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n＋1
4 · . 3n－1
数列通项公式的简单应用
数列{an}的通项公式是 an＝(－1)
n－1
n2 · ， 2n－1n＋1
81 写出该数列的前 5 项， 并判断170是否是该数列中的项？如果是， 是第几项，如果不是，请说明理由．
【思路探究】 (1)通项公式已知，如何求 a1，a2，a3，a4， a5？(2)怎样说明某一数是不是一数列中的项？
类别
含义
递增数列 从第二项起，每一项 大于它的前一项的数列
递减数列 从第二项起，每一项 小于 它的前一项的数列
常数列 摆动数列 各项 相等 的数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项 小于它的前一项的数列
数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个函数 式 an＝f(n) 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 .
an2＋b 7 已知数列 2，4，2，„的通项公式为 an＝ cn ，求这个数 列的第四项和第五项．
a＋b＝2， c an2＋b 【解】 由 an＝ cn ，得 4a＋b 7 ＝4， 2 c c a＝2， a＋b＝2c， 即 得 8a＋2b＝7c， b＝3c， 2
此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归 纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具 体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为 同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、 分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－ 1)k＋1 处理．
c 2 3c 2n ＋ 2 n2＋3 所以 an＝ cn ＝ 2n . 当 n＝3 时，a3＝2 符合上式，故 16＋3 19 25＋3 28 14 a4＝ 8 ＝ 8 ，a5＝ 10 ＝10＝ 5 .
混淆数列概念的有序性致误 写出由集合{x|x∈N*且 x≤4}中的所有元素构成的 数列(要求首项为 1，且集合中的元素只出现一次)．
教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源
2．1
数 列
2．1.1 数 列
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解数列及其有关概念，了解数列与函数之间的关系； (2)了解数列的通项公式，并会用数列的通项公式写出数列 的任意一项； (3)会根据数列的前几项写出它的一个通项公式．
1．下列说法中正确的是(
)
A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数列
n＋1 的第 C．数列 n
1 k 项是 1＋k
D．数列 0,2,4,6,8，„可表示为 an＝2n(n∈N＋)
【解析】 由数列的定义知 A，B 错误；D 中数列的第 1 项 0 无法用 an＝2n(n∈N*)来表示．
④数列中的每一项都是数， 而集合中的元素还可以代表除数 字外的其他事物． 2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特 点． 对于递增、 递减、 摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析； 而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．
已知数列： (1)0,1,2,3，„； 1 1 1 (2)1，2，3，4，„； (3)－1,1，－1,1，－1,1，„； (4)5,5,5,5,5，„. 其中， ________是递增数列， ________是递减数列， ________ 是摆动数列，________是常数列(填序号)．
数列的概念
判断下列说法是否正确． (1)数列 2,4,6,8 可以表示为{2,4,6,8}． (2)数列 1,2,3,5 与 5,3,2,1 是相同的数列． (3)1,2,22,23，„，263 是递增数列，也是无穷数列． (4)－1,1，－1,1，„是常数列．
【思探究】
(1)数列的概念是怎样的？(2)你是怎样理解
【答案】 C
2．若数列{an}的通项公式是 an＝3－2n，则 a2n＝________， a2 a3＝________.
递增、递减数列的？(3)是不是含有省略号的一列数就是无穷数 列？
【自主解答】 (1)错误．数列不能写成集合的形式．
(2)错误．数列中的数是有顺序的，数相同但顺序不同的数 列不相同． (3)错误．此数列虽然含有省略号，但项数有限，是有穷数 列． (4)错误．此数列为摆动数列，不是常数列．
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以 下特点： ①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合 中的元素也具有确定性； ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重 复出现(即互异性)； ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与 这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
课 标 解 读
1.理解数列的概念．(重点) 2.掌握数列的通项公式及应用．(重点) 3.能根据数列的前n项写出数列的一个通项公式． (难点、易错点)
数列及其有关概念
【问题导思】 “一尺之棰， 日取其半， 万世不竭”的意思为： 一尺的木棒， 每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为 1 份， 那么每日剩下的部分所对应的一列数是怎样的， 你能写出来吗？
【提示】 数列(1)中有 6 项，数列(2)，(3)，(4)有无穷多项 数列(1)各项都相同，数列(2)中的项忽大忽小 数列(3)中每一项都大于它的前一项 数列(4)中每一项都小于它的前一项
数列的分类 (1)按项的个数分类
类别 有穷数列 无穷数列 含义 项数 有限 的数列 项数 无限 的数列
(2)按项的变化趋势分类
1 1 1 1 1 【提示】 能.2，4，8，16，32，„
1．数列 按照一定 次序 排列起来的一列数叫做数列． 2．数列的项 数列中的 每一个数 叫做这个数列的项，排在第一位的数 称为这个数列的第 1 项(通常也叫做首项)． 3．数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，„，an，„.其中 an 是数列的第 n 项，叫做数列的 通项 .我们常把一般形式的数 列简记作 {an} .
