高三第一轮复习含参数的线性和非线性规划问题

非线性规划问题【提纲挈领】主干知识归纳1．常见非线性代数式的几何意义有(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离； (2)22)()(b x a x -+-表示点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离；(3)y x表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率； (4)y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率 2．方法规律总结（1）解决非线性目标函数的最值问题，关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．再利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题。

（2）利用线性规划思想求非线性目标函数的最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)分析出非线性目标函数的几何意义．(3)确定最优解：在可行域内利用数形结合的思想确定最优解求出最值．【指点迷津】【类型一】利用斜率公式求非线性目标函数的最值【例1】：设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值为________．【解析】：y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，32)处取到最大值．答案：32【例2】：设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18≤0，2x －y ≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为________．【解析】：画出可行域如图，k 为直线y ＝kx ＋2的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，要使k 最大，此直线需过B(2,4)点，所以k ＝4－22－0＝1.答案：1【例3】已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：z ＝2y ＋1x ＋1的范围．【解析】： 作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．z ＝2×y －⎝⎛⎭⎫－12x －1表示可行域内任一点(x ，y)与定点Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1连线的斜率的两倍，因此kQA ＝74，kQB ＝38，故z 的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡27,43 答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡27,43【类型二】、利用两点间的距离公式求非线性目标函数的最值【例1】：)变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(2）设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．【解析】：(1)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin ＝|OC|＝2，dmax ＝|OB|＝29.∴2≤z ≤29. 答案：2≤z ≤29.【解析】：(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin ＝1－(－3)＝4，dmax ＝22)22()53(-+--＝8.∴16≤z ≤64.答案：16≤z ≤64【例2】：)已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|OA →＋OM →|的最小值是________．【解析】：依题意得，OA →＋OM →＝(x ＋1，y)，|OA →＋OM →|＝22)1(y x ++可视为点(x ，y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x ＋y ＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA →＋OM →|的最小值是|－1＋0－2|2＝322.答案：322【例3】：设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1关于直线3x －4y－9＝0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A 与Ω2中的任意一点B ，|AB |的最小值等于( ) A.285 B ．4 C.125D ．2【解析】：由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x －4y －9＝0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示， 可看出点(1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离最小， 故|AB|的最小值为2×|3×1－4×1－9|5＝4，选B.答案：B【同步训练】【一级目标】基础巩固题组一、选择题1、(2013·四川文，8)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤82y －x ≤4x ≥0y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16【解析】：本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组表示的平面区域如图．作直线l 0：y ＝15x ，平移直线l 0.当l 0过点A (4,4)时可得z max ＝16，∴a ＝16.当l 0过点B (8,0)时可得z min ＝－8，∴b ＝－8.∴a －b ＝16－(－8)＝24. 答案：C2、设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x －2y ≤2，x －y ≥1，O 为坐标原点，则x 2＋y 2的最小值是()A .14 B .12 C .22D . 2 【解析】： 画出不等式组表示的平面区域，如图所示． ∵x 2＋y 2的几何意义是可行域内的点P(x ，y)与原点的距离，而原点与可行域内的点的距离的最小值就是原点与直线x －y －1＝0所求距离d ＝|0－0－1|12＋（－1）2＝12，∴x 2＋y 2的最小值为12.答案 B3、已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0，则yx的最值是( )A ．最大值是2，最小值是1B ．最大值是1，最小值是0C ．最大值是2，最小值是0D ．有最大值无最小值【解析】：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x ≥1y ≥0x ＋2y －3≥0表示的平面区域如图．yx表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A (1,2)处取得最大值 2.在x 轴上的线段BC 上时取得最小值0，∴选C ． 