2003-2004(下)高数期末考卷

2003本科班《数学分析》期末试题A （正题）（2004—2005学年第二学期）说明：本试卷共四题，共100分考试时间120分钟一、填空：（10分） 1．=⎰→x x ααcos lim220。

2．若222:R y x D ≤+，且m 为常数，则⎰⎰=Dmdxdy 。

3．若]1,0[]1,0[]1,0[⨯⨯=Ω，则⎰⎰⎰Ω=xyzdxdydz 。

4．若n 为自然的，则=+Γ)1(n 。

5．若222:a y x c =+，则第一型曲线积分⎰=+cds y x 22 。

二、判断正误：（10分） 6．dx xy I 21)(+=⎰+∞在),(∞-∞上一致收敛。

（ ） 7．对任何0>p ，0>q ，有),(),(p q B q p B =。

（ ） 8．若),(y x P ，),(y x Q 在平面区域D 内连续，则曲线积分⎰+LQdx Pdx 在D 内与路线无关。

（ ）9．球面是双侧曲面，从而沿球面两侧的第二型曲面积分的值相差一个符号。

（ ） 10．若0),,(=⎰⎰⎰d x d y d z z y x f V，则在V 上0),,(≡z y x f 。

（ ）三、解下列问题。

（60分） 11．求++=Ddxdy xy xI )1(，其中D 是由直线x y =，1=x 及0=y 围成。

12．求dxdy y xI D⎰⎰+=)sin(22，其中π≤+22:y x D 。

13．求由曲面22y x z +=与平面1=z 所围立体的体积。

系 级 班 姓名 学号密封线内不要答题14．求第二型曲面积分dxdy z dzdx ydydz x I S333++=⎰⎰，其中S 是由上半球面2222R z y x =++及底面0=z 所围成的闭曲面外侧。

四、证明下列问题（20分） 15．证明第二型曲面积分dy x y dx y x I )()()1,1()0,0(-+-=⎰与积分路线无关，并求它的值。

16．应用三重积分的中值定理证明，若),,(z y x f 在2222:ρρ≤++z y x V 内连续，则)0,0,0(34),,(1lim3f dV z y x f V πρρρ=⎰⎰⎰→。

2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A)注意：1、本试卷共 3 页;2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）。

（A)-=0a b （B)+=0a b （C)0⋅=a b (D)⨯=0a b 2。

极限2222001lim()sinx y x y x y →→+=+( ）.(A ） 0(B) 1 (C) 2(D ）不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是( ）。

（A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数(C ）(,)f x y =（D ）(,)e x y f x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ).(A ）驻点与极值点 (B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰，2DI σ=，3DI σ=，则有（ ）。

（A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰( ）. （A) l (B ） l 3 (C) l 4 (D ） l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）。

（A)该级数收敛 (B ）该级数发散(C ）该级数可能收敛也可能发散 （D ）该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是( ）。

（A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散（B)若级数21nn a∞=∑发散,则级数1nn a∞=∑也发散 （C)若级数21nn a∞=∑收敛,则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题(7个小题，每小题2分,共14分)．1。

一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为 。

2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。

3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。

4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为 。

5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是 。

二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（ ）。

a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（ ）。

a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（ ），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（ ）。

a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（ ）合同与200010005-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 。

a) 4000100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数xc y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos(=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………D E KBC 1A 1B 1AFCG 东O⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cosr r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ， （Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又 19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+ （以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法）20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DG k k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ） 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）解：用(t,s)表示22ts+，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C （0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）.........（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10） (2)7C +4。

