2015年泉州五中5月高考模拟(理科)数学试卷

一.选择题(每题5分,共50分)1.在复平面内,复数521iz i =-的虚部为( )A.1B.1-C.iD.i -2.已知x R ∈,则“1x ≥”是“11x ≤”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.某程序框图如右图所示,若输出的S=57,则判断框内为( ) A.6>k B.5>k C.4>k D.3>k4.等比数列{}n a 的各项均为正数,且56386a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=( )A.6B.5C.4D.2+log 3 55.要得到函数cos(2)3y x π=-的图象,只需将函数sin(2)y x =的图象( )A.左移12π个单位 B.右移12π个单位 C.左移512π个单位 D.右移512π个单位6.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则该几何体的侧面积为( )4++ C.+ D.4+7.已知(1)f x +为R 上的奇函数,且1x >时,()3x f x =,则3(log 2)f 的值为( )A.92-B.94-C.92 D.948.安排6名歌手演出顺序时,要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面,则不同排法的种数共有( )种。

A.180B.240C.360D. 4809.已知2F ,1F 是双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的上、下焦点,点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心,1||OF 为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )A.3B. 3C.2D. 210.已知函数()()2ln 1f x a x x =+-,在区间()1,0-内任取两个实数,p q ,且p q ≠,若不等式()()111f p f q p q +-+>-恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.[)6,+∞B.[4,)+∞C.1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.[1,)+∞二． 填空题(每题4分,共20分)BD 11.设变量,x y 满足约束条件0020x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为 __12.已知点P 是边长为2的正三角形ABC ∆的边BC 上的动点,则()AP AB AC ⋅+的值为____________.13.已知实数[],0,2a b ∈,则函数2()f x x ax b =++在实数集R 上有两个零点的概率为___________________.14.已知数列{}n a 是正项等差数列,若12323123n n a a a na C n++++=++++,则数列{}n C 也为等差数列.类比上述结论,已知数列{}n b 是正项等比数列,若n d = ,则数列{n d }也为等比数列.15.3[0,],sin cos 104x x x ax π∀∈--+≥恒成立,则实数a 的取值范围为_____________。

湖北省襄阳五中2015届高三年级五月模拟考试（一）理科数学试题考试时间： 2015年5月10日一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集,U R =集合{}{}3|log (1),|2x A x y x B y y ==-==,则=B A C U )(( )A ．0+∞（，）B ．(0,1]C ．(1,)+∞D ．(1,2)2．复数5)z i i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为( ) A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i +3．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是( ) A ．224π+ B ．220π+ C ．24π+ D ．20π+ 4．下列四个结论：①命题“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ” ．②设,a b 是两个非零向量，则“//a b ”是“a b a b ⋅=⋅”成立的充分不必要条件． ③某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样．④设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为y ＝0.85x －85.71，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ．其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知向量()1,2a =，()2,3b =-．若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ）. A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π37．若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”．已知正项数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．88．若实数y x 、满足不等式组5230.10y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩则y x z 2||+=的最大值是( )A ．10B ．11C ．13D ．149．已知双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆被直线1x ya b+=a ，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．2 CD10．已知()y f x =为R 上的连续函数，其导数为'()f x ，当0x ≠时，'()()f x f x x->，则关于x 的函数1()()g x f x x=+的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 .12．设 210sin n xdx π=⎰，则n -展开式中的常数项为 .（用数字作答）13．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x ，y ）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y ）的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.假如统计结果是m=34，那么可以估计π≈ .（用分数表示）14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：10631将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：（Ⅰ）2014b 是数列{}n a 中的第 项；（Ⅱ） 21n b -= ．（用n 表示）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修41-：几何证明选讲）如图，PB 为△ABC 外接圆O 的切线，BD 平分PBC ∠，交圆O 于D ， ,,C D P 共线．若AB BD ⊥,PC PB ⊥,1PD =，则圆O 的半径是 . 16．（选修44-：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin()13πρθ+=，则两曲线交点间的距离是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，222cos()sin cos b a c A C ac A A--+=． （I ）求角A ；（Ⅱ）若a =bc 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11=a ，且对于任意+∈N n 都有n n S na 21=+． （I ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12224n n n n a b a a ++=，且数列{}n b 的前n 项之和为n T ，求证：45<n T ．19.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432555、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。

物理局部13-18CABDCD19I 〔 1〕 大小和方向 〔 2〕略〔 3〕乙Ⅱ．〔 1〕1 = R + r L最大 〔2〕IEES〔 3〕0.2000.989 - 1.00 碬10- 6 m20.解；〔 1〕设物体的加速度为 a,绳子中的拉力为F,对物体 A ：由牛顿第二定律得对 BC 整体由牛顿第二定律得F Mg Ma(M m) g F ( M m)a解得： am g 1 g2M m9 物体 B 从静止下落h1at 122自由下落同样的距离h1 gt 222解得：t 1g 3t 2a〔2〕设 B 对 C 的拉力为 F N物体 C,由牛顿第二定律得： mg F Nma解得： F Nmgma8mg9由牛顿第三定律得物体C 对 B 的拉力为8mg921. ⑴在M 处v yv 0 tan1 分〕qE ma1 分〕v yat 1分〕8R/3 v 0t q 15v 02 1 分〕2 分〕m32RE⑵ 粒了运动轨迹如下图, 设为o 1磁场圆心 , o 2为粒子轨迹圆心 ,P 为粒子射出磁场的位置 , 依题意可知 , 粒子垂直 y 轴进入电场,那么P O 2∥PO 1,显然O 1O 2P ≌O 1O 2P , ∠ PO 2D =∠O 1P O 2=∠O 1PO 2=∠P O 1H = ,即粒子轨道半径为:r R 3分〕Bqv 0mv 022 分〕B32 E 2 分〕r15v 0⑶粒子从 N 点进入电场 , ON 的长度y满足 : v y 22ay 2分〕y 5R/3 1分〕由几何关系 : yRR cos2 分〕cos2 / 31 分〕22.解：〔1〕 ab 棒沿斜面滑下切割磁感线产生的感应电流的方向是 b →a，通过 cd 棒的电流方向如图 c →d。

cd 棒刚要开场滑动时，其受力分析如下图。

由平衡条件得：BI cd Lcos530f 〔2 分〕由摩擦力公式得：f μN 〔1分〕N mgBI cd Lsin53 0〔1分〕联立以上三式，得I cd ＝ 1.67A ， I ab ＝ 2I cd ＝3.34A〔2 分〕〔 2〕根据题意画出等效电路如下图：设IcdI ，因为电阻 R 与 cd 棒并联， 故电阻 R 上产生的热功率与cd 棒产生的热功率相等，即 P RPcdI 2 R又因为流经 ab 棒的电流为 2I ，故 ab 棒产生的热功率P ab 4I 2R整个回路产生的热功率P 6I 2R又因为回路中消耗的热功率源于 ab 棒克制安培力做功，所以导体棒cd 消耗的热功率与ab 棒克制安培力做功的功率之比为P cd ＝PcdI 2 R1 ＝ 1〔4 分〕P FA P FI 2R6 6A6〔 3〕 ab 棒在足够长的轨道下滑时，最大安培力只能等于自身重力的分力，有 ：F A m ab gsin53 0cd 棒所受最大安培力应为1F A ，要使cd 棒不能滑动 ，需：2112F Acos53μ mg2 F A sin 53ˊcos530cos530μ F A2mg ˊsin 5302mgF A sin 53 0ˊ解得：F A园丁网数学第一站成套数学资料免费下载yszybase当 ab 棒质量无限大，在无限长轨道上最终一定匀速运动，安培力F A趋于无穷大， cd 棒所受ˊμ≥cos53 °〔5 分〕安培力 F A亦趋于无穷大，有：sin53＝ 0.75°30.C AXX一中2021 届第二次模拟考理科综合能力测试试题答案化学局部6 789101112A B CDDCB23．〔 15 分〕〔 1〕〔2分〕（2〕 S2- > Cl - > Al 3+〔 2 分〕〔 3〕 Al 3+ +3H 2O Al(OH) 3(胶体) +3H +〔 2 分〕（4〕 2C(s)+SiO 2(s)===Si(s)+2CO(g) ；△ H=〔 a+b－ c〕 kJ ·mol －1〔 3 分〕〔 5〕＜〔 2 分〕75%〔 2 分〕（6〕 H2－ 2e－ +CO 32－ ===CO 2+H 2O〔 2 分〕24．〔 14 分〕〔 1〕(2 分)CO2＋ NH 3＋ NaCl ＋ H2O===NaHCO 3↓＋ NH 4Cl(2 分)〔 2〕 NH 4Cl(2 分)〔 3〕提高原料氯化钠的利用率(2 分)2-+H2O --(2 分)〔 4〕CO3HCO 3+ OH〔5〕 BC(2 分)V3－〔 V2－ V1〕(2 分)〔 6〕 106××100%22 400m25 ．〔 16 分〕 I ．〔 1〕 2Na + 2H 2O === 2Na + + 2OH - + H 2↑〔2 分〕〔 2〕 a．钠外表的煤油没有用滤纸吸干净；〔1 分〕b．镁条外表的氧化膜没有被除去。

