键在于正确地建立方程式，然后通过解方程的方法求解未知数。

为了确保解答正确，还需要对得到的结果进行检验。

53应用一元一次方程——水箱变高了
假设有一个水箱，原来的高度为x，突然上升了h，现在的高度为
x+h。

我们知道，水箱的体积等于底面积乘以高度。

假设水箱的底面积为A，则原来的体积为V1=A*x，现在的体积为V2=A*(x+h)。

根据题意，水箱的体积变大了。

即V2-V1>0，即A*(x+h)-A*x>0，即
A*h>0。

由于A是一个正数（底面积不会为负），所以我们可以得到h>0。

这个结果告诉我们，水箱的高度变大了，即增加了一些高度。

现在，我们来解一元一次方程来计算出增加的高度h。

根据上面的推导，我们得到了方程A*h>0，我们可以通过将A*h除以
A来消去A，得到h>0。

这说明增加的高度必须大于0。

这样，我们可以得到结论，水箱的高度上升了。

例如，假设水箱原来的高度为2米，突然上升了1米。

那么现在的高
度就变成了2+1=3米。

通过解一元一次方程，我们可以计算出增加的高度为1米。

总结一下，应用一元一次方程可以帮助我们解决一些与高度变化、体
积变化相关的问题。

在这个例子中，我们解一元一次方程来计算出水箱增
加的高度。

当然，水箱变高了不仅仅可以用一元一次方程来解决，还可以用其他
方法解决，比如直接通过观察得出结论。

但是对于更复杂的问题，一元一次方程就是一种有效的解决方法。

我们可以通过列方程、化简方程、求解方程等步骤，得到问题的答案。

希望这个例子可以帮助你更好地理解应用一元一次方程的方法。

北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿一. 教材分析北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》这一节内容，是在学生已经掌握了一元一次方程的基本知识、解一元一次方程的基本方法的基础上进行讲解的。

通过前面的学习，学生已经知道如何列出一元一次方程，并能够熟练地解一元一次方程。

而本节课，则是让学生运用一元一次方程解决实际问题，从而提高学生解决实际问题的能力，培养学生运用数学知识解决生活问题的意识。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的基本知识和解一元一次方程的基本方法，对于如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决问题，也有一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往因为对问题的理解不够深入，而导致列出的方程不正确，或者解出的答案与实际情况相差较远。

因此，在教学过程中，我需要引导学生深入理解问题，培养学生解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生会将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：学生通过解决实际问题，提高运用数学知识解决生活问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生感受到数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决实际问题。

2.教学难点：学生对实际问题的理解，如何正确列出方程，并解出符合实际情况的答案。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，解决实际问题。

同时，我会利用多媒体手段，如PPT、视频等，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解问题，提高解决问题的能力。