一、填空题 1.lim x→+∞x −2x x=.2. 设arctan y =，则0x dy == .3. 曲线211ln (1)42y x x x e =−≤≤的弧长等于 . 4. 设112y x=+，则(6)()f x = .5. 设()f x ''在[0,1]连续,(0)1(1)3,(1)0f f f '===,,则10()xf x dx ''=⎰ .二、选择题1．下列函数中，在0=x 处连续的是（ ）.（A ）xx y 2sin =（B ）12−=x y （C ）x y cos 11−= （D ）1=y2．若)(x f 是偶函数，且(0)f '存在，则(0)f '的值为（ ）.（A ）–1 （B ）1 （C ）0 （D ）以上都不是3．下列函数中，不是sin 2x 原函数的函数是（ ）.（A ）2sin x （B ）2cos x − （C ）cos 2x − （D ）225sin 4cos x x + 4．设()f x 在[,]a b 上连续，则[()]b a dx f x dx dx=⎰（ ）.（A ）()b af x dx ⎰（B ）()()bf b af a −（C ）[()()]()b ax f b f a f x dx −+⎰ （D ）()()b axf x f x dx +⎰5．设12(),()x x ϕϕ是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个线性无关的特解，则该方程的通解为（ ）.（A ）12[()()]C x x ϕϕ+ （B ）12[()()]C x x ϕϕ− （C ）122[()()]()C x x x ϕϕϕ−+ （D ）122[()()]()x x C x ϕϕϕ−+三、计算下列各题1．求sin cos30lim x x x x e e x →−． 2．求不定积分． 3．求31(1)xdx x +∞+⎰． 4．求曲线x y xe −=在拐点处的切线方程．5．设y =求y ¢． 6．求微分方程322xy y y xe'''−+=的通解．四、设)()()()(1)b x b f x x a x −−=−−有无穷间断点10x =，有可去间断点21x =，求常数,a b 的值．五、设220()1xxt f x dtt =+⎰．⑴证明当0x >时，()f x 单调增加；⑵证明方程1()10f x =在(0,1)内有且仅有一个实根．六、设2y x =定义在闭区间[0,1]上，t 是[0,1]上的任意一点，当t 为何值时，图中的阴影部分面积和为最小.七、设0ab >，()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在,(,)a b ξη∈,使得2()()f f abηηξ''=.x2019－2020《高等数学》参考答案一填空题：12e-24dx 3214e +4()()676!212x -+5.-2二选择题：1．D2．C 3．C4．A5．C三1.sin cos 30limx x xx e e x →-解原式sin cos sin sin 0332000(1)cos sin cos (sin )cos 1lim lim lim 33x x x x x x x e e x x x x x x x e x x x -→→→--+---+==⋅==2.求不定积分⎰令cos x t =原式⎰⎰-=-=tdtdt tt tsec sin cos sin cxx x c t t +-+-=++=211ln tan sec ln -3．计算()311xdxx +∞+⎰解()()()()332311111111111xx dx dx dx x x x x +∞+∞+∞⎛⎫+-==-⎪ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰()()221111113lim 11128821211b b b →+∞⎛⎫--=+--=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭或83)1(21)1(11111x 1211131123113=+=++-=+=+∞+--+∞-+∞-+∞⎰⎰⎰x x d x dx x x dx x ）（）（）（4．求曲线xy xe -=在拐点处的切线方程解：()()11xx x y exe x e ---'=+-=-，()()(1)12x x xy e x e x e ---''=-+--=-令0,2y x ''=⇒=，由于2x >时0y ''>，2x <时0y ''<，2(2,2)e -为拐点故要求的切线为：()222222,4y ee x y e e x-----=--=-5．设y =，求)(x y '解：等式两边取对数111ln ln ln sin 248y x x x =++求导得到211cos 248sin y x y x x x¢=-++所以）（xxx x x x e x y xsin 8cos 4121-sin )(21++='6．求微分方程322xy y y xe '''-+=的通解特征方程为2320r r -+=，解得1212r ,r ==．设方程的特解2()()*x x yx ax b e ax bx e =+=+，代入方程有2(2)=2ax a b x-+-由此可得12a ,b =-=-．故2(2)*x y x x e =--．所以原方程的通解为2212+(2)x x xy Ce C e x x e =-+．四设)()()()()1b x b f x x a x --=--有无穷间断点10x =，有可去间断点21x =，求,a b 的值.解由()()()1(1)lim01x a f x b b →--==--，得0,0,1a b b =≠≠因()1lim x f x →存在，故()()())()()11lim 1lim120x x x b b x f x b b x→→--==--=从而2b =五．设220()1xxt f x dtt =+⎰．⑴证明当0x >时，()f x 单调增加；⑵证明方程1()10f x =在(0,1)内有且仅有一个实根．证明：⑴()2201xt f x x dt t =+⎰连续且可导23220()011xt x f x dt t x'=+>++⎰，且连续可导从而()f x 在()∞+，0上单调增(2)令1()()10g x f x =-则()g x 在[]0,1上单调增,因此()g x 在[]0,1上若有零点则必为惟一的一个零点又()()1100,11arctan110.110.80.10.1010104g g π=-<=--=->--=>由闭区间上连续函数的零点定理，()g x 在()0,1上确有零点，因此()g x 在()0,1上确有惟一零点，也即方程2201110xxt dt t =+⎰在()0,1内有且仅有一个实根.六.设2y x =定义在闭区间[0,1]上，t 是[0,1]上的任意一点，当t 为何值时，图中的阴影部分面积和为最小.阴影部分面积最小时，故当，，得：令阴影部分面积和为解： 2132)1( 41)21( 31)0( 210 0)( 24)( 3134 )31()31( )()()( 223123032122 0 22====⇒==='-='⇒+-=-+-=-+-=⎰⎰t S S S t t t S t t t S t t x t x x x t dxt x dx x t t S t t tt01t2x y =xy七．设0ab >，()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在(),,a b ξη∈，使得()2()f f abηηξ''=.解：()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则由拉格朗日定理，存在(),a b ξ∈，使得()()'()(1)f b f a f b aξ-=-由()f x 和()1g x x=在[],a b 上连续，在(),a b 内可导且()0g x '≠则由柯西定理，存在(),a b η∈使得2'()()()=-(2)111f f b f a b aηη--(1)式除以(2)式整理之后，就得到我们要证明的等式.。