2014年福建省泉州五中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.在复平面内，复数z=的虚部为（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】B【解析】解：∵z==，∴复数z=的虚部为-1．故选：B．直接由复数代数形式的除法运算化简，则复数z的虚部可求．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知x∈R，则“x≥1”是“≤1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若x≥1，则≤1，充分性成立，当x=-1时，满足≤1，但x≥1不成立，必要性不成立，故“x≥1”是“≤1”的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．3.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A.k＞4？B.k＞5？C.k＞6？D.k＞7？【答案】A【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S是否继续循环循环前11/第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．4.等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a3a8=6，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A.6B.5C.4D.2+log35【答案】B【解析】解：由题意可得a5a6+a3a8=2a5a6=6，解之可得a5a6=3，故log3a1+log3a2+...+log3a10=log3（a1a2 (10)=log3（a5a6）5=log335=5，故选：B．由题意可得a5a6=3，由等比数列的性质和对数的运算可得原式=log3（a5a6）5，化简可得．本题考查等比数列的通项公式和性质，涉及对数的运算性质，属基础题．5.要得到函数y=cos（2x-）的图象，只需将函数y=sin（2x）的图象（）A.左移个单位B.右移个单位C.左移个单位D.右移个单位【答案】A【解析】解：因为y=cos（2x-）=sin（2x-+）=sin（2x+），将函数y=sin（2x）的图象向左平移得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，即可得到函数y=cos（2x-）的图象．故答案为：A．先利用诱导公式化为同名的三角函数，然后再进行平移．本题考查了诱导公式及三角函数图象变换，关键是利用诱导公式先化为同名三角函数，要注意图象在左右平移时，是在自变量x上加减一个常数．6.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的侧面积为（）A. B.4+4+4 C.4+4 D.4+4【答案】C【解析】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，如图：其中SO=2，OD=OA=OC=2，AB=AC=2，OD=，侧面SAB与侧面SBC的斜高都是=，∴几何体的侧面积S=×4×+2××2×=4+4．故选：C．几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入侧面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的侧面积，根据三视图判断几何体的结构特征及利用结构特征求相关几何量的数据是解答本题的关键．7.已知f（x+1）为R上的奇函数，且x＞1时，f（x）=3x，则f（log32）的值为（）A.-B.-C.D.【答案】A【解析】解：∵f（x+1）为R上的奇函数，∴f（-x+1）=-f（x+1），即f（x+1）=-f（1-x），则f（x）=-f（2-x），∴函数f（x）关于（1，0）对称，则f（log32）=-f（2-log32），∵2-log32＞1，且x＞1时，f（x）=3x，∴f（2-log32）=，则f（log32）=-f（2-log32）=-，故选：A根据函数奇偶性的性质结合对数的运算法则，即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质以及对数的运算法则是解决本题的关键．8.安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数共有（）种．A.180B.240C.360D.480【答案】D【解析】解：先全排列有，甲、乙、丙的顺序有，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有=480种．故选：D．对于某几个元素按顺序一定排列的问题，可以先把这几个元素与其它元素一起排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的顺序数，最后在乘以要求的顺序数的种数本题主要考查了排列中的顺序问题，关键找到符合条件的有几种顺序，属于中档题．9.已知F1、F2分别是双曲线C：-=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A. B.3 C. D.2【答案】D【解析】解：由题意，F1（-c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2-a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选D．求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10.已知函数f（x）=aln（x+1）-x2，在区间（-1，0）内任取两个实数p，q，且p≠q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）A.[6，+∞）B.[4，+∞）C.[-，+∞）D.[1，+∞）【答案】A【解析】解：表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，∵实数p，q在区间（-1，0）内，故p+1和q+1在区间（0，1）内．∵不等式＞1恒成立，∴函数图象上在区间（0，1）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（0，1）内恒成立．由函数的定义域知，x＞-1，∴f′（x）=-2x＞1在（0，1）内恒成立．即a＞2x2+3x+1在（0，1）内恒成立．由于二次函数y=2x2+3x+1在（0，1）上是单调增函数，故x=2时，y=2x2+3x+1在[0，1]上取最大值为6，∴a≥6．∴实数a的取值范围为[6，+∞）．故选：A．由不等式＞1恒成立，可知函数图象上在区间（0，1）内任意两点连线的斜率大于1，转化为函数的导数大于1在（0，1）内恒成立，把原函数求导后分离参数a，然后利用二次函数的单调性求y=2x2+3x+1在[0，1]上的最大值，则答案可求．本题考查了利用导数研究曲线上某点出的切线方程，考查了数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．二、填空题(本大题共5小题，共20.0分)11.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值为______ ．【答案】4【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点（2，0），直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×2=4，故答案为：4．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．12.已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则= ______ ．【答案】6【解析】解：设=，=，=t则=-=-，2=4=2，•=2×2×cos60°=2∴=+=+t﹙-﹚=﹙1-t﹚+t又∵+=+∴•﹙+﹚=[﹙1-t﹚+t]•﹙+﹚=﹙1-t﹚2+[﹙1-t﹚+t]•+t2=﹙1-t﹚×4+2+t×4=6故答案为6先设=，=，=t，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得•（+）的值，从而可得到答案．本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．13.已知实数a，b∈[0，2]，则函数f（x）=x2+ax+b在实数集R上有两个零点的概率为______ ．【答案】【解析】解：实数a，b∈[0，2]，则a，b对应的区域为变长为2的正方形，面积S=2×2=4，若函数f（x）=x2+ax+b有零点，则判别式△=a2-4b≥0，对应的区域为阴影部分，作出不等式组对应的平面区域如图：则阴影部分的面积S====，则f（x）=x2+ax+b在实数集R上有两个零点概率P=，故答案为：求出f（x）有零点的等价条件，求出对应的区域的面积，利用几何槪型即可得到结论．本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用函数有零点的等价条件是解决本题的关键．14.数列{a n}是正项等差数列，若，则数列{b n}也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c n}，若d n= ______ 则数列{d n}也为等比数列．【答案】【解析】解：∵根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字倍的和，除以下标的和，∴根据新的等比数列构造新的等比数列，乘积变化为乘方c1c22c33…c n n，原来的除法变为开方故答案为：根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字倍的和，除以下标的和，等比数列要类比出一个结论，只有乘积变化为乘方，除法变为开方，写出结论．本题考查类比推理，两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象的也具有这类特征，是一个有特殊到特殊的推理．15.∀x∈[0，π]，sinx-cosx-ax+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为______ ．【答案】a≤【解析】解：设g（x）=sinx+1-ax-cosx，g′（x）=cosx-a+sinx=sin（x+）-a．∵x∈[0，]，∴sin（x+）∈[0，]．当a≤0时，g′（x）≥0在[0，]上恒成立，∴g（x）≥g（x）min=g（0）=0成立，故a≤0；当a≥时，g′（x）≤0在[0，]上恒成立，∴g（x）≥g（）=+1-a≥0，得a≤，无解．当0＜a＜时，则存在x0∈（0，π]使得x∈（0，x0）时，g（x）是增函数，x∈（x0，]时，g（x）是减函数，故g（x）min=g（0），或g（x）min=g（），∴⇒0＜a≤，综上所述：a≤．设g（x）=sinx+1-ax-cosx，求g′（x），讨论函数在区间[0，]上的单调性，利用函数的单调性求g（x）的最小值，根据最小值大于等于0确定a的范围．本题借助全称命题考查了三角函数的最值的求法，导数的应用及恒成立问题的解法，利用导函数分类求得不等式恒成立的条件是解答本题的关键．三、解答题(本大题共8小题，共92.0分)16.已知函数f（x）=2cosx•sin（+x）（x∈R）（1）求f（x）在[0，π]上的单调增区间；（2）△ABC中，f（C）=1，且边长c=2，求△ABC面积的最大值．【答案】解：（1）f（x）=2cosx•sin（+x）=2cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=-sin（2x）+由（k∈Z）得（k∈Z）∵x∈[0，π]所以函数f（x）在[0，π]上的单调增区间为[，]．（2）由f（C）=-sin（2C）+=1得sin（2c+）=-，解得C=或C=∵S=又∵cos C=要使面积取到最大值，则C=，所以a2+b2=4，所以ab≤2，所以S max=．【解析】第（1）问求三角函数的单调区间，要先把函数化成y=A sin（ωx+φ）+B的形式，然后再根据正弦函数的单调区间求解；第（2）问根据f（C）=1求出角C，然后利用面积公式写出面积表达式，结合余弦定理和基本不等式求三角形面积的最大值．本题考查了求三角函数的单调区间，关键是利用三角恒等变换化成标准形式；求三角形面积的最大值，关键是选择适当的面积公式结合正、余弦定理和基本不等式进行求解．17.如图，已知底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，AP=BP=PC=，且N为线段AC的中点，M为侧棱PB的中点，（1）求证：NM∥平面PAD；（2）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（3）求直线DP和平面PAC所成角的正弦值．【答案】（1）证明：连结BD，∵四边形ABCD为菱形，∴对角形AC与BD交于点N，连结MN，∵N为线段AC的中点，M为侧棱PB的中点，∴MN∥PD，∵MN不包含于平面PAD，PD⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD．（2）证明：取AB中点O，连结OP，OC，∵PA=PB，PO⊥AB，△POC中，OC=，OP=1，PC=2，∴OC2+OP2=PC2，∴PO⊥OC，又OC∩AB=O，∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．（3）解：如图，以OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，-1，0），C（，，），P（0，0，1），）D（，，），设平面PAC的法向量，，，，，，，，，，取x=1，得，，，又，，，设直线DP和平面PAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==．∴直线DP和平面PAC所成角的正弦值为．【解析】（1）连结BD，由四边形ABCD为菱形，得对角形AC与BD交于点N，MN∥PD，由此能证明MN∥平面PAD．（2）取AB中点O，连结OP，OC，由勾股定理得PO⊥OC，从而PO⊥平面ABCD，由此能证明平面PAB⊥平面ABCD．（3）以OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DP和平面PAC所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18.某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单（Ⅰ）该同学为了求出关于的回归方程+，根据表中数据已经正确算出试求出的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲现从该零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题，而3月份的产品都没有质量问题．记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】解：（1），=5…（2分）且，代入回归直线方程可得∴=0.6x+3.2，x=6时，=6.8，…（4分）（2）X的取值有0，1，2，3，则，，，…（8分）其分布列为：…（12分）【解析】（1）求出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，再根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，做出a的值，写出线性回归方程；（2）X的取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查学生分析解决问题的能力．19.已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．【答案】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为＞＞，F（c，0）．由题意知解得，c=1．故椭圆C的方程为，离心率为．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．由得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0．设点P的坐标为（x0，y0），则．所以，．因为点F坐标为（1，0），当时，点P的坐标为，，点D的坐标为（2，±2）．直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x-2）2+（y±1）2=1与直线PF相切．当时，则直线PF的斜率．所以直线PF的方程为．点E到直线PF的距离=．又因为|BD|=4|k|，所以．故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．【解析】（I）根据椭圆的特征可得当点P在点（0，b）时，△APB面积的最大，结合题中的条件可得a、b与c的关系进而得到答案．（II）设点P的坐标为（x0，y0），由题意可设直线AP的方程为y=k（x+2），可得点D 与BD中点E的坐标，联立直线与椭圆的方程得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，进而表示出点P的坐标，结合点F坐标为（1，0），再写出直线PF的方程，根据点E到直线PF的距离等于直径BD的一半，进而得到答案．解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆中有关数值的关系，以及椭圆与直线的位置关系、圆与直线的位置关系．20.已知函数f（x）=lnx，g（x）=k，（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；（2）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＞．【答案】解：（1）F（x）=lnx-，∴F′（x）=；①若（2-2k）2-4≤0，即0≤k≤2，x∈（0，+∞）时，x2+（2-2k）x+1≥0，∴F′（x）≥0；∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）是它的单调递增区间．②若（2-2k）2-4＞0，即k＜0，或k＞2，方程x2+（2-2k-）x+1=0的解是；当＜，即k＜1，且k＜0，∴k＜0时，x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）是它的单调递增区间．当＜，且＞，则不存在符合该条件的k，所以这种情况不存在．当＞，即k＞1，且k＞2，∴k＞2时，x∈（0，）时，F′（x）＞0；x∈[，）时，F′（x）＜0；x∈[，+∞）时，F′（x）＞0；∴函数F（x）的单调递增区间是（0，）和[，+∞）；单调递减区间是[，）．（2）令F（x）=f（x）-g（x），且F（1）=0，∴只要x＞1时F（x）＞F（1）即可，即F（x）在（1，+∞）上单调递增；由（1）知：0≤k≤2时，F（x）在（1，+∞）上是增函数，∴0≤k≤2符合题意；F （x）在[，+∞）单调递增，∴，∴k≥1，且k ＞2，∴k＞2．综上可得：k的取值范围是[0，+∞）．（3）设h（x）=ln（1-），μ（x）=，下面我们证，在[1，+∞）上，h（x）＞μ（x）．要证＞，只要证＞，即证＞；设G（x）=，G′（x）=，要使G′（x）＞0，我们可以让x3＞2（x+1）2，即x3-2（x+1）2＞0；∴设φ（x）=x3-2（x+1）2，φ′（x）=3x2-4x-4；∴x≥2时，3x2-4x-4＞0，即φ′（x）＞0，∴φ（x）≥φ（2）=7＞0；∴G′（x）＞0，∴G（x）在[2，+∞）上单调递增，∴G（x）≥G（2）=，由（2）知，x＞1时，＞，这时取x=，k=3，便有＞，∴G（2）＞0，∴在[2，+∞）上G（x）＞0，∴＞；又＞，所以：＞＞＞＞…＞∴＞．【解析】（1）先求F′（x）=，要求函数F（x）的单调区间，需要判断F′（x）的符号．而导函数的分子上是一个二次函数，所以讨论k的取值，从而判断二次函数值的符号，从而判断出F（x）的单调性，找到它的单调区间．（2）由函数f（x）＞g（x）恒成立，便得到f（x）-g（x）＞0恒成立，所以根据（1）的单调性就可求出k的取值范围．（3）通过观察要证明的不等式，只要让不等式的左边每一项都大于即可，所以构造函数G（x）=，只需证明G（x）＞0即可．本题考查的知识点有：函数的导数和函数单调性的关系，通过求导数，判断函数的单调性，然后根据单调性判断两个函数值的大小关系．第一问通过求导数，就变成了判断二次函数值符号的问题了，而第二问要注意利用上（1）的结论，第三问的关键是构造函数G（x）．21.已知矩阵M=的两个特征值分别为λ1=-1和λ2=4，（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）若直线l在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为x-2y-3=0，求直线l的方程．【答案】解：（Ⅰ）矩阵M的特征多项式f（λ）==（λ-2）（λ-b）-2a，又∵矩阵M的两个特征值分别为λ1=-1和λ2=4，∴f（-1）=0，f（4）=0，∴，解得a=3，b=1；（Ⅱ）设P（x，y）是直线l上任意一点，它在矩阵M对应的变换下变为点P′（x′，y′），则′′，即′′；∵点P′（x′，y′）在直线l′：x-2y-3=0上，∴x′-2y′-3=0，把x′，y′代人得：2x-y+3=0．故所求直线l的方程为：2x-y+3=0．【解析】（Ⅰ）根据矩阵M的两个特征值分别为λ1=-1和λ2=4，代入特征多项式，求出a、b 的值即可；（Ⅱ）确定变换前后坐标之间的关系，利用直线l′：x-2y-3=0，求出直线l的方程即可．本题主要考查了特征值与特征向量的计算，考查了矩阵变换的运用，属于基础题．22.在直角坐标系x O y中，过点P（1，2）作倾斜角为45°的直线l与曲线C：x2+y2=1相交于不同的两点M，N．（Ⅰ）写出直线l的参数方程；（Ⅱ）求+的值．【答案】解：（Ⅰ）由题意可得直线l的参数方程为°°，即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入圆C：x2+y2=1，可得t2+3t+4=0，利用韦达定理可得t1+t2=-3，t1•t2=4．∴由参数的几何意义可得+=+===-．【解析】（Ⅰ）由题意可得直线l的参数方程为°°，化简可得结果．（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的方程化简，利用韦达定理可得t1+t2=-3，t1•t2=4，再由由参数的几何意义可得+=+=，计算求得结果．本题主要考查求直线的参数方程，参数的几何意义，把参数方程化为普通方程的方法，韦达定理的应用，属于基础题．23.巳知函数f（x）=|x-1|+|2x+3|，x∈R（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且a4+b4+c4=m，求a2+2b2+3c2的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|x-1|+|2x+3|=，＜，＜，，∴根据函数的单调性可得，当x=-时，函数取得最小值m=．（Ⅱ）∵a4+b4+c4=m，∴（a4+b4+c4）（12+22+32）=14m，再利用柯西不等式可得14m≥（1×a2+2×b2+3×c2）2，∴a2+2b2+3c2≤，∴a2+2b2+3c2的最大值为．【解析】（Ⅰ）化简函数函数f（x）的解析式，根据函数的单调性可得，求得函数取得最小值m．（Ⅱ）由a4+b4+c4=m，可得（a4+b4+c4）（12+22+32）=14m，再利用柯西不等式求得a2+2b2+3c2的最大值．本题主要考查带由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．。

