上海教育版数学九上24.7《平面向量的分解》(第1课时)word教案

2019-2020学年九年级数学上册 4.7 向量的线性运算教案 沪教版五四制教学内容：1、 向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。

2、一般来说，如果a 、b 是两个不平行的向量，c 是平面内的一个向量，那么 c 可以用a 、b 表示，并且通常将其表达式整理成c xa yb =+的形式，其中x 、y 是实数。

3、向量的合成与分解如果a 、b 是两个不平行的向量，c ma nb =+（m 、n 是实数），那么向量c 就是ma 与nb 的合成；也可以说向量c 分解为ma 、nb 两个向量，这时向量ma 、nb 是向量c 分别在a 、b 方向上的分向量，ma nb +是向量c 关于a 、b 的分解式。

平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上进行分解。

精解名题：例1、如图，平行四边形ABCD 是以向量AB a =、AD b =为边的平行四边形，AC 、BD 相交于点O ，又13DM DO =，13ON OC =。

试用a 、b 表示AM 、AN 和MN 。

例2、如图，已知两个不平行的向量a 、b 如下，求作：32a b +，2a b -例3、设M 、N 、P 是△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且14BM BC =，14CN CA =，14AP AB =，连接MN 、NP 、PM 。

设AB a =，AC b =，分别求出向量MN 、MP 、PN 关于a 、b 的方解式。

备选例题： 例1、点M 是△CAB 的边AB 的中点。

设CA a =，CB b =，试用a 、b 的线性组合表示向量CM .例2. 已知任意两个非零向量a 、b ，且OA a b =+，2OB a b =+，3OC a b =+，判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.巩固练习：填空题1、已知非零向量a ，如果向量23b a =-，那么向量a 与b 的方向是（ ），它们的位置关系是（ ）2、向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的（ ）运算。