03届普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理工类）及答案2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长.球体的体积公式：，其中R表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知，0），，则（）（A）（B）（C）（D）2．圆锥曲线的准线方程是（）（A）（B）（C）（D）3．设函数，若，则的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）4．函数的最大值为（）（A）（B）（C）（D）25．已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则（）（A）（B）（C）（D）6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A）（B）（C）（D）7．已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则（）（A）1（B）（C）（D）8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）（A）（B）（C）（D）9．函数，的反函数（）（A），1]（B），1]（C），1]（D），1]10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B （2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则tg的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（D）（，）11．（）（A）3（B）（C）（D）612．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A）（B）（C）（D）2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．的展开式中系数是14．使成立的的取值范围是2153415．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）PMNlPNMlNlPMlMNPNlPM16．下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）①②③④⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G（I）求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）DEKBC1A1B1AFCG（II）求点到平面AED的距离19．（本小题满分12分）已知，设P：函数在R上单调递减Q：不等式的解集为R如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围20．（本小题满分12分）O北东Oy线岸OxOr(t)P海在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）OPAGDFECBxy已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4分）（I）设是集合且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35691012————…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设是集合，且中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求.2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1．D2．C3．D4．A5．C6．B7．C8．D9．D10．C11．B12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.13．14．（-1，0）15．7216．①④⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．解：设，则复数由题设18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF、FC，（Ⅱ）解：19．解：函数在R上单调递减不等式（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法）20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为此时台风侵袭的区域是其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D （－2，4a）设由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：①直线GE的方程为：②从①，②消去参数k，得点P （x,y）坐标满足方程整理得当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值当时，点P到椭圆两个焦点（0，的距离之和为定值2.22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示，下表的规律为3（(0,1)=）5(0,2)6(1,2)9(0,3)10(1,3)12(2,3)————…………（i）第四行17(0,4)18(1,4)20(2,4)24(3,4)第五行33(0,5)34(1,5)36(2,5)40(3,5)48(4,5)（ii）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以(8,14)＝＝16640解法二：设，只须确定正整数数列中小于的项构成的子集为其元素个数为满足等式的最大整数为14，所以取因为100－（Ⅱ）解：令因现在求M的元素个数：其元素个数为：某元素个数为某元素个数为另法：规定（r,t,s），＝（3,7,10）则＝（0,1,2）依次为（0,1,3）（0,2,3）（1,2,3）（0,1,4）（0,2,4）（1,2,4）（0,3,4）（1,3,4）（2,3,4）…………（0,1,9）（0,2,9）…………（6,8,9）（7,8,9）（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）……+4表达效果真心好。