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的二、1.已知全集R U =,集合{}5,4,3,2,1,0=A ,{}2≥∈=x R x B ,则)(B C A U =( ) {}1,0.A{}1.B {}2,1.C{}2,1,0.D2.已知函数,003,log )(2≤>⎩⎨⎧=x x x x f x则))41((f f 得值是( )9.A91.B9.-C 91.-D 3.某产品在摊位上的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示。

由表可得回归直线方程a x b y+=,其中4-=b ,据此模型预计零售价为15元时,每天的销售量为 ( ) 48.A 个 .B 49个 .C 50个 .D 51个4.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )x x y A 22sin cos .-=x y B lg .=2.xx e e y C --=3.x y D =5.若双曲线12222=-by a x 的离心率为3,则其渐近线方程为( )x y A 2.±=x y B 2.±= x y C 21.±=x y D 22.±= 6.给出下列命题：①如果不同直线n m ,都平行于平面α,则n m ,一定不相交; ②如果不同直线n m ,都垂直于平面α,则n m ,一定平行;③如果平面βα,互相平行,且直线α⊂m ,直线⊂n β, 则n m //; ④如果平面βα,互相垂直,n m ,也互相垂直,且α⊥m ,则.β⊥n 则真命题的个数是( ) 3.A 2.B 1.C0.D7.已知数列{}n a 是等比数列,命题p ：“若123a a a <<,则数列{}n a 是递增数列”,那么在命题p 及其逆命题,否命题和逆否命题中,正确命题的个数为 ( ) .1A .2B .3C.4D 8.圆锥的底面半径为3,高为1,则圆锥的侧面积为( ).A.B.C.D9.设,x y 满足约束条件203200,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为6,则312log ()a b+的最小值为( ) .1A.2B .3C.4D 10.ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若A B 2=,1=a ,3=b ,则=c( )32.A2.B 2.C1.D 11.若函数x x x f 3)(3-=在)6,(2a a -上有最小值,则实数a 的取值范围是( ))1,5.(-A)1,5.[-B)1,2.[-C .(2,1)D -12.对于定义域和值域均为]1,0[的函数)(x f ,定义)()(1x f x f =,))(()(12x f f x f =,……))(()(1x f f x f n n -=, ,3,2,1=n ,满足x x f n =)(的点称为)(x f 的n 阶周期点. 设=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤,121,22,210,2x x x x 则)(x f 的n 阶周期点的个数是( )12.-n A 12.-n B n C 2. 2.n D三、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答案卷的相应位置.13.设i 是虚数单位,则321i z i==+14.已知圆C 的圆心是直线01=+-y x 与x 轴的交点,且圆C 与直线03=++y x 相切,则圆C的方程为15.已知(1,2)A ,(3,4)B ,(2,2)C -,(3,5)D -,则向量CD 在向量AB 上的投影为 16.已知函数)(x f y =的图像是开口向下的抛物线,且对任意R x ∈,都有)1()1(x f x f +=-,若向量)1,(log 21-=m a ,)2,1(-=b ,则满足不等式)1()(-<⋅f b a f 的实数m 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 某次素质测试,随机抽取了部分学生的成绩,得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计成绩的平均值;(2)若成绩排名前5的学生中,有一人是学生会主席,从这5人中推荐3人参加自主招生考试,试求这3人中含该学生会主席的概率.18.已知(3sin ,cos )a x x ωω=-,(cos ,cos ),0b x x ωωω=>,函数()f x a b =⋅且()f x 的图象相邻两条对称轴间的距离为.2π(1)求函数()f x 的最小正周期和单调增区间;(2)若ABC ∆的三条边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ,满足22cos bc A a =,求角A 的取值范围.19.如图,三棱柱111C B A ABC -的侧棱⊥1AA 底面ABC ,090=∠ACB ,E 是棱1CC 的中点,F 是AB 的中点,1==BC AC ,1 2.AA =(1)求证：//CF 平面E AB 1;(2)求三棱锥E AB C 1-的体积.20.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项为n S ,满足2*1441,n n S a n n N +=--∈,且25,a a 14,a 构成等比数列.(1)证明：2a =求数列{}n a 的通项公式;(3)证明：对一切正整数n ,有122311111.2n n a a a a a a ++++< 21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为,其左,右焦点分别为1F ,2F ,点P 是坐标平面内一点,且7OP =1234PF PF ⋅=,其中O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点1(0,)3S -,且斜率为k 的动直线l 交椭圆于,A B 两点,在y 轴上是否存在定点M ,使以,A B 为直径的圆恒过这个定点？若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由22. 已知函数)()(2R a e ax x f x∈-=. (1)当1=a 时,试判断)(x f 的单调性并给予证明;(2)若)(x f 有两个极值点).(,2121x x x x <①求实数a 的取值范围;②证明：e xf e.(1)(21-<<-为自然对数的底数)2014届泉州五中高考模拟试卷文科数学参考答案1.A2.B3.B4.B5.B6.C7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.C 13. 1i --; 14.22(1)2x y ++=;15.; 16. 102m <<或8m > 17.解：(1)组距为10,各组的频率分别为0.12,0.18,0.4,0.22,0.08.分数的平均值550.12650.18750.4850.22950.08x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.611.73018.77.674.6=++++=(2)记学生会主席为A,其余四人为1,2,3,4. 五人中任推三人,基本事件为：(A,1,2)(A,1,3) (A,1,4) (A,2,3) (A,2,4) (A,3,4) (1,2,3) (1,2,4) (1,3,4) (2,3,4) 共10个.满足要求的有6个,记所求事件为M, 63().105P M ==18.解：(1)21cos 2()3sin cos cos 22xf x a b x x x x ωωωωω+=⋅=-=-1112cos 2sin(2)2262x x x πωωω=--=--122T π=,T π=. 2 1.2ππωω=⇒=1()sin(2)62f x x π=--,2[2,2]622x k k πππππ-∈-+,单调增区间为[,]().63x k k k Z ππππ∈-+∈(2)由余弦定理得,222222222.2b c a bc a b c a bc+-⨯=⇒+=22222221cos 22442b c a a b c bc A bc bc bc bc +-+===≥=,又(0,),(0,].3A A ππ∈∴∈19.(1)证明：取AB 中点M ,连,MF ME ,E 为1CC 中点,F 为AB 中点,1//MF B B ∴,112MF B B =,1//EC B B ,112EC B B =,//MF EC ,且MF EC =,MFCE 为平行四边形,//CF EM ,CF ⊄平面1AB E ,EM ⊂平面1AB E ,//CF ∴平面1AB E .(2)解：1AA ⊥底面ABC ,∴侧面1AC ⊥底面ABC ,又090ACB ∠=,BC 垂直于交线AC ,BC ∴⊥侧面1.AC1AC BC ==,12AA =,111122ACE S ∆=⋅⋅=,111111.326O AB E B ACE B ACE V V V ---===⋅⋅=20.(1)证明：当1n =时,2211221444145S a a a a ==--⇒=+, 又0n a >,2a ∴=(2)解：21441n n S a n +=--,21443n n S a n -=-+,当2n ≥时,两式相减得 22144n n n a a a +=--,222144(2)n n n n a a a a +=++=+0n a >,12n n a a +∴=+,12n n a a +-=,{}n a 为等差数列,公差2d =.(2n ≥)2a ,5a ,14a 成等比数列,25214a a a ∴=⋅,2222(3)(12)a d a a d +=⋅+23a ⇒=,2(2)2 1.n a a n d n ∴=+-=-23a =代入(1)解得11a =,也满足通项公式2 1.n a n =-(3)证明：111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+=12231111111111111()()()21323522121n n a a a a a a n n ++++=-+-++--+ 111(1).2212n =-<+ 21.解：(1)22222122c e a c a ==→=,设(,)P m n ,又1(,0)F c -,2(,0)F c ,2274m n +=,2223(,)(,)4c m n c m n m c n ---⋅--=-+=,2273144c c -=→=,从而222, 1.a b ==椭圆C 的方程为22 1.2x y +=(2)设1:3AB l y kx =-代入椭圆整理得22416(21)039k x kx +--=,0∆>成立.记11(,)A x y ,22(,)B x y ,则12243(21)k x x k +=+,122169(21)x x k =-+, 设存在定点(0,)M m ,0MA MB ⋅=11221212(,m)(,m)(m)(m)0x y x y x x y y -⋅-=+--=121222121211(m )(m )0,3311(1)()()()033x x kx kx k x x k m x x m +----=+-++++= 222216141(1)()()09(21)33(21)3k k k m m k k -+⋅-⋅+++=++222212116(1)12()9(21)()0,339k k m k m m -+-+++++=22218(1)(9m 6m 15)0k m -++-=,22101.96150m m m m ⎧-=⇒=⎨+-=⎩ 存在定点(01)M ，满足要求. 22.解：(1)1a =,2()x f x x e =-,()2xf x x e '=-.令()2xg x x e =-,()20x g x e '=-=,ln 2x =.在(,ln 2)-∞上,()g x 单调递增,在(ln 2,)+∞上,()g x 单调递减,最大值2(ln 2)2ln 222(ln 21)2ln 0.g e=-=-=<()0f x '∴<,()f x 在(.)-∞+∞上单调递减.(2) ①()2xf x ax e '=-,须方程20x ax e -=有相异两实根. 化为2x ax e =,如图,设切点为00(,)x A x e ,()x xe e '=,2x a e ∴=,又002x ax e =,00221ax a x =⇒=,0x e e =,(1,)A e ,2AO a k e >=,.2ea >解法二.()2xf x ax e '=-,须方程20xax e -=有相异两实根.化为2xe a x=,令()x e x x ϕ=,221(1)()x x x e x e e x x x xϕ⋅-⋅-'== 由()0x ϕ'=得1x =,在(,0),(0,1)-∞上,()0x ϕ'<,()x ϕ单调递减; 在(1,)+∞上,()0x ϕ'>,()x ϕ单调递增,当(,0)x ∈-∞时,方程20x ax e -=不可能有相异两实根.最小值(1)e ϕ=,从而2.2e a e a >⇒> 且1201.x x <<<②由①知,当2ea >时,两个极值点1212,()x x x x <必有1201x x <<<,1()0f x '=,1120x ax e ∴-=,111,(0,1)2x e a x x =∈,111122111111()(1),(0,1)22x x x x x e f x ax e x e e x x =-=⋅-=-∈,令()(1),(0,1)2t t h t e t =-∈,11()(1)()02222t t t t t h t e e e '=-+⋅=-<,()h t 在(0,1)上单调递减,(1)()(0)h h t h <<⇒(1)122t e te -<-<-,即1() 1.2ef x -<<- 证毕.。