答案：C4、已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≤0表示的平面区域内的动点，则(x ＋1)2＋(y ＋1)2的最大值是( ) A ．10 B ．495C ．13D ．13【解析】： 由已知得平面区域是以O (0，0)，A (2，0)，B (1，2)，C (0，1)为顶点的四边形边界及其内部．目标函数的几何意义是区域内的点到点(－1，－1)的距离的平方，所以可得在区域的顶点B (1，2)处，目标函数取得最大值13. 答案:D二、填空题 5、(2011·长沙一中月考)已知实数x 、y 同时满足以下三个条件：①x －y ＋2≤0；②x ≥1；③x＋y －7≤0，则yx的取值范围是______________．【解析】： 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x ＋y －7＝0⇒A (1,6)，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0x ＋y －7＝0⇒B ⎪⎭⎫⎝⎛29,25，∴k OA ＝6，k OB ＝95.∴k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59，即y x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59.答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59 6、(2011·湖南师大月考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x＋1)＋1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是____________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x ＋y －7＝0⇒A (1,6)，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0x ＋y －7＝0⇒B ⎝⎛⎭⎫52，92， ∴k OA ＝6，k OB ＝95.∴k ∈⎣⎡⎦⎤95，6，即y x ∈⎣⎡⎦⎤95，6.答案 ：⎣⎡⎦⎤95，67、已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x ＋2y －6x －4的最大值是________【解析】：[解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.x ＋2y －6x －4＝（x －4）＋2y －2x －4＝1＋2×y －1x －4，令z ＝y －1x －4，则其几何意义是区域内的点与点P (4，1)连线的斜率，显然点A (－3，－4)与点P 连线的斜率最大，其最大值为－4－1－3－4＝57，所以x ＋2y －6x －4的最大值为1＋2×57＝177.答案: 177三、解答题8、变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值；(2)设z ＝y x，求z 的最小值；【解析】：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎨⎧ x ＝13x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎨⎧x ＝1x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎨⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)由z ＝4x －3y ，得y ＝43x －z 3.当直线y ＝43x －z 3过点B 时，－z3最小，z 最大．∴z max ＝4×5－3×2＝14.(2)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.答案：（1）14 （2）259、设x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．【解析】：满足条件的可行域如图所示(阴影部分)．(1)令x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为点O )，且对同一圆上的点，x 2＋y2的值都相等．由图可知(x ，y )在可行域内取值，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过点(0,0)时，u 最小．由⎩⎨⎧x ＝3x －y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝8.∴C (3,8)，∴u max ＝32＋82＝73，u min ＝02＋02＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点(x ，y )和定点D (5,0)的连线的斜率，由图可知k BD 最大，k CD 最小．由⎩⎨⎧x ＝3x ＋y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝－3.∴B (3，－3)．∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4. 答案： （1）u max ＝32＋82＝73，u min ＝02＋02＝0.（2）∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.【二级目标】能力提升题组一、选择题1、(2010·北京)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0，表示平面区域D.若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 的点，则a 的取值范围是 （ ） A ．（1，3] B ．[2，3] C ．(1,2] D ．[3,+∞)【解析】：作出平面区域D （如图）要y ＝a x使的图象上存在D 上的点，只需曲线过点A 即可.∵ A 的坐标是（2，9） ∴9=a 2=>a=3 . 根据指数函数图象的分布规律知 1＜a ≤3. 选A. 答案：A2、 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2x ，y ≥x ，y ＋x ≤4，则z ＝y －4|x|的取值范围是()A ．[－8，－6]B ．[－8，4]C ．[－8，0]D ．[－6，0]【解析】：满足不等式组的可行域如图所示，由题意可知A(2，2)，B(－4，8)，O(0，0)，直线x ＋y ＝4与y 轴交点的坐标为(0，4)．当x ≥0时，z ＝－4x ，显然当直线z ＝y －4x 经过点(0，4)时，z 取得最大值4，经过点A(22)时，z 取得最小值－6；当x ＜0时，z ＝y ＋4x ，显然当直线z ＝y ＋4x 点(0，4)时，z 取得最大值4，经过点B 时，z 取得最小值－8.所以z ＝y －的取值范围是[－8，4]． 答案 B二、填空题3、 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．【解析】：本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM |的最小值即O 到直线x ＋y －2＝0的距离．故|OM |的最小值为|－2|2＝ 2.答案: 2三、解答题4、已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(b>a)，若∀x ∈R ，f (x )≥0恒成立，求a ＋b ＋cb －a的最小值。