平面向量的概念教案教案标题：平面向量的概念教案教案目标：1. 使学生理解平面向量的基本概念和性质。

2. 培养学生使用向量表示和解决实际问题的能力。

3. 帮助学生掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算。

4. 引导学生理解平面向量的共线、共面和垂直关系。

教学时长：2个课时教学步骤：第一课时：1. 导入（5分钟）- 引入平面向量的概念，并与学生讨论日常生活中可能涉及到的向量概念，例如力的方向、速度和位移等。

2. 理论讲解（15分钟）- 介绍平面向量的定义和表示方法，包括有向线段表示、坐标表示和分量表示。

- 解释平面向量的长度、方向和零向量的概念。

3. 实例演示（20分钟）- 通过具体的示例，展示如何进行平面向量的加法和减法运算。

- 强调向量的顺序对结果的影响，并引导学生理解向量的反向和相反向量的概念。

4. 练习（15分钟）- 分发练习题，让学生在课堂上完成练习，巩固平面向量的加法和减法运算。

第二课时：1. 复习（5分钟）- 回顾上节课的内容，让学生简要概括平面向量的定义和表示方法。

2. 理论讲解（15分钟）- 介绍平面向量的数量乘法运算，包括向量与标量的乘法和向量与向量的数量积。

- 解释数量乘法对向量长度和方向的影响。

3. 实例演示（20分钟）- 通过具体的示例，展示如何进行平面向量的数量乘法运算。

- 引导学生理解数量乘法的几何意义和向量的放缩效果。

4. 练习（15分钟）- 分发练习题，让学生在课堂上完成练习，巩固平面向量的数量乘法运算。

教学资源：1. 平面向量的定义和性质的PPT或讲义。

2. 平面向量加法、减法和数量乘法的示例题和练习题。

3. 板书工具和白板。

评估方式：1. 课堂练习题的完成情况和答案讲解。

2. 学生对平面向量概念和运算方法的理解程度的口头回答和讨论。

3. 针对平面向量的应用问题，让学生进行解答和解释思路。

教学拓展：1. 引导学生探究平面向量的共线性、共面性和垂直关系的概念和判定方法。

24.7平面向量的分解（1） 班级 姓名 评价一、课堂检测*1、已知点C 是线段AB 的中点，如果设a AB =，那么下列结论中，正确的是（ ）． （A ）21=； （B ）21= ； （C ）=； （D ）0=+．*2、如果E 、F 是△ABC 的边AB 和AC 的中点，=a，=b ，那么= ．*3、如图3，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且AD BD 2=，点E 是AC 的中点，=，=，试用向量， 表示向量，那么= ．*4、如图已知在△ABC 中，D 是边AC 的中点，=，=，那么等于（ ）（A ）b a -21；（B ）21-； （C ）2121-；（D ）2121-．二、检测点1、向量线性运算的规律；2、向量线性运算作图；3、向量线性运算应用.三、课外作业*5、如图，在△ABC 中，DE//BC ，D 是边BC 的中点，=，那么= ； *6、如图，在△ABC 中，DE//BC ，A D ：DB=2:3，=，那么= ；*7、如图，在△ABC 中，DE//BC ，A D ：DB=2:3，=，那么= (第5-9题) *8、如图，在△ABC 中，DE//BC ，D 是边BC 的中点，a BA =，b BC =，那么DE = ，DA = ，AE = ，= ；*9、如图，在△ABC 中，DE//BC ，A D ：DB=2:3，=，=，那么= ，= ，= ，= ；**10、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 是边CD 、BC 边的中点， 若AD a =，AB b =，则EF =___________．（结果用a 、b 表示）ADCE图3BACDE10题**11、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD AB 2=，a= ， b =，请用向量b a、表示向量AC = ．**12、平行四边形ABCD 中，对角线BD AC 、交于点O ，设c a==, （1）用c a 、的线性组合表示；（2）用c a、的线性组合表示、**13、如图， 已知在△ABC 中，AD =2，DB =4，DE BC ∥．设AB a =，AC b =，试用向量a 、b 表示向量BE = ．_ B_ C_ O_ A_ D_（第13题图）EDCBA。

平面向量的分解定理【教学目标】1．理解和掌握平面向量的分解定理；2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。

4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。

【教学重难点】平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。

【教学过程】一、设置情景，引入课题（1）观察。

前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？下面让我们来看一个实例：实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住。

CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和F2。

B思考：从这个实例我们看到了什么？答：一个向量可以分成两个不同方向的向量。

（2）复习正交分解，并抽象为数学模型。

e 1a=入1e 1 +入2e 2.1j POP xi y j =+。

二、探索探究，主动建构概括讨论，提出新问题：如果向量21,e e 是同一平面内的两个不平行的向量，a 是该平面内的一个非零向量，是否能用向量21,e e 表示向量a ？数学实验1： 实验设计：（1）实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量21,e e ，对于给定的非零向量是否能分解成21,e e 方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？（2）实验步骤：A ．以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量21,e e 和；B ．每个同学先独立作图；C ．小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同。

并得出结论。

（3）实验报告：（由学生发言）可以分解，且分解的长度和方向唯一的。

师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把a 和21,e e 的关系表示出来？生：21,e e 是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O 。

沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册24.7节的内容，本节课的主要内容是向量的加法、减法和数乘运算。

这部分内容是向量学习的重点和难点，也是学生进一步学习几何、代数等数学分支的基础。

教材通过实例和练习引导学生理解和掌握向量线性运算的定义和性质，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数和几何知识，对数学概念和运算有一定的理解。

但是，向量的概念和运算相对抽象，需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力。

此外，由于向量是初高中数学的衔接内容，学生需要在学习过程中建立良好的学习习惯和方法，为高中数学学习打下基础。

三. 教学目标1.理解向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。

2.掌握向量线性运算的基本方法，能够熟练进行向量的加法、减法和数乘运算。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高运算能力。

4.通过对向量线性运算的学习，激发学生对数学的兴趣和好奇心。

四. 教学重难点1.向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。

2.向量线性运算的实质和运算规律。

3.学生对向量线性运算的理解和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题和实例，引导学生理解和掌握向量线性运算的概念和性质。