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2024年高三年高考模拟训练学科：数学满分：150分注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知R U =，集合{}1,0,2,3,4A =-，{}ln 1B x x =<，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}3,4 B.{}2,3,4 C.{}1,0,2- D.{}1,0,3,4-【答案】D 【解析】【分析】根据Venn 图可知图中的阴影部分表示集合R A B ⋂ð，利用补集的定义和运算求出R B ð，结合交集的定义和运算即可得出结果.【详解】由题意得，图中的阴影部分表示集合R A B ⋂ð.由集合{}1,0,2,3,4A =-，{}{ln 1}0e B xx x x =<=<<∣，得R {0B x x =≤ð或e}x ≥，所以R A B = ð{}1,0,3,4-，故选：D ．2.若点()3,4-在双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线上，则C 的离心率为（）A.259B.2516C.53D.54【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，进而求出ba即可求出离心率.【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，由点(3,4)-在双曲线C 的一条渐近线上，得4(3)ba=-⋅-，解得43b a =，所以C 的离心率53e a ===.故选：C3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若210,a a ≥>20100S =，则1011a a （）A.有最小值25B.有最大值25C.有最小值50D.有最大值50【答案】B 【解析】【分析】由20100S =，利用等差数列的性质推出101110a a +=，再利用基本不等式计算即得.【详解】由12020101120()10()1002a a S a a +==+=可得101110a a +=，因210,a a ≥>则等差数列{}n a 的公差0d ≥，故10110,0a a >>，则121011011(252a a a a +≤=，当且仅当10115a a ==时取等号，即当10115a a ==时，1011a a 取得最大值25.故选：B.4.已知()11y f x =++为奇函数，则()()()()()10123f f f f f -++++=（）A.6B.5C.6- D.5-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数性质对函数()()11f x f x =++依次赋值0,1,2x =即可求解.【详解】由题()11y f x =++为奇函数，则()()1111f x f x -++=-+-，所以()()()()11222f x f x f x f x -+++=-⇒-+=-，所以()f x 关于()1,1-对称，所以()()()()()()()()()()10123131022125f f f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤-++++=-++++=---=-⎣⎦⎣⎦，故选：D.5.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线210x y ++=上.若向量()1,2a =r ，则OP 在a上的投影向量为（）A.12,55⎛⎫--⎪⎝⎭B.12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C.525,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.()1,2--【答案】A 【解析】【分析】现依据条件设定点P 的坐标，接着根据投影向量概念公式直接计算即可求解.【详解】由题可设()21,P t t --，则()21,t O t P -=-，所以()()121,1,2t O t P a ==--- ，又a == ，故OP 在a上的投影向量为25c 1os 12,,55a a a a a a a aaOP OP OP O P a OP O aP⎛⎫=-=-- ⎪=⎝⎭=，故选：A.6.某同学统计最近5次考试成绩，发现分数恰好组成一个公差不为0的等差数列，设5次成绩的平均分数为x ，第60百分位数为m ，当去掉某一次的成绩后，4次成绩的平均分数为y ，第60百分位数为n .若y x =，则（）A.m n >B.m n= C.m n< D.m 与n 大小无法判断【答案】C 【解析】【分析】依题意不妨设这5次的分数从小到大分别为a 、a d +、2a d +、3a d +、4a d +()0,0a d >>，即可求出x 、m ，要使去掉一个数据之后平均数不变，则去掉的一定是2a d +，从而求出n ，即可判断.【详解】依题意不妨设这5次的分数从小到大分别为a 、a d +、2a d +、3a d +、4a d +()0,0a d >>，所以()123425x a a d a d a d a d a d =++++++++=+，又560%3⨯=，所以第60百分位数为23522a d a d m a d +++==+，要使4次成绩的平均分数为y 且y x =，则去掉的数据一定是2a d +，即还剩下a 、a d +、3a d +、4a d +()0,0a d >>，又460% 2.4⨯=，所以第60百分位数为3n a d =+，因为0d >，所以n m >.故选：C7.已知α，β均为锐角，()25sin 2cos sin 3αβαβ-=+，则()sin αβ-=（）A. B. C.23D.53【答案】D 【解析】【分析】利用()2αβααβ-=+-和()β=--α⎡⎤α-β⎣⎦对()sin 2αβ-和sin β进行转化即可求解.【详解】由题意()()()()sin 2sin sin cos cos sin α-β=α+α-β=αα-β+αα-β⎡⎤⎣⎦，又()()2525sin 2cos sin cos sin 33α-β=α+β=α--α⎡⎤α-β⎣⎦()()25cos cos sin sin 3⎡⎤=α+αα-β-α-β⎢⎥⎣⎦，故()()()()sin cos cos sin cos cos sin sin 3⎡⎤αα-β+αα-β=α+αα-β-α-β⎢⎥⎣⎦，即()()cos sin cos sin 3⎡⎤αα-β=α-α-β⎢⎥⎣⎦又α均为锐角，所以cos 0α≠，故()()()255sin sin sin 33α-β=-⇒=α-βα-β，故选：D.8.如图，一个由四根细铁杆PA 、PB 、PC 、PD 组成的支架（PA 、PB 、PC 、PD 按照逆时针排布），若π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O 到点P 的距离是（）A.3B.2C.2D.32【答案】B 【解析】【分析】将支架看作一个正四棱锥，根据已知及相切关系得到三角形相似，利用相似比求球心O 到点P 的距离.【详解】如上图正四棱锥P ABCD -，H 为底面中心，O 为球心，E 为球体与PD 的切点，又π3APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=，故P ABCD -各侧面均为等边三角形，若侧面三角形边长为a ，则22HD a =，PD a =，1OE =，显然Rt △PHD ~Rt △PEO ，故22HD OE PD OP ==，则2OP =.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.9.若1i z z -=-则（）A.1i z z +=+B.1i z z -=+C.0z z +=D.2z 是纯虚数【答案】AB【解析】【分析】根据复数的几何意义得到复数点所对应的轨迹，再利用共轭复数的概念即可判断AB ；举反例即可判断CD.【详解】利用复数的几何意义知在复平面内，z 对应的点在()()1,0,0,1对应线段的中垂线即直线y x =上，对A ，因为直线y x =上的点到点()()1,0,0,1--的距离相等，则A 正确；对B ，因为z 与z 关于实轴对称，则z 对应的点在直线y x =-上，且该直线上的点到点()()1,0,0,1-的距离相等，所以B 正确；对C ，在直线y x =上取点()1,1，则其所对应的复数为1i +，则1i z =-，则2z z +=，故C 错误；对D ，在直线y x =上取点()0,0，则其所对应的复数为0，则20z =，故D 错误.故选：AB.10.已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下列说法中正确的是（）A.()()2211111113A A A D A B A B ++= B.()11110A C AB A A ⋅-= C.向量1AD 与向量1A B uuu r的夹角是120°D.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为1AB AA AD⋅⋅【答案】ABC 【解析】【分析】由向量的加法运算判断A ；利用向量的减法运算以及向量垂直的性质判断B ；利用1ACD △是等边三角形以及向量夹角的定义判断C ；先判断10AB AA ⋅=再判断D ．【详解】由向量的加法得到：111111A A D A A C A B ++= ， 221113A C A B = ，∴()()2211111113A A A D A B A B ++= ，所以A 正确；1111A B A A AB -= ，11AB AC ⊥，∴110A C AB ⋅=，即()11110A C A B A A ⋅-= ，故B 正确；1ACD 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B uuu r的夹角是120︒，故C 正确；1AB AA ⊥ ，∴10AB AA ⋅= ，故1||0AB AA AD ⋅⋅=，因此D 不正确．故选：ABC ．【点睛】本题把正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识结合起来进行考查．熟练掌握正方体中的线线位置关系、夹角以及向量的运算法则与有关性质是做好本题的关键．11.数学中有个著名的“角谷猜想”，其中数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，则（）A.5m =时，61a =B.5m =时，在所有n a 的值组成的集合中，任选2个数都是偶数的概率为25C.54a =时，m 的所有可能取值组成的集合为{}8,10,64M =D.若所有n a 的值组成的集合有5个元素，则16m =【答案】ABD 【解析】【分析】将15a =代入递推公式即可判断A ；写出所有n a 的值组成的集合中的元素，再根据古典概型即可判断B ；根据递推公式，讨论前一项的奇偶即可判断C ；若所有n a 的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为1,2,4,8,16，再验证即可判断D .【详解】对于A ，当5m =时，则1234565,16,8,4,2,1a a a a a a ======，故A 正确；对于B ，当5m =时，则123456785,16,8,4,2,1,4,2a a a a a a a a ========，所以数列{}n a 从第4项起，是以3为周期的周期数列，所以所有n a 的值组成的集合为{}1,2,4,5,8,16，从中任选2个数都是偶数的概率为2426C 62C 155==，故B 正确；对于C ，当54a =时，若4a 为奇数，则4314a +=，故41a =，若4a 为偶数，则442a =，故48a =，若41a =，则312a =或3311a +=，所以32a =或30a =（舍去），由32a =，得222a =或2312a +=，所以24a =或213a =（舍去），由24a =，得142a=或1314a +=，所以18a =或11a =，若48a =，则382a =或3318a +=，所以316a =或373a =（舍去），由316a =，得2162a=或23116a +=，所以232a =或25a =（舍去），由232a =，得1322a =或13132a +=，所以164a =或1313a =（舍去），由25a =，得152a =或1315a +=，所以110a =或143a =（舍去），综上所述，11a =或18a =或110a =或164a =，所以m 的所有可能取值组成的集合为{}1,8,10,64M =，故C 错误；对于D ，若所有n a 的值组成的集合有5个元素，则集合中的元素为1,2,4,8,16，若11a =，则2344,2,1a a a ===，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，此时所有n a 的值组成的集合只有3个元素，不符题意；若14a =，则2342,1,4a a a ===，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，此时所有n a 的值组成的集合只有3个元素，不符题意；若12a =，则23451,4,2,1a a a a ====，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，此时所有n a 的值组成的集合只有3个元素，不符题意；若18a =，则234564,2,1,4,2a a a a a =====，所以数列{}n a 从第2项起，是以3为周期的周期数列，此时所有n a 的值组成的集合只有4个元素，不符题意；若116a =，则2345678,4,2,1,4,2a a a a a a ======，所以数列{}n a 从第3项起，是以3为周期的周期数列，此时所有n a 的值组成的集合有5个元素，符合题意，所以若所有n a 的值组成的集合有5个元素，则16m =，故D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()()4212x x +-的展开式中含2x 项的系数为______.【答案】40-【解析】【分析】先求出()42x -展开式通项公式，再根据乘法规则求出()()4212x x +-展开式中含2x 的项即可求解.【详解】()42x -展开式通项公式为()()44144C 22C rrr rr r r T xx --+=-=-，所以()()4212x x +-展开式中含2x 的项为()()323222224422C 2C 642440x x x x x x -+-=-+=-，故()()4212x x +-的展开式中含2x 项的系数为40-，故答案为：40-.13.已知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点F 的距离为6，则以线段PF 的中点为圆心，PF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为________．【答案】4【解析】【分析】首先利用抛物线定义确定P 点坐标，进而可得以PF 的中点为圆心，PF 长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长.【详解】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线为=1x -，由题意得6PF =，结合抛物线定义知P 点到准线的距离为6，则615px=-=，代入横坐标可得p y=±(5,P±，所以PF的中点坐标为或(3,，6 PF=，所以以PF的中点为圆心，PF长度为直径的圆的方程为(22(3)9x y-+-=或(22(3)9x y-++=，圆心到x，所以与x截得的弦长为4=，故答案为：4.14.已知“x”表示小于x的最大整数，例如54=， 2.13-=-.若()sin0x xωω=>恰好有四个解，那么ω的范围是______.【答案】9π5π2π,42⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【解析】【分析】作出y x=和siny xω=的图象，数形结合即可求得答案.