教学内容二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．[试一试]1．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式是______．2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是________．1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧． 2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．[练一练](2014·南京一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．解析：作出可行域，如图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(－1,1)时，z 取得最小值－1. 答案：－1考点一二元一次不等式(组)表示平面区域1.由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≥0，y ≤x －1所确定的平面区域的面积等于________.2．(2014·苏锡常镇调研)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，0＜x ≤3，y ＞1x所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为________．3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．[类题通法]二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．考点二求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 角度一 求线性目标函数的最值1．(1)(2014·徐州摸底)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值是________．的最大值是113，则实数k ＝________.(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3.若点⎝⎛⎭⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．[类题通法]1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．考点三线性规划的实际应用[典例] 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．[类题通法]求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． [针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．[课堂练通考点]1．(2014·扬州期末)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤5，则z ＝2x －y 的最大值是________．OA·OP的最大值。

高考第一轮复习数学：7.4--简单的线性规划7.4 简单的线性规划●知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）.B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.●点击双基1.下列命题中正确的是A.点（0，0）在区域x+y≥0内B.点（0，0）在区域x+y+1<0内C.点（1，0）在区域y>2x内D.点（0，1）在区域x－y+1>0内解析：将（0，0）代入x+y≥0，成立.答案：A2.（2005年海淀区期末练习题）设动点坐标（x ，y ）满足 （x －y +1）（x +y －4）≥0， x ≥3，A.5B.10C.217 D.10解析：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10.答案：D2x －y +1≥0， x －2y －1≤0，x +y ≤1A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将（0，0）代入不等式组适合C ，不对；将（21，21）代入不等式组适合D ，不对；又知2x －y +1=0与x －2y －1=0关于y =x 对称且所夹顶角α满足t an α=|2121||212|⋅+-=43. ∴α≠3π.则x 2+y 2的3.不表示的平答案：B4.点（－2，t ）在直线2x －3y +6=0的上方，则t 的取值范围是________________.解析：（－2，t ）在2x －3y +6=0的上方，则2×（－2）－3t +6＜0，解得t ＞32. 答案：t ＞32 5.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.答案：3●典例剖析【例1】 求不等式｜x －1｜+｜y －1｜≤2表示的平面区域的面积.剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.解：｜x －1｜+｜y －1｜≤2可化为 x ≥1， x ≥1， x ≤1， x ≤1，y ≥1， y ≤1， y ≥1， y ≤1，或 或 或x +y ≤4 x －y ≤2 y －x ≤2 x +y ≥0.其平面区域如图. O x y∴面积S =21×4×4=8. 评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.深化拓展若再求：①12-+x y；②22)2()1(++-y x 的值域，你会做吗？答案： ①（－∞，－23］∪［23，+∞）；②［1，5］.【例2】 某人上午7时，乘摩托艇以匀速vn mi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50 n mi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h.（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；（2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元），那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?剖析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围.解：（1）依题意得v =y 50，w =x300，4≤v ≤20，30≤w ≤100.∴3≤x ≤10，25≤y ≤225. ①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在9至14个小时之间，即9≤x +y ≤14.②因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）.x（2）∵p +2·（8－y ），∴3x +2y =131－p .设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小.在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小.此时，v=12.5，w=30，p的最小值为93元.评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.【例3】某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么x+y≤9，10×6x+6×8x≥360，0≤x≤4，0≤y≤7.z=252x+160y，其中x、y∈N.