第七章 线性代数方程组的迭代解法
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07线性代数方程组的解法
总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k
n(n1)
k1
2
回 代 总 计 算 量 n(n1) 2
总 乘 除 法 共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同
解 (1)
方
程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1
a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)
11 1
12 2
1n n
1
b x 22 2
b2nxn g 2
称 消 元 过 程 。 逐 次 计 算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称 回 代 过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1
0
1
L m 0 2
32
1
0 mn2 0
m a a
(2) (2)
i2
i2
22
i 3,4, ,n
线性方程组的迭代式求解方法
线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。
道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。
迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。
2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。
迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。
Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。
解线性方程组的迭代法资料
解线性方程组的迭代法Haha送给需要的学弟学妹摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。
系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，是著名的病态问题。
因而决定求解Hx b =此线性方程组来验证上述问题。
详细过程是通过用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法求解Hx b =线性方程组。
关键词：病态方程组、Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法、SOR 迭代法目录：一、问题背景介绍二、建立正确额数学模型 三、求解模型的数学原理1、Gauss 消去法求解原理2、Jacobi 迭代法求解原理3、G-S 迭代法求解原理4、SOR 迭代法求解原理5、Jacobi 和G-S 两种迭代法收敛的充要条件 四、计算过程（一）Hilbert 矩阵维数n=6时1、Gauss 消去法求解2、Jacobi 迭代法求解3、G-S 迭代法求解4、SOR 迭代法求解（二）Hilbert 矩阵维数n=20、50和100时1、G-S 迭代法求解图形2、SOR 迭代法求解图形 五、编写计算程序 六、解释计算结果1、Gauss 消去法误差分析2、G-S 迭代法误差分析3、SOR 迭代法误差分析G-S 迭代法与SOR 迭代法的误差比较 七、心得体会正文：一、问题背景介绍。
理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？二、建立正确的数学模型。
考虑方程组Hx b =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(), , ,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（为方便计算，笔者取x 的各个分量等于1），再计算出右端,b Hx =这样Hx b =的解就明确了，再用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法分别求解,Hx b =将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。
8 线性代数方程组的迭代法
写成矩阵形式：
Ax b ( D-L-U ) x b
-U
A=
D
x D1 ( L U ) x D1b D1 ( L U )=D1 ( D A) I D1 A-Lx( k Nhomakorabea)D
1
(L U )x
(k )
D b
1
(4)
B
(4)即为雅克比（Jacobi）迭代公式
x x 3 2x 4x 3
(k ) 1 (k ) 1 (k ) 2 (k ) 2
( 0) ( 0) 取 x1 x2 0
计算得：
x1(1) 3 (1) x2 3 ,
x1(2) 3 (2) x2 3 ,
x1(3) 9 (3) x2 9 ,
第八章
线性方程组的迭代解法
主要内容
第一节 引言 第二节 基本迭代法
1. Jacobi迭代法
2. Gauss-Seidel迭代法
3. SOR迭代法
第三节 迭代法的收敛性
§1 引言
考虑线性方程组 Ax b
其中A为非奇异矩阵。
定义上:
直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计 舍入误差!) 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去 逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）
( k 1) 1
U
…
…
…
…
( k 1) xn
1 ( k 1) ( k 1) ( k 1) (bn an1 x1 an 2 x 2 an 3 x 3 ann
0 a21 0 L a31 a32 0 a a a n2 n3 n1 ann
线性代数方程组迭代法PPT课件
超松弛法
收敛速度快
总结词
总结词
计算量较大
ABCD
详细描述
超松弛法具有较快的收敛速度，尤其对于大型线 性方程组，能够显著减少迭代次数。
详细描述
由于超松弛法的计算量较大，因此在实际应用中 可能需要考虑计算效率的问题。
CHAPTER 04
迭代法的实现步骤
初始化
设置初值
为方程组的解向量设定一个初始值。
迭代法的应用场景
当方程组的系数矩阵难以直接求解时 ，迭代法可以作为一种有效的替代方 案。
在科学计算、工程技术和经济领域中 ，许多问题可以转化为线性代数方程 组求解，而迭代法在这些领域有广泛 的应用。
迭代法的优缺点
优点
迭代法通常比直接法更加灵活和通用，对于大规模和高维度的线性代数方程组， 迭代法更加高效。
缺点
迭代法需要选择合适的迭代公式和参数，并且需要满足收敛条件，否则可能无 法得到正确的解。此外，迭代法的计算过程比较复杂，需要较高的计算成本。
CHAPTER 02
迭代法的基本原理
迭代法的数学模型
迭代法是一种求解线性代数方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程的 解。
迭代法的数学模型通常表示为：$x_{n+1} = T(x_n)$，其中$x_n$表示第 $n$次迭代时的近似解，$T(x)$表示迭代函数。
03
非线性方程组的迭代法在求解优化问题、控制问题 等领域有广泛应用。
在优化问题中的应用
01
迭代法在优化问题中也有广泛应用，如求解无约束优化问题、 约束优化问题和多目标优化问题等。
02
常见的优化问题迭代法包括梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法
等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解，广泛应用于机器学习、
3线性方程组的迭代解法
三、逐次超松弛法(SOR方法)
逐次超松弛法(Successive Over Relaxation Method)可 看成是Gauss-Seidel方法的加速，Seidel迭代法是SOR方法的 特例。将Seidel方法的迭代公式
改写为
x(k1) i
1 aii
(bi
i 1
a x(k 1) ij j
k
0
1
2
3
4
5
6
x1
0
2.5000 2.9773 3.0098 2.9998 2.9999 3.0000
x2
0
2.0909 2.0289 1.9968 1.9997 2.0001 2.0000
x3
0
1.2273 1.0041 0.9959 1.0002 1.0001 1.0000
可见Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛要快一些。
x（k 1) BJ x(k ) f J
0
其中
a21
a22
BJ D1(L U )
an1 ann
a12 a11 0
an2 ann
a13 a11
a23 a22
7
a1n1 a11
a2n1 a22
ann1 ann
a1n
a11
a2 n
a22 , fJ D1b
0
二、 Gauss-Seidel 迭代法
x(k ) i
xi(k )
x(k ) i
1 aii
bi
i 1
a x(k 1) ij j
j 1
n
aij
x(jk
)
j i
为加快收敛，在增量 xi(k ) 前加一个因子
(优选)线性方程组迭代法
(bi
i 1
aij x j (k )
j 1
n
aij x j (k ) )
j i 1
4.2 Gauss－Seidel 迭代法
在Jacobi迭代中，使用最新计算出的分量值,即
x1
(k
1)
1 a1 1
(a12
x
2
(
k
)
a1n xn (k )
b1 )
x
2
(k
1)
1 a22
(a21x1(k 1)
a23x3(k)
同时： x (k1) x* Bx (k) Bx* B(x (k) x*)
B k1 (x (0) x*)
所以，序列收敛 Bk 0
与初值的选取无关
定义 （收敛矩阵） Bk 0 称B为收敛矩阵. 定理：Bk 0 (B) 1
即：矩阵B为收敛矩阵当且仅当B的谱半径<1
由 (B) B 知，若有某种范数 B 1 则迭代收敛.
无需开两组存储单元.
例 用Gauss-seidel 迭代法解方程组 Ax=b
9 1 1 7
A
1
8
0
,
b
7
1 0 9 8
迭代公式: 给初始向量 x(0)
x1(
k 1)
x1( k
1)
1/ 9( 1/
x2(k ) x3(k ) 8( x1(k 1)
7) 7)
x(k 1) 1
BSOR (I D 1 L) 1 ((1 )I D 1U ) g (I D 1 L) 1 D 1b
SOR方法收敛的快慢与松弛因子 的选择有密切关系. 但是如何选取最 佳松弛因子,即选取=*,使(B)达到 最小,是一个尚未很好解决的问题. 实 际上可采用试算的方法来确定较好的 松弛因子. 经验上可取1.4<<1.6.