2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生建立空间想象，直观理解向量线性运算。

3.采用分组讨论和合作学习的方式，让学生在讨论中思考和解决问题，培养学生的团队协作能力。

4.通过练习和总结，巩固学生对向量线性运算的理解和应用。

六. 教学准备1.多媒体课件和教学素材。

2.向量模型和实物模型。

3.练习题和测试题。

4.黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习前置知识，如初中阶段的代数和几何知识，引导学生进入学习状态。

利用实例引入向量的概念，引导学生回顾向量的定义和性质。

2.呈现（10分钟）利用多媒体课件和实物模型，呈现向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。

沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要介绍了向量的线性运算性质，包括向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法。

这部分内容是向量学习的重要部分，也是学生理解向量几何意义的关键所在。

通过这部分的学习，学生能够掌握向量的基本运算规则，并能够运用这些规则解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数和几何基础，对向量的概念和几何意义有一定的理解。

但学生在运算方面的规律和性质的理解上可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，并通过大量的例子来帮助学生理解和巩固。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握向量的线性运算性质，能够熟练地进行向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算。

2.过程与方法：通过实际问题，引导学生从实际问题中抽象出向量的运算规律，培养学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：向量的线性运算性质。

2.难点：向量的线性运算在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过实际问题引导学生抽象出向量的运算规律，通过案例讲解使学生理解向量运算的实质，通过小组合作让学生在讨论中巩固知识，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生抽象出向量的运算规律。

2.准备典型案例，用于讲解向量的运算规律。

3.分组学生，进行小组合作学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如物体在平面直角坐标系中的运动问题，引导学生思考如何进行向量的加法运算。

2.呈现（15分钟）呈现典型案例，讲解向量的加法、减法、数乘和向量与标量的乘法运算的实质和规律。

3.操练（15分钟）让学生进行向量的线性运算练习，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。

高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。

会用基底表示平面内任一向量。

2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。

学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。

活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。

因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。

向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。

活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。

8.3平面向量的分解定理一、教学内容分析本节课内容是对前面向量知识的综合运用，在本章知识结构中起着承上启下的作用，是平面向量线性运算向坐标运算过渡的桥梁，是运用向量知识解决问题的理论基础.二、教学目标1.理解和掌握平面向量的分解定理；2.掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示;3.掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量;4.经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、交流合作能力.三、教学重点及难点平面向量分解定理的发现和形成过程.四、教学用具准备电脑，幻灯机，实验用的图片等等.五、教学流程设计设置情景，引入课堂1.数学实验12.数学实验23.探究结果4.证明唯一性5.归纳概括，得出结论六、教学过程设计（一）、 设置情景，引入课题 1.观察前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？下面让我们来看一个实例：实例：一盏电灯，可以由电线CO 吊在天花板上，也可以由电线OA 和绳BO 拉住.CO 所受的力F 与电灯重力平衡，拉力F 可以分解为AO 与BO 所受的拉力F 1和 F 2 .2.思考：从这个实例我们看到了什么？答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.3. 概括讨论，提出新问题：如果21,e e 是平面内的两个不平行的向量，a 是该平面内的任意一个非零向量，那么与21,e e 之间有什么关系呢？ （二）、探索探究，主动建构 1、 数学实验1 实验设计：(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量21,e e ，对于给定的非零向量是否能分解成21,e e 方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？ (2)实验步骤：a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量21,e e 和；b.每个同学先独立作图；c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论. (3)实验报告：(由小组长发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把a 和21,e e 的关系表示出来？生：21,e e 是不平行向量，a 是平面内给定的向量 （1） 作111,e OM e OA λ==， （2） 作222,e ON e OB λ==， （3） 作c OC =，（4）作平行四边形ONCM ，则2211e e λλ+=+==.对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量a 是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验. 2、数学实验2 实验设计：(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的. (2)实验步骤：a.利用几何画板画出两个不平行向量21,e e ，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；b.学生自己拖动从中体会其向量的任意性. (3)实验报告：(让学生来概括整实验的过程.) 3、探究结果(实验报告)平面内的任一非零向量a 都可以表示为给定的两个不平行向量21,e e 的线性组合，即2211e e λλ+=，且分解是唯一的.4、证明唯一性：证明：（1）当0=a 时，21000e e ⋅+⋅=（2）当0≠a 时，假设2211e e a⋅'+⋅'=λλ，则有0)()(2211=⋅'-+⋅'-e e λλλλ.由于21,e e 不平行，故0)(,0)(21='-='-λλλλ，即'='=21,λλλλ.5、概括得出定理：平面向量分解定理：如果21,e e 是平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=，我们把不平行的向量21,e e叫做这一平面内所有向量的一组基. （三）．例题分析例1：自定义两个不共线向量21,e e ，求作向量 2123e e +-.(图见课件ppt) 解：1.取点O ，作212,3e OB e OA =-=； 2．作平行四边形OACB ，OC 即为所求例2．如图：平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b AD a AB ==, ，分别用b a ,表示MC MB MA ,,和MD .(图见课件ppt) 解： 在平行四边形ABCD 中，,b a AD AB AC +=+= ,b a AD AB DB -=-=,2121)(2121b a b a AC MA --=+-=-=∴,2121)(2121b a b a DB MB -=-==∴ )(2121+==，212121+-=-=-= 思考题：例 3．如图，已知OB OA ,是不平行的两个向量，k 是实数，且)(R k AB k AP ∈=，用OB OA ,表示OP .(图见课件ppt)解：,AB k AP =.)1()(OB k OA k OA k OB k OA OA OB k OA AB k OA AP OA OP +-=-+=-+=+=+=∴（四）、课堂小结 （五）、作业布置1、组织学生完成教材后面练习，由学生自评或互评。