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y 轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，z min=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.●闯关训练夯实基础1.（x －1）2+（y －1）2=1是｜x －1｜+｜y－1｜≤1的__________条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要解析：数形结合.答案：B2.（x +2y +1）（x －y +4）≤0表示的平面区域为x xyy yy AB C D x +2y +1≥0， x +2y +1≤0， x －y +4≤0 x －y +4≥0.答案：B3.（2004年全国卷Ⅱ，14）设x 、y 满足约束条件或x ≥0， x ≥y ，2x －y ≤1，则z =3x +2y 的最大值是____________.解析：如图，当x =y =1时，z max =5.答案：5x －4y +3≤0， 3x +5y －25≤0，x ≥1， _________.解析：作出可行域，如图.当把z 看作常数时，它表示直线y =zx 的斜率，因此，当直线y =zx 过点A 时，z 最大；当直线y =zx 过点B 时，z 最小．yx ＝1， 3x ＋5y －25＝0，得A （1，522）. x －4y +3=0，由 得B 4.变量x 、设z =xy ，则z 的最小值为由3x +5y －25=0，∴z max ＝1522＝522，z min ＝52． 答案：525225.画出以A （3，－1）、B （－1，1）、C （1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z =3x －2y 的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组； ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点A 、B 、C ，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.直线AB 的方程为x +2y －1=0，BC 及CA 的直线方程分别为x －y +2=0，2x +y －5=0.在△ABC 内取一点P （1，1），分别代入x +2y －1，x －y +2，2x +y －5得x +2y －1>0，x －y +2>0，2x +y －5<0.因此所求区域的不等式组为 x +2y －1≥0， x －y +2≥0， 2x +y －5≤0.作平行于直线3x －2y =0的直线系3x －2y =t （t 为参数），即平移直线y =23x ，观察图形可知：当直线y =23x －21t 过A （3，－1）时，纵截距－21t 最小.此时t 最大，t max =3×3－2× （－1）=11；当直线y =23x －21t 经过点B （－1，1）时，纵截距－21t 最大，此时t 有最小值为t min = 3×（－1）－2×1=－5.因此，函数z =3x －2y 在约束条件 x +2y －1≥0，x －y +2≥0， 2x +y －5≤06.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和下的最大值为10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克），y所需费用为S x 、y 满足6x +3y ≥8， 4x +7y ≥10， x ≥0，y ≥0，由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小. 故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少.培养能力7.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A、B两种药分别配x、y剂（x、y ∈N），则x≥1，y≥1，3x+5y≤20，5x+4y≤25.上述不等式组的解集是以直线x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）.所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，由题意有30x +20y ≤300，5x +10y ≤110， x ≥0， y ≥0，x 、y 均为整数.由图知直线y =－43x +81P 过M （4，9）时，纵截距最大.这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元.探究创新9.实系数方程f （x ）=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12--a b 的值域； （2）（a －1）2+（b －2）2的值域；（3）a +b －3的值域.f （0）＞0 f （1）＜0 f （2）＞0b ＞0， a +b +1＜0， a +b +2＞0.如图所示. A （－3，1）、B （－2，0）、C （－1，0）.（1）（41，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）. ●思悟小结简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使解：由用图解法解决.图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标.●教师下载中心教学点睛线性规划是新增添的教学内容，应予以足够重视.线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础，因为在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y）实数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x0，y0）〔若原点不在直线上，则取原点（0，0）最简便〕，把它的坐标代入Ax+By+C=0，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解.解线性规划应用题步骤：（1）设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数；（2）利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（或最小）.拓展题例【例1】已知f（x）=px2－q且－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的范围.解：∵－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，p－q≤－1，p－q≥－4，∴4p－q≤5，4p－q≥－1.求z=9p－q的最值.p =0q =1，z min =－1， p =3， q =7，∴－1≤f （3）≤20.【例2】 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？解：设A 厂工作x h ，B 厂工作y h ，总工作时数为t h ，则t =x +y ，且x +3y ≥40，2x +y ≥20，x ≥0，y ≥0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点（x ，y ），使t =x +y 的值为最小.如z max=xx y +3=由图知当直线l 过Q 点时，纵、横截距t 最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q 点是否是格子点. x +3y =40， 2x +y =20，得Q （4，12）为格子点.故A 厂工作4 h ，B 厂工作12 h ，可使所费的总工作时数最少.解方。