第七章 线性代数方程组的迭代法
称 BJ D1(为L 雅U克) 比迭代矩阵。
(7.4)
BJ D1(L U )
a1 11
a1 22
0
a21
0
0 a12
0
a13 L a23 L
a1n a2n
a1 33 O
a31
a32
0
M M M
O
0
L O
a3n M
a1 nn
an1
an2
an3
L
0
a32
0
M M M O
an1 an2 an3 L 0
U
0
L O
a3n M
0
Ax b (D L U )x b Dx (L U )x b x D1(L U )x D1b
则雅克比迭代法的矩阵形式为：
x(k1) D1(L U )x(k ) D1b BJ x(k ) f (k 0,1,L )
（Sequential Over-Relaxation)
（1）迭代
~xi(k1)
1 aii
bi
i1
aij
x
(k j
1)
j1
n
aij
x
(k j
)
ji1
（2）加速
x(k 1) i
(1 )xi(k)
x%ik 1
(i 1, 2,L , n)
即
x(k1) i
(1 )xi(k)
aii
bi
0
0
a12 a11
a13
L
a11
a1n a11
a21 a22
0
a23 L a22
a2 n a22
a31 a33
a32 a33
(7.4)
BJ D1(L U )
a1 11
a1 22
0
a21
0
0 a12
0
a13 L a23 L
a1n a2n
a1 33 O
a31
a32
0
M M M
O
0
L O
a3n M
a1 nn
an1
an2
an3
L
0
a32
0
M M M O
an1 an2 an3 L 0
U
0
L O
a3n M
0
Ax b (D L U )x b Dx (L U )x b x D1(L U )x D1b
则雅克比迭代法的矩阵形式为：
x(k1) D1(L U )x(k ) D1b BJ x(k ) f (k 0,1,L )
（Sequential Over-Relaxation)
（1）迭代
~xi(k1)
1 aii
bi
i1
aij
x
(k j
1)
j1
n
aij
x
(k j
)
ji1
（2）加速
x(k 1) i
(1 )xi(k)
x%ik 1
(i 1, 2,L , n)
即
x(k1) i
(1 )xi(k)
aii
bi
0
0
a12 a11
a13
L
a11
a1n a11
a21 a22
0
a23 L a22
a2 n a22
a31 a33
a32 a33
解线性方程组的迭代法
G的特征值分别为： 0.308507, 0.154254 + 0.18304 i, 0.154254 0.18304 i
G的谱半径(G)= 0.308507 <1.Jacobi迭代收敛。
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University of Shanghai for Science and Technology
n 1 i 1 ( k 1) (k ) ( aij x j aij x j bi ) aii j 1 j i 1
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理学院
Gauss-Siedel迭代算法
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Jacobi迭代
a11 x1 a1n xn b1 a x a x b nn n n n1 1
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理学院
迭代矩阵为
0 1 G 3 11 6
6 0 1 6
1 2 5 0
G的特征值为：1=4.02408, 2=2.01204 3.10115 i, 1=4.02408； 2,3=3.69668 G的谱半径(G)=4.0197>1. Jacobi迭代不收敛。
x1 x2 xn 1 (a12 x2 a1n xn b1 ) a11 1 (a21 x1 a23 x3 a1n xn b2 ) a22 1 (an1 x1 an n 1 xn 1 bn ) ann
线性代数方程的迭代法
第六章解线性方程组的迭代法例1．求线性方程组12312312383220,41133,631236.x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩ 得近似解。
精确解为x *=[3，2，1]’。
解：对方程进行移项就得12312312383220,41133,631236.x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩1232133121(3220),81(433),111(6336).12x x x x x x x x x ⎧=-+⎪⎪⎪⇒=-++⎨⎪⎪=--+⎪⎩记为Ax=b ,或写为x=B 0x+f,其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=12361133820,01231261110114828300f B取初始值T x )0,0,0()0(=,代入原方程组可得.)3,3,5.2(),,()1(3)1(2)1(1)1(T T x x x x ==再将把它代入可得)2(x .