【详解】0ω>，如图为满足题意的两种情况：即2π15π1229π22ωωω⎧≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪>⎪⎩或5π12ω=，解得9π5π2π,42ω⎡⎫⎧⎫∈⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭；故ω的范围是9π5π2π,42⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭，故答案为：9π5π2π,42⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合函数新定义，利用数形结合法解决方程根的个数问题，需要根据题意作出函数图象，利用图象进行求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某学校为了研究不同性别的学生对“村BA ”赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件M =“了解村BA ”，N =“学生为女生”，据统计()116P M N =∣，()17P N M =∣.（1）根据已知条件，补全22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，判断该校学生对“村BA ”的了解情况与性别是否有关？了解不了解总计男生女生总计（2）现从该校不了解“村BA ”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.()2P x k>0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有关（2）分布列见解析，85．【解析】【分析】（1）先根据条件概率求得人数完善列联表，再代入公式求出2χ，将该值与临界值比较即可求解.（2）先根据分层抽样确定抽取的男生人数和女生人数，再写出X 的所有可能取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得出答案.【小问1详解】因为()()11,167P MN P N M ==∣∣，所以对“村BA ”了解的女生人数为180516⨯=，了解“村BA ”的学生人数为5735⨯=，结合男生和女生各80名，作出22⨯列联表为：了解不了解总计男生305080女生57580总计35125160()22160307555016022.85710.8288080351257χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，因此，有99.9%的把握认为该校学生对“村BA ”的了解情况与性别有关；【小问2详解】由(1)知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，其中男生人数为501045075⨯=+，女生人数为751065075⨯=+．随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.()()()()0413223146464646444410101010C C C C C C C C 18340,1,2,3C 14C 21C 7C 35P X P X P X P X ============，()4046410C C 14C 210P X ===.故随机变量X 的分布列如下：X01234P114821374351210则()484105E X =⨯=.16.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，（1）求角B ：（2）若AC 边上的高34h =，求cos cos A C .【答案】（1）π3B =（2）18-【解析】【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角B 的大小;（2）由等面积法可得22b ac =，再由正弦定理可得sin sin A C 的值，再由cos cos()B A C =-+，可得cos cos A C 的值.【小问1详解】因为π2cos 3b A a c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得132sin cos sin sin sin 22B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪⎪⎝⎭，即sin cos sin sin sin()B A A B A A B +=++即sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+，在三角形中，sin 0A >，cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(0,)B π∈，则ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可得ππ66B -=，则π3B =.【小问2详解】因为AC 边上的高34h =，所以211332248ABC S b h b b b =⋅=⋅= ①又1133sin 2224ABC S ac B ac ==⨯= ②由①②可得22b ac =，由正弦定理可得2sin 2sin sin B A C =，结合（1）中π3B =可得3sin sin 8A C =，因为()1cos cos cos cos sin sin 2B AC A C A C =-+=-+=，所以1311cos cos sin sin 2828A C A C =-=-=-.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B C ⊥平面11AA C C ，90BAC ∠= .（1）证明：1AC CA ⊥；（2）若11A B C 是正三角形，22AB AC ==，求二面角1A AB C --的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）要证线线垂直，可以从线面垂直入手，证得AC ⊥平面11A B C ，进而得到1AC CA ⊥；（2）利用空间坐标系的方法，求得两个面的法向量，通过向量的夹角的计算得到二面角的大小.【小问1详解】过点B 1作A 1C 的垂线，垂足为O，如图所示：由平面11A B C ⊥平面11AA C C ，平面11A B C 平面111AA C C A C =，1B O ⊂平面11A B C ，11B O A C ⊥，得1B O ⊥平面11AA C C ，又AC ⊂平面11AA C C ，得1B O AC ⊥，由90BAC ∠= ，11//AB A B ，得11A B AC ⊥，111,B O A B ⊂平面11A B C ，又1111B O A B B = ，得AC ⊥平面11A B C ，又1CA ⊂平面11A B C ，得1AC CA ⊥.【小问2详解】以C 为坐标原点，CA ,1CA的方向为x 轴，y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ,由11A B C 是正三角形，22AB AC ==，可得111000200()()(A A B ,,，,,，，所以(1,0,0)CA = ，1(1,2,0)AA =-，11(0,AB A B ==-，设(,,)n x y z =是平面1A AB的一个法向量，则100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即200x y y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，则有y x ==得n =，设(,,)m x y z '''=是平面ABC 的一个法向量，则m AB m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y x '''⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令1z '=，则有0y x ''==，得m =，则311cos ,422n m n m n m ⋅+===⨯，又因为二面角1A AB C --为锐二面角，所以二面角1A AB C --的大小为π3.18.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2，点()()001,0P y y >为椭圆C 上的点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点A ，B 在椭圆C 上，直线PA ，PB 均与圆E ：()2221012x y r r ⎛⎫++=<< ⎪⎝⎭相切，证明：直线AB 过定点.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意，可得关于,,a b c 的方程，解之可得椭圆C 的方程；（2）先由直线与圆相切可得121k k =，再联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理分别求出12x x +，12x x ，12y y +，12y y ，代入121k k =可得,k m 的关系式，进而可得直线AB 过定点.【小问1详解】设椭圆C 的半焦距为c ，由题意得2222212c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且直线PA 和直线PB 斜率存在，设直线PA 的方程为1132y k x k =-+，直线PB 的方程为2232y k x k =-+，1312k r -=，所以()()222119141k r k -=+，所以()222119418940rkk r --+-=，同理，()222229418940r k k r --+-=，所以12,k k 是方程()2229418940rkk r --+-=的两根，所以121k k =.设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为y kx m =+，将y kx m =+代入22143x y +=，得()2223484120k x kmx m +++-=，所以122834km x x k +=-+，①212241234m x x k-=+，②所以()121226234my y k x x m k+=++=+，③()()()222212121212231234m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，④又因为()()()()121212121212121212333339222224111111y y y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-----++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⨯===-----++，⑤将①②③④代入⑤，化简得22637804k km m m +++-=，所以3217022m k m k ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若302m k +-=，则直线()33:122AB y kx k k x =+-=-+，此时AB 过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，舍去.若21702m k ++=，则直线()2121:7722AB y kx k k x =--=--，此时AB 恒过点217,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点217,2⎛⎫-⎪⎝⎭.19.关于x 的函数()ln 2(2)f x x x b b =+->，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.（1）证明：()f x 有唯一零点a ，且()1,a b ∈；（2）现在，我们任取1x ∈(1,a )开始，实施如下步骤：在()()11,x f x 处作曲线()f x 的切线，交x 轴于点()2,0x ；在()()22,x f x 处作曲线()f x 的切线，交x 轴于点()3,0x ；……在()(),n n x f x 处作曲线()f x 的切线，交x 轴于点()+1,0n x ；可以得到一个数列{}n x ，它的各项都是()f x 不同程度的零点近似值.（i ）设()1n n x g x +=，求()n g x 的解析式(用n x 表示+1n x )；（ii ）证明：当()11,x a ∈，总有1n n x x a +<<.【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）()()ln 112n n nn nx x b x g x x -++=+；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；（2）（i ）由导数的几何意义得曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线方程为12ln 1nn nx y x x b x +=+--，进而得()()ln 112n n nn nx x b x g x x -++=+；（ii ）令()12ln 1n n n x h x x x b x +=+--，进而构造函数1()()()ln ln 1n nF x f x h x x x x x =-=--+，结合函数单调性证明1n x a +<，再根据()0,()()0n n f x f x f a '><=证明1()()n n n n n f x x x x f x +'=->即可得答案.【小问1详解】证明：()ln 2(2)f x x x b b =+->，定义域为()0,∞+，所以，()'120fx x=+>在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()()ln1220(2),lnb 2ln 0(2)1b f b b b f b b b b b =+-=-<>=+-=+>>，所以，存在唯一()1,a b ∈，使得()0f a =，即：()f x 有唯一零点a ，且()1,a b ∈.【小问2详解】解：（i）由（1）知()'12f x x=+，所以，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线斜率为12n nk x =+，所以，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线方程为()()()'n n n y x f f x x x -=-，即12ln 1nn nx y x x b x +=+--令0y =得()ln 112n n nnx x b x x x -++=+所以，切线与x 轴的交点()ln 112,0n n n nx x b x x -+++⎛⎫⎪⎝⎭，即()1ln 112n n n n nx x b x x x +-++=+，所以，()()ln 112n n nn nx x b x g x x -++=+.(ii)对任意的()0,n x ∈+∞，由（i ）知，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线方程为：12ln 1n n n x y x x b x +=+--，故令()12ln 1nn nx h x x x b x +=+--，令1()()()ln ln 1.n nF x f x h x x x x x =-=--+所以，'11()n n n x x F x x x x x-=-=，所以，当(0,)n x x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增，当,()n x x +∞∈时，()0,()F x F x '<单调递减；所以，恒有()()0n F x F x ≤=，即()()f x h x ≤恒成立，当且仅当n x x =时等号成立，另一方面，由（i ）知，1()()n n n n f x x x f x +'=-，且当n x a ≠时，1n n x x +≠，（若n x a =，则()()0n f x f a ==，故任意11...n n x x x a +====，显然矛盾）因为1n x +是()h x 的零点，所以11()()()0,n n f x h x f a ++<==因为()f x 为单调递增函数，所以，对任意的n x a ≠时，总有1.n x a +<又因为1x a <，所以，对于任意*N n ∈，均有n x a <，所以，()0,()()0.n n f x f x f a '><=所以1()()n n n n n f x x x x f x +'=->，综上，当()11,x a ∈，总有1n n x x a+<<【点睛】本题考查利用导数的几何意义，不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合切线方程，构造函数1()()()ln ln 1n nF x f x h x x x x x =-=--+，进而结合函数的单调性证明不等式.。