2003——2004学年度下学期高三第二次模拟考试试题数学一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若集合{}{}P x x Q y y =≤≤=≤≤0402,，则下列对应中，不是从P 到Q 的映射的是（ ）A y xB y xC y xD y x ....====121318232. 已知a b a b a b b ==⊥+-→→→2332,||,,且与λα也相互垂直，则λ的值是（ ）A B C D ....-±32323213. 数列{}a n 的前n 项和S n n n N n =-∈532()*则n ≥2时有（ ）A S na naB S na naC na S naD na S na n nn n n n n n ....>><<>><<11114. 已知双曲线C x a y b C y b x aa b 12222222221100::()-=-=>>，，，连结C 1，C 2的四个顶点的四边形的面积为S 1，连结C 1，C 2的四个焦点的四边形面积为S 2，则S S 12的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C.14D.125. 如图所示是一批产品中抽样得到数据的频率直方图，由图可看出概率最大时数据所在的范围是（ ） A. （8.1，8.3） B. （8.2，8.4） C. （8.4，8.5） D. （8.5，8.7）频率 组距8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 数据6. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A （3，1），B （-1，3）若点C 满足→→→+=OB OA OC βα，其中α、R ∈β，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为（ ） A. 01123=-+y xB. 5)2()1(22=-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x7. 已知9)222(-x的展开式的第7项为421，则)(lim 2n n x x x +++∞→ 的值是（ ）A.41B.43C. 41-D.218. 如图所示正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱1DD ，11C D 的中点，则直线OM （ ）A. 是AC 和MN 的公垂线B. 垂直于AC ，但不垂直于MNC. 垂直于MN ，但不垂直于ACD. 与MN 、AC 都不垂直9. 设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =图象如图所示，则导函数y f x ='()的图象可能为（ ）10. 已知定义在R 上的函数)(x f 对于任意x 都有)(1)(1)2(x f x f x f -+=+成立，设)(n f a n =，问数列{}n a 中值不同的项最多为（ ） A. 4项 B. 6项 C. 8项D. 无法确定11. 函数)2cos()2sin()(ππ++=x x x f ，若对于任意R x ∈，都有)()(0x f x f ≥成立，则0x 的一个可能值是（ ）A. 2πB. 2π-C.4πD. 4π-12. 使不等式)0,1(11-∈+>+x x ax 在时恒成立，那么a 的取值范围是（ ） A. {1} B. (0, 1) C. [0, 1]D. (∞-,1 ]二. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 设⎩⎨⎧>+≤-==→)1(4)1(2)(,5)(lim 21x bx x ax x f x f x 而则直线0=++c by ax 的倾斜角为_____________。

2003年数学高考试卷备用卷一、选择题（每题3分，共30分）
下列哪个数是无理数？
A. 31
B. 4
C. 3π
D. 38
已知集合 A={x∣x2−4x+3=0}，集合 B={x∣1<x<4}，则A∩B等于？
A. {1,3}
B. {2,3}
C. {3}
D. ∅
直线 l 的方程为2x−y+3=0，则直线 l 的斜率为？
A. 2
B. −2
C. 21
D. −21
函数 y=log2(x2−2x−3)的定义域为？
A. x<−1或 x>3
B. x≤−1或x≥3
C. x=−1且 x=3
D. x=1
已知数列{ an } 是等差数列，且 a1=1，a4=7，则 a7 等于？
A. 10
B. 13
C. 16
D. 19
二、填空题（每题4分，共20分）
已知函数f(x)=x2−2x+3，则 f(x) 的最小值为_______。