反复利用这个计算过程,得到一向量序列和一般的计算公式(迭代公式)(0)(1)()111(0)(0)(1)(1)()()222(0)(1)()333,,,,k k k k x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)()()123(1)()()213(1)()()312(3220)/8,(433)/11,(6336)/12.k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=-+⎪=-++⎨⎪=--+⎩简写为).,2,1,0,)(0)1( =+=+k k f x B x k k 表示迭代次数（迭代到第10次有(10)(3.000032,1.999838,0.9998813);Tx=(10)(10)(10)0.000187 ().xx εε*∞==-从此例看出,由迭代法产生的向量序列x (k)逐步逼近方程组的精确解x *.6.1常用迭代法定义1 (ⅰ)对于给定的方程组x=Bx+f ,用公式,)()1(f Bx x k k +=+逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或称为一阶定常迭代法,这里B与k 无关).(ⅱ)如果)(lim k k x ∞→ 存在(记为x *),称此迭代法收敛,显然x *就是方程组的解,否则称此迭代法发散.迭代法的流程图为:①0x 为初始向量，()()()000012,,,;n x x x x '⎡⎤=⎣⎦②ε是判断条件, 即10x x ε-<时停止运行 ③k 是循环次数。
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§7.1 经典迭代法
例3 用松弛迭代法求解方程
⎧8 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 20 ⎪ ⎨4 x1 + 11x2 − x3 = 33 ⎪ ⎩6 x1 + 3 x2 + 12 x3 = 36
x (0) = (0, 0, 0)T , ε = 1.0e − 4, 0 < ω < 2
3 2⎞ ⎛ ⎛ 20 ⎞ − ⎟ ⎜ 0 ⎜8 8 8 ⎜ ⎟ ⎜ 4 1 ⎟ (k) ⎜ 33 0 x(k+1) = ⎜ − x + ⎜ 11 ⎟ ⎜ 11 11 ⎜ ⎟ ⎜ 6 3 ⎜− ⎟ ⎜ 36 ⎜ 12 −12 0 ⎟ ⎜ 12 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
迭代算法：
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x(k )
2.0909 2.0289 1.9968 1.9997 2.0001 2.0000 2.0000 1.2273 1.0041 0.9959 1.0002 1.0001 1.0000 1.0000
x ( k +1) − x ( k )
2
3.4825e+000 5.3049e-001 4.6459e-002 1.1236e-002 3.9735e-004 1.9555e-004 1.1576e-005
1
1.2
1.4
1.6
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§7.1 经典迭代法
>> a=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];b=[20;33;36]; epsl=1e-4;oma=0.9656; y=sordai(a,b,oma,epsl)
k
收敛的充分必要条件是 ρ ( B) < 1 。 不好使！！
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第七章 线性代数方程组的迭代法
定理2 对于任意的初值 x ( 0 ) ∈ R n ，迭代法
x ( k +1) = Bx ( k ) + d
收敛的充分条件是
B < 1 。且
A = D - L -U
其中，D = diag (a11 ,a22 , ⎡0 ⎢a ⎢ 21 L= − ⎢ ⎢ ⎣ an1 ,ann ) ⎤ ⎡0 a12 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ，U = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0⎦ ⎣ a1n ⎤ ⎥ ⎥ an-1,n ⎥ ⎥ 0 ⎦
0 an ,n-1
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x ( k +1) − x ( k )
2
4.9244e+000 2.1320e+000 4.1274e-001 1.5728e-001 9.1419e-002 1.7518e-002 5.9463e-003 4.0244e-003 7.3612e-004 2.8918e-004 1.7669e-004 3.0647e-005
2. 高斯-塞德尔（Gauss - Seidel）迭代法
∀x (0) ∈ R n，k = 0,1, 2, , 执行
( D − L) x ( k +1) = Ux ( k ) + b 控制收敛条件： (k +1) − x (k) ≤ ε x 或
n ⎧ ( k +1) x1 = (b1 − ∑ a1 j x (jk ) ) / a11 ⎪ j =2 ⎪ ⎨ i -1 n ( k +1) ( k +1) ⎪x = (bi - ∑ aij x j − ∑ aij x (jk ) ) / aii，i = 2 : n ⎪ i j =1 j = i +1 ⎩
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§7.1 经典迭代法
