常微分方程、2-1
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常微分方程的常见解法
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )
常微分方程标准答案-一二章
习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。
解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。
6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。
解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。
8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。
二阶常微分方程的特解
二阶常微分方程的特解（原创版）目录1.二阶常微分方程的一般形式2.特解的定义和性质3.求解二阶常微分方程特解的方法4.二阶常微分方程特解的应用实例正文二阶常微分方程的一般形式为：a * y"" +b * y" +c * y = 0其中，a、b、c 为常数，y 为函数，y"表示 y 的一阶导数，y""表示y 的二阶导数。
二阶常微分方程的解法有多种，其中一种较为常见的方法是求解特解。
特解是指二阶常微分方程的一组特例解，它具有以下性质：1.特解是二阶常微分方程的解，即满足微分方程；2.特解是线性无关的，即不同特解之间不能通过线性组合得到；3.特解是特例的，即特解的存在性和性质与微分方程的系数有关。
求解二阶常微分方程特解的方法有多种，其中较为常见的有以下几种：1.常数变易法：适用于 a*y"" + b*y" + c*y = 0 型微分方程，通过变易常数，将微分方程转化为一阶线性微分方程求解；2.待定系数法：适用于形如 a * y"" + b * y" + c * y = f(x) 的微分方程，通过设定特解的形式，将系数与待定系数联系起来求解；3.矩阵法：适用于高阶微分方程，通过构造齐次线性微分方程组，利用矩阵的性质求解特解。
二阶常微分方程特解在实际应用中有广泛的应用，例如在物理、化学、生物等学科中，常常需要通过求解微分方程特解来描述某一现象或过程。
以下是一个二阶常微分方程特解的应用实例：考虑以下一阶线性微分方程：y" + 3y = exp(x)该微分方程的特解为：y = C * exp(-3x)其中，C 为任意常数。
常微分方程的常见解法
实例解析
实例1
求解一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda y = q(x)$，从而简化求解过程。
实例2
求解二阶常微分方程 $y'' + y' + y = 0$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda^2 + lambda + 1 = 0$，从而求解出 $lambda$ 的值，进一步得到原方程的解。
当 (M(x)) 和 (N(x)) 均为非零函数时，该方法适用。
实例解析
1. 确定积分因子
选择积分因子为 (e^x)
5. 解出原方程
将 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C) 代入 原方程，解得 (y = frac{1}{3} x^2 + Ce^{-x})
4. 解方程
对两边积分，得到 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C)
04 积分因子法
定义与特点
定义
积分因子法是一种通过引入一个因子来简化微分方程的方法。
特点
通过乘以一个适当的因子，可以将微分方程转化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
适用范围
适用于形如 (M(x)y' + N(x)y = f(x)) 的线性微分方程，其中 (M(x)) 和 (N(x)) 是 已知函数，(f(x)) 是给定的函数。
实例2
考虑一阶常微分方程 (dy/dx = xy)，其中 (x > 0) 且 (y > 0)。通过分离变量法， 我们可以得到 (dy/y = xdx)，进一步求解得到 (ln|y| = frac{1}{2}x^2 + C)，其 中 (C) 是积分常数。
常微分方程复习(一)
M N y x 1 N x
因为
故存在仅与x有关的积分因子
( x) e
1 dx x
x
以 x乘方程两边得 :
( x2 2 xy)dx x2dy 0
( x2 2 xy)dx x2dy 0
这是恰当方程，对方程重新分项组合得
x dx (2xydx x dy) 0 1 3 d x ( ydx 2 x 2 dy ) 0 即 3 1 3 d ( x x2 y) 0 3 1 3 故方程的通解为: x x2 y c 3
dy f ( x, y ) 设 dx 解为y ( x, x0 , y0 ) y ( x0 ) y0
x f ( x, ) f ( x0 , y0 ) exp( dx) x0 x0 y x f ( x, ) exp( dx) x0 y0 y
exp(
1
1 dx) x x
题型：
一、填空（20分） 二、求解微分方程（组）（60分） 三、证明题（20分）
第一章 （2---4分） 1.微分方程、线性微分方程概念 2.微分方程的解、通解 3.初值问题的解、定解条件
dy f ( x, y ) 一阶微分方程 dx 的解y ( x)所表示xy平面上的一条曲线,
称为微分方程的积分曲线.