若圆 x2+y2=4 与直线 y=kx+b 相切，且圆心到直线的距离为 3，则 k 的值为
_______。

若复数z=3−4i，则 z 的共轭复数 z 为_______。

三、解答题（每题10分，共50分）
求函数 y=sinx+3cosx 的单调递增区间。

已知等比数列{ an } 的前 n 项和为 Sn，且 S3=9，S6=81，求数列{ an } 的通项公式。

在△ABC 中，已知A=3π，AB=2，AC=3，求△ABC 的面积。

大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳河北科技大学高等数学（下）考试试题3一、填空题(每题4分,共16分)1.(4分)级数un收敛的必要条件是.n12.(4分)交换二次积分的次序0dy0f(x,y)dx=.3.(4分)微分方程y4y4y2xe2x 的一个特解形式可以设为.4.(4分)在极坐标系下的面积元素d.二、选择题(每题4分,共16分)221.(4分)已知曲面z4xy上点P处的切平面平行于平面1y2x2yz10,则点P的坐标是().A.(1,-1,2);B.(-1,1,2);C.(1,1,2);D.(-1,-1,2).2.(4分)级数(1)n1n11n32为（）.A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.3.(4分)若是锥面xyz被平面z0与z1所截下的部分,则曲面积分(xy)dS().22222A.C.220d0rrdr;B.0d0rrdr;12120drrdr;D.12020drrdr.2120nn3xn14.(4分)幂级数(1)的收敛半径为().n1n11A.R2;B.R;C.R3;D.R.23三、解答题(每题7分,共63分)1．(7分)设zsin(xy)exy,求dz.2．(7分)计算三重积分Ixdxdydz,其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域.3．(7分)求I(1yz)dS,其中是平面yz5被圆柱面x2y225截出的有限部分.(1)n(x1)n的收敛域.4．(7分)求幂级数nn15．(7分)将f(x)1展开为麦克劳林级数.22xxxx6．(7分)求曲线积分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy,其中L为x2y2ax上从A(a,0)到O(0,0)的上半圆周.7．(7分)求微分方程y2xy4x在初始条件yx03下的特解.8．(7分)求曲面积分I(x1)dydz(2y2)dzdx(3z3)dxdy,其中为曲面xyz4的内侧.9．(7分)计算曲线积分I(xy)ds,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)L222为顶点的三角形折线.四、(5分)试确定参数t的值,使得在不含直线y0上点的区域上,曲线积分x(x2y2)tx2(x2y2)tIdxdy与路径无关，其中C是该区域上一条2yyC光滑曲线，并求出当C从A(1,1)到B(0,2)时I的值.评分标准一、1.limun0;2.0dxxf(x,y)dy;n113.y*x2(Ax2BxC)e2x;4.drdrd.二、1.C;2.A;3.D.4.D.三、1.解zxcosx3分(y)yexy(y)xezycosx3分xy7分dz[cosx(y)ye]dx[cosx(yx)yxedyxy2.解I0dx111x20dy1xy20xdz3分0xdx1x20(1x2y)dy5分110(x2x2x3)dx6分417分483.解:z5y1分2分D:x2y22522I(1y5y)1zxzydxdy4分D62dxdy6分D7分15024.解R12分当x2时收敛4分当x0时发散6分收敛域为(0,2].7分11115.解2分22xx31xx212113分x31x6(1)21n1nxx(1)5分3n06n021n1n1(1)n1x6分3n02n7分x16.解Pesinyy,Qecosy11分xxQP13分xy由格林公式得Idxdy6分Da12a7分2287.解ye2xdx2C4xexdx3分x22eCex2[C2ed(x2)]4分x225分将yx03代入上式得C16分所求特解为yex227分8.解利用高斯公式得4分I6dv46分643327分(x)ydsx)yds9.