例1 用雅克比迭代法求解方程
⎧8 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 20 ⎪ ⎨4 x1 + 11x2 − x3 = 33 ⎪ ⎩6 x1 + 3 x2 + 12 x3 = 36
x (0) = (0, 0, 0)T , ε = 1.0e − 4
迭代矩阵：B = ( D − L) −1U
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§7.1 经典迭代法
3. 松弛迭代（SOR）
引入松弛因子 ω (ω > 0), D = 1 D + (1 − 1 ) D , 使
ω
Ax = b ⇔ ( 1 D − L ) x = U − (1 − 1 ) D x
n ⎧ ( k +1) = (bi - ∑ aij x (jk ) ) / aii xi ⎪ ⇔ ⎨ j =1, j ≠ i ⎪i = 1 : n ⎩
迭代矩阵：B = D -1 ( L + U )
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§7.1 经典迭代法
§7.1 经典迭代法
>> a=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];b=[20;33;36];epsl=1e-4;y=jacobidai(a,b,epsl)
k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.8750e+000 3.1364e+000 3.0241e+000 3.0003e+000 2.9938e+000 2.9990e+000 3.0002e+000 3.0003e+000 3.0000e+000 3.0000e+000 3.0000e+000
B称为迭代矩阵
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第七章 线性代数方程组的迭代法 显然，一般迭代法计算简单。问题是怎样使算 法既收敛又保稀疏？
定理1 对于任意的初值 x ( 0 ) ∈ R n ，迭代算法
x ( k +1) = Bx ( k ) + d
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§7.1 经典迭代法
定理3 SOR收敛的必要条件是0<ω<2。 定理4 如果A是严格对角占优矩阵或不可分弱对角占优矩 阵，则Jacobi迭代、gauss-seidel迭代、SOR（0<ω<=1 ） 迭代均收敛。 定理5 如果A是对称正定矩阵，则gauss-seidel迭代、SOR迭 代均收敛。 定理6 设A是对称矩阵且主对角线元素全大于零，则Jacobi迭 代收敛的充要条件是A和2D-A均正定。
k
x x
(k)
B （ x (1) − x 0） −x < 1− B
*
(k)
B x ( k ) − x ( k −1) −x < 1− B
*
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§7.1 古典迭代法
为保证迭代矩阵B与原矩阵A有相同或相近的稀疏结构， 采用矩阵分裂技术：
x(k )
2.5000e+000 3.0000e+000 3.0000e+000 2.3636e+000 2.0455e+000 1.9478e+000 1.9840e+000 2.0000e+000 2.0026e+000 2.0006e+000 1.9999e+000 1.9999e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 1.0000e+000 9.7159e-001 9.2045e-001 1.0010e+000 1.0038e+000 1.0031e+000 9.9983e-001 9.9974e-001 9.9988e-001 1.0000e+000 1.0000e+000
§7.1 经典迭代法
或
i -1 n ⎧ ( k +1) = ω (bi - ∑ aij x (jk +1) − ∑ aij x (jk ) ) / aii + (1- ω ) xi( k ) xi ⎪ j =1 j =i +1 ⎨ ⎪i = 1: n ⎩
迭代矩阵：B = ( D - ω L) −1 ((1- ω ) D + ωU )
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第七章 线性代数方程组的迭代法
高斯消去法不保稀疏，解大型稀疏矩阵方程效率会 变得非常低。因此，需要研究保稀疏的迭代法。 大型稀疏矩阵方程的应用背景很丰富。比如，电 网络、场方程的数值计算、运筹问题等。 迭代法很多！这里，只介绍其中的四种典型方法： 1、Jacobi迭代； 2、Gauss-Seidel迭代; 3、超松弛迭代法（SOR)； 4、共轭梯度法
§7.1 经典迭代法
>> a=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];b=[20;33;36];epsl=1e-4;y=gausdai(a,b,epsl)
k
1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 2.5000 2.9773 3.0098 2.9998 2.9998 3.0000 3.0000
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