x f ( x, ) ( x, x0 , y0 ) x0 1 [ f ( x0 , y0 ) exp( dx)]x 1 [ ] y0 0 y 0 x y x0 x1 ( x, 0, 0)
0 0 0
f (1, 0) exp(
0
x
cos(
x
) dx)
0
因为
故存在仅与x有关的积分因子
( x) e
1 dx x
x
以 x乘方程两边得 :
( x2 2 xy)dx x2dy 0
( x2 2 xy)dx x2dy 0
这是恰当方程，对方程重新分项组合得
x dx (2xydx x dy) 0 1 3 d x ( ydx 2 x 2 dy ) 0 即 3 1 3 d ( x x2 y) 0 3 1 3 故方程的通解为: x x2 y c 3
dy f ( x, y ) 设 dx 解为y ( x, x0 , y0 ) y ( x0 ) y0
x f ( x, ) f ( x0 , y0 ) exp( dx) x0 x0 y x f ( x, ) exp( dx) x0 y0 y
exp(
1
1 dx) x x
题型：
一、填空（20分） 二、求解微分方程（组）（60分） 三、证明题（20分）
第一章 （2---4分） 1.微分方程、线性微分方程概念 2.微分方程的解、通解 3.初值问题的解、定解条件
dy f ( x, y ) 一阶微分方程 dx 的解y ( x)所表示xy平面上的一条曲线,
称为微分方程的积分曲线.
x f ( x, ) ( x, x0 , y0 ) x0 1 [ f ( x0 , y0 ) exp( dx)]x 1 [ ] y0 0 y 0 x y x0 x1 ( x, 0, 0)
0 0 0
f (1, 0) exp(
0
x
cos(
x
) dx)
0
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法微积分是数学的重要分支之一，常微分方程是微积分中的重要内容。
在微积分中，我们经常遇到一阶常微分方程的求解问题。
本文将介绍一阶常微分方程的解法及其应用。
1. 分离变量法一阶常微分方程常常可以通过分离变量的方法求解。
具体步骤如下：（1）将方程中的未知函数和其导数分离到方程的两侧；（2）对方程两边同时积分，得到未知函数的通解；（3）根据方程的边界条件，确定通解中的常数。
例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x^2。
我们可以将方程重写为 dy = x^2dx，并对其两边同时积分。
通过求不定积分，我们得到 y = x^3/3+ C，其中 C 是常数。
这样我们就求得了方程的通解。
2. 齐次方程的解法对于一些特殊的一阶常微分方程，我们可以使用齐次方程的解法。
如果方程可以重写为 dy/dx = f(y/x)，其中 f 是一个只与 y/x 相关的函数，那么我们可以通过变量代换 y = vx，化简方程并求解得到原方程的解。
例如，考虑一阶常微分方程 y' = y/x。
我们可以通过变量代换 y = vx，其中 v 是关于 x 的函数。
将代换后的方程进行化简，得到 xdv/dx + v = v，整理后得到xdv/dx = 0。
显然，这是一个齐次方程，其解为v = C1，其中 C1 是常数。
将 v 代回原方程中，得到 y = C1x，即为方程的解。
3. 一阶线性方程的解法一阶线性方程是一种常见的一阶常微分方程形式，可以写作 dy/dx+ P(x)y = Q(x)，其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
一阶线性方程的解法如下：（1）求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx)；（2）将方程两侧同时乘以积分因子μ(x)；（3）对方程两侧同时积分，得到y = (∫Q(x)μ(x)dx + C)/μ(x)，其中C 是常数。
例如，考虑一阶线性方程 dy/dx + 2xy = x。
首先，我们求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫2xdx) = e^(x^2)。
微分方程的分类
微分方程的分类微分方程是数学领域中最重要的基础理论之一，它在不同学科领域中都有着广泛的应用，如物理、化学、天文学等。
微分方程就是研究函数与其导数之间的关系的方程，它可以用于预测各种自然现象，如生物发展、大气环境等。
根据方程中的变量和函数的属性，微分方程可以分为几种类型。
1. 常微分方程常微分方程是微积分中一个最基本的分支。
它只包括某一自变量的导数，比如dy/dx=f(x),这是一种典型的一阶常微分方程。
常微分方程可以分为齐次与非齐次方程。
齐次常微分方程有形如y′=F(y/x)、y′=F(y/x,y/x′)的等式，异次方程是指其不是齐次方程，係数和方程的项都是常数。
2. 偏微分方程偏微分方程是包含多个自变量的方程，它的未知函数是多个变量的函数，而且方程中包含这个函数的偏导数。
偏微分方程的求解往往需要一些特殊的技巧和数学工具。
偏微分方程可以分为线性与非线性方程，线性偏微分方程中函数的次数是1，而非线性偏微分方程中函数的次数是2或更高。
3. 非线性微分方程非线性微分方程中，被看作自变量的函数被放在一个非线性函数中，这会使得方程变得更加复杂、难以求解。
非线性微分方程通常具有难以求解解析解的特性，需要借助计算机算法或者寻求各种近似解来解决。
4. 常微分方程组常微分方程组由两个或多个常微分方程联立而成。
常微分方程组具有许多应用，例如在计算机模拟和控制理论中。
常微分方程组可以分为线性与非线性方程组，与线性微分方程类似，线性微分方程组的求解相对简单，但是非线性微分方程组的求解难度更高，需要依靠数值计算和近似法。