泉州一中2015届第二次模拟考理科综合能力测试试题 相对原子质量：-11 C-12 N-14 O-16 F-19 Ne-20 Na-23 Al-27 S-32 Ba-137 第Ⅰ卷（选择题 共108分） 本卷共18小题，每小题6分，共108分。

在每小题给出的四个选项中有一个选项1．胰岛B细胞在病毒感染、分泌蛋白合成过量等因素作用下，引起内质网功能的紊乱，称为内质网应激（ERS），表现为分泌蛋白合成暂停而ERS蛋白表达等。

ERS有利于维持细胞的正常功能并使之存活，但长时间的ERS可引起细胞凋亡。

以下有关说法错误的是 A．细胞凋亡对机体有利， ERS使机体不会发生糖尿病 B．ERS现象的发生，与有关细胞基因的选择性表达有关 C．长期高血糖可能是引起胰岛B细胞产生ERS的原因之一 D．ERS过程，体现了细胞通过反馈调节在一定范围内维持细胞的稳态 2．在科学探究历程中，下列哪一项的操作目的与其他三项不同 A．萨克斯在探究绿叶光合作用产生什么物质时，先将植物置于黑暗中 B．恩格尔曼在探究光合作用氧气产生的场所时，用极细光束照射水绵的不同区域 C．在探究酵母菌的细胞呼吸方式时让空气间歇通过质量分数10%的NaOH溶液 D．毕希纳在证明引起发酵的是酵母细胞中的某些物质时，把葡萄糖加入酵母提取液中 3．植物能通过脱落酸的含量变化调节生理功能以适应干旱环境。

研究人员对经前期干旱锻炼的木薯和未经前期干旱锻炼的木薯在干旱环境下根部脱落酸的含量变化进行比较研究，结果如图所示。

以下说法错误的是 A．经前期干旱锻炼的木薯根部脱落酸含量高 B．前期干旱锻炼提高了木薯对干旱环境的反应速率 C．除了根冠，植物在萎蔫的叶片中也会产生脱落酸 D．脱落酸的浓度越高表明木薯植物越适应干旱环境 4．多样性指数是指用简单的数值表示群落内种类多样性的程度。