问题11含参数的线性规划与非线性规划问题性一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．二、经验分享(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解．(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号．三、知识拓展常见代数式的几何意义：①x2＋y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,x－a2＋y－b2表示点(x,y)与点(a,b)的距离；②yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y－bx－a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率．四、题型分析类型一目标函数中含参数若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．1．目标函数中x的系数为参数【例1】x，y满足约束条件，若z y ax=-取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为_______________. 【答案】2或1-【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线y ax =，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线y ax =的斜率，要与直线或的斜率相等，∴2a =或1-．【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系．通过本题应进一步明确两点：（1）线性规划问题可能没有最优解；（2）当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．【牛刀小试】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =___________.【答案】2【解析】将z ax y =+化为z ax y +-=，作出可行域（如图所示），当0≤a 时，当直线z ax y +-=向右下方平移时，直线z ax y +-=在y 轴上的截距z 减少，当直线z ax y +-=过原点时，0max =z （舍）；当0>a 时，当直线z ax y +-=向右上方平移时，直线z ax y +-=在y 轴上的截距z 增大，若01<-≤-a ，即10≤<a 时，当直线z ax y +-=过点)1,1(B 时，，解得3=a （舍），当1-<-a ，即1>a 时，则当直线z ax y +-=过点)0,2(A 时，，解得2=a ．【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率a -的符号，还要讨论斜率a -与边界直线斜率1-的大小关系. 2．目标函数中y 的系数为参数【例2】已知变量,x y 满足约束条件若目标函数的最大值为1，则a = ．【答案】3．【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B （4，1）点是取得最大值，∴141a =-⨯，∴3a =． 【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解，进而用代入法求参数的值． 3．目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】设x ，y 满足约束条件221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，若目标函数的最小值为2，则ab 的最大值为 ．【答案】41．【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，易求得，要目标函数的最小值为2，∴222=+b a ，即1==b a ，∴，当且仅当21==b a 等号成立．故ab 的最大值为41．【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形，最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可．【牛刀小试】设x y ，满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则ba 32+的最小值为______________. 【答案】625【解析】作出x y ，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点()4,6A 取得最大值12，即，亦即236a b +=，所以＝，当且仅当b a a b =，即65a b ==时等号成立．【评注】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知ax by m +=﹙﹚求的最小值，通常转化为c d x y +＝1()c d m x y+（ax by +)，展开后利用基本不等式求解． 4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()0>r 不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是_______________．【答案】【解析】不等式对应的区域为ABE ∆．圆心为(1,1)--，区域中A 到圆心的距离最小，B 到圆心的距离最大，∴要使圆不经过区域D ，则有0r AC <<或r BC >．由1x y x =⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ．由14x y x =⎧⎨=-+⎩，得13x y =⎧⎨=⎩，即(1,3)B．∴AC =，BC =，∴0r <<或r >，即r 的取值范围是．【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：，可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方，即；也可看成是以(),Q a b 为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共点的问题．【牛刀小试】设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a ＞0，a ≠ 1)的图象过区域M 的a 的取值范围是___________. 【答案】[2，9]【解析】平面区域M 如图所示，求得，由图可知，欲满足条件必有且图象在过B 、C 两点的图象之间，当图象过B 点时，，当图象过C 点时，，所以，故的取值范围是．【评注】巧妙地识别目标函数的几何意义是研究此类问题的基础，纵观目标函数包括线性与非线性、非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得线性规划问题得以深化，本题的解答中正确理解目标函数表示指数函数的图象与二元一次不等式组表示的平面区域有公共点这一意义是解得本题的关键。