解I(xy)ds(OAOBBA112分(xy)dsxdx02OA11(xy)dsydy4分02OBBA6分(xy)ds0(x1x)2dx217分I12Px(x2y2)t1222(2tyxy)四、解1分2yyQ2x(x2y2t)1222(xytx)2分2xy令PQ22可得(2t1)(xy)0yx1因为y0,所以t3分2因曲线积分与路径无关,故取从点A(1,1)经点D(0,1)到点B(0,2)的折线积分I10xx12dx04分5分扩展阅读：大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳武汉科技大学高等数学（下）考试试题3一、填空题(每题4分,共16分)1.(4分)级数un收敛的必要条件是.n12.(4分)交换二次积分的次序3.(4分)微分方程0dy0f(x,y)dx=.1yy4y4y2xe2x的一个特解形式可以设为.4.(4分)在极坐标系下的面积元素d.二、选择题(每题4分,共16分)1.(4分)已知曲面z4x2y2上点P处的切平面平行于平面2x2yz10,则点P的坐标是().A.(1,-1,2);B.(-1,1,2);C.(1,1,2);D.(-1,-1,2).2.(4分)级数(1)n1n11n32为（）.A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定.3.(4分)若是锥面x2y2z2被平面z0与z1所截下的部分,则曲面积分22(xy)dS().A.C.22;B.drrdrdr0000rdr;12120d0r2rdr;D.20d0r2rdr.1214.(4分)幂级数(1)n1n13nxnn的收敛半径为().A.11R2;B.R;C.R3;D.R.23三、解答题(每题7分,共63分)1．(7分)设zsin(x2．(7分)计算三重积分Iy)exy,求dz.xdxdydz,其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域.3．(7分)求I(1yz)dS,其中是平面yz5被圆柱面x2y225截出的有限部分.4．(1)n(x1)n的收敛域.(7分)求幂级数nn15．(7分)将1f(x)2xx2展开为麦克劳林级数.6．(7分)求曲线积分IL(exsiynydx)ex(ycosdy,1其中L为x2y2ax上从A(a,0)到O(0,0)的上半圆周.7．(7分)求微分方程y2xy4x在初始条件yx03下的特解.(x1)dydz(2y2)dzdx(3z3)dxdy,其中8．(7分)求曲面积分I为曲面x2y2z24L 的内侧.9．(7分)计算曲线积分I角形折线.(xy)ds,其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三y0上点的区域上,曲线积分四、(5分)试确定参数t的值,使得在不含直线x(x2y2)tx2(x2y2)tIdxdy与路径无关，其中C是该区域上一条光滑曲线，2yyC并求出当C从评分标准一、1.limunnA(1,1)到B(0,2)时I的值.0;2.0dxxf(x,y)dy;113.二、y*x2(Ax2BxC)e2x;4.drdrd.1.C;2.A;3.D.4.D.三、1.解3分zxcos(xy)yexy分2.解zycos(xy)xexy3分7dz[cos(xy)yexy]dx[cos(xy)xexy]dyI0dx111x20dy01x2yxdz3分0xdx1x20(1x2y)dy5分110(x2x2x3)dx6分417分483.解1分:z5y2分D:x2y22522I(1y5y)1zxzydxdy4分D62dxdy6分D7分15024.解R12分当x2时收敛4分当x0时发散6分收敛域为(0,2].7分5.解11112分22xx31xx2113分31x6(1x)21n1xx(1)n5分3n06n02111(1)nn1xn6分3n02n7分x16.解Pex1分sinyy,Qexcosy1QP13分xy由格林公式得I6分dxdyD2a1a27分228x27.解ye2xdxC4xedxx23分ex2[C2ed(x2)]4分Cex225分将yx03代入上式得C16分x2所求特解为ye8.解利用高斯公式得27分4分I6dv9.解46分643327分I(xy)ds(xy)ds(x)ydsOAOBBA112分(xy)dsxdx02OA11(xy)dsydy4分02OBBA6分(xy)ds0(x1x)2dx217分I12四、解Px(x2y2)t1222(2tyxy)1分2yyQ2x(x2y2)t1222(xytx)2分2xyPQ22令可得(2t1)(xy)0yx因为13分y0,所以t2因曲线积分与路径无关,故取从点0A(1,1)经点D(0,1)到点B(0,2)的折线积分I1xx12dx04分5分友情提示：本文中关于《大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，大一高数期末考试,下学期高数(下)3,高数期末试题,总结归纳：该篇文章建议您自主创作。