对泉州湾东海新旧两个虾池进行的调查研究发现，新池浮游植物的多样性指数在不同季节的差异较旧池更为明显。

准考证号 姓名（在此卷上答题无效）保密★启用前泉州市2015届普通中学高中毕业班质量检查理 科 数 学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数1i2ia ++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A ． 2 B ．－2 C ．12- D ．122．各项均为正数的等比数列{}n a 中，543,3,5a a a 成等差数列，且1(*)n n a a n +<∈N ，则公比q 的值等于A ．1B ．2C ．3D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．9log 10B ．lg11C ．2D ．3log 104．已知正实数y x ,满足4,1x y x y +≤⎧⎨-≤⎩，若实数k 满足1(1)y k x +=+，则A ．k 的最小值为1，k 的最大值为57B ．k 的最小值为12，k 的最大值为57C ．k 的最小值为12，k 的最大值为5 D ．k 的最小值为57，k 的最大值为5 5．若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++，则12345a a a a a ++++的值等于A ．－31B ．0C ．1D ．32 6．设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥B ．存在唯一直线l ，使得l a ，且l b ⊥C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且bα D ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥7．已知函数2()21f x x ax =-+，其中a ∈R ，则“0a >”是“(2013)(2015)f f ->”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件.8．曲线e xy =与曲线5yx =-交点的纵坐标．．．在区间(,1)()m m m +∈Z 内，则实数m 的值为A ．1B ．2C ．3D ．49．已知直线0ax by +=（1,1a b >>）被圆222220x y x y +---=截得的弦长为ab 的最小值为A 1B 1C ．3-D ．3+10．平面向量,a b 中，a ≠||0，b ta =()R t ∈. 对于使命题“1t ∀>，||||c b c a -≥-”为真的平面向量c ，给出下列命题：①1,()()0t c a b a ∀>-⋅-≤； ②1,()()0t c a b a ∃>-⋅->； ③,()()0R t c a c b ∀∈-⋅-<； ④,()()0R t c a c b ∃∈-⋅-<. 则以上四个命题中的真命题是A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置. 11．设集合{}1,0,1,2M =-，{}21,xN y y x ==+∈R ，则MN =_____________．12．11xe dx -=⎰_____________．13．如图，长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD AA ==设长方体的截面四边形11ABC D 的内切圆为O ，圆O 的正视图是椭圆'O ，则椭圆'O 的离心率等于______________.14．单位圆O 的内接四边形ABCD 中，2AC =，60BAD ∠=，则四边形ABCD 的面积的取值范围为_____________．15．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(,)x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值. 假如统计结果是94m =，那么可以估计π≈_____________．（用分数表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分)某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调查中，随机发放了120份问卷. 对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下22⨯列联表：（Ⅰ）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷. 若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过p ，那么，根据临界值表，最精确的p 值应为多少？请说明理由.附：独立性检验统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++；独立性检验临界值表：17．(本小题满分13分)已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）有一个零点023x =-，且其图象过点7(,1)3A .记函数()f x 的最小正周期为T .（Ⅰ）若'0()0<f x ，试求T 的最大值及T 取最大值时相应的函数解析式；（Ⅱ）若将所有满足题设条件的ω值按从小到大的顺序排列，构成数列{}n ω，试求数列{}n ω的前n 项和n S .18．(本小题满分13分)将一块边长为10的正方形纸片ABCD 剪去四个全等的等腰三角形'SEE ∆，'SFF ∆，'SGG ∆，'SHH ∆，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的工艺品包装盒S EFGH -，其中,,,A B C D 重合于点O ，E 与'E 重合，F 与'F 重合，G 与'G 重合，H 与'H 重合（如图所示）． (Ⅰ)求证：平面SEG ⊥平面SFH ；(Ⅱ)试求原平面图形中AE 的长，使得二面角E SH F --的余弦值恰为23； （Ⅲ）指出二面角E SH F --的余弦值的取值范围（不必说明理由）．19．（本小题满分13分）已知：动圆M 与圆22:(1)1F x y -+=内切，且与直线:2l x =-相切，动圆圆心M 的轨迹为曲线Γ． (Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)过曲线Γ上的点0(,2)P x 引斜率分别为12,k k 的两条直线12,l l ,直线12,l l 与曲线Γ的异于点P 的另一个交点分别为,A B . 若124k k =，试探究：直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，请求出该定点的坐标；若不恒过定点，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()e x f x =，记p ：R ∃∈x ，e 1<+xkx .（Ⅰ）求函数()f x 的图象在点()()0,0P f 处的切线的方程； （Ⅱ）若p 为真，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若[x ]表示不大于x 的最大整数，试证明不等式*11ln()N +≤∈n n n n ，并求1111[]101112100S =++++的值．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵1143-⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，1102⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．(Ⅰ)若点()2,4P -依次经过矩阵,A B 所对应的变换后得到点P '，求点P '的坐标； (Ⅱ)若存在矩阵M 满足=AM B ，求矩阵M ．（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθ=θ．直线l 过点()1,2-且倾斜角为34π．(Ⅰ)在直角坐标系下，求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(Ⅱ) 已知直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知,,a b c +∈R，a +=222a b c ++的最小值为m ． (Ⅰ) 求实数m ；(Ⅱ)若关于x 的不等式3x m -≥和20x px q ++≥的解集相同，求p q +的值．2015届泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10．A 部分试题考查意图说明：第10题 特殊化地取a =（1，0），则b =（t,0）.设c =(,)x y ，由|c b ||c a |-≥-，得2222()(1)x t y x y -+≥-+，化简得1(1)2t x t +≤>. 因为(1,)t ∈+∞，所以1(1,)2t +∈+∞，所以命题“1t ∀>，||||c b c a -≥-”等价于“1x ≤”， 所以向量c =(,)x y 满足1x ≤.因为()()(x 1)(1)c a b a t -⋅-=--,所以①真，则②假，故排除B 、C.法一：若③真，则④真，A 与D 都正确，与选择题“有且只有一个选项正确”矛盾，故③必假，排除D ，选A. 法二：因为2()()(x 1)(1)c a c b t y -⋅-=--+，y,x,t 是独立变量，所以④真③假，故选A. 本题用向量及运算的几何意义求解，将更为简捷！二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分． 11．{}2 12．2(e 1)- 13．214． 15．5715.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查超几何分布、离散型随机变量的分布列、数学期望、统计案例等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想等. 满分13分. 解：（Ⅰ）因为9份女生问卷是用分层抽样方法取得的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘. …………2分 因为ξ表示9份问卷中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0,1,2,3的可能取值.随机变量ξ的分布列为：4649155(0)12642C P C ξ====， 316349602010(1)1264221C C P C =====ξ，22634945155(2)1264214C C P C =====ξ， 13634961(3)12621C C P C ====ξ. …………5分随机变量ξ的分布列可列表如下：所以5105140123422114213E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ. …………7分（期望占2分） （Ⅱ）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(45153010)100 3.0355********⋅-⋅==≈⋅⋅⋅.…10分 因为1002.7063.03 3.84033<≈<， 所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即最精确的p 值应为0.1. ………13分17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、等差数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等.满分13分. 解：（Ⅰ）函数()f x 有一个零点023x =-，即其图象过点2(,0)3B -. ……1分 因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最大值为1，且7(,1)3A 在其图象上，所以7(,1)3A 是其图象的最高点. ……2分 因为'0()0<f x ， 所以023x =-在函数()f x 的一个单调递减区间内， ……3分 所以T 的最大值为472[()]4333--=. ……5分 由4T =，得24,2ππωω==. ……6分因为函数()f x 的图象过点A ，所以7sin()16+=πϕ，故72()62Z +=+∈k k ππϕπ，22()3Z =-∈k k πϕπ，又2πϕ<，所以1,3==k πϕ， ……8分故()sin()23f x x ππ=+. …………9分 （Ⅱ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的图象过点7(,1)3A ，得7sin()13+=ωϕ，1172()32Z +=+∈k k ωπϕπ…①. 由函数()sin()f x x ωϕ=+有一个零点023x =-， 得2sin()03ωϕ-+=，222()3Z k k ωϕπ-+=∈…②. ……10分 由①-②得，12123(2)()2Z =-+∈、k k k k πωπ,.因为12,k k 可取任意整数，所以122k k -可取任意整数， 故有3()2Z =+∈k k πωπ.又因为0ω>，所以0k ≥，从而()36*N =-∈n n n ππω. 因为数列{}n ω是首项为6π，公差为3π的等差数列， ……11分 所以其前n 项的和2(1)6236-=⋅+⋅=n n n S n n πππ. ……13分18．本小题主要考查抛物线的定义、标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：(Ⅰ) 折后,,,A B C D 重合于一点O ，∴拼接成底面EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，∴底面EFGH 是正方形，故EG FH ⊥. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 在原平面图形中，等腰三角形'SEE ∆ 'SGG ∆，∴SE SG =，∴EG SO ⊥. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又,SO FH ⊂平面SFH ，SO FH O =，∴EG ⊥平面SFH . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 又∵EG ⊂平面SEG ，∴平面SEG ⊥平面SFH . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知EG FH ⊥,EG SO ⊥，并可同理得到HF SO ⊥，故以O 为原点，分别以,,OF OG OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.设原平面图形中，=AE t ,则底面正方形EFGH 的对角线2=EG t ，∴(,0,0)-H t ，(0,,0)-E t ，(0,,0)G t ，(,,0)=-HE t t ，(0,,0)=OG t .在原平面图形中，可求得SE在在∆Rt SOE中，可求得==SO ，∴S，(,0,=-SH t . 设平面SEH 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n SH tx n HE tx ty化简，得=⎧⎪⎨=⎪⎩y xz x，令x(10(5)=-n t .．．．．．．．．．．．．．．11分 ∵EG ⊥平面SFH∴OG 是平面SFH 的一个法向量， 设二面角E SH F --的大小为θ， 则10(5cos ⋅==⋅n OG n OGθ. ．．．．．．．．．．．．．．．13分∵二面角E SH F --的余弦值恰为23， 23=，解得52=t 或5=-t （舍去）.（Ⅲ）二面角E SH F --的余弦值的取值范围为(2.19．本小题主要考查直线和方程、抛物线的定义、直线与圆、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分13分. 解：(Ⅰ)解法一：因为动圆M 与圆F 内切，且与直线:2l x =-相切，所以圆心M 必在直线:2l x =-的右侧. ………1分 设点M 到直线2x =-的距离为d ，则1,||1=+=-d MF MF d , ………2分 所以MF 等于点M 到直线1x =-的距离， ………3分 所以点M 的轨迹是以F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线， …………4分 故动圆圆心M 的轨迹方程为24y x =． …………5分解法二： (Ⅰ)设点(,)M x y .因为动圆M 与圆F 内切，且与直线:2l x =-相切，所以(,)M x y 到直线的距离1=+d MF ,且圆心M 必在直线:2l x =-的右侧.………2分因为点M 到直线:2l x =-的距离(2)2=--=+d x x ， …………3分 12MF x +=+，即1MF x =+，1x =+，化简得24y x =，故动圆圆心M 的轨迹方程为24y x =． …………5分 (Ⅱ)因为点0(,2)P x 在抛物线24y x =上，所以2024x =，解得01x =，故(1,2)P . …6分 解法一：若直线AB 的斜率不存在，则12,k k 异号，与124k k =矛盾， ………7分 故设直线AB 的方程为y kx b =+，并设11(,)A x y ，22(,)B x y , 则1122,y kx b y kx b =+=+，12121222,11y y k k x x --==--， 由124k k =，得121212122()44[()1]y y y y x x x x -++=-++…………①， 将1122,y kx b y kx b =+=+代入①，得：221212(4)(24)()40k x x kb k x x b b -+-+++-=.…………② …………9分联立方程组2,4y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，得222(24)0k x kb x b +-+=，所以212122242,kb b x x x x k k-+==， …………10分 代入②，得(2)(2)0b k b ++-=. ………11分 因为,A B 均异于点(1,2)P ，且直线与抛物线最多两个交点，所以(1,2)P 不在直线AB 上，2+≠k b ， ………12分所以2b =-，此时直线AB 的方程为2y kx =-，由直线AB 的方程2y kx =-可知直线AB 恒过定点(0,2)-. ………13分解法二：因为左右开口的抛物线上两点连线的斜率必不为零， ………7分 所以设直线AB 的方程为x my n =+，并设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 则1122,x my n x my n =+=+，12121222,11y y k k x x --==--. 由124k k =，得121212122()44[()1]y y y y x x x x -++=-++…………①, 将1122,x my n x my n =+=+代入①，得221212(41)(442)()480m y y mn m y y n n -+-+++-=………②, …9分联立方程组2,4x my n y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my n --=，所以12124,4y y m y y n +==-， …………10分 代入②，得224(41)4(42)480n m m mn m n n -+-++-=－，化简，得(2)(21)0m n m n -+-=. ………11分 因为,A B 均异于点(1,2)P ，且直线与抛物线最多两个交点，所以(1,2)P 不在直线AB 上，21+≠m n ， ………12分 所以20m n -=,此时直线AB 的方程可化为(2)x m y =+.由直线AB 的方程(2)x m y =+可知直线AB 恒过定点(0,2)-. ………13分 解法三：直线PA 的方程为12(1)y k x -=-，直线PB 的方程为22(1)y k x -=-，……7分联立方程组122(1),4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去x ，得212(1)4y y k -=-， 整理，得214840k y y k -+-=,所以111842k y k -⋅=，即11142k y k -=，代入12(1)y k x -=-，得21121(2)k x k -=，故211211(2)42(,)k k A k k --， …………9分 同理，得222222(2)42(,)k k B k k --，因为124k k =，所以214k k =，故211(2)(,2)4k B k --， ……10分 所以直线AB 的斜率2121122221121214411(2)44y y y y k k x x y y k y y --====-+--，……11分 直线AB 的方程为2111214(2)(2)()(2)4k k y k x k ---=--，即12142(2)k y x k =--， …………12分所以直线AB 恒过定点(0,2)-. …………13分解法四：设221122(,2),(,2)A t t B t t ， …………7分 则1121122211t k t t -==-+，2222222211t k t t -==-+， …………8分 12121212224111k k t t t t t t =⋅=+++++， 又124k k =，所以1212441t t t t =+++，整理，得12120t t t t ++=，…………10分 直线AB 的斜率122k t t =+， …………11分 所以直线AB 的方程为2111222()y t x t t t -=-+， 即1212()22t t y t t x +-=，12()(2)2t t y x ++=， ……12分所以直线AB 过定点(0,2)-. …………13分解法五：因为124k k =且12,k k 具有任意性，不妨取121,4k k ==，此时直线PA 的方程为1y x =+，直线PB 的方程为42y x =-.联立方程组214y x y x=+⎧⎨=⎩，解得()1,2A ，此时点A 与点P 重合（虽不合是题意，但属极限位置情况，估且作为一种情况）；联立方程组2424y x y x =-⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或141x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以1,14B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 从而得到121,4k k ==时直线AB 的方程为42y x =-. …………①再取121,4k k =-=-，此时直线PA 的方程为3y x =-+，直线PB 的方程为46y x =-+.联立方程组234y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或96x y =⎧⎨=-⎩，所以()9,6A -； 联立方程组2464y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或943x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以9,34⎛⎫- ⎪⎝⎭B . 从而得到121,4k k =-=-时，直线AB 的方程为49180x y ++=.……②………7分联立①②，解得交点坐标为()0,2-.特殊化地猜想：直线AB 恒过定点()0,2-. …………8分以下给出具体的证明：若直线AB 的斜率不存在，则12,k k 异号，与124k k =矛盾， …………9分故设直线AB 的方程为2y mx =-，联立方程组224y mx y x=-⎧⎨=⎩，消去y ，得()224440m x m x -++=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则121222444,m x x x x m m ++==， …………11分 代入直线方程，可得:()121244y y m x x m+=+-=， ()()()21212121282224y y mx mx m x x m x x m =--=-++=-. 12121222,22AP BP y y k k k k x x --====--, 因为()()12121212121212228816442422.4444411111--+-+-++--=====+---++-+-+y y y y y y m m m k k m x x x x x x m m m ， 满足题意要求，所以直线AB 恒过()0,2-.……13分20．本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、有限与无限思想、特殊与一般思想等．满分14分.解：（Ⅰ）因为()e x f x '=， ……1分所以()01f '=，即函数的图象在点()()0,0P f 处的切线的斜率为1. ……2分又因为切线过切点()0,1P ，所以函数()f x 的图象在点()0,1P 处的切线方程为1y x =+. ……3分（Ⅱ）令()h x =e 1x kx --，则()e x h x k '=-． ①当0≤k 时，恒有()e 0'=->x h x k ，所以()h x 在(,)-∞+∞递增，又因为()00=h ，所以当0<x ，都有()0<h x ，即命题p 为真. ……4分②当0k >时，令()0h x '=，得ln x k =；令()0h x '<，得ln x k <；令()0h x '>，得ln x k >.所以()h x 在(,ln )k -∞递减，在(ln ,)k +∞递增，故当ln x k =时，()h x 取得最小值()ln ln 1h k k k k =--． ……5分令()ln 1=--m x x x x ,则()ln '=-m x x .因为()01'≤⇔≥m x x ，()001'≥⇔<≤m x x ，所以()m x 在区间[1,)+∞单调递减，在区间(0,1]单调递增，当0k >且1k ≠时，()ln ()(1)0h k m k m =<=，存在ln x k =，使得e 1<+x kx ，命题p 为真；……7分当1=k 时，()h x 的最小值()ln ln 10=--=h k k k k ，所以()0()R ≥∈h x x ，命题p 为假． ……8分综合①②知，若p 为真，实数k 的取值范围为{|,1}R ∈≠k k k . ……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，e 1xx ≥+对R ∈x 恒成立，所以，当10+>x 时，有()ln 1x x +≤． 令*1()N =∈x n n ，即证得，*11ln ()N +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭n n n n . ……10分 由*11ln ()N +⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭n n n n得： 1111101112100++++111213101ln ln ln ln 101112100≥++++101ln 10=. ……11分 在()ln 1(1)+≤>-x x x 中，令*1()N =-∈x n n 得，1ln 1n n n⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭， ……12分 所以1111101112100++++101112100ln ln ln ln 9101199≤++++100ln 9=.……13分 因此1011111100ln ln 101011121009≤++++≤， 又因为1011002ln3,2ln 3109<<<<． 所以111123101112100<++++<，则1111[]2101112100S =++++=．……14分21．（1）选修4—2:矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.满分7分 解：(Ⅰ) 解法一:因为112643420--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11614022040-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以点P '的坐标为()14,40. …………4分解法二:111132024386--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA ， …………2分 ()232214486440-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA ， 所以点P '的坐标为()14,40. …………4分(Ⅱ) 解法一:设a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭M ，则有11114302a b c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1,1,430,43 2.a cb d ac bd -+=⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ ……6分解得3,5,4,6.a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 所以3546⎛⎫= ⎪⎝⎭M . …………7分 解法二:因为11det 143-==--A ，所以13141-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ， ……6分 又因为1-=M AB ，所以311135410246⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M . ……7分21（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.满分7分.解：(Ⅰ)当0≠ρ时，方程2cos sin ρθ=θ可化为22cos sin ρθ=ρθ，从而得到方程2y x =； ……1分当0=ρ时，因为sin 0=θ有解，所以曲线C 过极点，极点对应的直角坐标(0,0)也满足方程2y x =. ……2分综上可知，曲线C 的直角坐标方程为2y x =. ………3分直线l 的参数方程为31cos ,432sin 4x t y t ⎧=-+π⎪⎪⎨⎪=+π⎪⎩，即1,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.……4分 (Ⅱ) 解法一：将1222x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2y x =，整理，得220t -=， …………5分 因为280∆=+>，所以直线l 与曲线C 相交.设交点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12122t t t t +==-， ……6分所以12AB t t =-=…………7分解法二：由倾斜角知直线l 的斜率为-1，所以其对应的方程为：2(1)y x -=-+，即1y x =-+. …5分 联立21y x y x=-+⎧⎨=⎩，整理得210x x +-=. ……6分 因为140∆=+>，所以直线l 与曲线C 相交.设交点()()1122,,,A x y B x y ，则12121,1x x x x +=-=-，所以21AB x =-==………7分21（3）选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等.满分7分.解:(Ⅰ)由柯西不等式，可得222222()[1](a b c a ++++≥++，整理，得2222a b c ++≥， ……2分当且仅当1a ==133a b c ===时，等号成立，…3分 所以222a b c ++的最小值2m =. …………4分(Ⅱ)不等式3x m -≥即32x -≥，由32x ->或32x -<-，解得5x ≥或1x ≤.(也可观察数轴得到解集) ……5分所以不等式20x px q ++≥的解集为{|15}x x x ≤≥或，则5x =和1x =是关于x 的方程20x px q ++=的两根，由韦达定理，得6p =-， 故6p =-． …………7分读书的好处1、行万里路，读万卷书。