高考数学一轮复习 热点难点突破 不拉分系列（十）研透两种题型，突破含参变量的线性规划问题 新人教版含参变量的线性规划问题是近年来高考命题 的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧， 增加了解题的难度．参变量的设置形式通常有以 下两种：(1)条件不等式组中含有参变量； (2)目标函数中设置参变量．[典例1] (2012·福建高考)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．2[解析] 可行域如图阴影所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0得交点A (1,2)，当直线x ＝m 经过点A (1,2)时，m 取到最大值为1.[答案] B[题后悟道] 由于条件不等式中含有变量，增加了解题时画图的难度，从而无法确定可行域，要正确求解这类问题，需有全局观念，结合目标函数逆向分析题意．整体把握解题的方向，是解决这类题的关键．针对训练1．(2012·“江南十校”联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，记目标函数z ＝2x＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1，－4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－2解析：选D 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7和直线x ＋y ＝4的交点，经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2.[典例2] (2012·深圳调研)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(3,5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－1,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1[解析] 如图所示，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时，相应直线在y 轴上的截距才达到最大)，结合图形可知a ＞12.[答案] B[题后悟道] 此类问题旨在增加探索问题的动态性和开放性．解决此类问题一般从目标函数的结论入手，对图形的动态分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求解这类问题的主要思维方法．针对训练2．(2012·温州适应性测试)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选B 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.。

高考数学一轮复习《线性规划》复习练习题（含答案）一、单选题1．若x ，y 满足1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，则4z x y =-的最小值为（ ）A ．-6B ．-5C ．-4D ．12．已知x ，y 满足不等式组240,3260,20,x y x y x y --≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩则23z x y =+的取值范围为（ ）A ．32,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．325,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[)6,-+∞D ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3．设变量,x y 满足约束条件100240x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．0B ．32C ．3D ．44．已知实数,x y 满足2030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．112B ．5C ．52D ．35．若实数x ，y 满足约束条件110x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．26．若,x y 满足约束条件310x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．不等式44x y +<表示的区域在直线440x y +-=的（ ） A ．左上方B ．左下方C ．右上方D ．右下方8．已知实数x ，y 满足210,10,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则z =2x -y 的最小值是（ ）A ．5B ．52C ．0D ．-19．若实数x ，y 满足约束条件23023020x y x y x ++≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值是（ ）A ．6-B ．2C ．4D ．610．已知动点(),P m n 在不等式组400x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩ 表示的平面区域内部及其边界上运动，则35n z m -=-的最小值（ ） A ．4 B ．13C ．53D ．311．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ） A ．1116B ．916C ．716D ．51612．若实数,x y 满足约束条件10210y x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪++≥⎩，则z ）A ．1BCD二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件1000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值为_________．14．已知x 、y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则21x y z x ++=+的最小值是__________．15．在等差数列{}n a 中，125024a a a ≤≥-≤，，，则4a 的取值范围是______． 16．若实数,x y 满足约束条件102310y x x x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围是__________ .三、解答题17．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.(1)设投资人用x 万元、y 万元分别投资甲、乙两个项目，列出满足题意的不等关系式，并画出不等式组确定的平面区域图形；(2)求投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？18．若变量x ，y 满足约束条件240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩(1)画出不等式组表示的平面区域； (2)求目标函数z =y +x 的最大值和最小值.19．已知点(),P x y 在圆()2211x y +-=上运动，(1)求12y x --的取值范围； (2)求2x ＋y 的取值范围．20．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，直线l ：30mx y m -+-=()m R ∈与圆C 相交于A ､B 两点.(1)已知点(,)x y 在圆C 上，求34x y +的取值范围： (2)若O 为坐标原点，且2AB OC =，求实数m 的值.21．已知命题p ：0x ∃∈R ，()()2011(0)m x a a ++≤>，命题q ：x ∀，y 满足+1002x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，m .(1)若q 为真命题，求m 的取值范围.(2)判断p ⌝是q 的必要非充分条件，求a 的范围22．2021年6月17日9时22分，我国“神舟十二号”载人飞船发射升空，展开为期三个月的空间站研究工作，某研究所计划利用“神舟十二号”飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品,A B 、要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表:（1）试用搭载,A B 产品的件数,x y 表示收益z (万元);（2）怎样分配,A B 产品的件数才能使本次搭载实验的利润最大，最大利润是多少?23．设函数(),()x f x e g x ax b ==+，其中, a b R ∈．（Ⅰ）若1,1a b ==-，当1x ≥时，求证：()()ln f x g x x ≥；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥在[1,)+∞上恒成立，求()2223a e b -+的最小值．24．对于函数()f x 和()g x ，设集合(){}0,R A x f x x ==∈，(){}0,R B x g x x ==∈，若存在1x A ∈，2x B ∈，使得12(0)x x k k -≤≥，则称函数()f x 与()g x “具有性质()M k ”.(1)判断函数()sin f x x =与()cos g x x =是否“具有性质1()2M ”，并说明理由；(2)若函数1()22x f x x -=+-与2()(2)24g x x m x m =+--+“具有性质(2)M ”，求实数m 的最大值和最小值；(3)设0a >且1a ≠，1b >，若函数1()log x bf x a x=-+与()log x b g x a x=-+“具有性质(1)M ”，求1212x x -的取值范围。