(2)分别观察这个数列前 4 项的分子和分母：分子为偶数列： 2,4,6,8；分母为 1×3,3×5,5×7,7×9；符号均为负．因此它的一 2n 个通项公式是 an＝－ . 2n－12n＋1 (3)观察这个数列的前 4 项， 若各项分别减 1， 则变为 1,4,9,16， 所以它的一个通项公式为 an＝n2＋1. (4)数列前 4 项的分母分别为 2,3,4,5，其分子为 1，符号正负 1 相间，所以它的一个通项公式为 an＝(－1) . n＋1
数列的分类
【问题导思】 已知下列数列： (1)0,0,0,0,0,0； (2)0，－1,2，－3,4，－5，„； n－1 1 2 (3)0，2，3，„， n ，„； (4)1,0.2,0.22,0.23，„；
观察上面 4 个数列， 它们的项数分别是多少？这些数列中从 第 2 项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？
n
(5)联想特殊数列 9,99,999，„的通项公式为 an＝10n－1，于 3 n 1 n 是该数列的一个通项公式为 an＝9(10 －1)，即 an＝3(10 －1)．
－1n为奇数， (6)an＝ 0n为偶数
是此数列的一个通项公式．
1 1 1 1 由于－1＝－2－2，0＝－2＋2. 联想到(－1)n 具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也 －1n－1 可写成下列形式：an＝ . 2
1 1 1 1 (4)－2，3，－4，5，„； (5)3,33,333,3 333，„； (6)－1,0，－1,0，„.
【思路探究】 数列的每一项与其项数间有什么关系？你能 找出一条规律并写出通项公式吗？ 【自主解答】 (1)这个数列的前 4 项 1,3,5,7 都是序号的 2 倍减去 1，因此它的一个通项公式是 an＝2n－1.
1．数列的定义中的两个关键词：“一列数”，即不止一 个数；“一定顺序”，即数列中的数是有序的． 2． {an}与 an 是不同的两种表示， {an}表示数列 a1， a2 ， „， an，„，是数列的一种简记形式．而 an 只表示数列{an}的第 n 项，an 与{an}是“个体”与“整体”的从属关系． 3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳 各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的 一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．
n>1且为奇数 得 2 8n －81n＋81＝0
，∴n＝9.
81 所以170是该数列中的第 9 项．
1．利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第 n 项 an 与它的位置序号 n 之间的 关系，只要用序号代替公式中的 n，就可以求出数列的相应项． 2．判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第 n 项，然后列出关于 n 的方程．若方 程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则 不是该数列的一项．
2．过程与方法 (1)通过实例，引入数列的概念； (2)通过对一列数的观察、分析、归纳，写出符合条件的一 个通项公式． 3．情感、态度与价值观 (1)培养学生的观察能力和抽象概括能力，逐步培养学生善 于思考和解决问题的能力； (2)调动学生的积极情感，主动参与学习．
●重点难点 重点：数列的有关概念，通项公式及其应用． 难点：根据数列的前几项写出它的一个通项公式． 可以通过对数列的序号与项之间的类比分析， 得出数列与函 数之间的关系，进而由函数的解析式引入数列的通项公式，从而 化解难点．
【错解】 集合中的元素用列举法表示为{1,2,3,4}， 所以所求数列为 1,2,3,4.
【错因分析】 本题由集合求出构成数列的每一项后，误把 数列当成了集合， 认为各项不用考虑顺序而导致写出的答案不全 面．