2015年浙江省杭州十四中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a∈R，则“a≤2”是“|x﹣2|﹣|x|＞a有解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数 D．f（x）+1为偶函数3．设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．12 B．8 C．4 D．24．如图所示，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在边长为2的正方形A′B′C′D′的边A′B′和A′D′上移动，则的最大值是（）A．2 B．1+C．πD．45．若关于x的不等式3﹣|x﹣a|＞x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A． B．C．﹣3＜a＜3 D．6．若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积比为1：2的两部分，则k的一个值为（）A．B．C．1 D．7．已知点P为双曲线（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，使（O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．8．已知函数，若方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣2＜a＜0} B．{a|﹣2＜a≤0}C．{a|﹣2＜a＜0或1＜a＜2} D．{a|﹣2＜a＜0或a=1}二、填空题：本大题共7小题，共36分．9．设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4≥0}，B={x|x﹣5＜0}，则A∩B=；A∪B=；∁U A=．10．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9构成等比数列{b n}的前3项，则=；又若d=2，则数列{b n}的前n项的和S n=．11．设函数f（x）=，则f（f（﹣2））=；满足不等式f （x）≤4的x的取值范围是．12．若3sinα+cosα=，则tanα的值为；的值为．13．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则的最小值为．14．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4x+1=0有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是．15．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知．（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=1，，sinA=2sinB，求△ABC的面积．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证AD⊥BM；（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E﹣AM﹣D大小为时，试确定点E的位置．18．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：（n∈N*）．19．设点P为圆O：x2+y2=4上的一动点，点Q为点P在x轴上的射影，动点M满足：=．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F（﹣，0）作直线l交圆O于A、B两点，交（1）中的轨迹E于点C、D两点，问：是否存在这样的直线l，使得=成立？若存在，求出所有的直线l的方程；若不存在，请说明理由．20．（Ⅰ）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x．另一个函数y=g（x）的定义域为[a，b]，值域为[]，其中a≠b，a，b≠0．在x∈[a，b]上，g（x）=f（x）．求a，b．（Ⅱ）b，c∈R，二次函数f（x）=x2+bx+c在（0，1）上与x轴有两个不同的交点，求c2+（1+b）c的取值范围．2015年浙江省杭州十四中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a∈R，则“a≤2”是“|x﹣2|﹣|x|＞a有解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先求出|x﹣2|﹣|x|＞a有解的a的取值范围：a＜2，然后判断a≤2和a＜2的关系即可．【解答】解：∵|x﹣2|﹣|x|≤|x﹣2﹣x|=2，∴若|x﹣2|﹣|x|＞a有解，只要|x﹣2|﹣|x|的最大值大于a，即2＞a，即＜2；∴a≤2不一定得到a＜2，即“a≤2“不是“|x﹣2|﹣|x|＞a“的充分条件；而a＜2一定能得到a≤2，∴“a≤2“是“|x﹣2|﹣|x|＞a“的必要条件；∴“a≤2“是“|x﹣2|﹣|x|＞a“的必要不充分条件．故选B．【点评】考查绝对值不等式的一个性质：|a|﹣|b|≤|a﹣b|，以及充分条件，必要条件，必要不充分条件的概念．2．若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数 D．f（x）+1为偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题．【分析】对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可【解答】解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．3．设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．12 B．8 C．4 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是高为2的三棱锥，结合图中数据求出该三棱锥的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是高为2的三棱锥，且底面三角形的底边长为4，高为3；所以该几何体的体积为=×（×4×3）×2=4．V三棱锥故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．4．如图所示，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在边长为2的正方形A′B′C′D′的边A′B′和A′D′上移动，则的最大值是（）A．2 B．1+C．πD．4【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】令∠A'AD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的数量积，由二倍角公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：如图以A'为坐标原点，A'B所在直线为x轴，建立直角坐标系，令∠A'AD=θ，由于AD=1，故A'A=cosθ，A'D=sinθ，如图∠BAx=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ，故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，当θ=时，的最大值是的最大值是2．故选：A．【点评】本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．5．若关于x的不等式3﹣|x﹣a|＞x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）A． B．C．﹣3＜a＜3 D．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得不等式|x﹣a|＜3﹣x2，且3﹣x2＞0至少有一个负数解，在同一个坐标系中画出y=3﹣x2和函数y=|x﹣a|的图象．当函数y=|x﹣a|的图象的左支经过点（0，3）时，求得a的值；当函数y=|x﹣a|的图象的右支和y=3﹣x2的图象相切时，求得a的值，从而得到要求的a的范围．【解答】解：关于x的不等式3﹣|x﹣a|＞x2，即|x﹣a|＜3﹣x2，且3﹣x2＞0．在同一个坐标系中画出y=3﹣x2和函数y=|x﹣a|的图象，当函数y=|x﹣a|的图象的左支经过点（0，3）时，求得a=3；当函数y=|x﹣a|的图象的右支和y=3﹣x2的图象相切时，方程组有唯一解，即x2+x﹣a﹣2=0有唯一解，故△=1﹣4（﹣a﹣3）=0，求得a=﹣，故要求的a的范围为（﹣，3），故选：D．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．6．若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积比为1：2的两部分，则k的一个值为（）A．B．C．1 D．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出阴影部分的面积，根据面积比是1：2，即可确定k的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A（0，4），B（0，），由，解得C（1，1），则三角形ABC的面积S=×（4﹣）×1=，∵平面区域被直线y=kx+分成面积比是1：2的两部分，∴面积较小的面积为，∵直线y=kx+过定点B（0，），若△ABD的面积为，则S=，解得x D=，由，解得D（，3），此时BD的斜率k=．若△ABE的面积为，则S=，x E=，由，解得E（，2），此时BE的斜率k=1；故k=5或k=1；故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据三角形的面积公式求出满足条件的直线的位置关系是解决本题的关键．7．已知点P为双曲线（a＞0，b＞0）的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，使（O为坐标原点），且||=||，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【专题】综合题；压轴题．【分析】先由：∵，判断出∠F1PF2=90°，再由|=||，解，求出c，由此得到双曲线离心率．【解答】解：∵（O为坐标原点），∴，∴||=||=||=c，∴∠F1PF2=90°，设|PF2|=x，则|PF1|=，，解得，∴=（）a，∴．故选D．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意平面向量数量积的运算．8．已知函数，若方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣2＜a＜0} B．{a|﹣2＜a≤0}C．{a|﹣2＜a＜0或1＜a＜2} D．{a|﹣2＜a＜0或a=1}【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】作出函数y=f（x）和y=x+a的图象．利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围．【解答】解：若0≤x≤2，则﹣2≤x﹣2≤0，∴f（x）=2f（x﹣2）=2（1﹣|x﹣2+1|）=2﹣2|x﹣1|，0≤x≤2．若2≤x≤4，则0≤x﹣2≤2，∴f（x）=2f（x﹣2）=2（2﹣2|x﹣2﹣1|）=4﹣4|x﹣3|，2≤x≤4．∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4．设y=f（x）和y=x+a，则方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，、等价为函数y=f（x）和y=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不同的零点．作出函数f（x）和y=x+a的图象，如图：当直线经过点A（2，0）时，两个图象有2个交点，此时直线y=x+a为y=x﹣2，当直线经过点O（0，0）时，两个图象有4个交点，此时直线y=x+a为y=x，当直线经过点B（3，4）和C（1，2）时，两个图象有3个交点，此时直线y=x+a为y=x+1，∴要使方程f（x）=x+a在区间[﹣2，4]内有3个不等实根，则a=1或﹣2＜a＜0．故选：D．【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．二、填空题：本大题共7小题，共36分．9．设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x﹣4≥0}，B={x|x﹣5＜0}，则A∩B=[4，5）；A∪B= R；∁U A=（﹣1，4）．【考点】补集及其运算；并集及其运算；交集及其运算．【专题】集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥4，即A=（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞），由B中不等式解得：x＜5，即B=（﹣∞，5），则A∩B=[4，5），A∪B=R，∁U A=（﹣1，4），故答案为：[4，5）；R；（﹣1，4）【点评】此题考查了补集及其运算，并集及其运算，以及交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9构成等比数列{b n}的前3项，则=；又若d=2，则数列{b n}的前n项的和S n=3n﹣1．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得（a1+2d）2=a1（a1+8d），可得a1=d，进而a n=nd，由等差数列的通项公式代入化简可得的值；可得等比数列{b n}的首项为2，公比为3，代入求和公式计算可得．【解答】解：由题意a1，a3，a9构成等比数列{b n}的前3项，∴a32=a1a9，∴（a1+2d）2=a1（a1+8d），∴a1=d，∴a n=nd，∴==；当d=2时，a1=2，a3=6，a9=18，∴等比数列{b n}的首项为2，公比为3，∴数列{b n}的前n项的和S n==3n﹣1故答案为：；3n﹣1【点评】本题考查等差数列的求和公式，涉及等比数列的求和公式，属中档题．11．设函数f（x）=，则f（f（﹣2））=﹣2；满足不等式f（x）≤4的x的取值范围是{x|x≥﹣1}．【考点】其他不等式的解法；函数的值．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据函数的解析式，先求得f（﹣2）的值，可得f（f（﹣2））的值．把不等式f （x）≤4，转化为与之等价的2个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：根据函数f（x）=，可得f（﹣2）=23=8，∴f（f（﹣2））=f（8）=1﹣log28=1﹣3=﹣2．不等式f（x）≤4，等价于①，或②．解①求得﹣1≤x≤1；解②求得x＞1，故不等式f（x）≤4的解集为{x|x≥﹣1}，故答案为：﹣2；{x|x≥﹣1}．【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，指数、对数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．12．若3sinα+cosα=，则tanα的值为3；的值为．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知等式，结合sin2α+cos2α=1，求出sinα与cosα的值，进而求出tanα的值；原式利用同角三角函数间基本关系变形，把tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：由3sinα+cosα=，得到cosα=﹣3sinα，代入sin2α+cos2α=1得：sin2α+（﹣3sinα）2=1，这里得：10sin2α﹣6sinα+9=0，即（sinα﹣3）2=0，解得：sinα=，cosα=，则tanα==3；====，故答案为：3；【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．13．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1）．若EF，BC的中点分别为M，N，且m+4n=1，则的最小值为．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由等腰△ABC中，AB=AC=1且A=120°，算出=﹣．连接AM、AN，利用三角形中线的性质，得到=（）且=（+），进而得到=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）．将此式平方，代入题中数据化简可得=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，结合m+4n=1消去m，得=n2﹣n+，结合二次函数的性质可得当n=时，的最小值为，所以的最小值为．【解答】解：连接AM、AN，∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°，∴=||•||cos120°=﹣∵AM是△AEF的中线，∴=（）=（+）同理，可得=（+），由此可得=﹣=（1﹣m）+（1﹣n）∴=[（1﹣m）+（1﹣n）]2=（1﹣m）2+（1﹣m）（1﹣n）•+（1﹣n）2=（1﹣m）2﹣（1﹣m）（1﹣n）+（1﹣n）2，∵m+4n=1，可得1﹣m=4n∴代入上式得=×（4n）2﹣×4n（1﹣n）+（1﹣n）2=n2﹣n+∵m，n∈（0，1），∴当n=时，的最小值为，此时的最小值为．故答案为：【点评】本题给出含有120度等腰三角形中的向量，求向量模的最小值，着重考查了平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于中档题．14．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4x+1=0有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是（1，2]．【考点】双曲线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆有公共点的条件：d≤r，再由离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣4x+1=0的圆心为（2，0），半径为，渐近线与圆x2+y2﹣4x+1=0有公共点，即有≤，即为4b2≤3c2，即4c2﹣4a2≤3c2，即为c2≤4a2，即有e=≤2，又e＞1，则1＜e≤2．故答案为：（1，2]．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的范围，考查直线和圆有公共点的条件，属于中档题．15．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是（，]．【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用三角形两边之和大于第三边，以及点P的个数为6个时，短半轴长不大于，能求出m的范围．【解答】解：∵|PA|+|PC1|=m＞|AC1|=，∴m ＞，∵正方体的棱长为1∴正方体的面的对角线的长为，∵点P的个数为6，∴b≤，∵短半轴长b==，∴，解得m≤，∴m的取值范围是（]．故答案为：（，]．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知．（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=1，，sinA=2sinB，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；诱导公式的作用；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的最大值及取得最大值时x的值；（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（C）=1求出C的度数，再由sinA=2sinB，利用正弦定理得到a=2b，利用余弦定理列出关系式，将c，cosC及a=2b代入求出a与b的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+cos2x+cos2x+sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当2x+=2kπ+，即x=kπ+，k∈Z时，函数f（x）取得最大值2；（Ⅱ）由f（C）=2sin（2C+）=1，得sin（2C+）=，∵＜2C+＜2π+，∴2C+=，解得C=，∵sinA=2sinB，∴根据正弦定理，得a=2b，∴由余弦定理，有c2=a2+b2﹣2abcosC，即12=4b2+b2﹣2b2=3b2，解得：b=2，a=4，则S△ABC=absinC=×4×2×sin=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证AD⊥BM；（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E﹣AM﹣D大小为时，试确定点E的位置．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】综合题；空间角．【分析】（Ⅰ）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；（Ⅱ）作出二面角E﹣AM﹣D的平面角，利用二面角E﹣AM﹣D大小为时，即可确定点E的位置．【解答】（Ⅰ）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点∴AM=BM=∴BM⊥AM∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（Ⅱ）过点E作MB的平行线交DM于F，∵BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM在平面ADM中，过点F作AM的垂线，垂足为H，则∠EHF为二面角E﹣AM﹣D平面角，即∠EHF=设FM=x，则DF=1﹣x，FH=在直角△FHM中，由∠EFH=，∠EHF=，可得EF=FH=∵EF∥MB ，MB=，∴，∴∴∴当E 位于线段DB 间，且时，二面角E ﹣AM ﹣D 大小为．【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确作出面面角是关键．18．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求证：（n ∈N*）．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由条件，将n 换为n ﹣1，两式相减，再由等差数列的通项公式，即可得到所求； （Ⅱ）由==＜=[﹣]（n ≥2），运用裂项相消求和，从第二项放缩，即可得证． 【解答】解：（Ⅰ）由S n =（n ∈N*），n 用n ﹣1代，可得S n ﹣1=，两式相减得a n 2﹣a n ﹣12=2（a n +a n ﹣1）， 由题意可得，a n ﹣a n ﹣1=2，a 1=2， 得a n =2n ； （Ⅱ）由==＜= [﹣]（n ≥2），所以当n ≥2时，++…+＜+[﹣+﹣+…+﹣]=+﹣＜，又n=1时也符合，所以原不等式成立．【点评】本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查等差数列的通项公式的运用，同时考查数列不等式的证明：裂项相消求和，考查不等式的性质，属于中档题．19．设点P为圆O：x2+y2=4上的一动点，点Q为点P在x轴上的射影，动点M满足：=．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F（﹣，0）作直线l交圆O于A、B两点，交（1）中的轨迹E于点C、D两点，问：是否存在这样的直线l，使得=成立？若存在，求出所有的直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y），根据P在圆上求得M点轨迹方程．（2）设其方程为y=k（x+），代入x2+y2=4，整理得，求出|AF|，|BF|得到，再将y=k（x+）代入x2+4y2=4，整理得（1+4k2）x2+8k2x+4（3k2﹣1）=0，求出|CF|，|DF|，得到，根据条件求出k值．【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）因为P在圆O：x2+y2=4，所以x2+4y2=4故所求动点M的轨迹方程为（2）①当直线l垂直于x轴时，由于F（）易知|AF|=|BF|=1，|CF|=|DF|=，所以，不合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设其方程为y=k（x+），代入x2+y2=4，整理得，△1=设A（x1，y1），B（x2，y2），则所以|AF|=|BF|=从而==将y=k（x+）代入x2+4y2=4，整理得（1+4k2）x2+8k2x+4（3k2﹣1）=0△2=设C（x3，y3）D（x4，y4），则所以|CF|==|DF|==从而故⇔⇔⇔综上，存在两条符合条件的直线，其方程为y=【点评】本题主要考查轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的综合问题，属于难度较大的题，高考经常涉及．20．（Ⅰ）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x．另一个函数y=g（x）的定义域为[a，b]，值域为[]，其中a≠b，a，b≠0．在x∈[a，b]上，g（x）=f（x）．求a，b．（Ⅱ）b，c∈R，二次函数f（x）=x2+bx+c在（0，1）上与x轴有两个不同的交点，求c2+（1+b）c的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）函数y=g（x）的定义域为[a，b]，值域为[，]，这表明，可见a，b同号．当a，b＞0时，考虑以下三种情况：0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2．利用二次函数的单调性即可得到；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上与x轴有两个不同的交点，即函数f（x）=x2+bx+c 的两个零点为x1，x2（0＜x1＜x2＜1），即f（0）=c=x1x2＞0，f（1）=1+b+c=（1﹣x1）（1﹣x2）＞0，进而结合基本不等式可得c（1+b+c）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）容易求出奇函数y=f（x）的解析式为：f（x）=，函数g（x）的定义域为[a，b]，值域为[，]，其中a≠b，a、b≠0，这表明可见a、b同号．也就是说y=g（x），x∈[a，b]的图象在第一或第三象限内．根据f（x）=g（x）（x∈[a，b]以及f（x）的图象可知，函数g（x）的图象如所示曲线的一部分：值域与函数的单调状况有关，又与定义域有关．如果只考虑0＜a＜b＜2或﹣2＜a＜b＜0两种情况，不能准确地用a、b表示出值域区间的端点，因此要把区间（0，2），（﹣2，0）再分细一些，由图中看出，当a、b＞0时，考虑以下三种情况较好：0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2．如果0＜a＜b≤1或者0＜a＜1＜b，那么＞1．但是x∈（0，1]时，f（x）≤1，这与g（x）的值域区间[，]的右端点大于1矛盾．可见不出现0＜a＜b≤1或者0＜a＜1＜b的情形．如果1≤a＜b＜2，由图看出g（x）是减函数，可见，整理得，考虑到1≤a＜b＜2的条件，解之得：．完全类似地，考虑到﹣1≤a＜b＜0，﹣2＜a＜﹣1＜b＜0，﹣2＜b＜a≤﹣1三种情况后，可以在﹣2＜b＜a≤﹣1的情况下通过值域条件得出．综合有：，．（Ⅱ）设二次函数f（x）=x2+bx+c的零点为x1和x2，且0＜x1＜x2＜1，则：f（0）=c=x1x2＞0，f（1）=1+b+c=（1﹣x1）（1﹣x2）=1+b+c＞0f（0）f（1）=c2+bc+c=x1x2（1﹣x1）（1﹣x2）＜（）2•（）2=，∴0＜c2+（1+c）b＜．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。