个性化教学辅导教案1、函数的函数值恒小于零，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当即时，恒成立，所以符合题意；当即时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和轴没交点，所以，解得。

综上所述，。

所以选C。

2、已知不等式的解集为,则的值为（____）A．-14 B．-10 C．14 D．10【答案】C【解析】的解集为,的两根为由伟达定理得解方程得到；故选14.1、若实数，满足则的最大值是（）A．-1 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】作出不等式的可行域，如图所示.即为，平移该直线至点A时最大.，解得，即A(0,1)，此时.故选C.2、设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．6 B．3 C．D．1 【答案】A【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．表示可行域内的点与原点连线的斜率．结合图形可得，可行域内的点A与原点连线的斜率最大．由，解得，故得．所以．选A．3、设实数满足，则的最小值为（）A．4 B．C．D．0 【答案】B【解析】画出可行域如图，则目标函数的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，所以的最小值为，故选B．4、若x，y满足约束条件目标函数z＝ax+2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的取值范围是__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，根据图象可知，当斜率为负时，斜率应大于的斜率，即，得到；当斜率为非负时，斜率应小于的斜率，即，得到.综上，取值范围为.5、为迎接2017年“双”，“双”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共个，生产一个汤碗需分钟，生产一个花瓶需分钟，生产一个茶杯需分钟，已知总生产时间不超过小时．若生产一个汤碗可获利润元，生产一个花瓶可获利润元，生产一个茶杯可获利润元．（1）使用每天生产的汤碗个数与花瓶个数表示每天的利润（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）；（2）元.【解析】试题分析：（1）由题意可得利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300；（2）根据题意得到约束条件和目标函数，根据线性规划的解题步骤求解即可。

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(完整版)高三理科数学第一轮复习讲义第48课时线性规划课题：线性规划教学目标：掌握一元二次不等式表示平面区域的方法：直线定界，代点定域;线性规划问题的图解法及其应用。

教学重点:图解法求解线性规划问题的步骤（一) 主要知识及方法：二元一次不等式表示平面区域.一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线；不等式所表示的平面区域（半平面）包括边界线．判定不等式（或)所表示的平面区域时，只要在直线的一侧任意取一点，将它的的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式,就表示这个点所在区域的另一侧平面区域.由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．另外：规律总结：，(视“"为“”,“”为“”），分别计算：的符号与“”或“”的积；的符号与“"或“”的积；“左下负,右上正”.线性规划问题的图解法：①设出所求的未知数;②列出约束条件（即不等式组）；③建立目标函数；④作出可行域;⑤运用图解法求出最优解。