六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决。

2.新课讲解：讲解如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决。

一元一次方程的应用（水箱变高了）知识点一：等体积变形问题1．等体积变形，即物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体积不变，一利用体积不变这一等量关系，可列方程解决等积变形问题．2．常见几何体的体积公式：(1)圆柱体体积;2h r V π=(2)长方体体积;abc V =(3)正方体体积;3a V =(4)圆锥体的体积.312h r V π= 例1如图所示，将一个底面直径为10cm ，高为36cm 的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm 的“矮胖”形圆柱．假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么高变成了多少？分析：在锻压过程中，圆柱由“瘦”变“胖”，形状发生了变化，但它的体积始终保持不变，所以在这个问题中有如下等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积．解：设锻压后圆柱的高为xcm ，填写下表：x ⨯⨯210365ππ，解得x =9．答：高变成了9cm .例2 有一个长、宽、高分别是20cm 、15cm 、40cm 的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形且正方形边长为20cm 的长方体钢锭，高变成了多少？（忽略锻压过程中的损耗）分析：此题的相等关系：锻压前的体积=锻压后的体积．解：设高变成了xcm ，依题意得20 ×20 ×x =20 ×15×40.解方程，得x = 30.答：高变成了30cm .变式训练1.将一个底面积为236cm ，高为30cm 的金属圆柱熔铸成一个底面长8cm ，宽5cm 的长方体，求该长方体的高．这个问题的等量关系是，如果设长方体的高是xcm ，则可列方程 .解．圆柱体的体积=长方体的体积，.303658⨯=⨯⨯x2.用一个长、宽、高分别是16cm 、10cm 、5cm 的小长方体容器向一个底面为20cm ×20cm 的大长方体容器注水，当小长方体容器的水全部注入大长方体容器中时，大长方体中的水面高度是多少？解：设大长方体中的水面高度为xcm ．依题意，得.102051016x ⨯⨯=⨯⨯解之得x =2．答：大长方体中水面的高度为2cm .知识点二：等长变形问题1．等长变形，即用物体（通常是铁丝等）围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变．利用周长不变列出方程．2．常用平面图形的周长、面积公式：(1)长方形周长C =2(a +6)，面积S = ab ，(2)正方形的周长C =4a ，面积S =;2a(3)三角形的面积;21ah S = (4)平行四边形的面积S = ah;(5)梯形的面积;)(21h b a S +=(6)圆的周长C =2πr ，面积2r S π=（r 表示圆的半径）. 例3用一根铁丝可围成边长为9cm 的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多2cm 的长方形，则长方形的面积是多少？分析：图形的形状改变了，但是周长不变，始终等于铁丝的长度，故此题的相等关系是：正方形的周长=长方形的周长．解：设长方形的长为xcm ，则宽为（x -2）cm .依题意得2x +2（x -2）=9×4．解得x = 10.x -2 =8．故x （x -2）=80.答：长方形的面积为.802cm例4墙上钉着一个由一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图实线所示（单位：cm ），小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图虚线所示．求小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？分析：从梯形变成长方形，形状变了，但周长不变，可根据这一等量关系建立方程，长方形的宽为8cm .解：设长方形的长为xcm .由题意，得2(8 +x )=8 +15 +10 +8 +5 +13,∴x = 21.5．答：长方形的长为21.5cm ，宽为8cm .变式训练1. 一根绳子刚好可以围成一个边长为6cm 的正方形．如果用这根绳子围成一个长8cm 的长方形，这个长方形的宽为____ cm ，面积是____.2cm解.4 32 提示：设长方形的宽为xcm ，则有46⨯ =2(8+ x )．解得x =4．则长方形的面积为48⨯ =32（2cm ).一、专题精讲题型一：形积变化——体积不变例1在一个内部长、宽、高分别为3m 、3m 、80cm 的长方体水箱内装满水，然后倒入一个底面直径是2m ，高是12m 的圆柱形容器中，问水是否会溢出？若不溢出，请求出水面离容器口的距离．（π取3.14，结果精确到0. 01m ）分析：先分别求出两容器的体积，然后通过比较大小，确定水是否会溢出，解：长方体的体积).(2.78.03331m V =⨯⨯= 圆柱形容器的体积=⨯⋅==12)22(222ππh r V ).(123m π 因为7.2< 12π，所以水不会溢出．设将水倒入圆柱形容器后，水面高度为xm ．由题意得.)22(8.0332x ⋅⋅=⨯⨯π解得x ≈2.29．所以12 -x =9.71. 答：水不会溢出，水面离容器口的距离约为9.71m .变式训练1．把一个长、宽、高分别为8cm 、7cm 、6cm 的长方体铁块和一个棱长5cm 的正方体铁块，熔炼成一个直径为20cm 的圆柱体，这个圆柱体的高是多少？(精确到0. 01cm )解：设这个圆柱体的高为xcm .依题意，得.)220(14.3567823x ⨯=+⨯⨯解之得x ≈1. 47． 答：这个圆柱体的高度大约是1. 47cm .题型二：形积变化——面积不变例2如图(1)、(2)，长方形的长、宽分别为a 、b ，阴影部分中长方形的宽为c ，图(1)、(2)中空白部分的面积分别为21,S S ，那么1S 与2S 的大小关系为( )．21.S S A < 21.S S B > 21.S S C = D ．无法确定分析：通过移动阴影部分，将所有阴影部分合在一起后，利用阴影部分面积=长方形面积一空白部分面积，可知面积相等，解：C变式训练1．一个长方形如图所示，恰分成六个正方形，其中最小的正方形面积是21cm ，求这个长方形的面积．