总之，微分方程是一门非常重要的数学分支，用来描述自然界中的各种现象。
基于不同的模型，可以将微分方程分为几种类型。
对于研究者来说，选择适合自己的微分方程类型是很关键的，它将决定研究者的求解方法和技巧。
4.2.1常微分方程-线性齐次常系数方程
x
(n)
a1 x
( n 1)
an1 x an x 0
1、复值函数 定义
z (t ) (t ) i (t ) t [a, b]，
(t )， (t )是定义在 [ a , b ] 上的实函数。
极限
lim z (t ) lim (t ) i lim (t ) t0 [a, b]，
z (t ) z (t0 ) dz d lim z (t0 ) t t0 t t0 dt t t0 dt
t t0
d i dt
t t0
易验证
d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) dt dt dt d dz1 (t ) [cz1 (t )] c dt dt d dz1 (t ) dz2 (t ) ( z1 (t ) z2 (t )) z2 (t ) z1 (t ) dt dt dt
()
F ( ) n a1n1 an1 an 0
① 特征根为实根 I. 设 1 0 是 k 重特征根 方程 ( ) 有 k 个线性无关的解 II. 设
1, t , t 2 ,
, t k 1
1 0 是 k 重特征根
e1t , te1t , t 2e1t , , t k 1e1t
性质1
e e
t
t
性质2
性质3 性质4
det et dt
e
( 1 2 ) t
e e
1t 2t
d n et n t e n dt
3、复值解 定义 如果定义在 [a, b] 上的实变量的复值函数
x z (t ) 满足方程
第一章_常微分方程
作业
1. 求方程y2y3y=0的通解。
2. 求方程y2yy0满足初始条件y|x04、 y| x02的特解。
3. 求方程y2y5y 0的通解。
1.2 常系数非齐次线性微分方程
方程
y+py+qy = f(x) (3) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其
中p、q均为常数，f (x)为非齐次项
一、常数变易法
将方程(3)的特解记为 y(x) c1(x) y1(x) c2(x) y2 (x)
其中y1(x)和 y2 (x)为对应齐次方程的一对线性无关 解。将上述特解带入方程(3)可求解 c1(x)和c2 (x)。
由于 y c1y1 c2 y2 c1 y1 c2 y2 ，若令
c1 y1 c2 y2 0 则 y c1 y1 c2 y2 ，
齐次方程，有
2a1 3a0 3a1x 3x 1 由同幂次系数相等求解得
a1
1
a0
1 3
则非齐次方程的一个特解为
y* x 1 3
B.特殊情况
➢ 如果方程(3)的非齐次项 f(x)正好是对应齐次 方程的解，即各个非齐次项对应的指数
i 0 i
是原方程对应齐次方程的m重特征根，则方 程(3)的特解在原表达式上乘以xm 。
A.基本解法
【例 1.2.2】 求非齐次方程 y 2 y y 3e2x 的通解。 解：假设方程的一个特解为 y*(x) Ae2x ，代入非齐
次方程，有 4Ae2x 2Ae2x Ae2x 3e2x
求得 A 1。因此，方程的一个特解为 y* (x) e2x
又对应齐次方程的通解为 y(x) (c0 +c1x)ex ，因此 非齐次方程的通解为
是方程(1)的两个线性无关的解，方程的通解为
一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法
公式解法
公式法
通过求解特征方程p^2 - 4q = 0，得到通解y = C*exp(rx)，其中C和r是常数，exp(rx)是自然指数函数。
初始条件
在给定初始条件y(x0) = y0时，可以通过公式法求得特解。
初始条件与特解
初始条件的重要性
初始条件决定了微分方程的特解，对于一阶常系数线性微分方程来说，初始条件通常是指 y(x0) = y0。
一阶与二阶常系数线性微分 方程及其解法
目录
• 一阶常系数线性微分方程 • 二阶常系数线性微分方程 • 对比与联系 • 扩展与应用
01
一阶常系数线性微分方程
定义与公式
定义
一阶常系数线性微分方程是形如y' + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x) 是已知函数。
公式
一阶常系数线性微分方程的标准形式 是y' + py = q，其中p和q是常数。
初始条件与特解
初始条件
给定初始条件y(x₀) = y₀和y'(x₀) = y'₀，可以求解微分方程得到特解。
特解
满足初始条件的解称为特解。通过代入初始条件，可以得到特解的具体形式。
03
对比与联系
一阶与二阶方程的异同
一阶方程
y' = f(x)
二阶方程
y'' = f(x, y', y'')
相同点
两者都是描述函数y与自变量x之间的导数关系。
实际应用场景与案例
一阶方程应用场景
01
描述物体运动、化学反应速率等。
二阶方程应用场景
02
描述波动现象、弹簧振动等。
案例
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dt
=a11(t)x1+···+a1n(t)xn+f1(t),
......................................
dx
n
dt
=dx1dt,A(t)=a11(t)···a1n(t)·········an1(t)···ann(t),f(t)=f1(t)...fn(t).
(1.1)
dx
dt
=A(t)x,(LH)
.f(t)≡0,fi(t),i=1,···,n
(NH).
1