一、教学目标1．理解和掌握平面向量的分解定理；2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。

4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。

二、教学重点及难点 ：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。

三、教学过程设计（一）、 设置情景，引入课题 （1）观察前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？下面让我们来看一个实例：实例：一盏电灯，可以由电线CO 吊在天花板上，也可以由电线OA 和绳BO 拉住.CO 所受的力F 与电灯重力平衡，拉力F 可以分解为AO 与BO 所受的拉力F1和 F2 .B思考：从这个实例我们看到了什么？答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.（2）复习正交分解，并抽象为数学模型j Pe 1a=入1e 1 +入2e 2.1（二）、探索探究，主动建构概括讨论，提出新问题：如果向量是同一平面内的两个不平行的向量，是该平面内的一个非零向量，是否能用向量表示向量？数学实验1 实验设计：(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量，对于给定的非零向量是否能分解成方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？(2)实验步骤：a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量和；b.每个同学先独立作图；c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论. (3)实验报告：(由学生发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把和的关系表示出来？ 生：是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O （1）作；（2）过C 作平行于直线OB 的平行线与直线OA 相交于点M ；（3）过C 作平行于直线OA 的平行线与直线OB 相交于点N ；（4）四边形为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数，使得，，则2211e e ON OM a OC λλ+=+==.对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验. 数学实验2 实验设计：(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的. (2)实验步骤：a.利用几何画板画出两个不平行向量，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；b.学生从拖动中体会其向量的任意性. （一些特殊位置，，） (3)实验报告： 3．探究结果几何角度：平面内的任一向量都可以表示为给定的两个不平行向量的线性组合，即，且分解是唯一的.代数角度：说明唯一性： 说明：（1）当时，（2）当时，假设，则有 =DCBA111222()()0e e λλλλ''-⋅+-⋅=.由于不平行，故1122()0,()0λλλλ''-=-=，即.4．概括得出定理：平面向量分解定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基. 注意：（1）基底不共线；（2）将任一向量在给出基底、的条件下进行分解； （3）基底给定时，分解形式唯一，是被，，唯一确定的数量（通过实验的制作，学生的动手作图能力得到提高，通过学生对实验结果的讨论，学生的抽象概括能力，语言表达能力得到训练.） （三）．例题分析例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且 ，分别用表示和.解： 在平行四边形ABCD 中，,b a AD AB AC +=+= ,b a AD AB DB -=-= ,2121)(2121--=+-=-=∴,2121)(2121b a b a DB MB -=-==∴ ，b a DB MB MD 212121+-=-=-=注：（1）把作为一组基，用向量表示平面内的任何一个向量 （2）平行四边形法则简化为三角形法则。