解：设最大正方形B 的边长为xcm ，则C 的边长为 (x -1)cm ，D 的边长为（x -2）cm ，E 的边长为（x -3）cm ，F 的边长也是（x -3）cm ．根据长方形对边相等得2（x -3）+（x -2）=x +(x -1)．解得x =7．则C 的边长为6cm ，D 的边长为5cm ，E 和F 的边长都为4cm .长方形面积为).(143)47()67(2cm =+⨯+题型三：形积变化——周长不变例3小刚家打算靠墙（墙长14m ）修建一个长方形的养鸡场（靠墙的一边作为长），另三边用35m 长的篱笆围成．小刚的爸爸打算让鸡场的长比宽多2m ，小刚的妈妈打算让鸡场的长比宽多5m .你认为他们谁的设计合理？按照这种设计，鸡场的面积是多少？分析：此题中的“墙长14m ”是一个限制条件，故所建的鸡场的长不能大于14m .解：设鸡场的宽为xm .①按小刚爸爸的设计，其长应为（x +2）m ．根据题意，得x +2 +2x = 35.解得x = 11. 因为11+2= 13m <墙长14m ，所以小刚爸爸的设计合理，这时鸡场的面积为).(14311132m =⨯ ②按小刚妈妈的设计，其长应为(x +5)m ．依题意，得x +5 +2x = 35.解得x = 10.因为10 +5 =15m >墙长14m ，所以小刚妈妈的设计不符合实际．故小刚爸爸的设计合理，此时鸡场的面积为.1432m点拨：运用一元一次方程解决实际问题时，要注意解的合理性，即所得结果必须符合实际情况，变式训练1．已知两个长方形的长和宽的比都是2:1，大长方形的宽比小长方形的宽多3cm ，大长方形的周长是小长方形周长的2倍，求这两个长方形的面积．解：设小长方形的宽为xcm ，则大长方形的宽为(x +3)cm ，依题意，得2(x +2x )=x +3+2(x +3)．解之得x =3．则小长方形的面积为⋅=⨯⨯)(18)23(32cm ，大长方形的面积为⋅=⨯⨯)(72)26(62cm能力培养 1.一根内径为3cm 的圆柱形长试管中装满了水．现把试管中的水逐渐滴人一个内径为8cm 、高为1.8cm 的圆柱形玻璃器皿中．当玻璃器皿装满水时，试管中水的高度下降了多少厘米？解：设试管中水的高度下降了xcm ．依题意有8.1)28()23(22⨯⨯=⋅ππx ．解得x = 12.8．答：试管中水的高度下降了12. 8cm .2．如果用16m 长的篱笆围成一个长方形养鸡场，长、宽各是多少米时，其面积最大？解：只有当长、宽均为4m ，即围成一个正方形时，养鸡场面积最大，).(16422m S ==最大达标测试：1．长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4m 而长减少了5m ，那么面积增加.152m 长方形原来的宽为xm ，所列方程是( )．2315)53)(4.(x x x A =+-+ 2315)53)(4.(x x x B =--+ 2315)53)(4.(x x x C =-+- 2315)53)(4.(x x x D =++- 2．已知内径为120mm 的圆柱形玻璃杯和内径为300mm 、内高为32mm 的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为( )．A ．150mmB ．200mmC ．250mmD ．300mm3．三角形的周长是84cm ，三边长的比为17:13：12，则这个三角形最短的一边长为 .4．要锻造一个直径20cm ，高16cm 的圆柱形毛坯，应截取直径16cm 的圆钢 cm .5．一张覆盖在圆柱形罐头侧面的商标纸，展开是一个周长为88cm 的正方形（不计接口部分），这个罐头的容积是（精确到31cm ，π取3.14） .6．把一个半径为3cm 的铁球熔化后，能铸造个半径为1cm 的小铁球 个．（球的体积为334R π)7．在一个内径为20cm ，高为110cm 的圆柱形铁桶中装有30cm 深的水，现把棱长为8cm 的正方体铁块慢慢放到桶中，铁桶中的水位大约上升了( ) cm .（π取3.14，精确到0.1）A .1.6B .1.7C .3.2D .3.38．长方体甲的长、宽、高分别为260mm 、150mm 、325mm ，长方体乙的底面积为.1301302mm ⨯已知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高．参考答案1. B2. B3. 24cm4. 25 3848.5cm 提示：圆柱高为22cm ，底面半径为.11cm π 6. 27 提示：n ⋅⨯=⨯33134334ππ，解得n = 27. 7．A 提示：328)220(=⋅⨯h π，解得h ≈1.6．8．解：设乙的高为xmm ，依题意得.5.2130130325150260⨯⨯⨯=⨯⨯x 解之得x = 300.答：乙的高为300mm .课后作业：一．选择题1．已知半径为5厘米，高为7厘米的圆柱体的体积是直径为4厘米，高为x 厘米的圆柱体的体积的5倍，则下列方程正确的是（ ）A ．5π•42•x=π•102•7B ．π•42•x=5π•102•7C ．5π•（ ）2（ ）2（ ）22二．填空题2．一个长方形的周长是42，宽比长少3，如果设长为x ，那么根据题意列方程为 2（x+x ﹣3）=42 ．3．如图，8块相同的长方形地砖拼成了一个长方形图案（地砖间的缝隙忽略不计），求每块地砖的长和宽，设每块地砖的宽为xcm ，根据题意，列出的方程为 4x=60 ．4．一只直径为90毫米的圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面性为131×131平方毫米、高为81毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少设大约下降了x 毫米，则可列方程 2 x =1312 81 ．5．水池有一进水管，5时可注满空池；池底有一出水管，8时可放完满池水．如果同时打开进水管和出水管，1时后，水池的水是满池的 ，若同时打开进水管和出水管刚好x 时注满空池，可列方程是．6．三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm ）如图所示．则三个几何体的体积和为 60π cm 3．（计算结果保留π）7．一个底面直径6cm ，高为50cm 的“瘦长”形圆柱钢材锻压成底面直径10cm 的“矮胖”形圆柱零件毛坯，高变成多少？（1）本题用来建立方程的相等关系为 V 锻压前=V 锻压后 ．（3）列出方程 π．（ ）2.50=π（ ）2 x 解得方程 x=18 cm ．8．一小圆柱形油桶的直径是8cm ，高为6cm ，另一大圆柱形的油桶的直径是10cm ，且它的容积是小圆柱的油桶容积的2.5倍，如果设大圆柱油桶的高为xcm ，可建立方程为 π•52x=2.5π×42×6 ．。